第二章 考点测试10 指数与指数函数-【金版教程】2026年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

高考总复习首选用卷　数学 考点测试10　指数与指数函数 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 指数幂的运算与化简 解指数不等式 根据图象求参数的取值范围 比较大小 已知复合函数的单调性求参数的取值范围 解指数不等式 比较大小；二次函数的单调性 解不等式；函数的奇偶性、单调性 指数幂的运算；单调性的应用；基本不等式 新定义问题；函数的单调性；指数幂的运算与化简 与指数函数有关的函数的图象与性质 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ ★★ 对点 指数幂的运算与化简 根据函数的奇偶性求参数的值 图象过定点；复合函数在指定区间上的值域 函数的单调性；由函数值相等求参数的值 解不等式；函数的奇偶性、单调性 构造函数利用函数图象判断不等式 函数性质的综合应用 指数的实际应用 已知函数的最值求参数的取值范围 函数性质的综合应用 函数的值域；函数值求和；解不等式 抽象函数的求值与性质 高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题，中等难度 考点研读 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 2．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点 3．体会指数函数是一类重要的函数模型 1．(2025·河南开封清华中学高三上开学考试)已知a＋a－1＝5，则a－a－＝(　　) A. B．－ C．± D．±2 答案：C 解析：因为a＋a－1＝5，则(a－a－)2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，所以a－a－＝±.故选C. 2．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(－∞，－3] B．[－3，＋∞) C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．[3，＋∞) 答案：A 解析：∵≥8＝，∴x≤－3，即所求函数的定义域为(－∞，－3]． 3．函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 答案：D 解析：由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图象是函数f(x)＝ax的图象向左平移得到的，所以b＜0.故选D. 4．(2025·贵州黔东南苗族侗族自治州高三开学考试)已知a＝30.2，b＝2－a，c＝1－a，则(　　) A．a<c<b B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a 答案：D 解析：由指数函数的性质易得a＝30.2>30＝1，所以0<2－a<20＝1，1－a<0，故c<b<a.故选D. 5．(2025·浙江A9协作体高三返校联考)若函数y＝2x2－ax+1在[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞) 答案：A 解析：因为函数y＝2x2－ax＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y＝x2－ax＋1在[1，＋∞)上单调递增，则≤1，即a≤2.故选A. 6．(2024·内蒙古乌兰察布高三模拟)若<，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为函数y＝是减函数，且<，所以4a＋2>8－3a，解得a>，即实数a的取值范围是.故选D. 7．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是(　　) A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx) C．f(bx)>f(cx) D．与x有关，不确定 答案：A 解析：∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此可得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3，∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)．若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f(3x)＞f(2x)，∴f(3x)≥f(2x)．故选A. 8．已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(2x)＋f(x2－x)＞0的解集为(　　) A．(0，1) B．(－3，0) C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞) 答案：C 解析：因为函数f(x)＝2x－2－x的定义域为R，且f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，且是R上的增函数，f(2x)＋f(x2－x)＞0⇔f(x2－x)＞f(－2x)，于是得x2－x＞－2x，解得x＜－1或x＞0，所以所求不等式的解集是(－∞，－1)∪(0，＋∞)． 9．(多选)设函数f(x)＝2x，对任意的x1，x2(x1≠x2)，下列结论正确的是(　　) A．f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2) B．f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2) C.＞0 D．f＜ 答案：ACD 解析：因为2x1·2x2＝2x1＋x2，故A正确；因为2x1＋2x2≠2x1x2，故B错误；函数f(x)＝2x在R上是增函数，若x1＞x2，则f(x1)＞f(x2)，则＞0，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，则＞0，故C正确；＝≥＝2＝f，又x1≠x2，所以f＜，故D正确．故选ACD. 10．(多选)(2025·八省联考)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数sinhx＝，双曲余弦函数coshx＝，双曲正切函数tanhx＝，则(　　) A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D．tanh(x＋y)＝ 答案：ACD 解析：对于A，令f(x)＝sinhx＝，则f′(x)＝>0恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；对于B，令g(x)＝coshx＝，则g′(x)＝，由A项分析可知，g′(x)为增函数，又g′(0)＝＝0，故当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；对于C，tanhx＝＝＝＝＝1－，由y＝e2x＋1在R上单调递增，且y＝e2x＋1>1，得tanhx＝1－是增函数，故C正确；对于D，由C项分析可知，tanhx＝，则tanh(x＋y)＝，＝＝ ＝＝＝，故tanh(x＋y)＝，故D正确．故选ACD. 11．(多选)(2024·山东青岛期末)已知函数f(x)＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则(　　) A．a＋b＝0 B．f(x)＝－1 C．f(x)是偶函数 D．f(x)在(－∞，0]上单调递增 答案：AC 解析：因为函数f(x)＝a＋b的图象过原点，所以a＋b＝0，即a＋b＝0，函数的图象无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，故y＝1是函数图象的一条渐近线，则b＝1，a＝－1，f(x)＝－＋1，A正确，B错误；函数f(x)＝－＋1，定义域为R，且f(－x)＝－＋1＝－＋1＝f(x)，故f(x)是偶函数，C正确；当x∈(－∞，0]时，f(x)＝－＋1＝－3x＋1，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，D错误．故选AC. 12．化简：2×(×)6＋()－4×－×80.25＋(－2024)0＝________． 答案：214 解析：原式＝2×(2×3)6＋(2×2)－4×－2×2＋1＝2×22×33＋2－3－2＋1＝214. 13．(2025·湖南长沙明德中学阶段检测)已知函数f(x)＝2x－a·2－x是偶函数，则a＝________． 答案：－1 解析：∵函数f(x)＝2x－a·2－x，x∈R是偶函数，∴f(－1)＝f(1)，则－2a＝2－a，解得a＝－1.当a＝－1时，f(x)＝2x＋2－x，∴f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，故f(x)是偶函数．综上所述，a＝－1. 14．若函数y＝ax＋1＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点P(m，n)，则函数f(x)＝－＋1在[m，n]上的最小值是________． 答案： 解析：因为函数y＝ax＋1＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(－1，2)，所以m＝－1，n＝2，令t＝，则≤t≤2，故f(x)＝－＋1在[－1，2]上的最小值，即g(t)＝t2－t＋1＝＋在上的最小值，当t＝时，g(t)min＝，则函数f(x)＝－＋1在[m，n]上的最小值是. 15．(2024·四川成都三诊)已知函数f(x)＝ex－e2－x，若实数m，n满足f(m)＋f(n)＝0，则m＋n＝(　　) A．1 B．2 C．e D．4 答案：B 解析：因为函数f(x)＝ex－e2－x，所以f(2－m)＋f(m)＝e2－m－em＋(em－e2－m)＝0，而f(m)＋f(n)＝0，因此f(2－m)＝f(n)，又函数y＝ex，y＝－e2－x在R上均单调递增，则函数f(x)＝ex－e2－x在R上单调递增，于是2－m＝n，所以m＋n＝2.故选B. 16．(2024·吉林通化高三三模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)单调递增，则不等式f(ex－1)＋f((1－e)x)<0的解集为(　　) A．(－1，1) B．(0，1) C．(0，e) D．(1，e) 答案：B 解析：由函数f(x)是奇函数可知，f(ex－1)＋f((1－e)x)<0，即f(ex－1)<－f((1－e)x)，即f(ex－1)<f((e－1)x)，又f(x)单调递增，则ex－1<(e－1)x，画出曲线y＝ex－1与直线y＝(e－1)x，可以看出y＝ex－1与y＝(e－1)x的图象有两个交点，且x＝1与x＝0分别为两交点的横坐标，所以不等式f(ex－1)<f((e－1)x)的解集为(0，1)．故选B. 17．(多选)(2024·广东高中毕业班第一次调研)若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是(　　) A．0＜a＜b＜1 B．b＜a＜0 C．1＜a＜b D．a＝b 答案：ABD 解析：设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，则f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x都为增函数，作出两个函数的图象如图1，两个函数的图象有2个交点，分别为(0，1)，(1，5)．对于A，如图2，作直线y＝m(1<m<5)分别与f(x)，g(x)的图象相交，交点的横坐标分别为a，b，且0<a<b<1，此时f(a)＝g(b)＝m，即2a＋3a＝3b＋2b能成立，故A正确；对于B，如图3，作直线y＝n(n<0)分别与f(x)，g(x)的图象相交，交点的横坐标分别为a，b，且b<a<0，此时f(a)＝g(b)＝n，即2a＋3a＝3b＋2b能成立，故B正确；对于C，由两个函数的图象可知，若1<a<b，则g(b)>f(b)>f(a)，所以此时2a＋3a＝3b＋2b不可能成立，故C不正确；对于D，当a＝b＝0或a＝b＝1时，2a＋3a＝3b＋2b成立，故D正确．