第二章 考点测试13 函数与方程-【金版教程】2026年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

高考总复习首选用卷　数学 考点测试13　函数与方程 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 二分法 求函数的零点所在区间 根据函数的零点所在区间求参数的取值范围 根据函数的零点所在区间求参数的取值范围；充分不必要条件 求函数的零点个数；分段函数 求函数的零点个数；函数的性质 求函数所有零点的和 比较函数零点的大小 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 17 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ 对点 判断方程根的个数 分段函数；零点的范围 根据条件写函数解析式 根据函数的零点的范围求参数的取值范围 分段函数；根据方程有解求参数的取值范围 分段函数；求函数的零点 判断方程在指定区间上根的个数 分段函数；求函数的零点个数 分段函数；根据方程的根的个数求参数的取值范围 题号 18 19 20 21 22 23 24 25 难度 ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ ★★ 对点 根据函数的零点所在区间求参数的取值范围 分段函数；根据方程的根的个数求根的和 求函数的零点个数；根据函数的零点个数求参数的取值范围 根据函数的零点个数求参数的值 根据函数的零点关系求参数的取值范围；新定义问题 分段函数；根据方程的根的个数求参数的取值范围；新定义问题 求函数的零点个数 反函数；与函数的零点有关的式子求值 高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题，中、高等难度 考点研读 1.了解函数的零点与方程的解的联系 2．了解函数零点存在定理，会用二分法求方程的近似解 3．会用数形结合法解决与函数的零点或方程的解有关的问题 1．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　) 答案：C 解析：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，且有f(a)f(b)<0.A，B中不存在f(x)<0，D中函数不连续．故选C. 2．函数f(x)＝ex＋2x－6的零点所在的区间是(　　) A．(3，4) B．(2，3) C．(1，2) D．(0，1) 答案：C 解析：函数f(x)＝ex＋2x－6是R上的连续增函数，由f(1)＝e－4＜0，f(2)＝e2－2＞0，可得f(1)f(2)＜0，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)． 3．若函数f(x)＝x2－ax＋1在上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C. D. 答案：D 解析：由题意知方程ax＝x2＋1在上有实数根，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是. 4．(2025·河北唐山二中高三第一次月考)“a≤－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1，2]上存在零点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：因为函数f(x)＝ax＋3在区间[－1，2]上存在零点，所以f(－1)f(2)≤0，即(－a＋3)·(2a＋3)≤0，解得a≥3或a≤－，因为集合{a|a≤－2}是集合的真子集，所以“a≤－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1，2]上存在零点”的充分不必要条件．故选A. 5．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：D 解析：依题意，当x>0时，作出函数y＝ln x与y＝x2－2x的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点；当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1的图象与x轴只有一个交点．综上，函数f(x)有3个零点． 6．(2025·湖北十堰郧阳区第二中学高三开学考试)若定义域为R的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)，则f(x)在(－2，2)上的零点个数至少为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：C 解析：由f(x)是定义域为R的奇函数可得f(0)＝0，再由f(x＋1)＝f(x)可得函数f(x)的周期为1，故f(－1)＝f(0)＝f(1)＝0，令x＝－，则f＝f＝－f，所以f＝0，f＝0，f＝0，f＝0，所以f(x)在(－2，2)上的零点个数至少为7.故选C. 7．(2025·陕西西安西光中学高三上期末)函数y＝4sinπx＋所有零点的和为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 答案：C 解析：画出函数y＝4sinπx与函数y＝－的图象，如图所示，由图可知y＝4sinπx与y＝－的图象恰有6个公共点，且它们的图象均关于直线x＝对称，所以y＝4sinπx＋所有零点的和为3××2＝15.故选C. 8．(2024·内蒙古赤峰二模)设函数 y＝x2＋2x－10，y＝2x＋2x－10，y＝log2x＋2x－10的零点分别为a，b，c，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b 答案：A 解析：令y＝x2＋2x－10＝0，y＝2x＋2x－10＝0，y＝log2x＋2x－10＝0，可得x2＝10－2x，2x＝10－2x，log2x＝10－2x，可知直线y＝10－2x与函数y＝x2，y＝2x，y＝log2x图象的交点的横坐标分别为a，b，c，在同一坐标系内作出y＝10－2x，y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，根据图象可知，y＝10－2x与y＝x2有2个交点，但均有a<b，b<c，所以a<b<c.故选A. 9．(多选)已知函数f(x)＝e|x|＋|x|，则关于x的方程f(x)＝k的根的情况，下列结论正确的是(　　) A．当k＝1时，方程有一个实根 B．当k＞1时，方程有两个实根 C．当k＝0时，方程有一个实根 D．当k≥1时，方程有实根 答案：ABD 解析：方程f(x)＝k化为e|x|＝k－|x|，设y1＝e|x|，y2＝k－|x|.y2＝k－|x|表示斜率为1或－1的折线，折线与曲线y1＝e|x|恰好有一个公共点时，k＝1.如图，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，＋∞)．故选ABD. 10．(多选)已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1 C．1＜x4＜2 D．0＜x1x2x3x4＜1 答案：BCD 解析：画出函数f(x)的大致图象如图，得出x1＋x2＝－2，－log2x3＝log2x4，则x3x4＝1，A不正确，B正确；由图可知1＜x4＜2，C正确；因为－2＜x1＜－1，x1x2＝x1(－2－x1)＝－x－2x1＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1)，所以x1x2x3x4＝x1x2∈(0，1)，D正确．故选BCD. 11．(2024·山东潍坊二模)请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式f(x)＝________． ①f(1－x)＝f(1＋x)；②f(x)至少有两个零点；③f(x)有最小值． 答案：x2－2x(答案不唯一) 解析：取f(x)＝x2－2x，其对称轴为直线x＝1，满足①f(1－x)＝f(1＋x)；令f(x)＝x2－2x＝0，解得x＝0或2，满足②f(x)至少有两个零点；f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，f(x)min＝f(1)＝－1，满足③f(x)有最小值．故满足题目中三个条件的一个函数解析式f(x)＝x2－2x(答案不唯一)． 12．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是________． 答案：(－2，1) 解析：函数f(x)的大致图象如图所示，则f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得－2<a<1.故实数a的取值范围是(－2，1)． 13．已知函数f(x)＝则使得方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是________． 答案：(－∞，1]∪[2，＋∞) 解析：当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m有解，则m≤1；当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m有解，则m≥2，故实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)． 14．(2024·上海财经大学附属北郊高级中学高三期中)已知f(x)＝2－x＋1，且g(x)＝ 则函数y＝g(x)－2的零点为________． 答案：3 解析：因为f(x)＝2－x＋1，则f(－x)＝2x＋1，所以g(x)＝令g(x)－2＝0，则g(x)＝2，当x≥0时，g(x)＝log2(x＋1)，令g(x)＝log2(x＋1)＝2，解得x＝3；当x<0时，g(x)＝2x＋1，令g(x)＝2x＋1＝2，解得x＝0(舍去)，故函数y＝g(x)－2的零点为3. 15．(2025·广东高三开学摸底考试)当a≥e时，方程ex＋x＋ln x＝ln a＋在[1，＋∞)上根的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：ex＋x＋ln x＝ln a＋⇔ex＋x＝＋ln ，设函数F(x)＝ex＋x，现讨论方程F(x)＝F根的个数，又函数F(x)在[1，＋∞)上单调递增，故问题可转化为方程x＋ln x＝ln a的根的问题，令h(x)＝x＋ln x(x≥1)，易知h(x)单调递增，故h(x)∈[1，＋∞)，当a≥e时，方程x＋ln x＝ln a只有1个根，所以方程ex＋x＋ln x＝ln a＋在[1，＋∞)上根的个数为1.故选B. 16．(2024·湖北新高考联考协作体高三模拟)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x)＋2)＋2的零点个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B 解析：令t＝f(x)＋2，所以g(x)的零点等价于y＝f(t)与y＝－2的图象交点的横坐标t对应的x值，如图所示．由图可知，y＝f(t)与y＝－2的图象有两个交点，横坐标t1＝－1，0＜t2＜1，当t1＝－1，即f(x)＝－3时，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，0)，上各有一个解；当0＜t2＜1，即－2＜f(x)＜－1时，函数f(x)在上有一个解．综上，g(x)的零点个数为4. 17．已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2－af(x)＋2＝0有4个不同的实根，则a的取值范围是(　　) A．[2，4] B．(2，4] C．[2，3] D．(2，3] 答案：D 解析：如图，画出函数f(x)的图象，设f(x)＝t，结合图象知，当t<1或t>2时，f(x)＝t有且仅有1个实根；当1≤t≤2时，f(x)＝t有2个实根．因此，问题转化为h(t)＝t2－at＋2在[1，2]内有两个不同的零点，从而有解得2<a≤3.故选D. 18．(2025·浙江名校新高考研究联盟高三第一次联考)设函数f(x)＝a(x－1)2－1，g(x)＝cos－2ax，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在(－1，1)上存在零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B. C. D．(1，2] 答案：C 解析：由h(x)＝f(x)－g(x)＝0，得a(x－1)2－1＝cos－2ax，即ax2＋a－1＝cos在(－1，1)上有解，记F(x)＝ax2＋a－1，G(x)＝cos，因此函数F(x)，G(x)在(－1，1)上的图象有公共点，0<G(x)≤1，当a≤0时，F(x)＝ax2＋a－1≤－1，显然函数F(x)，G(x)在(－1，1)上的图象无公共点；当a>0时，函数F(x)，G(x)的图象都关于y轴对称，如图，得即解得<a≤2，所以实数a的取值范围是.故选C. 19．(2024·四川绵阳模拟)已知函数f(x)＝g(x)＝x－3，方程f(g(x))＝－3－g(x)有两个不同的根x1，x2，则x1＋x2＝(　　) A．0 B．3 C．6 D．9 答案：B 解析：由题意得，g(x)＝x－3为R上的增函数，且g(3)＝0，当x≤3时，g(x)≤0，f(g(x))＝ex－3，当x>3时，g(x)>0，f(g(x))＝ln (x－3)，方程f(g(x))＝－3－g(x)＝－x有两个不同的根等价于函数y＝f(g(x))与y＝－x的图象有两个交点，作出函数f(g(x))与y＝－x的图象如图所示，由图可知，y＝ex－3与y＝ln (x－3)的图象关于直线y＝x－3对称，则A，B两点关于直线y＝x－3对称，中点C在直线y＝x－3上，由解得C，所以x1＋x2＝2×＝3.故选B. 20．(多选)已知函数f(x)＝(λ∈R)，g(x)＝f(x)－m，则下列说法正确的是(　　) A．当λ＝0时，函数f(x)有3个零点 B．当λ＝2时，若函数g(x)有3个零点x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3∈(6，6＋ln 2) C．若函数f(x)恰有2个零点，则λ∈[2，4) D．若存在实数m，使得函数g(x)有3个零点，则λ∈(－∞，3) 答案：ABD 解析：对于A，当λ＝0时，f(x)＝令f(x)＝0，由ex－1＝0可得x＝0，由－x2＋6x－8＝0可得x＝2或x＝4，满足题设，故A正确；对于B，当λ＝2时，f(x)＝若g(x)有3个零点，即f(x)的图象与直线y＝m有3个交点，如图所示，则x2＋x3＝6，当ex－1＝1时，x＝ln 2，所以0<x1<ln 2，所以x1＋x2＋x3∈(6，6＋ln 2)，故B正确；对于C，同B项中分析的图象，在垂直于x轴的虚线x＝λ移动过程中，当λ∈(－∞，0)∪[2，4)时，f(x)恰有2个零点，故C错误；对于D，同C项分析，要使函数g(x)有3个零点，必有λ∈(－∞，3)，故D正确． 21．(2025·云南师大附中高三适应性月考(二))设f(x)＝log2(4x＋1)＋x2－x＋a，若f(x)存在唯一的零点，则a＝________． 答案：－1 解析：因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝log2(4－x＋1)＋(－x)2－(－x)＋a＝log2(4x＋1)－log24x＋x2＋x＋a＝log2(4x＋1)＋x2－x＋a＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)存在唯一的零点，则f(0)＝1＋a＝0，可得a＝－1. 22．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|<1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax＋1互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是________． 答案：[2，＋∞) 解析：因为f(x)＝ex－1＋x－2，所以f(x)在R上为增函数，又f(1)＝e0＋1－2＝0，所以f(x)有唯一的零点1，令g(x)的零点为x0，依题意知|x0－1|<1，即0<x0<2，即函数g(x)在(0，2)上有零点，令g(x)＝0，则x2－ax＋1＝0在(0，2)上有解，即x＋＝a在(0，2)上有解，因为x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，所以a≥2.故实数a的取值范围是[2，＋∞)． 23．(2024·江苏苏州三模)对于函数f(x)，若存在实数x0，使f(x0)f(x0＋λ)＝1，其中λ≠0，则称f(x)为“可移λ倒数函数”，x0为f(x)的“可移λ倒数点”．设f(x)＝若函数f(x)恰有3个“可移1倒数点”，则a的取值范围为(　　) A．(2，e) B．(2，＋∞) C．(－1，2) D. 答案：A 解析：依题意，f(x)＝由函数f(x)恰有3个“可移1倒数点”，得方程f(x)f(x＋1)＝1恰有3个不等实数根．①当x>0时，x＋1>1，方程f(x)f(x＋1)＝1可化为e2x＋1＝1，解得x＝－，这与x>0不符，因此在(0，＋∞)上方程f(x)f(x＋1)＝1没有实数根；②当－1<x<0时，x＋1>0，方程f(x)f(x＋1)＝1可化为＝1，即a＝ex＋1－x.设k(x)＝ex＋1－x，则k′(x)＝ex＋1－1，因为当x∈(－1，0)时，k′(x)>0，所以k(x)在(－1，0)上单调递增，又因为k(－1)＝2，k(0)＝e，所以当x∈(－1，0)时，k(x)∈(2，e)，因此，当a∈(2，e)时，方程f(x)f(x＋1)＝1在(－1，0)上恰有一个实数根；当a∈(0，2]∪[e，＋∞)时，方程f(x)f(x＋1)＝1在(－1，0)上没有实数根；③当x＝－1时，x＋1＝0，f(x＋1)没有意义，所以x＝－1不是方程f(x)f(x＋1)＝1的实数根；④当x<－1时，x＋1<0，方程f(x)f(x＋1)＝1可化为·＝1，即x2＋(2a＋1)x＋a2＋a－1＝0，于是此方程在(－∞，－1)上恰有两个实数根，则有 解得a>，因此当a>时，方程f(x)f(x＋1)＝1在(－∞，－1)上恰有两个实数根，当0<a≤时，方程f(x)f(x＋1)＝1在(－∞，－1)上至多有一个实数根．综上，a的取值范围为(2，e)∩＝(2，e)．故选A. 24．(2024·青海西宁二模)记τ(x)是不小于x的最小整数，例如τ(1.2)＝2，τ(2)＝2，τ(－1.3)＝－1，则函数f(x)＝τ(x)－x－2－x＋的零点个数为________． 答案：3 解析：令f(x)＝0，则τ(x)－x＝2－x－，令g(x)＝τ(x)－x，h(x)＝2－x－，则g(x)与h(x)的图象的交点个数即为f(x)的零点个数，当－1<x≤0时，g(x)＝0－x＝－x∈[0，1)，又g(x＋1)＝τ(x＋1)－(x＋1)＝τ(x)－x＝g(x)，所以g(x)是周期为1的函数，h(x)在R上单调递减，且h(－1)>1，h(0)＝，h(3)＝0，所以可作出g(x)与h(x)的图象如图，所以g(x)与h(x)的图象有3个交点，故函数f(x)的零点个数为3. 25．已知函数f(x)＝－2x(x>1)，g(x)＝－log2x(x>1)的零点分别为α，β，则＋的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：由题意，f(x)＝0⇔＝2x(x>1)，g(x)＝0⇔＝log2x(x>1)，令h(x)＝＝＋1(x>1)，因为y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以两个函数的图象关于直线y＝x对称，设A(α，2α)，B(β，log2β)，因为y＝＋1的图象也关于直线y＝x对称，所以A，B两点关于直线y＝x对称，所以且由＝2α可得α＝2α(α－1)，所以α＋2α＝α·2α，又2α＝β，代入上式可得α＋β＝αβ，则＋＝1.故选A. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$