第四章 考点测试22 任意角和弧度制、任意角的三角函数-【金版教程】2026年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

高考总复习首选用卷　数学 第四章　三角函数与解三角形 考点测试22　任意角和弧度制、任意角的三角函数 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ 对点 终边相同角的表示；象限角的判断 利用任意角三角函数的定义求角 扇形弧长的计算 角的对称问题 利用任意角三角函数的定义求参数的值 扇形面积的计算 角的表示与集合交集运算的综合 三角函数值的符号 扇形弧长的计算 任意角三角函数的定义；所在象限的判断；扇形弧长问题 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 难度 ★★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ ★★ 对点 匀速圆周运动中终边相同角的坐标表示 任意角三角函数定义的正用 三角函数值的符号；象限角的判断 扇形面积与弧长的综合问题 终边在同一条直线上的角的表示与充分、必要条件的综合 任意角三角函数定义的正用；扇形面积的计算 任意角三角函数定义的逆用 两角和的正弦公式；扇形面积的计算 扇形弧长的计算 角的对称问题 高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，低等难度 考点研读 1.了解任意角的概念 2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 1．(2025·江苏苏州部分中学高三暑期调研)20240128°所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：∵20240128°＝56222×360°＋208°，又208°的终边在第三象限，∴20240128°所在的象限为第三象限．故选C. 2．已知钝角α的终边经过点，则α＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题意得，钝角α的终边经过点，所以tanα＝－1，所以α＝. 3．扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素．小明制作了一把如图所示的扇子，其半径为16 cm，圆心角为，则这把扇子的弧长为(　　) A．6π cm B．12π cm C．18π cm D．24π cm 答案：B 解析：因为扇形的半径为16 cm，圆心角为，所以弧长为×16＝12π cm.故选B. 4．若角α与角β的终边关于y轴对称，则(　　) A．α＋β＝π＋kπ(k∈Z) B．α＋β＝π＋2kπ(k∈Z) C．α＋β＝＋kπ(k∈Z) D．α＋β＝＋2kπ(k∈Z) 答案：B 解析：∵π－α是与α关于y轴对称的一个角，∴β与π－α的终边相同，即β＝2kπ＋(π－α)(k∈Z)，∴α＋β＝α＋2kπ＋(π－α)＝π＋2kπ(k∈Z)．故选B. 5．(2025·重庆育才中学高三定时训练(一))已知α是第二象限角，P(x，8)为其终边上的一点，且sinα＝，则x＝(　　) A．－6 B．±6 C．± D．－ 答案：A 解析：依题意，x<0，r＝|OP|＝(O为坐标原点)，则sinα＝＝，所以x＝－6.故选A. 6．一个钟表的分针长为10，经过35分钟，分针扫过图形的面积是(　　) A. B. C．105π D. 答案：B 解析：经过35分钟，分针走了7个大格，每个大格30°，则分针走过的度数为7×30°＝210°，因为钟表的分针长为10，所以分针扫过图形的面积是×π×102＝.故选B. 7．(2024·江西八所重点中学高三4月联考)已知集合A＝，B＝，则A∩B＝(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 答案：A 解析：依题意，B＝，而A＝，所以A∩B＝＝，k∈Z.故选A. 8．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 答案：B 解析：由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0，所以y＝－1＋1－1＝－1. 9．(2025·湖北新高考联合协作体高三开学考试)已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿．如果大轮的转速为180 r/min(转/分)，小轮的半径为10 cm，那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是(　　) A．5400π cm B．90π cm C．180π cm D．40π cm 答案：B 解析：大轮有45齿，小轮有30齿，当大轮转动一周时，小轮转动＝周，当大轮的转速为180 r/min时，小轮的转速为×180＝270 r/min，小轮周上一点每1 s转过的弧度数为270×2π÷60＝9π.又小轮的半径为10 cm，所以小轮周上一点每1 s转过的弧长为9π×10＝90π cm.故选B. 10．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．若0<α<，则sinα<tanα B．若α是第二象限角，则为第一或第三象限角 C．若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sinα＝ D．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度 答案：ABD 解析：若0<α<，则sinα<＝tanα，A正确；若α是第二象限角，即α∈，k∈Z，则∈，k∈Z，为第一或第三象限角，B正确；若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sinα＝＝，不一定等于，C错误；若扇形的周长为6，半径为2，则弧长为6－2×2＝2，其圆心角的大小为＝1弧度，D正确．故选ABD. 11．(多选)(2024·重庆八中高三适应性考试(三))质点P和Q在以坐标原点O为圆心，1为半径的⊙O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为1 rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为3 rad/s，起点为射线y＝－x(x≤0)与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为(　　) A. B. C. D. 答案：BC 解析：点Q的初始位置Q1的坐标为，且钝角∠POQ＝.设经过t s后，Q与P重合，坐标均为(cost，sint)，则3t＝t＋＋2kπ，k∈N，解得t＝＋kπ，k∈N，当k为偶数时，Q的坐标为，C正确；当k为奇数时，Q的坐标为，即，B正确；A，D均不正确．故选BC. 12．(2024·云南昆明高三“三诊一模”)已知角θ的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点A(1，a)(a∈Z)在角θ的终边上，且|OA|≤3，则tanθ的值可以是________．(写一个即可) 答案：1(0，±1，±2均可) 解析：|OA|≤3，即1＋a2≤9，解得－2≤a≤2，又a∈Z，故a的值可以为－2，－1，0，1，2，则tanθ＝＝a，即tanθ的值可以是0，±1或±2. 13．已知角α是第四象限角，且＝－cos，则角是第________象限角． 答案：二 解析：由角α是第四象限角，可得2kπ－＜α＜2kπ，k∈Z，∴kπ－＜＜kπ，k∈Z，∵＝－cos，∴cos＜0，∴2kπ＋＜＜2kπ＋，k∈Z，∴2kπ＋＜＜2kπ＋π，k∈Z，∴是第二象限角． 14．已知扇形AOB的周长为8，在这个扇形的面积取得最大值时，其对应的圆心角的大小为________，弦长AB为________． 答案：2　4sin1 解析：设半径为r，弧的长为l，圆心角为α，则l＝8－2r，扇形面积S＝lr＝(4－r)r＝－r2＋4r，利用二次函数的性质可得，当且仅当r＝2时，S取得最大值，此时l＝4，所以α＝＝2，由垂径定理得AB＝2rsin＝4sin1. 15．(2024·河北衡水中学高三模拟)“角α，β的终边在同一条直线上”是“sin(α－β)＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：由角α，β的终边在同一条直线上，得α＝β＋kπ，k∈Z，即α－β＝kπ，k∈Z，所以sin(α－β)＝sinkπ＝0，k∈Z.反之，由sin(α－β)＝0，得α－β＝mπ，m∈Z，当m为偶数时，角α，β的终边在同一条射线上；当m为奇数时，角α，β的终边在同一条直线上．综上，“角α，β的终边在同一条直线上”是“sin(α－β)＝0”的充要条件．故选C. 16．(2024·湖南师大附中高三一模)出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”(图1)的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图2)：AB≈8 cm，AD≈2 cm，AO≈5 cm，若sin37°≈，π≈3.14，则璜身(即曲边四边形ABCD)的面积近似为(　　) A．6.8 cm2 B．9.8 cm2 C．14.8 cm2 D．22.4 cm2 答案：C 解析：显然△AOB为等腰三角形，OA＝OB≈5 cm，AB≈8 cm，则cos∠OAB＝≈，sin∠OAB≈，又sin37°≈，所以∠OAB≈37°，于是∠AOB≈180°－2×37°＝106°＝，所以璜身的面积为∠AOB·(OA2－OD2)≈××(52－32)≈14.8(cm2)．故选C. 17．在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R，且某个车轮上的点P刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离S，则此时点P到铁轨上表面的距离为(　　) A．R B．R C．2Rsin D．Rsin 答案：B 解析：当列车行驶的距离为S时，车轮转过的角度所对应的扇形弧长为S，∴车轮转过的角度为，设点P的初始位置为P0，车轮的中心为O，当∈时，作PQ⊥OP0，垂足为Q，如图1，则OQ＝OPcos＝Rcos，∴点P到铁轨上表面的距离为P0Q＝OP0－OQ＝R－Rcos＝R；当∈时，PM⊥MP0(PM∥OP0)，作ON⊥PM，垂足为N，如图2，则PN＝OP·sin＝－Rcos，∴点P到铁轨上表面的距离为PM＝MN＋PN＝R－Rcos＝R；当在其他范围时，均可得到点P到铁轨上表面的距离为R.故选B. 　 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B，点P是单位圆O上的一动点，则阴影区域的面积的最大值为________． 答案：＋＋ 解析：连接AB，当点P距离直线AB最远时，阴影区域的面积最大，根据圆的几何特征可得，此时PO⊥AB且PB＝PA，如图，由题意，知∠BOA＝150°，则∠POB＝∠POA＝105°，又sin105°＝sin(60°＋45°)＝×＋×＝，所以阴影区域的面积的最大值为2××1×1×sin105°＋×12×＝＋＋. 19．圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图所示放置的边长为1的正方形(正方形的顶点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚动．经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路程为(　　) A．2π B. C. D. 答案：D 解析：设第i(i∈N*)次滚动后点A的位置为Ai，结合图形，可知第3次或第4次滚动后，点A到达圆周A3(A4)处，则第7次或第8次滚动后，点A到达圆周A7(A8)处，第11次或第12次滚动后点A第一次回到点P的位置，相当于正方形在圆内滚动了三圈．因为圆O的半径r＝1，正方形的边长a＝1，所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为，正方形在圆周上滚动时，点的位置如图所示，设第i(i∈N*)次滚动点A的路程为Bi，则B1＝A1B＝×1＝，B2＝A1A7＝×＝，B3＝B1＝，B4＝0，又B1＋B2＋B3＋B4＝B5＋B6＋B7＋B8＝B9＋B10＋B11＋B12，所以点A走过的路程为3(B1＋B2＋B3＋B4)＝.故选D. 20．已知角α，β的终边关于直线y＝x对称，且sin(α－β)＝，则α，β的一组取值可以是α＝________，β＝________． 答案：　(答案不唯一) 解析：因为角α，β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋，k∈Z，又sin(α－β)＝，所以α－β＝2mπ＋或α－β＝2mπ＋，m∈Z，所以α＝(k＋m)π＋，β＝(k－m)π＋或α＝(k＋m)π＋，β＝(k－m)π－，k，m∈Z，取k＝0，m＝0，可得α＝，β＝或α＝，β＝－.所以α，β的一组取值可以是α＝，β＝. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$