第五章 考点测试33 立体几何中的翻折与探索性问题-【金版教程】2026年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

考点测试33　立体几何中的翻折与探索性问题

基础题(占比20%)　中档题(占比60%)　拔高题(占比20%)

 

1．(2025·黑龙江大庆一模)如图，在平面四边形ABCD中，AB∥DC，△ABD是边长为2的正三角形，DC＝3，O为AB的中点，将△AOD沿OD折到△POD的位置，PC＝.

(1)求证：PO⊥BD；

(2)若E为PC的中点，求直线BE与平面PDC所成角的正弦值．

解：(1)证明：依题意，△ABD是边长为2的正三角形，O为AB的中点，所以OD⊥AB，

所以OD⊥PO，OD⊥OB，PD＝2，CD＝3，PC＝，

则PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，

又AB∥DC，即OB∥DC，所以OB⊥PD，

又OD∩PD＝D，OD，PD⊂平面POD，

所以OB⊥平面POD，

因为PO⊂平面POD，所以OB⊥PO，

又OB∩OD＝O，OB，OD⊂平面BODC，

所以PO⊥平面BODC，

又BD⊂平面BODC，所以PO⊥BD.

(2)如图，建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，P(0，0，1)，D(0，，0)，C(3，，0)，E，所以＝，＝(3，0，0)，＝(0，－，1)，

设平面PDC的法向量为n＝(x，y，z)，

则令n＝(0，1，)，

设直线BE与平面PDC所成的角为θ，

则sinθ＝＝＝，

所以直线BE与平面PDC所成角的正弦值为.

 

2．(2025·江苏南通海安高级中学高三模拟)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′－BCDE，其中A′O＝.

(1)求证：A′O⊥平面BCDE；

(2)求点B到平面A′CD的距离．

解：(1)证明：连接OD，OE，则在△ABC中，∠CBE＝∠BCD＝45°，CD＝BE＝，CO＝BO＝3，

在△COD中，由余弦定理可得

OD＝＝，

同理得OE＝，

因为BC＝6，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，

所以AC＝AB＝3，

可得AD＝A′D＝A′E＝AE＝2，

因为A′O＝，

则A′O2＋OD2＝A′D2，A′O2＋OE2＝A′E2，

可知A′O⊥OD，A′O⊥OE，

又因为OD∩OE＝O，OD，OE⊂平面BCDE，

所以A′O⊥平面BCDE.

(2)取DE的中点H，连接OH，则OH⊥OB，

以O为坐标原点，OH，OB，OA′所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A′(0，0，)，B(0，3，0)，C(0，－3，0)，D(1，－2，0)，

可得＝(0，3，)，＝(1，1，0)，＝(0，6，0)，设平面A′CD的法向量为n＝(x，y，z)，所以

令x＝1，则y＝－1，z＝，

可得n＝(1，－1，)，

所以点B到平面A′CD的距离为＝＝.

3．在如图所示的多面体AFDCBE中，AB⊥平面BCE，AB∥CD∥EF，BE⊥EC，AB＝4，EF＝2，EC＝2BE＝4.