第六章 考点测试39 圆锥曲线中的最值与范围问题-【金版教程】2026年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

考点测试39　圆锥曲线中的最值与范围问题

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1．已知直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的弦长的最大值是(　　)

A．2   B.

C．4   D．不能确定

答案：B

解析：直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，设另外一个交点为(x，y)，所以＋y2＝1，则x2＝4－4y2，弦长为＝＝，当y＝－时，弦长最大，最大值为.故选B.

2．已知F为双曲线Γ：－＝1的左焦点，P为Γ右支上的一点，则直线PF的斜率的取值范围为(　　)

A．(－4，4)   B．(－3，3)

C．(－2，2)   D．(－2，2)

答案：D

解析：由题意知F(－2，0)，设直线PF的方程为y＝k(x＋2)，联立消去y得(4－k2)x2－4k2x－20k2－16＝0，根据已知可得方程有一正根一负根，所以

解得－2<k<2.故选D.

3．已知抛物线C：y＝，直线l1：y＝－2，l2：3x－4y－6＝0，M为C上的动点，则点M到l1与l2的距离之和的最小值为(　　)

A．3   B. 

C．2   D.

答案：A

解析：由y＝，得x2＝4y，焦点坐标为F(0，1)，准线方程为l3：y＝－1.由抛物线的定义可知，点M到准线的距离等于到焦点F的距离，所以点M到l3与l2的距离之和的最小值为点F到l2的距离，为d＝＝2，所以点M到l1与l2的距离之和的最小值为2＋1＝3.故选A.

4．已知P为椭圆＋＝1上一点，M，N分别是圆(x＋3)2＋y2＝4和(x－3)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的取值范围是(　　)

A．[7，13]   B．[10，15]

C．[10，13]   D．[7，15]

答案：A

解析：根据椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以7＝10－(1＋2)≤|PM|＋|PN|≤10＋(1＋2)＝13，即所求取值范围为[7，13]．故选A.

5．已知P(3，3)，M是抛物线y2＝4x上的动点(异于顶点)，过M作圆C：(x－2)2＋y2＝4的切线，切点为A，则|MA|＋|MP|的最小值为________．

答案：3

解析：依题意，设M(x0，y0)，x0>0，有y＝4x0，圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2，0)，半径r＝2，于是|MA|＝＝＝＝x0，因此|MA|＋|MP|＝x0＋|MP|，表示抛物线C上的点M到y轴的距离与到定点P的距离的和，而点P在抛物线C内，当且仅当M是过点P垂直于y轴的直线与抛物线C的交点时，x0＋|MP|取得最小值3，所以|MA|＋|MP|的最小值为3.

6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，点A的坐标为(0，1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF的周长不小于18，则双曲线C的离心率的取值范围为__________．

答案：

解析：由右焦点为F(2，0)，点A的坐标为(0，1)，可得|AF|＝＝5.因为△APF的周长不小于18，所以|PA|＋|PF|的最小值不小于13.设F′为双曲线的左焦点，可得|PF|＝|PF′|＋2a，故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF′|＋2a，当A，P，F′三点共线时，|PA|＋|PF′|＋2a取得最小值|AF|＋2a，即5＋2a，所以5＋2a≥13，即a≥4.因为c＝2，所以e＝＝≤.又e>1，所以