第23章 图形的相似 巩固新课单元测试卷-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第23章 图形的相似 巩固新课单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．三坊七巷是福州著名的历史文化街区，素有“一条三坊七巷半部中国近代史”的美称．若李明将三坊七巷的位置记为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则杨桥中学的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（    ） A． B． C． D． 3．如图，一艘船在A处遇险后向相距，位于B处的救生船报警求助．船员应用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置为（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向，距离为 C．北偏东方向 D．北偏东方向，距离为 4．已知与相似，且相似比为，则与的周长之比是（    ） A． B． C． D． 5．如图，矩形的对角线与相交于点O，，P，Q分别为，的中点，则的长为（     ） A． B．3 C． D． 6．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（   ）    A． B． C． D． 7．已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 9．中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 10．如图，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E，设，，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11．若，则的值为 ． 12．已知点是线段的黄金分割点，那么 ． 13．如图，每个小正方形的边长为1，在中，D，E分别为的中点，则线段的长为 ． 14．我国水墨画发展有着悠远历史，相传始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以来续有发展，重于意境优美，图为水墨画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐标系中，点，，则点A坐标为 ． 15．如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，点D在y轴的正半轴上，则点D的坐标是 ． 16．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为 米． 17．如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是 ． 18．如图，点A，B在反比例函数的图象上，轴于点M，交线段于点C，连结．已知点A，B的横坐标分别为6，4．则的值为 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，相似比是，若的面积是2，求的面积． 20．如图，在网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 21．如图，点D、E是两直角边、上的一点，连接，已知点F、G、H分别是、、的中点．若，那么与有什么数量和位置关系？请说明理由． 22．图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图，只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中，在上找一点，连接平分的周长． (2)在图②中，在上找一点，连接平分的面积． (3)在图③中，在上找一点，连接，使． 23．在和中，，，，点分别为的中点． (1)当点，分别在，上时，如图①，直接写出四边形的形状． (2)当点不在上时，其位置如图②所示． ①（）中的结论成立吗？请说明理由； ②当___________时，四边形是正方形． 24．概念阅读： 如图1，在四边形中，如果对角线和相等，那么我们把这样的四边形称为“和谐四边形”． 问题提出： （1）在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是“和谐四边形”的是__________（填写图形名称）若“和谐四边形”的中点四边形（各边中点顺次连接而成的四边形）是正方形，那么对角线还需要满足的条件是_________． 问题探究： （2）如图2，已知中，，，请你在图中找一点D，满足，且使四边形是“和谐四边形”，并求四边形的面积． 25．如图，在矩形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿着折线运动，作，交边或于点，连结．当点与点重合时，点停止运动． (1)当时，求的面积； (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当平分矩形的面积时，求线段的长； (4)当与矩形的对角线平行时，求线段的长． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23章 图形的相似 巩固新课单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．三坊七巷是福州著名的历史文化街区，素有“一条三坊七巷半部中国近代史”的美称．若李明将三坊七巷的位置记为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则杨桥中学的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，根据杨桥中学在第二象限，结合选项即可求解． 【详解】解：根据坐标系可得杨桥中学在第二象限，则杨桥中学的坐标可能是， 故选：C． 2．如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似中心，连接并延长，则交点即为它们的位似中心，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长，可知交点为， ∴位似中心是， 故选：． 3．如图，一艘船在A处遇险后向相距，位于B处的救生船报警求助．船员应用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置为（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向，距离为 C．北偏东方向 D．北偏东方向，距离为 【答案】B 【分析】本题主要考查了用方位角和距离表示位置，救生船在遇险穿的北偏东方向上，那么遇险穿在救生船的南偏西方向上，二者的距离为，据此可得答案． 【详解】解：∵救生船在遇险穿的北偏东方向上，且二者的距离为， ∴遇险穿在救生船的南偏西方向上，且二者的距离为， 故选：B． 4．已知与相似，且相似比为，则与的周长之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，判断即可． 【详解】解：由题意，与的周长之比是； 故选B． 5．如图，矩形的对角线与相交于点O，，P，Q分别为，的中点，则的长为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理；由矩形的性质得，由三角形中位线定理，即可求解；掌握矩形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， P，Q分别为，的中点， ； 故选：A． 6．跨学科题  物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查相似三角形的应用．设小孔O到的距离为，根据题意可得，利用相似的性质即可得到答案． 【详解】解：设小孔O到的距离为， 由题意可得， ∴， 解得． 故选：A 7．已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 8．如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例是解答本题的关键． 由线段的和差可得，再根据平行线等分线段定理可得即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 9．中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意分类讨论：当时；当时；当时，设，则，可证，解得，；由此即可求解． 【详解】解：当时，， ∴； 当时，点重合，，此时与矛盾，不符合题意，舍去； 当时，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或， 故选：D ． 10．如图，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E，设，，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质等；结合矩形的性质和折叠的性质可判定，由相似三角形的性质得，即可求解；能熟练利用矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 由折叠得：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 图象大致为： 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由，设，代入即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 12．已知点是线段的黄金分割点，那么 ． 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．由题意得，或，即可求解． 【详解】解：依题意，或 故答案为：或． 13．如图，每个小正方形的边长为1，在中，D，E分别为的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中位线定理，依据三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解： ∵D，E分别为的中点，， ∴． 