第五章 高考真题集训——立体几何初步-【金版教程】2026年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

高考真题集训——立体几何初步

一、单项选择题

1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　)

A．2π   B．3π

C．6π   D．9π

答案：B

解析：设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B.

2．(2024·天津高考)若m，n为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是(　　)

A．若m∥α，n⊂α，则m∥n

B．若m∥α，n∥α，则m∥n

C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n

D．若m∥α，n⊥α，则m与n相交

答案：C

解析：对于A，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故A错误；对于B，若m∥α，n∥α，则m与n平行、异面或相交，故B错误；对于C，若m∥α，n⊥α，过m作平面β，使得β∩α＝s，因为m⊂β，所以m∥s，而s⊂α，故n⊥s，故m⊥n，故C正确；对于D，若m∥α，n⊥α，则m与n相交或异面，故D错误．故选C.

3．(2024·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台ABC－A1B1C1的体积为，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为(　　)

A.   B．1 

C．2   D．3

答案：B

解析：解法一：分别取BC，B1C1的中点D，D1，则AD＝3，A1D1＝，可知S△ABC＝×6×3＝9，S△A1B1C1＝×2×＝，设正三棱台ABC－A1B1C1的高为h，则VABC－A1B1C1＝×(9＋＋)h＝，解得h＝.过A1，D1作底面的垂线，垂足分别为M，N，易

知M，N在线段AD上，设AM＝x，则AA1＝＝，DN＝AD－AM－MN＝2－x，可得DD1＝＝，结合等腰梯形BCC1B1可得BB＝＋DD，即x2＋＝(2－x)2＋＋4，解得x＝，所以A1A与平面ABC所成角的正切值为tan∠A1AD＝＝1.故选B.

解法二：将正三棱台ABC－A1B1C1补成正三棱锥P－ABC，则A1A与平面ABC所成的角即为PA与平面ABC所成的角，因为＝＝，则＝，可知VABC－A1B1C1＝VP－ABC＝，则VP－ABC＝18，设正三棱锥P－ABC的高为d，则VP－ABC＝d××6×6×＝18，解得d＝2，取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO＝2，所以PA与平面ABC所成角的正切值为tan∠PAO＝＝1.故选B.

 

4．(2024·天津高考)一个五面体ABC－DEF，已知AD∥BE∥CF，且两两之间的距离为1，并已知AD＝1，BE＝2，CF＝3.则该五面体的体积为(　　)

A.   B.＋

C.   D.－

答案：C

解析：如图，用一个完全相同的五面体与该五面体相嵌，使得新组合体为一个三棱柱，记为ABC－HIJ，因为AD∥BE∥CF，且两两之间的距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)是边长为1的等边三角形，侧棱长为1＋3＝2＋2＝3＋1＝4，所以VABC－DEF＝VABC－HIJ＝××1×1××4＝.故选C.

5．(2024·全国甲卷)设α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α∩β＝m.下列四个命题：

①若m∥n，则n∥α或n∥β；②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β；③若n∥α，且n∥β，则m∥n；④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n.

其中所有真命题的编号是(　　)

A．①③   B．②④

C．①②③   D．①③④

答案：A

解析：对于①，当n⊂α时，因为m∥n，m⊂β，则n∥β，当n⊂β时，因为m∥n，m⊂α，则n∥α，当n既不在α内也不在β内时，因为m∥n，m⊂α，m⊂β，则n∥α且n∥β，故①是真命题；对于②，若m⊥n，则n与α，β不一定垂直，故②是假命题；对于③，如图，过直线n作两平面与α，β分别相交于直线s和直线t，因为n∥α，过直线n的平面与平面α的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知n∥s，同理可得n∥t，则s∥t，因为s⊄平面β，t⊂平面β，则s∥平面β，因为s⊂平面α，α∩β＝m，则s∥m，又因为n∥s，则m∥n，故③是真命题；对于④，当n∥α，n∥β时，n与α和β所成的角相等，但m∥n，故④是假命题．故选A.

6．(2024·北京高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA＝PB