专题02 子集、全集、补集七种典型题型（高效培优专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题02 子集、全集、补集七种典型题型 题型一：集合间的关系的判断 题型二：空集的判断、性质及应用 题型三：（真）子集的列举与个数的计算 题型四：利用(真)子集的个数求参 题型五：利用集合间的关系求参数 题型六：补集及其运算 题型七：集合间关系的新定义问题 题型一：集合间的关系的判断 1．下列各式中关系符号运用正确的是（ ） A． B． C． D． 2.已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ） A． B． C． D． 3.设集合，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 4.（多选）下列关系式正确的为（ ） A． B． C． D． 5.（多选）若集合，则之间的关系是（ ） A． B． C． D． 题型二：空集的判断、性质及应用 6.下列写法中正确的是（ ） A. B. C. D. 7.已知集合A.若A为空集，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知集合，且，则实数的取值范围是____. 9．已知集合，， （1）若A为空集，求实数a的取值范围； （2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围. 题型三：（真）子集的列举与个数的计算 10．已知集合，则集合中元素的子集个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知集合，则集合A的子集的个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 12．已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 13.（多选）已知集合，集合是的真子集，则集合N可以是（ ） A． B． C． D． 14.（多选）若，则（ ） A． B． C． D． 15．已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 16.已知 （1）若，分别求的值.； （2）若，用列举法表示集合. 17.已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 题型四：利用(真)子集的个数求参 18.已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（ ） A．1 B．3 C．4 D．6 19.已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 20．（多选）若集合有且仅有两个子集，则实数a的值可以为（ ） A．0 B．2 C．18 D．3 21．（多选）已知集合恰有4个子集，则的值可能为（ ） A． B． C．0 D．1 22.已知集合的子集只有两个，则实数的值为______． 23.已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是______．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） 题型五：利用集合间的关系求参数 24.集合，集合，若，则实数a取值范围为（ ） A． B． C．a>2 D． 25.已知集合. 若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 26.(多选)设，，若，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 1 27.已知集合，且，则 . 28.已知集合,则的值为____________． 29.设集合，. (1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值； (2)若求实数m的值. 30.设全集，集合，非空集合. （1）若A是B的真子集，求实数a的取值范围； （2）若B是A的子集，求实数a取值范围. 31.已知关于的不等式的解集为，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若___________，求的取值范围. 请在①；②；③A与B没有公共元素这三个条件中任选一个补充在横线处然后作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 32.已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 题型六：补集及其运算 33.设全集，集合，则=（ ） A．{4,5,6} B．{3,4,5} C．{1,2,3,4,5,6} D． 34.已知，，则的非空真子集的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 35.已知集合，设全集，则 ． 36.已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 题型七：集合间关系的新定义问题 37.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（ ） A. 7 B. 15 C. 31 D. 63 38.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为（ ） A． B． C． D． 39.设集合是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称为集合的一个“孤立元”，给定集合，，由中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有 　　个． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 子集、全集、补集七种典型题型 题型一：集合间的关系的判断 题型二：空集的判断、性质及应用 题型三：（真）子集的列举与个数的计算 题型四：利用(真)子集的个数求参 题型五：利用集合间的关系求参数 题型六：补集及其运算 题型七：集合间关系的新定义问题 题型一：集合间的关系的判断 1．下列各式中关系符号运用正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，分析四个个选项，利用元素与集合之间是属于关系，集合与集合之间是包含关系即可作出判断. 【解析】由已知， 选项A，1为元素，而为集合，应为，该选项错误； 选项B，为集合，而为集合，应为，该选项错误； 选项C，为集合，为集合，所以，该选项正确； 选项D，为集合，而为集合，应为，该选项错误； 故选：C. 2.已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，分析四个个选项，利用集合与集合之间是包含关系即可作出判断. 【解析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊆A，C⊆A，正方形是矩形，所以C⊆B． 故选B 3.设集合，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合化简，即可由集合间的关系求解. 【解析】由，所以， 故选：B 4.（多选）下列关系式正确的为（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断. 【解析】对于A.元素与集合间是属于与不属于的关系，故A错误； 对于B.含有一个元素0，不是空集，故B错误； 对于C.集合的元素具有无序性，以及任何集合都是它本身的子集，故C正确； 对于D.空集是任何集合的子集，故D正确. 故选：CD． 5.（多选）若集合，则之间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合间的关系分析理解. 【解析】∵，， 且为奇数，为整数， ∴，即，A、D错误，C正确； 又∵，且均为整数， ∴，B正确； 故选：BC. 题型二：空集的判断、性质及应用 6.下列写法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】正确利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系，判断选项即可． 【解析】A．，故选项不正确，不符合题意； B．是没有元素的，故，故选项不正确，不符合题意； C．空集是任何集合的子集，故选项正确，符合题意； D．，是集合与集合之间的关系，故选项不正确，不符合题意； 故选：C． 7.已知集合A.若A为空集，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合A为空集，结合根的判别式即可. 【解析】当集合为空集时， ， 则实数的取值范围是. 故选：A 8．已知集合，且，则实数的取值范围是____. 【答案】m≥1 【分析】由集合M为空集，列出不等式即可. 【解析】∵M＝∅，∴2m≥m＋1，∴m≥1. 故答案为m≥1 9．已知集合，， （1）若A为空集，求实数a的取值范围； （2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)根据给定条件，利用空集的意义列式作答； (2)利用集合的包含关系列出不等式组求解即得. 【解析】（1）因是空集，则，解得， 所以实数a的取值范围是； 题型三：（真）子集的列举与个数的计算 10．已知集合，则集合中元素的子集个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先利用常用数集的定义化简集合，从而利用子集的个数公式即可得解. 【解析】因为，有2个元素， 所以的子集个数为个. 故选：D. 11．已知集合，则集合A的子集的个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】用列举法表示集合A，再写出其子集即可作答. 【解析】集合， 则集合A的子集有：，共8个， 所以集合A的子集的个数为8. 故选：D 12．已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可. 【解析】因为， 所以集合可以为：， 共8个， 故选：C. 13.（多选）已知集合，集合是的真子集，则集合N可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用集合关系，判断中必须有2，4，结合 是的真子集，即可得求解． 【解析】集合，集合， 则集合中至少包含2，4两个元素，又不能等于或多于，2，3，4，中的元素， 所以集合可以是,,, 故选：ABC 14.（多选）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据子集和真子集的定义即可得解. 【解析】因为， 所以或或. 故选：ABC. 15．已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【分析】根据子集的定义即可得解. 【解析】由条件可知，，，，，，， 所以集合，集合的子集的个数为个. 故选：C 16.已知 （1）若，分别求的值.； （2）若，用列举法表示集合. 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【分析】（1）求出方程，进而求出. （2）利用集合的包含关系求出，进而求出集合. 【解析】（1）由，得或， 而，则是方程的二根， 所以. （2）由（1）知，，由，得或或， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 17.已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【答案】(1)；； (2)8个子集，7个真子集，6个非空真子集； (3)个子集，个真子集，个非空真子集. 【分析】利用子集、真子集、非空真子集的定义计算即可. 【解析】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为； （2）由题意可知， 所以其子集为：，共个， 真子集为：，共个， 非空真子集为：，共个； （3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个， 非空真子集个数为个. 题型四：利用(真)子集的个数求参 18.已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（ ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】首先列出集合的非空子集，即可得到方程，解得即可. 【解析】集合的非空子集有、、， 所以， 解得. 故选：D 19.已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据真子集的个数可得或者为单元素集，进而根据方程的根可求解. 【解析】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多一个，故或者为单元素集， 当时，则且，解得， 当为单元素集，则中只有一个元素，当时，符合题意，当时，则，解得 ， 综上，或， 故选：D 20．（多选）若集合有且仅有两个子集，则实数a的值可以为（ ） A．0 B．2 C．18 D．3 【答案】ABC 【分析】根据集合子集个数确定元素的个数，讨论、，结合一元二次方程中判别式求参数值. 【解析】由题意，集合A中只有一个元素，即方程仅有一个解， 当时，，可得或； 当时，方程为仅有一解，满足题设； 综上，实数a的值为0，2，18. 故选：ABC 21．（多选）已知集合恰有4个子集，则的值可能为（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】集合恰有4个子集，则集合有2个元素，问题转化为有两个不相等的实数解即可. 【解析】因为集合恰有4个子集，所以集合有2个元素，则有两个不相等的实数解，则，解得. 故选：ABC. 22.已知集合的子集只有两个，则实数的值为______． 【答案】0或1 【分析】分类讨论确定集合中元素或元素个数后得出其子集个数，从而得结论． 【解析】时，，子集只有两个，满足题意， 时，若即，则，子集只有1个，不满足题意； 若，即，则集合有两个元素，子集有4个，不满足题意， 时，，，子集只有两个，满足题意， 所以或1. 故答案为：0或1， 23.已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是______．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据题意得集合A中所含元素个数，再通过二次方程得答案. 【解析】集合恰有两个非空真子集, 则集合A中含有2个元素，即方程由2个不等实根， ， 解得且. 故答案为：（答案不唯一）. 题型五：利用集合间的关系求参数 24.集合，集合，若，则实数a取值范围为（ ） A． B． C．a>2 D． 【答案】D 【分析】根据列出不等式，即可求解. 【解析】因为，所以. 故选：D 25.已知集合. 若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【解析】因为则 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：实数a取值范围为. 故选：C. 26.(多选)设，，若，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 1 【答案】ABD 【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的a. 【解析】，因为，所以或或或， 若，则； 若，则； 若，则； 若，无解． 故选：ABD 27.已知集合，且，则 . 【答案】2 【分析】根据子集的性质进行求解即可. 【解析】①当时，，舍去, ②，由上可知，舍去， 综上所述：， 故答案为： 28.已知集合,则的值为____________． 【答案】0或3 【分析】由集合，得或，由此能求出的值． 【解析】∵集合， ∴或， 解得或或， 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，不成立． 综上，值为0或3． 故答案为：0或3 29.设集合，. (1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值； (2)若求实数m的值. 【答案】(1)1；(2)m＝1或m＝2 【分析】（1）解法一：利用十字相乘法解方程，由题意，可得答案；解法二：根据二次方程根的判别式，结合题意，建立方程，可得答案； （2）求得两个方程的根，利用集合之间的关系，根据分类讨论的思想，可得答案. 【解析】（1）解法一：因为，整理可得，解得或，又B中只有一个元素，故. 解法二：B中有且只有一个元素，所以方程有唯一实根，从而，所以m＝1. （2）由，解得或， 由，整理可得，解得或， B⊆A，当m＝1时，B＝{﹣1}，满足B⊆A， 当m＝2时，B＝{﹣1，﹣2}同样满足B⊆A，故m＝1或m＝2. 30.设全集，集合，非空集合. （1）若A是B的真子集，求实数a的取值范围； （2）若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据，即可解出；（2）根据B是A的子集，即可解出. 【解析】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 31.已知关于的不等式的解集为，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若___________，求的取值范围. 请在①；②；③A与B没有公共元素这三个条件中任选一个补充在横线处然后作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）或；（2）答案见解析. 【分析】（1）由题意，二次方程有解，由判别式求解即可； （2）如选①： 因为，所以分与两种结合二次方程的根的情况讨论即可求解； 如选②： 因为，所以时，所以只需和时即可，代入即可求解； 如选③：分与两种情况讨论即可求解； 【解析】（1）因为，二次方程有解 所以，即， 解得或； （2）如选①： 因为 所以当时，即，解得； 当时，即或， 所以的两个根在区间[1，3]内， 即，解得， 综上，； 如选②： 因为， 所以时， 所以只需和时即可， 即，解得； 如选③： 当时，即，解得； 当时，即或， 所以的两个根均大于3或均小于1， 即或， 解得， 综上，； 32.已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【解析】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 题型六：补集及其运算 33.设全集，集合，则=（ ） A．{4,5,6} B．{3,4,5} C．{1,2,3,4,5,6} D． 【答案】A 【分析】根据补集运算的定义求解. 【解析】，， . 故选：A. 34.已知，，则的非空真子集的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据补集定义求，再由结论确定其非空真子集的个数. 【解析】由已知，非空真子集有个. 故选：A. 35.已知集合，设全集，则 ． 【答案】 【分析】根据补集的定义即可得解. 【解析】因为集合，全集， 所以. 故答案为：. 36.已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）根据补集的概念直接求补集即可. （2）根据集合之间的关系，可求参数的取值范围. 【解析】（1）因为全集，集合， 所以或． （2）因为，所以，故实数a的取值范围是． 题型七：集合间关系的新定义问题 37.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（ ） A. 7 B. 15 C. 31 D. 63 【答案】A 【分析】根据自恋数的定义逐个的进行判断可得集合B，进而即得. 【解析】，所以8是自恋数； ，所以23不是自恋数； ，所以81不是自恋数； ，所以153是自恋数； ，所以254不是自恋数； ，所以370是自恋数. 所以集合. 所以真子集个数：个. 故选：A 38.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、两种情况讨论，当时可得或，解得即可. 【解析】当时，此时，即两个集合构成“鲸吞”， 当时，此时两个集合不能构成“鲸吞”， 则两个集合构成“蚕食”，所以或，解得或， 当时，两个集合构成“蚕食”， 当时，两个集合构成“蚕食”， 综上可得的取值集合为. 故选：C 39.设集合是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称为集合的一个“孤立元”，给定集合，，由中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有 　　个． 【答案】7 【分析】根据集合的新定义，可得集合不含“孤立元”，则集合中的三个数必须连在一起，利用列举法，即可求解． 【解析】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”， 则集合中的三个数必须连在一起， 所以符合题意的集合是，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，，8，，共7个． 故答案为：7． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$