故选ABD. 18．(多选)(2025·河南周口高三期末)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x＋ax(a>0，且a≠1)，则(　　) A．若f(0)＋f(－1)＝－4，则a＝4 B．当a＝3时，f(x)在(－∞，0)上存在单调递减区间 C.的最大值为－4 D．当a＝时，f(x)在(－∞，0)上单调递增 答案：CD 解析：定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝2x＋ax(a>0，且a≠1)．对于A，由f(0)＋f(－1)＝－4，得－f(1)＝－4，则f(1)＝2＋a＝4，解得a＝2，A错误；对于B，当a＝3时，f(x)＝2x＋3x在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，因此f(x)在(－∞，0)上不存在单调递减区间，B错误；对于C，＝－＝－≤－＝－4，当且仅当a＝2时取等号，C正确；对于D，当a＝，且x>0时，f(x)＝2x＋，令t＝2x∈(1，＋∞)，函数t＝2x在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝t＋在(1，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)＝2x＋在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，D正确．故选CD. 19．二维码是一种利用黑、白方块记录数据符号信息的平面图形．某公司计划使用一款由n2(n∈N*)个黑白方块构成的n×n二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成216个不重复的二维码，为确保一个n×n二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则n的最小值为________． 答案：7 解析：由题意可知，n×n的二维码共有2n2个，由≤，可得216×60×215≤2n2，即60≤2n2－31，故n2－31≥6⇒n2≥37，由于n∈N*，所以n≥7，即n的最小值为7. 20．(2024·山东烟台高三模拟)设函数f(x)＝若f(1)是函数f(x)的最大值，则实数a的取值范围为________． 答案：[1，2] 解析：因为f(x)＝当x＞1时，f(x)＝－x＋1单调递减且f(x)＜；当x≤1时，f(x)＝2－|x－a|＝，可得当x＞a时，函数f(x)单调递减，当x＜a时，函数f(x)单调递增，若a＜1，x≤1，则f(x)在x＝a处取得最大值，不符合题意；若a≥1，x≤1，则f(x)在x＝1处取得最大值，且≥，解得1≤a≤2.综上可得，实数a的取值范围是[1，2]． 21．(多选)(2024·福建厦门第一中学高三模拟)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝2024x－sinx－25x，则下列说法正确的是(　　) A．g(0)＝1 B．g(x)在[0，1]上单调递减 C．g(x－1102)的图象关于直线x＝1102对称 D．g(x)的最小值为1 答案：ACD 解析：由题意，将－x代入f(x)＋g(x)＝2024x－sinx－25x得f(－x)＋g(－x)＝2024－x－sin(－x)－25(－x)，因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以可得－f(x)＋g(x)＝2024－x＋sinx＋25x，将该式与原式联立可得g(x)＝.对于A，g(0)＝＝1，故A正确；对于B，因为g(0)＝1，g(1)＝＞1，所以g(x)不可能在[0，1]上单调递减，故B错误；对于C，g(x)为偶函数，图象关于y轴对称，g(x－1102)的图象是由g(x)的图象向右平移1102个单位得到的，故g(x－1102)的图象关于直线x＝1102对称，故C正确；对于D，根据基本不等式，得g(x)＝≥1，当且仅当x＝0时取等号，故D正确． 22．(2024·江西八所重点中学高三4月联考)已知函数f(x)＝，a≥0，存在实数x1，x2，…，xn，使得f(xi)＝f(xn)成立，若正整数n的最大值为8，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：设g(x)＝－1＝1－，因为(2x)2>0，所以(2x)2＋1>1，所以－1<g(x)<1，则－1－a<g(x)－a<1－a，当0≤a≤1时，－1－a≤－1，0≤1－a≤1，则0≤f(x)≤a＋1，显然对任意正整数n都有f(xi)＝f(xn)成立；当a>1时，－1－a<1－a<0，a－1<f(x)<a＋1，要使得正整数n的最大值为8，则解得≤a<，则实数a的取值范围是. 23．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋y)＝＋，且f(1)＝1，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(－1)＝e2 C．exf(x)为奇函数 D．f(x)在(0，＋∞)上具有单调性 答案：AC 解析：令x＝y＝0，则有f(0)＝＋，即f(0)＝0，故A正确；令x＝1，y＝－1，则有f(1－1)＝＋，即f(0)＝ef(1)＋，由f(0)＝0，f(1)＝1，故0＝e＋，即f(－1)＝－e2，故B错误；令y＝－x，则有f(x－x)＝＋，即f(0)＝exf(x)＋e－xf(－x)，即exf(x)＝－e－xf(－x)，又f(x)的定义域为R，则exf(x)的定义域为R，故exf(x)为奇函数，故C正确；令y＝x，则有f(x＋x)＝＋，即f(2x)＝，即有＝，则当x＝ln 2时，有＝＝1，即f(2ln 2)＝f(ln 2)，故f(x)在(0，＋∞)上不具有单调性，故D错误．故选AC. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$