第二章 考点测试9 幂函数与二次函数-【金版教程】2026年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

高考总复习首选用卷　数学 考点测试9　幂函数与二次函数 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 幂函数的概念 幂函数的图象 由二次函数的单调性求参数的取值范围 解简单的幂函数不等式 比较大小 幂函数的图象 与二次函数相关的复合函数的单调性 幂函数的单调性和奇偶性 由分段函数的单调性求参数的取值范围 幂函数性质的综合应用 二次函数图象与性质的综合 幂函数的定义域、单调性 题号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ ★★★ 对点 由二次函数在某区间上的值域求参数的取值范围 由二次函数的单调性求参数的取值范围 由函数的单调性求参数的取值范围 比较大小 二次函数图象与性质的综合 幂函数图象与性质的综合 利用幂函数的单调性解不等式 二次函数图象与性质的综合 新定义与幂函数、二次函数性质的综合 二次函数的综合应用 高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，中等难度 考点研读 1.了解幂函数的概念 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，了解它们的变化情况 3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质 4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题 1．(2024·陕西咸阳永寿县中学高三一模)已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋3为偶函数，则2m＋log2m＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 答案：B 解析：因为函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋3为幂函数，所以m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，又因为f(x)为偶函数，所以m＝1，所以2m＋log2m＝21＋log21＝2.故选B. 2．(2024·四川南充二模)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式可能是(　　) A．y＝x B．y＝x－ C．y＝x3 D．y＝x 答案：D 解析：对于A，函数y＝x＝的定义域为[0，＋∞)，显然A不符合题意；对于B，函数y＝x－＝的定义域为(0，＋∞)，显然B不符合题意；对于C，函数y＝x3的定义域为R，又y＝x3为奇函数，但是y＝x3在(0，＋∞)上的函数图象是下凸递增，故C不符合题意；对于D，函数y＝x＝的定义域为R，又y＝x为奇函数，且y＝x在(0，＋∞)上的函数图象是上凸递增，故D符合题意．故选D. 3．(2024·广东揭阳二模)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1在(2，6)上不单调，则a的取值范围为(　　) A．(2，6) B．(－∞，2]∪[6，＋∞) C．(4，12) D．(－∞，4]∪[12，＋∞) 答案：C 解析：函数f(x)＝－x2＋ax＋1图象的对称轴为直线x＝，依题意，得2<<6，即4<a<12，所以a的取值范围为(4，12)．故选C. 4．若(m＋1)－1＜(3－2m)－1，则实数m的取值范围为(　　) A. B．(－∞，－1) C．(－∞，－1)∪ D．∅ 答案：C 解析：因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，所以由(m＋1)－1＜(3－2m)－1，可得或或解得＜m＜或m＜－1，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪. 5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c<a<b B．c<b<a C．a<c<b D．b<c<a 答案：A 解析：因为a＝＝<1，b＝>1，c＝＝<1，又0<<<<1，y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以c＝<＝a.综上可得，c<a<b.故选A. 6．已知幂函数y＝x(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　) A．p，q均为奇数，且＞0 B．q为偶数，p为奇数，且＜0 C．q为奇数，p为偶数，且＞0 D．q为奇数，p为偶数，且＜0 答案：D 解析：因为函数y＝x的图象关于y轴对称，于是得函数y＝x为偶函数，即p为偶数，又函数y＝x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有＜0，又p，q互质，则q为奇数．故选D. 7．(2025·浙江宁波鄞州中学月考)函数f(x)＝的单调递减区间是(　　) A．(－∞，3) B．(3，4] C．(5，＋∞) D．(4，＋∞) 答案：C 解析：由f(x)＝，得x2－8x＋15>0，解得x<3或x>5，由y＝x2－8x＋15图象的对称轴为直线x＝4，知y＝x2－8x＋15在[4，＋∞)上单调递增，故f(x)＝的单调递减区间为(5，＋∞)．故选C. 8．(2025·上海静安阶段考试)已知a∈，若f(x)＝xa为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：当a＝－1时，f(x)＝x－1在(0，＋∞)上单调递减，不满足要求；当a＝2时，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，故f(x)＝x2为偶函数，不满足要求；当a＝时，f(x)＝x的定义域为(0，＋∞)，不是奇函数，不满足要求；当a＝3时，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，f(x)＝x3为奇函数，且f(x)＝x3在(0，＋∞)上单调递增，满足要求；当a＝时，f(－x)＝(－x)＝－x＝－f(x)，故f(x)＝x为奇函数，且f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增，满足要求．故选B. 9．(2024·陕西渭南二模)已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(0，1) D．(0，1] 答案：B 解析：由f(x)＝是R上的增函数，得解得0<a≤，所以实数a的取值范围是.故选B. 10．(多选)已知幂函数f(x)＝xm，则下列结论正确的是(　　) A．f(－32)＝ B．f(x)的定义域是R C．f(x)是偶函数 D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1，1)∪(1，3] 答案：ACD 解析：由幂函数f(x)＝xm，知m＋＝1，∴m＝－，∴f(x)＝x－，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故B错误；f(－32)＝(－32)－＝，故A正确；∵f(x)＝x－＝，定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故C正确；∵f(x)＝x－，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，不等式f(x－1)≥f(2)等价于f(|x－1|)≥f(2)，∴解得－1≤x＜1或1＜x≤3，故D正确．故选ACD. 11．(多选)已知函数f(x)＝x2－2x－3，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的最小值为－4 B．函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增 C．函数f(|x|)为偶函数 D．若方程f(|x－1|)＝a在R上有4个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝4 答案：ACD 解析：二次函数f(x)在对称轴x＝1处取得最小值，且最小值f(1)＝－4，故A正确；二次函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1，其在(0，＋∞)上不单调，故B错误；f(|x|)＝|x|2－2|x|－3，显然函数f(|x|)为偶函数，故C正确；令h(x)＝f(|x－1|)＝|x－1|2－2|x－1|－3，方程f(|x－1|)＝a的根转化为y＝h(x)的图象与直线y＝a的交点，作出y＝h(x)的图象如图所示，图象关于直线x＝1对称，当y＝h(x)的图象与直线y＝a有四个交点时，两两分别关于直线x＝1对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4，故D正确．故选ACD. 12．(2024·吉林三模)请写出一个幂函数f(x)满足以下条件：①定义域为[0，＋∞)；②f(x)为增函数；③对任意的x1，x2∈[0，＋∞)，都有f≥，则f(x)＝________． 答案：x(答案不唯一) 解析：由题意可知f(x)＝x的定义域为[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数；下面证明该函数满足③：取任意的x1，x2∈[0，＋∞)，则f＝>0，＝>0，又－＝≥＝0，当且仅当x1＝x2时取等号，即f≥，所以f(x)＝x满足③.故f(x)＝x. 13．已知函数f(x)＝x2－2x，且当－1≤x≤n时，－1≤f(x)≤3，则实数n的取值范围为________． 答案：[1，3] 解析：∵函数f(x)＝x2－2x图象的对称轴方程为x＝1，∴当－1≤x≤1时，－1≤f(x)≤3，又当x≥1时，函数f(x)为增函数，且f(3)＝3，∴要使当－1≤x≤n时，－1≤f(x)≤3，则实数n的取值范围是[1，3]． 14．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋5)xm－2是R上的偶函数，且函数g(x)＝f(x)－(2a－6)x在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是________． 答案：[6，＋∞) 解析：因为幂函数f(x)＝(m2－5m＋5)xm－2是R上的偶函数，则m2－5m＋5＝1，解得m＝1或m＝4.当m＝1时，f(x)＝x－1，该函数是定义域为{x|x≠0}的奇函数，不符合题意；当m＝4时，f(x)＝x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意，所以f(x)＝x2，则g(x)＝x2－(2a－6)x，其图象的对称轴方程为x＝a－3，因为函数g(x)在区间[1，3]上单调递减，则a－3≥3，解得a≥6.故实数a的取值范围为[6，＋∞)． 15．(2024·重庆市七校高三联考)已知函数f(x)＝4x＋a·2x在[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A．[－4，＋∞) B．(－∞，－4] C．[－8，＋∞) D．(－∞，－8] 答案：C 解析：设t＝2x，则函数t＝2x在[2，＋∞)上单调递增，且t≥4，因为f(x)＝4x＋a·2x在[2，＋∞)上单调递增，所以函数y＝t2＋at在[4，＋∞)上单调递增，又因为函数y＝t2＋at的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为t＝－，所以函数y＝t2＋at的单调递增区间为，由[4，＋∞)⊆，得－≤4，解得a≥－8.故选C. 16．(2025·四川绵阳高三模拟)已知幂函数f(x)＝xn的图象过点(2，8)，设a＝f(20.3)，b＝f(0.32)，c＝f(log20.3)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b<c<a B．a<c<b C．a<b<c D．c<b<a 答案：D 解析：因为幂函数f(x)＝xn的图象过点(2，8)，所以8＝2n，解得n＝3，即f(x)＝x3，故函数f(x)在R上为增函数，因为20.3>20＝1，0<0.32<0.30＝1，log20.3<log21＝0，所以f(20.3)>f(0.32)>f(log20.3)，即a>b>c.故选D. 17．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋5，若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围是(　　) A．[2，3] B．[1，2] C．[－1，3] D．[2，＋∞) 答案：A 解析：函数f(x)＝x2－2ax＋5图象的对称轴方程是x＝a，则其单调递减区间为(－∞，a]，因为f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，所以a≥2.则|a－1|≥|(a＋1)－a|＝1，因此对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，只需|f(a)－f(1)|≤4即可，即|(a2－2a2＋5)－(1－2a＋5)|＝|a2－2a＋1|＝(a－1)2≤4，即－2≤a－1≤2，解得－1≤a≤3，又a≥2，因此实数a的取值范围是[2，3]． 18．(多选)(2024·重庆一中期中)已知幂函数f(x)＝(m2－3)xn(m，n∈R)，则下列说法正确的是(　　) A．若n＝m－1，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减 B．若n＝m＋1，则f(x)是奇函数 C．函数y＝2f(x－1)＋1的图象过定点(2，1) D．若n＝－3，则f(5)＋f(－4)<0 答案：BD 解析：因为f(x)＝(m2－3)xn(m，n∈R)为幂函数，所以m2－3＝1，解得m＝2或m＝－2.对于A，当m＝2时，n＝2－1＝1，则f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增，故A错误；对于B，当m＝2时，n＝2＋1＝3，则f(x)＝x3(x∈R)，因为f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，当m＝－2时，n＝－2＋1＝－1，则f(x)＝x－1(x≠0)，因为f(－x)＝(－x)－1＝－x－1＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以n＝m＋1时，f(x)是奇函数，故B正确；对于C，因为f(x)＝xn(n∈R)，所以y＝2f(x－1)＋1＝2(x－1)n＋1，当x＝2时，y＝2×1n＋1＝3，所以函数y＝2f(x－1)＋1的图象过定点(2，3)，故C错误；对于D，当n＝－3时，f(x)＝x－3，则f(5)＋f(－4)＝5－3＋(－4)－3＝－<0，故D正确．故选BD. 19．已知函数f(x)＝＋x＋1，若f(1－m)＋f(2m)>2，则m的取值范围是________． 答案：(－1，＋∞) 解析：令g(x)＝f(x)－1＝＋x，因为g(x)的定义域R关于原点对称，且g(－x)＝＋(－x)＝－－x＝－g(x)，所以g(x)是R上的奇函数，因为幂函数y＝，y＝x都是R上的增函数，所以g(x)是R上的增函数，而f(1－m)＋f(2m)>2⇔f(1－m)－1>－[f(2m)－1]⇔g(1－m)>－g(2m)＝g(－2m)，所以1－m>－2m，解得m>－1.综上所述，m的取值范围是(－1，＋∞)． 20．(多选)(2024·江苏苏州4月模拟)已知函数f(x)＝x＋1，设g1(x)＝f(x)，gn(x)＝f(gn－1(x))(n>1，n∈N*)，且关于x的函数y＝x2＋gi(x)(n∈N*)，则(　　) A．gn(x)＝x＋n B．y＝＋ C．当n≤2时，存在关于x的函数y在区间(－∞，－1]上的最小值为6，n＝0 D．当n>2时，存在关于x的函数y在区间(－∞，－1]上的最小值为6，n＝4 答案：ABD 解析：因为g1(x)＝f(x)＝x＋1，gn(x)＝f(gn－1(x))，所以g2(x)＝f(x＋1)＝x＋2，g3(x)＝f(x＋2)＝x＋3，依次类推，可得gn(x)＝x＋n，故A正确；由A项分析知，y＝x2＋gi(x)＝x2＋(x＋1＋x＋2＋…＋x＋n)＝x2＋nx＋＝＋，故B正确；当n≤2时，函数y＝＋图象的对称轴方程为x＝－≥－1，所以函数在区间(－∞，－1]上单调递减，故当x＝－1时，ymin＝＝＝6，方程无整数解，故C错误；当n>2时，函数y＝＋图象的对称轴方程为x＝－<－1∈(－∞，－1]，所以当x＝－时，ymin＝＝6，解得n＝4，故D正确．故选ABD. 21．(2024·江苏南通期末)若闭区间[a，b]满足：①函数f(x)在[a，b]上单调；②函数f(x)在[a，b]上的值域为[an，bn]，n∈N*，则称区间[a，b]为函数f(x)的n次方膨胀区间．函数f(x)＝x的2次方膨胀区间为________；若函数f(x)＝kx2＋1－k(k>0)存在4次方膨胀区间，则k的取值范围是________． 答案：[0，1]　[1，2)∪(2，＋∞) 解析：设函数f(x)＝x的2次方膨胀区间为[a，b]，由于函数f(x)＝x为[a，b]上的增函数，所以f(a)＝a＝a2且f(b)＝b＝b2，由于a<b，解得a＝0，b＝1，故函数f(x)＝x的2次方膨胀区间为[0，1]．由于f(x)＝kx2＋1－k(k>0)的图象为开口向上的抛物线，且图象的对称轴为直线x＝0，设f(x)＝kx2＋1－k(k>0)存在4次方膨胀区间为[m，n]，若n≤0，则f(x)＝kx2＋1－k(k>0)为[m，n]上的减函数，所以f(m)＝km2＋1－k＝n4且f(n)＝kn2＋1－k＝m4，相减可得k(m2－n2)＝n4－m4，所以k＝－(m2＋n2)<0，这与k>0矛盾，故不符合题意，舍去，若m≥0，则f(x)＝kx2＋1－k(k>0)为[m，n]上的增函数，所以f(m)＝km2＋1－k＝m4且f(n)＝kn2＋1－k＝n4，因此m，n是方程x4－kx2－1＋k＝0的两个不相等的非负实数根，令x2＝t，则t2－kt－1＋k＝0有两个不相等的非负实数根，记g(t)＝t2－kt－1＋k，则有解得k≥1且k≠2，即k的取值范围是[1，2)∪(2，＋∞)． 22．已知二次函数f(x)满足：对任意的x，y∈R，f(x)f(y)＝f(xy)，且f(2)＝4.若f(p＋q)＋f(q)＝1，则p2＋2q2的最大值与最小值之和是(　　) A．4＋2 B．2 C．4 D. 答案：C 解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为f(x)f(y)＝f(xy)，令y＝0，得f(x)f(0)＝f(0)，故f(0)＝0，所以c＝0，令y＝1，得f(x)f(1)＝f(x)，故f(1)＝1，即a＋b＝1，又f(2)＝4，即4a＋2b＝4，故a＝1，b＝0，所以f(x)＝x2，由f(p＋q)＋f(q)＝1，得(p＋q)2＋q2＝1，设p＋q＝cosθ，q＝sinθ，即p＝cosθ－sinθ，q＝sinθ，则p2＋2q2＝(cosθ－sinθ)2＋2sin2θ＝1－2sinθcosθ＋2sin2θ＝1－sin2θ＋(1－cos2θ)＝2－sin2θ－cos2θ＝2－sin∈[2－，2＋]，所以p2＋2q2的最大值与最小值之和为2＋＋2－＝4.故选C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$