专题07 相似三角形八大常考模型（专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题07 相似三角形（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、"A"字型及其变形 题型二、"8"字型及其变形 题型三、"AX"字型 题型四、“子母型” 题型五、“双垂直型” 题型六、一线三等角型 题型七、手拉手型 题型八、三角形内接矩形型 B综合攻坚・能力跃升 题型一、"A"字型及其变形 1．（17-18九年级上·上海松江·期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，=． （1）如果AD=4，求BD的长度； （2）如果S△ADE=2，求S四边形DBCE的值． 【答案】（1）BD=6；（2）S四边形DBCE=． 【分析】（1）根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可； （2）根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可． 【详解】（1）∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴=， ∵=，AD=4， ∴=， ∴BD=6； （2）∵△ADE∽△ABC，=， ∴=（）2， ∵S△ADE=2， ∴=（）2， 解得：S四边形DBCE=． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，能推出△ADE∽△ABC是解此题的关键，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方． 2．如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF∥BC，于是可得△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，再根据相似三角形的性质即可推出结论． 【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中， ∵，， ∴△AEF∽△ABC； （2）∵△AEF∽△ABC， ∴∠AEF=∠ABC， ∴EF∥BC， ∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC， ∴,， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 3．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证． 【详解】解：（1）∵DEBC， ∴， ∵， ∴， ∴DFBE； （2）∵AF＝2，EF＝4， ∴由（1）可知，，AE=6， ∵AB＝6， ∴， ∴， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△AEB． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 4．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G． （1）求证：DF•AB=BC•DG； （2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）由BC2=BF•BA，∠ABC=∠CBF可判断△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论； （2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，易得AH∥DE，由点E为AC的中点得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可． 【详解】证明：（1）∵BC2=BF•BA， ∴BC：BF=BA：BC， 而∠ABC=∠CBF， ∴， ∵DE∥BC， ∴， ∴， ∴DF：BC=DG：BA， ∴DF•AB=BC•DG； （2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图， ∵DE∥BC， ∴AH∥DE， ∵点E为AC的中点， 为的中位线， ∴AH=2EG， ∵AH∥DG， ∴， ∴， ∴， 即2DF•EG=AF•DG． 题型二、"8"字型及其变形 5．（22-23九年级上·北京房山·期中）如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 【答案】1.5 【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，，即可求出CD的长． 【详解】解：∵AD与BC交于O点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例列式． 6．如图与交于，且． （1）求证：∽． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）根据相似三角形的判定解答即可； （2）因为∽，根据相似三角形的性质可知，代入数据解答即可． 【详解】证明：（1） ，， ∽； （2） ∽， ， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 7．已知：如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，，垂足为点，且． （1）求证：； （2）过点作的垂线，交于点，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用条件证明，后证明即可； （2）利用平行线分线段成比例定理，巧用等量代换即可． 【详解】证明：（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了三角形的相似，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的证明，熟练掌握三角形相似的条件，根据平行线分线段成比例定理，选择合适的比例式是解题的关键． 8．如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、． （1）求证：； （2）连接，若．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）易证△BEG∽△AEB，利用对应边成比例即可解决； （2）由（1）的结论及BE=CE，易证明△CEG∽△AEC，从而可得∠CGE=∠ACE，由OB=OC，可得． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABE=90° ∴∠ABG+∠EBG=90° ∵ ∴∠ABG+∠BAG=90° ∴∠EBG=∠BAG ∴Rt△BEG∽Rt△AEB ∴ ∴ （2）由（1）有： ∵BE=CE ∴ ∴ ∵∠CEG=∠AEC ∴△CEG∽△AEC ∴∠CGE=∠ACE ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD ∴OB=OC ∴∠DBC=∠ACE ∴ 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 题型三、"AX"字型 9．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】由ABCD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由ADBC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，进而得出． 【详解】证明：∵ABCD， ∴△AOB∽△COE． ∴OE：OB=OC：OA； ∵ADBC， ∴△AOF∽△COB． ∴OB：OF=OC：OA． ∴OB：OF=OE：OB，即． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，属于中考常考题型． 10．如图，中，中线，交于点，交于点． （1）求的值． （2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 【答案】（1）3；（2），证明见解析 【分析】（1）先证明，再证明，得到，则问题可解； （2）根据题意分别证明，问题可证． 【详解】解：（1）是的中点，是的中点， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． （2）当，时， 由（1）可得 ，，， ， ，， ， 又， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似． 11．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F． （1）求证：； （2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）24． 【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证； （2）先证明，根据相似三角形的性质得出，，进而得出，由得，则答案可解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E为DC的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵的面积为2， ∴，即， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 12．如图，在中，点E在上，，和相交于点F，过点F作，交于点G．    (1)求的值． (2)若， ①求证：． ②求证：． 【答案】(1) (2)①详见解析；②详见解析 【分析】（1）结合题意，根据平行线的性质，通过证明，得；再结合，根据平行线性质，通过证明，根据相似比的性质计算，即可得到答案； （2）①，根据题意计算得；结合（1）的结论，得，从而推导得，通过证明，即可完成证明； ②根据（2）①的结论以及平行线的性质，证明，根据相似三角形的性质计算，即可完成证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）证明：①设， ∵， ∴， ∴， 由（1）的结论，得：， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形、平行线、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、相似三角形的性质，从而完成求解． 题型四、“子母型” 13．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据直角三角形的性质及垂直定义求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 14．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 【答案】(1)的长是 (2)的长是 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）证明，得，所以，进而可得答案； （2）由，得，根据，由相似三角形的性质得，而，则，进而可得答案． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是； （2）解：， ， ，， ， ， ， 的长是． 15．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 16．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B． （1）求证：△AED∽△ADC； （2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，结合∠DAE=∠CAD即可证出△AED∽△ADC； （2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD=AB即可得出AB的长． 【详解】解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB， ∴∠ADE=∠C． 又∵∠DAE=∠CAD， ∴△AED∽△ADC． （2）∵△AED∽△ADC， ∴，即， ∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）． 又∵AD＝AB， ∴AB＝2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长． 题型五、“双垂直型” 17．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键． （1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证； （2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出 （2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长． 【详解】（1）∵， ， ∴； （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键． 19．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F， （Ⅰ）求证：△AFE∽△CFD； （Ⅱ）若AB＝4，AD＝3，求CF的长． 【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ） 【分析】（Ⅰ）根据矩形对边平行，有AE∥DC，可知△AFE∽△CFD； （Ⅱ）根据相似三角形的性质可得，再利用已知线段的长代入即可求出CF的长． 【详解】（Ⅰ）∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥DC， ∴∠FAE＝∠FCD，∠FEA＝∠FDC， ∴△AFE∽△CFD， （Ⅱ）由（1）知△AFE∽△CFD， ∴， 而E是边AB的中点，且AB＝4，AD＝3， ∴AE＝2，AC＝5， ∴， 而AC＝5， ∴AF＝，CF＝， 故CF的长为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例即可利用已知线段求出未知线段的长度． 20．（2024春·福建莆田·九年级校考期末）【问题情境】 （1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD² = AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC² = AB·AD． 【结论运用】 （2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF， ①求证：△BOF∽△BED； ②若，求OF的长． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）证明△ACD∽△ABC，即可得证； （2）①BC2=BO•BD，BC2=BF•BE，即BO•BD=BF•BE，即可求解； ②在Rt△BCE中，BC=3，BE=，利用△BOF∽△BED，即可求解． 【详解】解：（1）证明：如图1，∵CD⊥AB， ∴∠BDC=90°， 而∠A=∠A，∠ACB=90°， ∴△ACD∽△ABC， ∴AC：AB=AD：AC， ∴AC² = AB·AD； （2）①证明：如图2， ∵四边形ABCD为正方形， ∴OC⊥BO，∠BCD=90°， ∴BC2=BO•BD， ∵CF⊥BE， ∴BC2=BF•BE， ∴BO•BD=BF•BE， 即，而∠OBF=∠EBD， ∴△BOF∽△BED； ②∵在Rt△BCE中，BC=3，BE=， ∴CE=， ∴DE=BC-CE=2； 在Rt△OBC中，OB=BC=， ∵△BOF∽△BED， ∴，即， ