第三章 高考真题集训——平面向量、复数-【金版教程】2026年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

高考总复习首选用卷　数学 高考真题集训——平面向量、复数 一、单项选择题 1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C. D．2 答案：C 解析：若z＝－1－i，则|z|＝＝.故选C. 2．(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 答案：C 解析：因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C. 3．(2024·北京高考)若复数z满足＝i－1，则z＝(　　) A．1－i B．－i C．－1－i D．1 答案：C 解析：由题意得z＝i(i－1)＝－1－i.故选C. 4．(2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　) A．10i B．2i C．10 D．－2 答案：A 解析：由z＝5＋i，得＝5－i，z＋＝10，则i(＋z)＝10i.故选A. 5．(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　) A．－i B．i C．0 D．1 答案：A 解析：因为z＝＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i.故选A. 6．(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A 解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限．故选A. 7．(2023·全国甲卷)若复数(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：C 解析：因为(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，所以解得a＝1.故选C. 8．(2023·全国乙卷)设z＝，则＝(　　) A．1－2i B．1＋2i C．2－i D．2＋i 答案：B 解析：由题意可得z＝＝＝＝＝1－2i，则＝1＋2i.故选B. 9．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：D 解析：因为i(1－z)＝1，两边同乘以i，则原式变为i2(1－z)＝i，即－1＋z＝i，z＝1＋i，那么＝1－i，则z＋＝1＋i＋1－i＝2.故选D. 10．(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：D 解析：因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，解得x＝2.故选D. 11．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A. B. C. D．1 答案：B 解析：因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝.故选B. 12．(2024·北京高考)设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的(　　) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，可得a2＝b2，即|a|＝|b|，可知(a＋b)·(a－b)＝0等价于|a|＝|b|，若a＝b或a＝－b，可得|a|＝|b|，即(a＋b)·(a－b)＝0，可知必要性成立；若(a＋b)·(a－b)＝0，即|a|＝|b|，无法得出a＝b或a＝－b，例如a＝(1，0)，b＝(0，1)，满足|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，可知充分性不成立．综上所述，“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的必要而不充分条件．故选A. 13．(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　) A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件 C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件 答案：C 解析：对于A，当a⊥b时，a·b＝0，所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误；对于B，当a∥b时，2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误；对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；对于D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误．故选C. 14．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 答案：D 解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得，(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D. 15．(2023·北京高考)已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则|a|2－|b|2＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案：B 解析：向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，所以|a|2－|b|2＝(a＋b)·(a－b)＝2×(－2)＋3×1＝－1.故选B. 16．(2023·全国甲卷)向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：D 解析：因为a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，即a2＋b2＋2a·b＝c2，即1＋1＋2a·b＝2，所以a·b＝0.如图，设＝a，＝b，＝c，由题意知，OA＝OB＝1，OC＝，△OAB是等腰直角三角形，AB边上的高OD＝，AD＝，所以CD＝CO＋OD＝＋＝，tan∠ACD＝＝，cos∠ACD＝，cos〈a－c，b－c〉＝cos∠ACB＝cos(2∠ACD)＝2cos2∠ACD－1＝2×－1＝.