第一章 考点测试4 基本不等式-【金版教程】2026年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

高考总复习首选用卷数学 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 考点测试4 基本不等式 基础题（占比50% 中档题（占比40%o 拔高题（占比10%） 题 2 3 6 9 10 12 号 难 ★ 度 ★ 常数代换法求最 拼法 由基本不等式求取值 利用基本 利用基本 利用基 利用基本 利用基本 利用基本 拼淡法求最值 本 利用基本不 常数代换 不 利用基本不 对点 不 不 不 不 等 求最值 等 等 等 等 法 等 等 式 范 式求最值 式求最值 式求最值 式求最值 求最值 式求最值 式求最值 比较大小 等式求最值 围 题 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 号 难 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 利 利用基本不等式求最 常数代 用基 常数代换 换元法求 基本不等 利用 常数代 常数代换法 基 常数代 基本 本 不 对点 换 不 式 换 换 不 等 消元法求 参 法 的 法求最值 法 法 式 最值 等式求最 数 求最值 的最值 综合问 求最 求最值 求最值 等式求最 的 应 用 值 值 凑 值 独家授权 侵权必究 高考总复习首选用卷数学 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互肤网+教辅专家 法 求 最 值 高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，中等难度 1.了解基本不等式的证明过程 考点研读 2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题 基础巩固练 1.若0<<12，则a(1一2a)的最大值是() A.18 B.14 C,12 D.1 答案：A 解析：由0<a<12,得1-2a>0,则a(1-2a)=12×2a(1-2a)≤I22a+(1-2a)2)2=18, 当且仅当a=14时取等号，故选A 2.已知a>0,b>0,3a+4h=1,则1a+3b的最小值为) A.13 B.19 C.21 D.27 答案：D 解析：1a+3b=ais4 alcol(f1a+3b)avs4alco1(3a+yf4b)=3+12+4ab+9ab≥15+ 24ab)9ab=27,当且仅当4ab=9ab,即a=19,b=6时，等号成立，故1a+3b的最小值为 27 3.已知x>1,则x十1x-1的最小值是() A.6 B.5 C.4 D.3 答案：D 解析：，x>1,∴x-1>0,1x-1>0,x+1x-1=x-1+1x-1+1≥21x-1)+1=2+1=3 ,当且仅当x一1=1x一1，即x=2时，等号成立，故x十1x一1的最小值是3 4.(2025重庆南开中学高三月考)若正实数x,y满足x十4y一y=0,则y的取值范围为() A.(0,4 B.[2,+∞) C.[4,+) D.[16,+∞) 答案：D 2 独家授权侵权必究 高考总复习首选用卷数学 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXxK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 解析：0，y>0,x十4y=y,由基本不等式得x+4y≥24y=4y,即y≥4y,解得xy≥16 故选D 5.已知m,n∈R,且m-3n十4=0，则2m+18m的最小值为() A25764 B.14 C.2)2 D.12 答案：D 解析：，m=3n-4,∴.2m+18m=23-4+18m=8ml6+18n≥28nl8n=12,当且仅当n=23时 取等号. 6.(2024青海西宁二模)早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以 及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术 中项、几何中项的定义与今天大致相同.若2+2=1，则(24+1)2+1)的最大值为) A.916 B.2516 C.94 D.254 答案：C 解析：因为(22+1)2+1)=24×2+22+2b+1,又2a+25=1,所以(2a+1)(2b+1)=22×2b+ 2≤avs4acol02a+2b2)2+2=94,当且仅当2=2，即a=b=-1时取等号.故选C. 7.(2025广东五校高三上开学联考)若a,b∈(0，+o),ab+b=ab,则b的最小值为() A.2 B.4 C.16 D.64 答案：C 2) 解析：因为a,b∈(0，十∞)，所以ab+b≥2arb)b=2a(b),因为ab十b=ab,所以ab≥ 2a(b),所以b≥16，当且仪当a=4时，b的最小值为16.故选C 8.(2025江苏南通海安高级中学高三模拟)己知实数a,b,c满足a十b十c=0,a2+b2十c2 1,则a的最大值是() A.22 B.12 C.603 D.23 答案：C 解析：因为a+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以b+c=-a,b2+c2=1-a2,因为b2+c22≥ avs4a1 col(fb+c22,所以I-a22≥laws4 alcol(0f-a2)2,解得-6)3≤a≤63，所以a 的最大值是6)3故选C 9.(2025江函重点中学盟校开学联考)已知x,y为正实数，且x十y=1,则x十2y十1y的最 小值为() 独家授权侵权必究 高考总复习首选用卷数学 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 A.22+1 B.22-1 C.26+5 D.26-5 答案：C 解析：因为x十y=1,则x十2y+1y=x十2y十x十y=2十3y=2y+3x,由于2y+3x= +y)alws4 alcol0f23x)=2y+3+2+3x=3x+2y+5≥23y2xy+5=26+5,当且仅当\ f3y2xx+y=1,即x=3-r6,y=-2+6) 时，等号成立，所以x十2y十1y的最小值为26十5.故选C 10.(2025·重庆南开中学高三上期末)已知m>1,n>1,lgm=1og100,则mm的最小值为() A.102 B.1022 C.104 D.100 答案：B 解析：，1gm=log100=lgI00gn=2gn,.lgm·gn=2,又m>1,>1,,lgm>0,lgn >0,则g(m)=lgm+lgn≥2 Ig mlg n=22,当且仅当m=n=102时取等号，，∴m≥1022.故 选B 11.(多选)下列说法正确的是( A.x+1c>0)的最小值是2 B.x2+2r2+2)的最小值是2 Cx2+5r2+4)的最小值是2 D.2-3x-4红的最大值是2-43 答案：AB 解析：当x>0时，x+x≥21x)=2avs4 alcol(当且仅当x=x),即x=I时取等号)，A正 确：，x2≥0，x2+2r2十2=x2+2≥2，B正确：x2+5wr2+4)=x2+4+12+4)=x2 十4+1r2+4),令t=x2十4，则t∈[2，+o∞)，y=十1t在2，+o∞)上单调递增，∴.1+ 11≥2+12=52，即x2+5r2十4)≥52，C错误：当x<0时，2-3x一4红无最大值，D错误.故 选AB 12.(多选)已知正实数a,b满足a十2b=ab,则下列不等式正确的是() A2a+1b≥2 B.a+2b≥8 C.log2a+log2b<3 D.2a+b≥9 答案：BD 解析：对于A,因为正实数a,五满足a十2b=ab,所以a+2bab=1,即2a十1b=1,所以A 错误：对于B,因为a>0,b>0,a+2b=ab,所以a+2b≥22ab=22(a+2b,当且仅当a =2b时取等号，所以(a+2b)2≥8(a十2b),因为a+2b>0,所以a十2b≥8，当且仅当a=2b 时取等号，所以B正确：对于C,若log2a十log2b<3,则1og2a十log2b=log2(ab)<3=log28, ◆独家授权侵权必究· 高考总复习首选用卷数学 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 所以ab<8,所以a+2b<8,而由B项可知a+2b≥8，所以log2a十logb<3不成立，所以C 错误：对于D,因为2a+1b=1,所以2a+b=(2a+b)avs4 aNcol(f21b)=5+2ab+2ba≥5 +22a2ba=9,当且仅当2ba=2ab,2a十1b=1,即a=b=3时取等号，所以D正确，故选 BD 13.若正实数x,y满足x+2y+2y一8=0，则x+2y的最小值为 答案：4 解析：，正实数x,y满足x+2y+2y-8=0,x+2y+1as4alco1fe+2y2)2-8≥0.设x +2y=t>0,.1+14-8≥0，.2+4t-32≥0，即(t+8t-4)≥0，∴.t≥4，即x+2y≥4， 当且仅当x=2,y=1时取等号，故x+2y的最小值为4. 14.(2024江西部分学校高三下5月月考)若正实数a,b满足a十4b=4,则的最小值为 答案：22 解析：由正实数a,b满足a十4b=4,得4=a十4b≥2a4b=4ab,所以ab≤1，当且仅当a= 4b=2时取等号，≥=22rab)ab)=22rab)小，当且仅当a=2b时取等号，所以≥22r(ab》≥22 ,两个不等式等号成立的条件相同，所以≥22，当且仅当α=2，b=12时，取得最小值22 Q综合提升练 15.(2025贵州部分学校高三入学考试)已知圆C:x2+y2-4x一6y+4=0关于直线1：x+by-1 =0(ab>0)对称，则12a+13b的最小值是() A.2 B.3 C.6 D.4 答案：D 解析：因为圆C:(c-2)2+y-3)2=9关于直线1：a+by-1=0(ab>0)对称，所以直线1过 圆心(2,3)，即2a+3b=1,则12a+13b=avs4alco10f1136)(2a+3b)=2+3b2a+2a3b, 因为ab>0,且2a+3b=1,所以a>0,b>0,所以12a+13b=2+3b2a+2a3b≥2+23b2a3b= 4,当且仅当3b2a=2a3b,即a=14,b=16时，等号成立，则12a+13b的最小值是4.故选 D 16.(2025广东六校高三第一次联考)将半径为R的铁球磨制成一个圆柱体零件，则可能制作 的圆柱体零件的侧面积的最大值为() A.R2 B.2R2 C.22R2 D.4πR2 答案：B 解析：设圆柱的底面半径为T,高为h,由圆柱体零件的侧面积最大可得圆柱体内接于球，此 时圆柱的轴的中点为球的球心，所以2+as4aco1(f2)2=R2,由基本不等式可得2+1 5 。独家授权侵权必究 高考总复习首选用卷数学 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 avs4 alico1yh2)2≥2×r×h2=h,当且仅当r=2)2R,h=2R时，等号成立，所以h≤R2, 由圆柱的侧面积公式可得，圆柱的侧面积S=2rh,所以S≤2rR2,当且仅当”=2)2R,h =2R时，等号成立，所以可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为2rR2故选B. 17.(2025河南部分重，点中学高三上第一次综合测试)在△ABC中，角A,B,C的对边分别 为a,b,c,已知△4BC的周长为3，则4a十b+lc的最小值为() A.32 B.94 C.3 D.103 答案：C 解析：由题意得a十b+c=3,a>0,b>0,c>0,所以a十b>0,c>0,则4a十b+1c=43a十b +13c=43+13aws4 alcol(f4ca+bc+13≥53+234ca+bc=3,当且仅当4ca十b=a+bc, 即a+b=2,c=1)时，等号成立，故4a+b+1c的最小值为3.故选C 18.(2025甘肃张掖模拟)己知a>b>c,若1a一b+1b一c=ma一c成立，则实数m的最小值为 () A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解析：令x=a-b,y=b一c,则x十y=a-c,因为>b>c,所以x>0,y>0,因为1a-b十1b-c =ma一c,所以avs4 alcol(f11b-c(a-c)=m,则m=avs4 alcol(f(1lyx+y)=2+x+ y≥2+2y=4,当且仅当x=y时取等号，所以实数m的最小值为4.故选C 19.(多选)(2024广东深圳高三期末)已知a,b均为正实数，直线11：x十(a-2y+1=0,2: 2bx+y-2=0,且41⊥2，则( A.ab的最大值是1 B.a2+b2的最小值是45 C.29+4中的最小值是4 D.1a+1+2b的最小值是3 答案：BC 解析：由1⊥l2,得1×2b+(a-2)×1=0,即a十2b=2,且a,b均为正实数.对于A,2ab ≤1avs4 alcol(0fa+2b2)2=1,即ab≤12，故A错误：对于B,由a+2b=2,得a=2-2b, 且有2-2b>0,b>0,)即0<b<1,a2+b2=(2-2b)2+b2=5b2-8b+4=51alvs4alco1b- f45)2+45,故当b=45时，a2+b2有最小值45，故B正确：对于C,20+4=24十22b≥22a 22b=22a+2b=4,当且仅当2a=22b,即a=1,b=12时，等号成立，故C正确；对于D, 由a+2b=2,得a+1+2b=3,故1a+1+2b=13avs4 alcol(f12b(a+1+2b)=13 alvs4alco1(1+4+f2b2a+2b)≥13aws4aco1(5+2r0f(2b2a+2b)=13×(5+4)=3,取等 ◆独家授权侵权必究 高考总复习首选用卷数学 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 号时需2ba+1=2a+2b,即b=a+1=1,此时a=0,不符合要求，故不能取等号，即1a+1 +2b>3,故D错误.故选BC 20.(多选)(2024浙江名校协作体高三二模)已知正实数a,b,c,且a≥b>c,x,y,z为自然 数，则满足xa一b十yb一c十zc一a>0恒成立的x,y,z可以是() A.x=1,y=1,z=4 B.x=1,y=2,z=5 C.x=2,y=2,z=7 D.x=1,y=3,z=9 答案：BC 解析：因为正实数a,b,c,且a≥b>c,x,y,z为自然数，所以a一b>0,b一c心0，a一c0, 则xa-b+b一c十zc一a>0恒成立，即xa-b+yb一c>za一c恒成立，两边同乘a一c=a一b十 b-c,(a-b+b-c)awvs4alicol(f(xyb-c)>2,(a-b+b-c)als4alcol(f(xyb-c)=x+y +x(b-c)a-b+y(a-b)b-c≥x+y+2y=(x+y)2,当且仅当x(b-c)a-b=y(a-b) b一c,即xy=las4 alcol(fa-bb-c)2时，等号成立，若xa一b+yb一c+zc一a>0恒成立， 则x十y)2>z恒成立.对于A,当x=1,y=1,z=4时，（心十y)2=4=名，不成立，A不符合题 意；对于B,当x=1,y=2,z=5时，x十y)2=3+22>z=5,成立，B符合题意：对于C, 当x=2,y=2,z=7时，(x+y2=8>2=7,成立，C符合题意；对于D,当x=1,y=3,z =9时，(x十y)2=4+23<z=9,不成立，D不符合题意.故选BC 21.(2024上海延安中学高三三模)己知函数fx)=x3+2,若m>0,n0,且f2m)+n-1) =0),则1m十2的最小值是 答案：8 解析：因为函数x)的定义域为R,且一x)=(一x)3-2x=一x),所以x)为奇函数，又fx) =3x2+20,所以函数)单调递增，又0)=0，所以2m)+fn-1)=0,所以2m十n-1 0,即2m+n=1,所以1m+2n=avs4 alcol(f12m2m+m)=4+m+4mn≥4+2n4mn=8, 当且仅当m=4mm,即n=12,m=14时，等号成立，所以1m十2n的最小值为8， 22.(2024江苏南京二十九中学高三10月调研)设正实数b,c满足b十c=6,且a>一1，则 ac2+2abc+1a+1的最小值为 答案：22-2 解析：ac2+2abc+1a十1=ac2+2bc+la+I,由于a,b,c是正实数，且b+c=6,所以c2 +2bc=cb+2bc=cb+13X (b+c)2bc=cb+13Xb2+2bc+c2bc=cb+b3c+23+c3b=4c3b +b3c+23≥24cb3c+23=43+23=2,当且仅当4c3b=b3c,即b=6)3,c=6)3时，等号成 立，则c2+2bc的最小值为2，所以ac2十2abc+1a十1≥2a+1a+1=2(a+1)+1a十1-2≥21a 十1)-2=22-2，当且仅当2(a+1)=1a+1,即a=2)2-1时，等号成立，则ac2+2abc+1a 十1的最小值为22-2 。独家授权侵权必究· 高考总复习首选用卷数学 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 素养深化练 23.(2024山东淄博二模)记maxx,y,z表示x,y,z中最大的数.已知x,y均为正实数， 则maxf21y以，x2+42的最小值为() A.12 B.1 C.2 D.4 答案：C 解析：由题意可知，x,y均为正实数，设M=maxf(2ly以，x2+y2,则M≥2>0，M1y>0, M≥x2+4y20,则3M≥2x+y+x2+4y2≥2x+1y+2x22=2x+1y+4y,当且仅当x2=4y2 ,即x=2y时，等号成立，又因为2x十1y+4y≥321y=6,当且仅当2x=1y=4y,即x=2y =1时，等号成立，可得3M≥6，即M≥2，所以M=maxf21y,x2十42的最小值为2.故 选C 24.(2024河南名校联盟高三模拟)出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后 面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定 理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证 法证明了勾股定理.在图1、图2中，若AC=b,BC=a(b≥)，AB=c,图中两个阴影三角 形的周长分别为1，五，则1十2a+b的最小值为 图1 图2 答案：1+22 解析：如图1，易知△BDEn△ACB,且BD=CD-BC=b一a,所以BDAC=b一ab=I1a+b 十c,所以1=b一ab(a十b十c):如图2，易知△GFHn△ACB,且FG=a,所以FGAC=ab =12a+b+c,所以h2=ab(a+b+c),所以11+2a+b=a+b+ca+b=1+a2+b2)a+b=1+ a2+b2a2+b2+2ab)=1+12aba2+b2),又因为a2+b2≥2ab,所以2aba2+b2≤1，当且仅当 a=b时取等号，所以11+2a+b≥1+11+1)=1+2)2，所以11+12a+b的最小值为1+2)2 ◆独家授权侵权必究· 高考总复习首选用卷数学 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 图1 图2 2026高考预测 25.若x,y,z均为正实数，且x2+y+2z十2yz=4,则2x十y十2z的最小值是 答案：4 解析：由x2+y+2z+2yz=4,得2z=4-x2-r十y,所以2x十y+2z=2x+y+4一x2-x 十y=(2x+y)(x十y)+4-x2-x+y=2x2+3y+y2+4-x2-x+y=x2+2xy+y2+ +y=(x十y)2++y=x+y+4k+y≥2+=4，当且仅当x+y=4r+y,即x+y=2时， 等号成立，故2十y十2z的最小值是4. ·独家授权侵权必究·