第二章 考点测试11 对数与对数函数-【金版教程】2026年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

高考总复习首选用卷　数学 考点测试11　对数与对数函数 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 对数的运算与化简 换元法求函数值 换底公式；对数的运算 比较大小 与对数函数有关的函数的图象 复合函数的单调区间 对数的实际应用 比较大小；基本不等式 已知分段函数解不等式 指数式化成对数式；对数的运算 由函数图象求参数的取值范围 指数式、对数式的运算 图象过定点；基本不等式 题号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ ★★ 对点 已知复合函数的单调性求参数的取值范围 复合函数的单调区间 构造函数解不等式 函数的性质；比较大小 利用函数的性质解不等式 已知两函数图象有交点求参数的值 与对数函数有关的函数的图象与性质 已知函数的最值求参数的值 对数的运算；求函数值 对数的运算；新定义问题 已知不等式恒成立求参数的取值范围 比较大小；换底公式 高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题，中、低等难度 考点研读 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用 2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点 3．体会对数函数是一类重要的函数模型 4．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数 1．化简(log62)2＋log62×log63＋2log63－6log62的值为(　　) A．－log62 B．－log63 C．log63 D．－1 答案：A 解析：(log62)2＋log62×log63＋2log63－6log62＝log62＋2log63－2＝log63－1＝－log62. 2．已知函数f(x)＝ln (－3x)＋1，则f(lg 2)＋f＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：D 解析：设lg 2＝a，则lg ＝－lg 2＝－a，f(a)＋f(－a)＝ln (－3a)＋1＋ln [＋3a]＋1＝ln (1＋9a2－9a2)＋2＝ln 1＋2＝2，所以f(lg 2)＋f＝2.故选D. 3．(2024·陕西榆林神木市第四中学三模)已知a＝log35，b＝log23，则lg 3＝(　　) A. B. C.＋ D. 答案：A 解析：由b＝log23，得＝log32，则lg 3＝＝＝＝.故选A. 4．已知a＝log6，b＝log7，c＝60.1，则(　　) A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c 答案：B 解析：因为a＝log6＝log67＞log66＝，log6＜log66＝1，所以＜a＜1.又b＝log7＝log76＜log77＝，c＝60.1＞60＝1，所以b＜a＜c. 5．函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为(　　) 答案：A 解析：函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝loga|－x|＋1＝loga|x|＋1＝f(x)，函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝logax＋1，即函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数且图象过点(1，1)．故选A. 6．函数y＝log(2x－x2)的单调递减区间为(　　) A．(0，1] B．(0，2) C．(1，2) D．[0，2] 答案：A 解析：由不等式2x－x2>0，即x2－2x＝x(x－2)<0，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0，2)，令g(x)＝2x－x2，可得其图象开口向下，对称轴方程为x＝1，当x∈(0，1]时，函数g(x)单调递增，又由函数y＝logx在定义域上单调递减，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数y＝log(2x－x2)的单调递减区间为(0，1]．故选A. 7．(2025·湖北十堰郧阳区第二中学高三开学考试)现测得某放射性元素的半衰期为1500年(每经过1500年，该元素的存品为原来的一半)，某生物标本中该放射性元素的初始存量为m，经检测现在的存量为，据此推测该生物距今约(　　) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 答案：C 解析：由题意得＝m，两边取对数，得－lg 5＝(－lg 2)⇒t＝＝＝－1500≈3500.故选C. 8．若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则(　　) A．R<P<Q B．P<Q<R C．Q<P<R D．P<R<Q 答案：B 解析：∵函数y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，a>b>1，∴lg a>lg b>0，由基本不等式可得P＝<(lg a＋lg b)＝Q，Q＝(lg a＋lg b)＝lg (ab)＝lg <lg ＝R，∴P<Q<R.故选B. 9．(2025·河北部分地区高三开学考试)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥0的解集为(　　) A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B．(－∞，－2]∪[0，＋∞) C．[1，＋∞) D．[0，＋∞) 答案：B 解析：因为f(x)＝则不等式f(x)≥0等价于或解得x≤－2或x＝0或x>0，所以不等式f(x)≥0的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)．故选B. 10．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　) A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝ac C.＝＋ D.＝－ 答案：AD 解析：由于a，b，c都是正数，故可设4a＝6b＝9c＝M，∴a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M，则＝logM4，＝logM6，＝logM9.∵logM4＋logM9＝2logM6，∴＋＝，即＝－，去分母整理，得ab＋bc＝2ac.故选AD. 11．(多选)(2024·广东四校高三联考)已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．a＋b＞0 B．ab<－1 C．0<ab<1 D．loga|b|>0 答案：AC 解析：由题中图象可知，f(x)在定义域内单调递增，所以a>1，令f(x)＝loga(x－b)＝0，即x＝b＋1，结合函数图象可知0<b＋1<1，所以－1<b<0，因此a＋b>0，故A正确；由题意可得，－a<ab<0，又因为a>1，所以－a<－1，因此ab<－1不一定成立，故B错误；因为a－1<ab<a0，即<ab<1，且0<<1，所以0<ab<1，故C正确；因为0<|b|<1，所以loga|b|<loga1，即loga|b|<0，故D错误．故选AC. 12．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)·f(ln 4)＝8，则a＝________． 答案：e 解析：由f(ln 2)f(ln 4)＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝8，也即(aln 2)3＝23，∵a>0且a≠1，∴aln 2＝2，两边取对数得ln 2×ln a＝ln 2，解得a＝e. 13．(2024·安徽安庆模拟)已知函数f(x)＝log2(ax＋b)(a>0，b>0)的图象恒过定点(2，0)，则＋的最小值为________． 答案：2＋1 解析：由题意可知2a＋b＝1，则＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当a＝，b＝－1时，等号成立，所以＋的最小值为2＋1. 14．(2024·山东菏泽高三统考期末)已知函数y＝lg (x2－ax＋1)在(2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为________． 答案： 解析：由复合函数单调性的规律和函数定义域可知，函数f(x)＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上单调递增且f(x)>0在(2，＋∞)上恒成立，则有解得a≤，则a的取值范围为. 15．(2024·广西南宁第二中学高三5月月考)若函数f(x)＝loga|x－1|在区间(1，2)上有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞) 答案：A 解析：设t＝|x－1|，当1<x<2时，0<t<1，因为f(x)>0，所以0<a<1，函数y＝logat在(0，＋∞)上单调递减，因为y＝|x－1|的单调递减区间为(－∞，1)，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1)．