第五章 高考真题集训——空间向量与立体几何-【金版教程】2026年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

高考真题集训——空间向量与立体几何

解答题

1．(2024·北京高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE＝DE＝2.

(1)若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD；

(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．

解：(1)证明：取PD的中点S，连接SF，SC，

则SF∥DE，SF＝DE＝1，

又DE∥BC，DE＝2BC，

所以SF∥BC，SF＝BC，

所以四边形SFBC为平行四边形，

所以BF∥SC，

又BF⊄平面PCD，SC⊂平面PCD，

所以BF∥平面PCD.

(2)因为DE＝2，所以AE＝1，

所以AE∥BC，AE＝BC，

所以四边形AECB为平行四边形，

所以CE∥AB，

又AB⊥平面PAD，所以CE⊥平面PAD，

而PE，DE⊂平面PAD，

故CE⊥PE，CE⊥DE，而PE⊥DE，

故建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，

则＝(0，－1，－2)，＝(1，－1，－2)，＝(1，0，－2)，＝(0，2，－2)，

设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，

则即

取m＝(0，－2，1)，

设平面PCD的法向量为n＝(a，b，c)，

则即

取n＝(2，1，1)，

故cos〈m，n〉＝＝－，故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为.

2．(2024·新课标Ⅰ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝.

(1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；

(2)若AD⊥DC，且二面角A－CP－D的正弦值为，求AD.

解：(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，

又AD⊂底面ABCD，所以PA⊥AD，

又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂平面PAB，

所以AD⊥平面PAB，

又AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB.

因为BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，

根据平面知识可知AD∥BC，

又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

所以AD∥平面PBC.

(2)解法一：如图所示，过点D作DE⊥AC于E，再过点E作EF⊥CP于F，连接DF，

因为PA⊥底面ABCD，所以平面PAC⊥底面ABCD，

又平面PAC∩底面ABCD＝AC，

所以DE⊥平面PAC，所以DE⊥CP，

又EF⊥CP，DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，所以CP⊥平面DEF，

根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A－CP－D的平面角，

即sin∠DFE＝，所以tan∠DFE＝.

因为AD⊥DC，设AD＝x，则DC＝，

由等面积法可得，DE＝，

又CE＝＝，△EFC为等腰直角三角形，所以EF＝，

故tan∠DFE＝＝，

解得x＝，即AD＝.

解法二：由题意知DC，AD，AP两两垂直，以D为原点，AD，DC所在直线分别为x轴、y轴，过点D且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，