精品解析：山东省临沂市第十八中学2024-2025学年高二下学期第四次测试数学试题

临沂第十八中学2023级高二下学期第四次调研考试 数 学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 函数y=的图象可能是 A. B. C. D. 3. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A. 62% B. 56% C. 46% D. 42% 4. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 5. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　 A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 6. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则下列说法错误的是（ ） A. 甲乙丙三人选择课程方案有种方法 B. 恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为 C. 已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为 D. 设三名同学选择课程“礼”的人数为，则 8. 已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ） A. a<b<c B. b<a<c C. b<c<a D. c<a<b 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知,则下列不等式中,正确的是 A. B. C. D. 10. 甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ） A. B. C. 事件与事件不相互独立 D. ，，是两两互斥的事件 11. 设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为（ ） A. 的图象与轴相切 B. 存在实数，使得的图象与轴相切 C. 若，则方程有唯一实数解 D. 若有两个零点，则的取值范围为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知是定义域为的奇函数，满足.若，则_______ 13. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 14. 设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，． （1）若，求实数a，b满足的条件； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比： 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份代码 1 2 3 4 5 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 （1）求2017—2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）； （2）请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出关于的经验回归方程； （3）预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比． （回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 附：样本相关系数，． 17. 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 18. 已知函数f(x)＝ax＋bx(a>0，b>0，a≠1，b≠1)．设a＝2，b＝. （1）求方程f(x)＝2的根； （2）若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值； 19. 已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂第十八中学2023级高二下学期第四次调研考试 数 学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 2. 函数y=的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择. 详解：令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B; 因为时，，所以排除选项C，选D. 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 3. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A. 62% B. 56% C. 46% D. 42% 【答案】C 【解析】 【分析】由容斥原理即可得解.. 【详解】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为. 故选：C. 4. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是. 故选：D. 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题. 5. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　 A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【详解】4项工作分成3组,可得：=6， 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：种． 故选D. 6. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式定理可知，为正数，为负数，令代入已知式子即可求解. 【详解】因为， 由二项式定理可知，为正数，为负数， 所以. 故选：C 【点睛】本题考查二项式定理求系数的绝对值和；考查运算求解能力；属于基础题. 7. 为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则下列说法错误的是（ ） A. 甲乙丙三人选择课程方案有种方法 B. 恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为 C. 已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为 D. 设三名同学选择课程“礼”的人数为，则 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步乘法原理判断A；结合排列数利用古典概型概率公式计算判断B；计算条件概率判断C；利用二项分布的期望公式求解判断D. 【详解】甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程，则选择方法有种，故A错误； 恰有三门课程没有被三名同学选中，表示三位同学每个人选择了不重复的一门课程， 所以所求的概率为，故B正确； 已知甲不选择课程“御”的概率为，甲乙丙都不选择“御”的概率为， 所以条件概率为，故C正确； 三名同学选择课程“礼”的人数为，则服从二项分布，则， 故D正确. 故选：A. 8. 已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ） A. a<b<c B. b<a<c C. b<c<a D. c<a<b 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系. 【详解】由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述，. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知,则下列不等式中,正确的是 A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据不等式性质可求得，，利用基本不等式可求得，，结合对数函数和指数函数的单调性可依次判断出各个选项. 【详解】且 ， ，正确；，错误； （当且仅当，即时取等号），又 ，错误； （当且仅当时取等号），又 ，正确. 故选： 【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够利用不等式的性质、基本不等式确定幂指数、真数所处的范围，进而得到临界的函数值. 10. 甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ） A. B. C. 事件与事件不相互独立 D. ，，是两两互斥的事件 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析四个选项的真假，可得答案． 【详解】解：甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球． 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件； 再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件， 对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，当发生时，，当不发生时，，事件与事件不相互独立，故C正确； 对D，，，不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正确； 故选：BCD． 【点睛】本题考查概率的基本概念及条件概率，互斥事件概率加法公式，考查运算求解能力. 11. 设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为（ ） A. 的图象与轴相切 B. 存在实数，使得的图象与轴相切 C. 若，则方程有唯一实数解 D. 若有两个零点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过导数的几何意义分别判断函数，与x轴的相切情况；时，求得的单调区间及最值，判断方程是否有唯一实数解；对分类讨论，求得有两个零点时应满足的条件，从而判断选项正误. 【详解】，若的图象与轴相切，则，又，则切点坐标为，满足条件，故A正确； ，， 当时，易知恒成立，不存在为0的解，故不存在实数，使得的图象与轴相切，B错误； 由上所述，在上单减，上单增，则； 若，，，在上单增，上单减，，故方程有唯一实数解，故C正确； ，， 当时，恒成立，单增，不存在2个零点，故舍去； 当时，在上单增，在上单减，且时，，时，，故若有两个零点，则应使最大值， 即， 令，易知单调递减，且， 因此的解集为，D正确； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：利用导数来研究函数的单调性，最值问题，把方程的根的问题，零点问题转化为图像交点问题，利用导数求得最值，从而得证. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知是定义域为的奇函数，满足.若，则_______ 【答案】2 【解析】 【分析】由奇偶性和对称性可得函数周期为4，同时可求得，结合周期性即可求解. 【详解】[方法一]： 因为f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)． 所以f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)． 因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数， 由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2， 故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0， 令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2， 令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0， 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2. [方法二]：特值法 取一个符合题意的函数f(x)＝，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列． 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2. 故答案为：2. [方法三]： 因为是定义域为的奇函数，且， 所以， 因此， 因为，所以， ，从而 故答案为：2 【点睛】本题考查函数的奇偶性与对称性，周期性的综合应用，属于中档题 13. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 【答案】0.18 【解析】 【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查． 【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是 综上所述，甲队以获胜的概率是 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 14. 设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 【答案】 ①. -1; ②. . 【解析】 【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围. 【详解】若函数为奇函数,则， 对任意的恒成立. 若函数是上的增函数,则恒成立,. 即实数的取值范围是 【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，． （1）若，求实数a，b满足的条件； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1），;（2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用并集结果可得，; （2）根据可得，再对集合的解集情况进行分类讨论，即可得答案； 【详解】解：（1）；， ∴，; （2）, ∴分情况讨论①，即时得； ②若，即，中只有一个元素1符合题意； ③若，即时得，∴ ∴综上． 【点睛】由集合间的基本关系求参数时，注意对可变的集合,分空集和不为空集两种情况. 16. 按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比： 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份代码 1 2 3 4 5 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 （1）求2017—2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）； （2）请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出关于的经验回归方程； （3）预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比． （回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 附：样本相关系数，． 【答案】（1） （2） （3）预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15% 【解析】 【分析】（1）由表中数据结合题中数据，求出相关数值，代入相关系数 ，即可得出答案； （2）由（1）知，接近1，即可说明线性相关关系极强；根据（1）中求出的数据，即可求出，，进而得到回归直线方程； （3）将代入回归直线方程，即可预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比. 【小问1详解】 由已知可得，， ， 由题可列下表： 0 1 2 1.3 0.4 ， ． 【小问2详解】 由小问1知，与的相关系数接近1，所以与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述． 由小问1知，， ， 所求经验回归方程为． 【小问3详解】 令，则，预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15%． 17. 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 【答案】（Ⅰ） 0 1 2 3 . （Ⅱ） 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可； (Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值. 【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为， 故，从面. 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的数学期望. (Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则. 且. 由题意知事件与互斥， 且事件与，事件与均相互独立， 从而由(Ⅰ)知： . 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 18. 已知函数f(x)＝ax＋bx(a>0，b>0，a≠1，b≠1)．设a＝2，b＝. （1）求方程f(x)＝2的根； （2）若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值； 【答案】（1）x＝0.（2）4 【解析】 【分析】 （1）将a,b代入，计算求解即得解； （2）通过将变量m分离出来，将问题转化为求分离出的函数的最小值则可. 【详解】（1）因为a＝2，b＝，所以f(x)＝2x＋2－x. 方程f(x)＝2，即2x＋2－x＝2， 亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，于是2x＝1，解得x＝0. （2）由条件知：f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2. 因为f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)>0， 所以对于一切实数R恒成立.而 所以m≤4，故实数m的最大值为4. 【点睛】本题考查了函数、方程、不等式综合，考查了学生综合分析，转化与划归、数学运算的能力，属于中档题. 19. 已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2） 【解析】 【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围. 【详解】(1)当时，，， 由于，故单调递增，注意到，故： 当时，单调递减， 当时，单调递增. (2) [方法一]【最优解】：分离参数 由得，，其中， ①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②.当时，分离参数a得，， 记，， 令， 则，， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此，, 综上可得，实数a的取值范围是. [方法二]：特值探路 当时，恒成立． 只需证当时，恒成立． 当时，． 只需证明⑤式成立． ⑤式， 令， 则， 所以当时，单调递减； 当单调递增； 当单调递减． 从而，即，⑤式成立． 所以当时，恒成立． 综上． [方法三]：指数集中 当时，恒成立， 记， ， ①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意； ②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又， 所以若满足，只需，即，所以当时，成立； ③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立， 所以时，满足题意. 综上，. 【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有： 方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究； 方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性； 方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $