第22章 一元二次方程 巩固新课单元测试卷-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第22章 一元二次方程 巩固新课单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程为一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2， 3．若一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A．4 B．1 C．0 D． 4．把方程配方，化成的形式为（   ） A． B． C． D． 5．某驿站11月1日揽件200件，11月3日揽件242件，设该驿站揽件数日平均增长率为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 6．一元二次方程的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 7．已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解为（   ） A．，B．，C．， D．， 9．已知是实数，且满足则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 10．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．只有②③④ D．只有②③ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11．当 时，是关于的一元二次方程． 12．定义新运算：对于实数，规定．若，则 ． 13．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 14．若m，n为一元二次方程的两个根，则 ． 15．某款羽绒服原售价为元，由于换季，连续两次降价处理，现按元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ． 16．用换元法解分式方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 ． 17．已知m为方程的根，那么的值为 ． 18．如图，，，过点作，延长到，使，连接、．若，则 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．解下列一元二次方程 (1) (2) 20．已知关于x的一元二次方程. (1)若该方程有一个根是，求k的值. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 21．为了保障人民群众的生命安全和身体健康，某感冒退烧药生产企业产能逐步提升，10月份产量为200万片，11月、12月两个月增长率相同，预计12月份产量可达到338万片．求11月、12月这两个月该企业感冒退烧药产量的月增长率． 22．如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 23．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 24．某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． (1)设提价x元，则该水果每千克利润是_______元，每天可以卖出水果_______千克．（用含x的代数式表示） (2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，则单价应定为多少？ 25．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 一元二次方程 巩固新课单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程为一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，从“整式方程” “只含一个未知数” “未知数最高次数是”这几个条件出发，逐一分析每个选项是否符合．本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握“一元二次方程需满足整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为这三个条件”是解题的关键． 【详解】解：选项A：，是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是，符合一元二次方程的定义． 选项B：，未知数最高次数是，是一元一次方程，不符合． 选项C：，方程中含有根式，不是整式方程，不符合一元二次方程“整式方程”的要求． 选项D：，未知数最高次数是，是一元三次方程，不符合． ∴是一元二次方程的是选项A． 故选：A 2．将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且）． 先将一元二次方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：C． 3．若一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A．4 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】解：设另一个根是m， ∵一元二次方程的一个根是， ∴， ∴． 故选：D 4．把方程配方，化成的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法，先把移项，得，配成完全平方公式，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 5．某驿站11月1日揽件200件，11月3日揽件242件，设该驿站揽件数日平均增长率为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程． 驿站11月1日揽件200件，11月3日揽件242件，可列出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：由题意，得 ． 故选C． 6．一元二次方程的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程没有实数根， 故选：C． 7．已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，先利用因式分解法求出方程的解，设第三边为x，根据三角形的三边关系定理得出，再逐个判断即可． 【详解】解： ， 解得：， 则三角形的两边长分别为：2，8， 设第三边为x，则由三角形的三边关系定理得：， 即， 只有8符合题意， 故选：C． 8．已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【详解】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，， ∴方程变形为：， 即或， 解得：或， 故选：D． 9．已知是实数，且满足则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求整式的值，解一元二次方程；设，由配方得，解一元二次方程，即可求解；能熟练解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设，则有 ， ， 解得：，（舍去）， ， 故选：A． 10．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．只有②③④ D．只有②③ 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11．当 时，是关于的一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 12．定义新运算：对于实数，规定．若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程，理解定义新运算，掌握解一元二次方程的方法是关键． 根据新运算得到，运用分解因式法或公式法求解即可． 【详解】解：规定， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 故答案为：或 ． 13．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，根据方程有两个不相等的实数根求解即可得到答案； 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．若m，n为一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系及求代数式的值，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，可得，，再代入，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故答案为：1． 15．某款羽绒服原售价为元，由于换季，连续两次降价处理，现按元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的售价=原售价每次降价的百分率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得： (不符合题意，舍去)， ∴每次降价的百分率为． 故答案为：． 16．用换元法解分式方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的化简，根据题意可把原方程变成，根据分式的化简步骤一步步得到即可； 【详解】解：由题意得：， 两边同时乘以y得： 故答案为： 17．已知m为方程的根，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，则，进而可得，，进一步可得，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵m为方程的根， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：0． 18．如图，，，过点作，延长到，使，连接、．若，则 ． 【答案】/ 【分析】如图，过作，交的延长线于点，设，可得，，证明，，为等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程组可得答案． 【详解】解：如图，如图，过作，交的延长线于点，    设，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， 整理得：， 解得：， 经检验不符合题意； ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， （1）先配方，再开方，可得解； （2）根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 配方，得， 即， 解得，； （2）解：， 因式分解，得， 即或， 解得，． 20．已知关于x的一元二次方程. (1)若该方程有一个根是，求k的值. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的根，根的判别式： （1）把代入，解关于k的方程即可； （2）若该方程有两个不相等的实数根，则，由此可解. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； （2）解：由题意，得， 解得. 21．为了保障人民群众的生命安全和身体健康，某感冒退烧药生产企业产能逐步提升，10月份产量为200万片，11月、12月两个月增长率相同，预计12月份产量可达到338万片．求11月、12月这两个月该企业感冒退烧药产量的月增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 设11月、12月这两个月该企业感冒退烧药产量的月增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的值即可． 【详解】解：设11月、12月这两个月该企业感冒退烧药产量的月增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，故舍去）， ， 答：11月、12月这两个月该企业感冒退烧药产量的月增长率为． 22．如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 23．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)花圃边的长为4米． (2)花圃的面积不能达到，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题成为解题的关键． （1）设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米，由墙的最大可用长度为，可知，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）令，再运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答． 【详解】（1）解：设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米， ∵墙的最大可用长度为， ∴，解得： 由题意可得：， 整理得：，解得：或（舍弃）． 答：花圃边的长为4米． （2）解：花圃的面积不能达到，理由如下： 令， 整理得：， 因为， 所以方程无解，即花圃的面积不能达到． 24．某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． (1)设提价x元，则该水果每千克利润是_______元，每天可以卖出水果_______千克．（用含x的代数式表示） (2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，则单价应定为多少？ 【答案】(1)； (2)单价定为8元/千克 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， （1），根据单件利润等于原来利润加上提价得出代数式，再根据每天卖出的质量减去少卖出的质量得出代数式即可； （2），结合（1），根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，求出解，根据题意舍去不符合题意的解，此题可解． 【详解】（1）解：该水果每千克的利润是（元）；每天可以卖出水果（千克）. 故答案为：；； （2）解：根据题意，得：． 解得：，， 让利于顾客， ， 故单价为8元． 答：单价定为8元/千克． 25．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】【应用】（1）36，6；（2），最小值【探究】，见解析 【分析】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特征求解． （2）先配方，再求最小值． 探究：作差后配方比较大小． 【详解】应用：（1）∵ 故答案为：36，6． （2） ∵， ∴当时，原式有最小值． 【探究】因为，， ； 因为， 所以， 所以， 即． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$