故答案为：． 14．我国水墨画发展有着悠远历史，相传始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以来续有发展，重于意境优美，图为水墨画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐标系中，点，，则点A坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标．根据已知点的坐标，找出原点，建立平面直角坐标系，然后根据点A的位置，写出点A的坐标． 【详解】解：根据点，，建立坐标系，如图所示： ∴点A坐标为：， 故答案为：． 15．如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，点D在y轴的正半轴上，则点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，根据题意可得，，由菱形的性质可得，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∵点D在y轴的正半轴上， ∴， 故答案为：． 16．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为 米． 【答案】 【分析】过点D作于点E，连接，则，再根据同一时刻物高与影长成正比求出的长，进而可得出结论． 本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，连接， 则， ∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 17．如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，通过三角形中位线定理进行转化是解题的关键．连接，先由勾股定理求得，则，再由三角形中位线定理得到，即可求解的最大值． 【详解】解：连接， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵点G为的中点，点H为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当点重合时，取得最大值为5， 故答案为：5． 18．如图，点A，B在反比例函数的图象上，轴于点M，交线段于点C，连结．已知点A，B的横坐标分别为6，4．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线．解题的关键． 延长交于N，得到，进而得到，证得，根据相似三角形的性质求得，，代入即可求出结果． 【详解】解：延长交于N， ∵轴，， ∴轴，， ∴ ， ∵A，B的横坐标分别为6，4， ∴， ∵点A，B在反比例函数（）的图象上， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，相似比是，若的面积是2，求的面积． 【答案】18 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：，相似比是，， ， ， 的面积是18． 20．如图，在网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键． （1）延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，从而得到； （2）利用（1）所画图形可得到的各顶点坐标． 【详解】（1）解：延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，连接，即为所求作的； （2）解：由图可得： 21．如图，点D、E是两直角边、上的一点，连接，已知点F、G、H分别是、、的中点．若，那么与有什么数量和位置关系？请说明理由． 【答案】且．理由见解析 【分析】利用三角形中位线定理，得出线段、与已知线段、的关系，再结合直角三角形的性质，推导与的数量和位置关系．本题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形的性质，熟练掌握“三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，结合直角三角形两锐角互余推导角的关系”是解题的关键． 【详解】解： 且．理由如下： ∵、、分别是、、的中点， ∴，，，， ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴且． 22．图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图，只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中，在上找一点，连接平分的周长． (2)在图②中，在上找一点，连接平分的面积． (3)在图③中，在上找一点，连接，使． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取的中点即可． （2）取的中点即可． （3）取格点，，使，且，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图①，由勾股定理得，， 取的中点， 则点即为所求． （2）解：取的中点， 则点即为所求． （3）解：取格点，，使，且，连接交于点， 此时△△， 则， ， 则点即为所求． 23．在和中，，，，点分别为的中点． (1)当点，分别在，上时，如图①，直接写出四边形的形状． (2)当点不在上时，其位置如图②所示． ①（）中的结论成立吗？请说明理由； ②当___________时，四边形是正方形． 【答案】(1)菱形 (2)①成立，理由见解析；② 【分析】（）利用三角形中位线性质可得，，又由，得，即得，即可求证； （）①连接，可证，得，同理（）可得，，即得，即可求证；②当，四边形是正方形，由三角形中位线的性质可得，，即得，，又由全等三角形的性质得，即可得，即得到，即可求证． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：①成立，理由如下： 如图②，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理（）可得，， ∴， ∴四边形是菱形； ②当，四边形是正方形，理由如下： ∵是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 24．概念阅读： 如图1，在四边形中，如果对角线和相等，那么我们把这样的四边形称为“和谐四边形”． 问题提出： （1）在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是“和谐四边形”的是__________（填写图形名称）若“和谐四边形”的中点四边形（各边中点顺次连接而成的四边形）是正方形，那么对角线还需要满足的条件是_________． 问题探究： （2）如图2，已知中，，，请你在图中找一点D，满足，且使四边形是“和谐四边形”，并求四边形的面积． 【答案】（1）矩形；；（2）图见解析， 【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据矩形，菱形，平行四边形的性质可得第一空答案；如图所示，分别是的中点，由三角形中位线定理可得，由正方形的性质可得，则； （2）取的中点E，过点E作的垂线，在这个垂线上截取一点D使得，连接，则四边形即为所求；先由勾股定理得到，再利用勾股定理求出的长，再由列式计算即可． 【详解】解：（1）在菱形，矩形，平行四边形中，对角线一定相等的只有矩形，故只有矩形一定是“和谐四边形”； 如图所示，分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； ； （2）如图所示，取的中点E，过点E作的垂线，在这个垂线上截取一点D使得，连接，则四边形即为所求； 在中，，， ， ∵四边形是等角线四边形， ， 在中，， ． ∴四边形的面积为 25．如图，在矩形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿着折线运动，作，交边或于点，连结．当点与点重合时，点停止运动． (1)当时，求的面积； (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当平分矩形的面积时，求线段的长； (4)当与矩形的对角线平行时，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）作，证明，得到，勾股定理求出的长，再根据面积公式进行计算即可； （2）勾股定理求出的长，证明，勾股定理求出的长，再利用勾股定理进行求解即可； （3）连接，交于点，当经过点时，平分矩形的面积，作，证明，，得到，，证明，列出比例式进行求解即可； （4）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， 作，则：， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ； （2）∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）连接，交于点，当经过点时，平分矩形的面积，作， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理， ∴； 同（1）可知：为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ； ； （4）当时，如图，过点作，同（3）可知：，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得： 当时，如图：作，由（1）可知：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 解得：； 综上：或． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形和相似三角形，是解题的关键． 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$