故选A. 16．(2025·山西大同高三第一次学情调研)已知实数a>0，且满足不等式log3(3a＋2)>log3(4a＋1)，若ax－ay<x－y，则下列关系式一定成立的是(　　) A．x＋y>0 B．x＋y>1 C．x－y>0 D．x－y>1 答案：C 解析：因为a>0，又函数y＝log3x单调递增，所以3a＋2>4a＋1，即0<a<1，对于不等式ax－ay<x－y，移项整理得ax－x<ay－y，构造函数h(x)＝ax－x，由于h(x)单调递减，所以x>y，即x－y>0.故选C. 17．(2025·湖北武汉硚口区部分高中高三起点考试)已知奇函数f(x)的定义域为R，对任意的x满足f(－x)＝f(x＋2)，且f(x)在(－1，0)上单调递增，若a＝log43，b＝logπ2，c＝log512，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　) A．f(c)>f(a)>f(b) B．f(c)>f(b)>f(a) C．f(a)>f(b)>f(c) D．f(a)>f(c)>f(b) 答案：D 解析：∵对任意的x满足f(－x)＝f(x＋2)，奇函数f(x)的定义域为R，∴f(x)＝－f(－x)＝－f(x＋2)，则f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∵f(x)在(－1，0)上单调递增，∴f(x)在(0，1)上单调递增，∵1＝log44>log43＝log4>log4＝log44＝，∴<a<1，c＝log512＝log2(29×2)＝log22＝×＝，∵＝logπ>logπ＝logπ2>logπ1＝0，∴0<b<，又f(c)＝f＝f＝f，0<b<<a<1，∴f(b)<f<f(a)，即f(b)<f(c)<f(a)．故选D. 18．(2024·黑龙江牡丹江一模)已知g(x)＝x3f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，若关于实数m的不等式f(log2m)＋f(log0.5m)≥2f(3)恒成立，则m的取值范围是(　　) A. B．[8，＋∞) C.∪[8，＋∞) D.∪[8，＋∞) 答案：D 解析：因为g(x)＝x3f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)是偶函数，f(log0.5m)＝f(－log2m)＝f(log2m)，所以f(log2m)＋f(log0.5m)≥2f(3)可化为f(log2m)≥f(3)，又f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以|log2m|≥3，即log2m≥3或log2m≤－3，解得m≥8或0<m≤.故选D. 19．(2025·重庆南开中学高三月考)已知函数f(x)＝ln (x＋m)的图象与函数g(x)＝－ln (－x)的图象有且只有一个交点，则实数m＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 答案：D 解析：依题意知，方程ln (x＋m)＝－ln (－x)有一个解，即ln (x＋m)＋ln (－x)＝0有一个解，即ln (－x2－mx)＝0＝ln 1有一个解，所以－x2－mx＝1有一个解，即x2＋mx＋1＝0有一个解，所以Δ＝m2－4＝0，解得m＝±2.当m＝－2时，f(x)＝ln (x－2)的定义域为(2，＋∞)，与g(x)＝－ln (－x)的定义域(－∞，0)没有交集，此时f(x)与g(x)的图象没有交点，所以m＝－2不符合题意；当m＝2时，符合题意．故选D. 20．(多选)已知函数f(x)＝log(2－x)－log2(x＋4)，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)的定义域是[－4，2] B．y＝f(x－1)是偶函数 C．f(x)在区间[－1，2)上是增函数 D．f(x)的图象关于直线x＝－1对称 答案：BCD 解析：对于A，由题意可得函数f(x)＝log(2－x)－log2(x＋4)＝－log2[(2－x)(x＋4)]，由2－x＞0，x＋4＞0可得－4＜x＜2，故f(x)的定义域为(－4，2)，故A错误；对于B，y＝f(x－1)＝－log2[(3－x)(x＋3)]的定义域为(－3，3)，设g(x)＝－log2[(3－x)(x＋3)]，所以g(－x)＝－log2[(3＋x)(－x＋3)]＝g(x)，即y＝f(x－1)是偶函数，故B正确；对于C，f(x)＝－log2[(2－x)(x＋4)]＝－log2(－x2－2x＋8)＝－log2[－(x＋1)2＋9]＝log[－(x＋1)2＋9]，令t＝－(x＋1)2＋9，可得y＝logt，因为当x∈[－1，2)时，t＝－(x＋1)2＋9是减函数，函数y＝logt也是减函数，所以函数f(x)在区间[－1，2)上是增函数，故C正确；对于D，f(－2－x)＝－log2[(x＋4)(2－x)]＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝－1对称，故D正确． 21．已知函数f(x)＝|ln x－a|＋a(a＞0)在[1，e2]上的最小值为1，则a的值为________． 答案：1 解析：由题意得ln x∈[0，2]，当a≥2时，f(x)＝2a－ln x在[1，e2]上单调递减，∴f(x)的最小值为f(e2)＝2a－2＝1，a＝＜2，与a≥2矛盾；当0＜a＜2时，f(x)＝ f(x)在[1，ea]上单调递减，在[ea，e2]上单调递增，∴f(x)的最小值为f(ea)＝a＝1，符合题意．故a＝1. 22．(2024·四川成都三模)函数f(x)＝ln 的图象过原点，且g(x)＝＋f(x)＋m，若g(a)＝6，则g(－a)＝________． 答案：－2 解析：由题意f(0)＝ln ＝0，所以m＝2，所以f(x)＝ln 的定义域为(－2，2)，且f(a)＋f(－a)＝ln ＋ln ＝ln 1＝0，又＋＝0，所以g(a)＋g(－a)＝＋＋f(a)＋f(－a)＋2m＝2m＝4，因为g(a)＝6，所以g(－a)＝－2. 23．(多选)(2024·安徽亳州高三期末)将正数x用科学记数法表示为x＝a×10m，a∈[1，10)，m∈Z，则lg x＝m＋lg a，我们把m，lg a分别叫做lg x的首数和尾数，若将lg x的首数记为S(x)，尾数记为W(x)，则下列说法正确的是(　　) A．W(x)∈[0，1) B．W(x)(x>0)是周期函数 C．若x，y>0，则S(xy)≥S(x)＋S(y) D．若x>y>0，则W＝W(x)－W(y) 答案：AC 解析：对于A，因为a∈[1，10)，所以W(x)＝lg a∈[0，1)，故A正确；对于B，若W(y)＝W(x)，必有y＝x·10k(k∈Z)，不可能存在非零常数T，使得x＋T＝x·10k恒成立，不符合周期函数的定义，故B错误；对于C，设x＝a×10m，y＝b×10n(a，b∈[1，10)，m，n∈Z)，则S(x)＝m，S(y)＝n，xy＝ab×10m＋n，若1≤ab<10，则S(xy)＝m＋n，若10≤ab<100，则xy＝×10m＋n＋1，S(xy)＝m＋n＋1，所以S(xy)≥S(x)＋S(y)，故C正确；对于D，设x，y同选项C，则W(x)＝lg a，W(y)＝lg b，＝×10m－n，若1≤<10，则W＝lg ＝lg a－lg b，若<<1，则＝×10m－n－1，W＝lg ＝lg a－lg b＋1，所以W≥W(x)－W(y)，故D错误．故选AC. 24．(2025·江苏盐城射阳中学高三月考)已知函数f(x)＝loga(9－ax)，g(x)＝loga(x2－ax)(a>0，且a≠1)，若对任意x1∈[1，2]，存在x2∈[3，4]，使得f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数a的取值范围为________． 答案：(0，1)∪(1，3) 解析：根据题意可得只需f(x1)min≥g(x2)min即可，由题可知9－a2>0⇒－3<a<3，又a>0且a≠1，所以0<a<1或1<a<3.当0<a<1时，由复合函数的单调性可知f(x)在[1，2]上单调递减，g(x)在[3，4]上单调递减，所以f(x1)min＝f(2)＝loga(9－a2)，g(x2)min＝g(4)＝loga(16－4a)，所以loga(9－a2)≥loga(16－4a)⇒9－a2≤16－4a，即a2－4a＋7≥0，可得0<a<1；当1<a<3时，由复合函数的单调性可知f(x)在[1，2]上单调递减，g(x)在[3，4]上单调递增，所以f(x1)min＝f(2)＝loga(9－a2)，g(x2)min＝g(3)＝loga(9－3a)，所以loga(9－a2)≥loga(9－3a)⇒9－a2≥9－3a，即a2－3a≤0，可得1<a<3.综上，实数a的取值范围为(0，1)∪(1，3)． 25．若a＝log32，b＝log43，c＝e－2，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b<c<a B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b 答案：D 解析：a＝log32>log3＝，b＝log43>log42＝，c＝e－2<，所以a>c，b>c，又＝＝<＝<＝＝1，所以a<b，所以c<a<b.故选D. 3 学科网（北京）股份有限公司 $$