故选D. 17．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 答案：B 解析：＝＋，即＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B. 18．(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 答案：C 解析：c＝(3＋t，4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即＝，解得t＝5.故选C. 19．(2022·北京高考)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　) A．[－5，3] B．[－3，5] C．[－6，4] D．[－4，6] 答案：D 解析：依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，因为PC＝1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动．设P(cosθ，sinθ)，θ∈[0，2π)，所以＝(3－cosθ，－sinθ)，＝(－cosθ，4－sinθ)，所以·＝(3－cosθ)(－cosθ)＋(－sinθ)(4－sinθ)＝－3cosθ＋cos2θ－4sinθ＋sin2θ＝1－3cosθ－4sinθ＝1－5sin(θ＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，因为－1≤sin(θ＋φ)≤1，所以－4≤1－5sin(θ＋φ)≤6，即·∈[－4，6]．故选D. 20．(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则·的最大值为(　　) A. B. C．1＋ D．2＋ 答案：A 解析：如图所示，|OA|＝1，|PO|＝，则由题意可知∠APO＝，由勾股定理可得|PA|＝1，设射线PO绕点P按逆时针旋转θ后与射线PD重合，则－＜θ＜，∠APD＝＋θ，且|PD|＝cosθ.所以·＝||||cos＝cosθcos＝cosθ＝cos2θ－sinθcosθ＝＋cos2θ－sin2θ＝＋cos≤＋.故选A. 二、填空题 21．(2024·天津高考)已知i是虚数单位，复数(＋i)(－2i)＝________． 答案：7－i 解析：(＋i)(－2i)＝5＋i－2i＋2＝7－i. 22．(2023·天津高考)已知i是虚数单位，化简的结果为________． 答案：4＋i 解析：＝＝＝＝4＋i. 23．(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________． 答案： 解析：解法一：因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又因为|a－b|＝，即(a－b)2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝. 解法二：设c＝a－b，则|c|＝，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b，由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝. 24．(2024·天津高考)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝________；若F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则·的最小值为________． 答案：　－ 解析：解法一：因为点E为线段CD的三等分点，且CE＝DE，所以＝，则＝＋＝＋，可得λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.由题意，知||＝||＝1，·＝0，因为F为线段BE上的动点，设＝k＝k＋k，k∈[0，1]，则＝＋＝＋k，又因为G为AF的中点，则＝＋＝－＋＝＋，可得·＝·＝＋k＝－，又因为k∈[0，1]，所以当k＝1时，·取到最小值－. 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－1，0)，B(0，0)，C(0，1)，D(－1，1)，E，可得＝(－1，0)，＝(0，1)，＝，因为＝λ＋μ＝(－λ，μ)，则所以λ＋μ＝.因为点F在线段BE：y＝－3x，x∈上，设F(a，－3a)，a∈，且G为AF的中点，则G，＝(a＋1，－3a)，＝，则·＝＋(－3a)＝5－，且a∈，所以当a＝－时，·取到最小值，为－. 25．(2023·天津高考)在三角形ABC中，∠A＝，||＝1，D为线段AB的中点，E为线段CD的中点，若设＝a，＝b，则可用a，b表示为________________；若＝，则·的最大值为________． 答案：a＋b　 解析：因为E为线段CD的中点，所以＝＋，因为D为线段AB的中点，所以＝，所以＝＋，又＝a，＝b，所以＝a＋b.因为＝，所以－＝(－)，即＝＋＝a＋b，所以·＝·＝a2＋a·b＋b2.在三角形ABC中，∠A＝，||＝1，设三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则a＝1，|a|＝c，|b|＝b，所以a·b＝bccos＝，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos，即1＝b2＋c2－bc，所以b2＋c2＝bc＋1，所以·＝a2＋a·b＋b2＝c2＋bc＋b2＝(bc＋1)＋bc＝bc＋. 解法一：在三角形ABC中，由正弦定理得＝＝＝，所以b＝sinB，c＝sinC，bc＝sinBsinC＝sinBsin＝sinB＝(sinBcosB＋sin2B)＝＝＝sin＋，因为0<B<，所以－<2B－<，当2B－＝，即B＝时，bc取得最大值，且最大值为1，所以·的最大值为＋＝. 解法二：因为在三角形ABC中，∠A＝，a＝1，所以由正弦定理得2r＝＝，其中r为三角形ABC外接圆的半径，所以r＝，即三角形ABC外接圆的半径是确定的．如图所示，圆O的半径为，点A在优弧上运动，且总满足∠A＝，则S△ABC＝bcsinA＝bc，由图可知，当点A在优弧的中点时，点A到BC的距离最大，即S△ABC最大，此时AB＝AC，即c＝b，又∠A＝，所以此时三角形ABC为正三角形，所以三角形ABC面积的最大值为，所以bc的最大值为1，又·＝bc＋，所以·的最大值为＋＝. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$