精品解析：安徽省马鞍山市第二中学2025届高三下学期高考适应性考试数学试题

安徽省马鞍山市第二中学2025届高三下学期高考适应性考试数学试题 （本试卷总分150分，考试时间120分钟） 命题人：唐海燕、高莹、陈浩菁、尹冠秋 审题人：卢建军 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即得. 【详解】根据题意可得，. 故选：D. 2. 设不共线，，若A，B，D三点共线，则实数 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线定理求解． 【详解】由已知， 又三点共线，则共线，而不共线，， 所以，即， 故选：A． 3. 已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由计算可得弦心距，进而可得，根据充分条件与必要条件判断即可. 【详解】由直线与圆交于A，B两点可得， 即弦心距， 又因，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 若函数的图象关于对称，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的定义域，结合对称性特点求出，再验证得解. 【详解】函数有意义，则，由的图象关于点对称， 得的定义域关于数2对称，由不在的定义域内，得不在的定义域内， 则，即，此时，， ， 因此函数的图象关于点对称，符合题意， 所以. 故选：A 5. 如图，A，B是直线与函数图象的两个交点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用求出，由求出，得到，再求即可. 【详解】设，则， 由得，， 所以，即，解得，所以， 由得， 可得， 所以， 当是偶数时，， 所以，由图知，而所以不符合题意； 当是奇数时， ， ，由图知，，所以符合题意， 所以. 综上，. 故选：D. 6. 若等差数列的公差，等比数列的公比，且，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列、等比数列的通项公式变形即可得解. 【详解】因为， 所以，即， 由， 所以，即， 故选：C 7. 设抛物线的焦点为F，x轴上方有两点A，B在上，若直线AF与BF的倾斜角互补，且点到准线的距离为3，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由焦半径公式可得到点坐标，利用直线AF与BF的倾斜角互补，可计算出点坐标. 【详解】抛物线 的焦点坐标为；设，满足， 由抛物线的定义知：，所以，再代入到抛物线中可得到， ，又直线AF与BF的倾斜角互补，， 设，则， 又，联立可得到， 解得或（舍去，与重合）. 故选：B 8. 已知函数的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，，利用导数的几何意义判断出，写出函数在两点处的切线方程，再根据两直线重合列式，构造函数，利用导数可求出结果. 【详解】当时，， 当时，， 设，，，不妨设， 若且，则由曲线在两点处的切线重合，得， 得，与矛盾， 若且，则由曲线在两点处的切线重合，得， 得，与矛盾， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 由曲线在两点处的切线重合，得且， 所以， 令 ， 因为，所以，所以单调递增，所以， 因为 所以. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某班有10名同学，现在选出3名去参加歌唱比赛，则不同的选法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，根据组合数问题和排列数定义直接计算即可判断；对于CD，根据特定的同学入选与否进行分类计数即可求解判断． 【详解】对于AB，从10名同学选出3名去参加歌唱比赛，则不同的选法种数为，故A正确，B错误； 对于CD，从10名同学选出3名去参加歌唱比赛，根据甲同学入选与否可得不同的选法种数为， 从10名同学选出3名去参加歌唱比赛，根据甲乙两名同学入选与否可得不同的选法种数为， 故CD正确. 故选：ACD 10. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. 的外接圆半径为 C. 若，则的面积为 D. 边上中线的最大值为4 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角来求出利用正弦定理求外接圆半径，利用勾股定理来判断直角三角形求出的面积为，利用中线长公式，再结合基本不等式可求出最大值为，从而可作出各选项的判断. 【详解】对于A：由和正弦定理，可得 移项得，即 因，则，代入上式，得， 因，则，故， 又因为，则，故A错误； 对于B：由正弦定理，，即三角形的外接圆半径为故B正确； 对于C：由余弦定理得，， 因为，所以，， 又因为，则， 可知三角形的面积为，故C正确； 对于D：由余弦定理和基本不等式，可得，当且仅当时取等号， 因为边上的中线，则有， 两边取平方，可得， 则，当且仅当时的最大值为 ，故D错误． 故选：BC. 11. 已知为椭圆的左焦点，点在椭圆上，记，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 若直线与单位圆相切，点在轴左侧，则 D. 若直线与轴重合，，则椭圆的离心率 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A,B，需根据椭圆的定义和性质判断取最大值最小值时的位置即可计算；对于选项C，将每条线段的长度表示出来并化简即可求解；对于选项D，根据椭圆的性质即可计算判断. 【详解】对于选项A：如图：设椭圆的右焦点为. 因为， 因为，当三点共线时取“”， 所以，当三点共线时取“”，故A正确； 对于选项B： 取，则A，B无限接近时，无限接近，故B错误； 对于选项C：如图： 设与单位圆相切于，则根据勾股定理， 因为， 故，同理，即，故C正确； 对于选项D：此时，解得，，所以离心率，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量服从正态分布，且，则正数 =____. 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：由题意可得：，当时不符合题意，所 以. 考点：正态分布. 13. 已知是关于的方程的一个根，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】将方程的根代入方程，化为复数的代数形式，根据复数为零求出参数的值. 【详解】由题，，即， 所以，得，，所以. 故答案为：1. 14. 市第二中学开展劳动实践活动，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，要求切割面经过圆台的两条母线．若切割面经过圆台的上下底面圆心，且面积为，则圆台外接球的表面积为___________；若切割面的面积取最大值时不经过上下底面圆心，则圆台的高的取值范围为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用轴截面是等腰梯形，可求出圆台的高，再由外接球球心在轴线上，利用勾股定理可求外接球半径，从而可求得球的表面积；利用圆台斜截面面积的计算转化圆锥斜截面计算，这样就可利用等腰截面的顶角为变量来表示面积，并可判断最大值情形，由此可得轴截面的顶角一定是钝角，再去利用顶角去表示高，从而可求高的取值范围. 【详解】 当切割面经过圆台上下底面圆心时，切割面为等腰梯形， 由面积公式可得：，得高， 若圆台外接球球心在高的线段上，设圆台的外接球半径， 则，解得； 若圆台外接球球心在高的线段延长线上，设圆台的外接球半径， 则，解得； 综上可得球心就是，即外接球的表面积为； 如图，将圆台补成圆锥，设圆台的母线长， 根据三角形的中位线定理，可得则圆锥母线长为． 再任意作截面，设，则圆台的切割面为等腰梯形， 且面积． 当切割面的面积取最大值时且不经过上下底面圆心时，可知的最大角为钝角． 且面积，此时有， 设圆台的高为，根据等腰梯形，可知， 因为，所以，故． 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有极小值，且极小值大于，求的取值范围． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，对函数进行求导，分和来讨论单调性； （2）由（1）求出函数的极小值，列出不等式，将不等式转化为，令，研究函数的单调性来求解即可． 【小问1详解】 的定义域为． ①时，，此时在上单调递减； ②时，令得，令得， 此时在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由（1）知时，，整理得． 令，则，当且仅当即时取等号， 故在上单调递增，又，所以的取值范围为． 16. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，是线段PC上的一点． （1）求证：平面平面PAC； （2）若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，求CG的长． 【答案】（1）证明：连接BD，因为E，F分别是线段PB，PD的中点，所以． 因为平面平面ABCD，所以，即， 又ABCD为正方形，所以，即， 又平面PAC，所以平面PAC，又平面EFG， 所以平面平面PAC． （2）或． 【解析】 【分析】（1）连接BD，由线面垂直的性质得到，再由面面垂直的判定定理证明可得； （2）建立如图所示空间直角坐标系，设，求出平面AEF的一个法向量，代入空间线面角公式计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则， 设，则． 设平面AEF的一个法向量为，则，令得． 设直线AG与平面AEF所成角为，则 解得或，所以或． 17. 甲、乙两人进行游戏比赛，游戏共五局，先获得三局胜利的人赢得比赛；比赛分为进攻方与防守方，一方进攻则另一方防守，进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利，一方进攻成功则继续进攻，一方进攻失败则更换进攻方；甲在进攻方胜率为a，乙在进攻方胜率为，甲优先进攻． （1）第二局乙获胜的概率； （2）若，求甲在四局以内赢得比赛的概率； （3）若，记游戏局数为，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设第二局乙获胜为事件A，则有第一局甲进攻甲胜且第二局甲进攻乙胜，第一局甲进攻乙胜且第二局乙进攻乙胜两种情况，再根据独立事件乘法公式计算即可； （2）根据题意比赛可能进行三局或四局，求出对于概率，再相加即可. （3）根据题意比赛可能进行3,4,5局三种情况，求出对于概率，再计算期望，再利用基本不等式和二次函数性质可得最大值. 【小问1详解】 设第二局乙获胜的概率为， 则． 【小问2详解】 设比赛三局甲获胜的概率为，比赛四局甲获胜的概率为， 则， 代入，得甲在四局以内赢得比赛的概率. 【小问3详解】 若，则每局游戏中甲获胜的概率为，失败的概率为． 由题意，． 于是，利用， 因为，所以时，取得最大值． 18. 平面直角坐标系中，已知点，动点在轴上的投影为，且，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知点，在曲线上，点在轴上方且异于点，点在轴下方，直线，，与轴分别交于点，，． （i）若，求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）联立直线与得：， 由韦达定理，，由， 在直线中，令得，同理，又， 于是 . 【解析】 【分析】（1）设，则，由题意列式即可求解； （2）（i）直线与得，同理可得，得后即可求解；（ii）联立直线与由韦达定理得，设直线方程，求出，，，利用两点间距离公式化简即得证. 【小问1详解】 设，则，由得， 整理得曲线的方程为：． 【小问2详解】 （i）联立直线与得：，故， 又，以替代，得，所以，即轴． 于是，，即|AB|的取值范围为． （ii）略 19. 已知且，数列，定义数列的一个变换，在变换下数列变为新的数列，记，设． （1）若，求； （2）若，且，记数列的末项为，求数列的前100项的和； （3）若，数列不是常数列，求证：存在，使得对任意，数列中至少有一项的绝对值大于2025． 【答案】（1）， （2）9999 （3）证明：当时，记数列， 则时，不全为 ． 故时， ． 取使得， 则对任意，故中至少有一个数大于， 即数列中至少有一项的绝对值大于2025． 【解析】 【分析】（1）由题意，逐项计算，可得答案； （2）利用列举法，可得数列的通项，求和，可得答案； （3）由题意，设出数列的每一项，根据定义，整理等式与不等式，利用其递推关系，可得答案. 【小问1详解】 由定义知：， ． 【小问2详解】 由题，，故；，故； ，故，依次类推知； 故． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省马鞍山市第二中学2025届高三下学期高考适应性考试数学试题 （本试卷总分150分，考试时间120分钟） 命题人：唐海燕、高莹、陈浩菁、尹冠秋 审题人：卢建军 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设不共线，，若A，B，D三点共线，则实数 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若函数的图象关于对称，且，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 如图，A，B是直线与函数图象的两个交点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若等差数列的公差，等比数列的公比，且，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 7. 设抛物线的焦点为F，x轴上方有两点A，B在上，若直线AF与BF的倾斜角互补，且点到准线的距离为3，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知函数的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某班有10名同学，现在选出3名去参加歌唱比赛，则不同的选法种数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. 的外接圆半径为 C. 若，则的面积为 D. 边上中线的最大值为4 11. 已知为椭圆的左焦点，点在椭圆上，记，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 若直线与单位圆相切，点在轴左侧，则 D. 若直线与轴重合，，则椭圆的离心率 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量服从正态分布，且，则正数 =____. 13. 已知是关于的方程的一个根，则______. 14. 市第二中学开展劳动实践活动，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，要求切割面经过圆台的两条母线．若切割面经过圆台的上下底面圆心，且面积为，则圆台外接球的表面积为___________；若切割面的面积取最大值时不经过上下底面圆心，则圆台的高的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有极小值，且极小值大于，求的取值范围． 16. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，是线段PC上的一点． （1）求证：平面平面PAC； （2）若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，求CG的长． 17. 甲、乙两人进行游戏比赛，游戏共五局，先获得三局胜利的人赢得比赛；比赛分为进攻方与防守方，一方进攻则另一方防守，进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利，一方进攻成功则继续进攻，一方进攻失败则更换进攻方；甲在进攻方胜率为a，乙在进攻方胜率为，甲优先进攻． （1）第二局乙获胜的概率； （2）若，求甲在四局以内赢得比赛的概率； （3）若，记游戏局数为，求的最大值． 18. 平面直角坐标系中，已知点，动点在轴上的投影为，且，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知点，在曲线上，点在轴上方且异于点，点在轴下方，直线，，与轴分别交于点，，． （i）若，求的取值范围； （ii）求证：． 19. 已知且，数列，定义数列的一个变换，在变换下数列变为新的数列，记，设． （1）若，求； （2）若，且，记数列的末项为，求数列的前100项的和； （3）若，数列不是常数列，求证：存在，使得对任意，数列中至少有一项的绝对值大于2025． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $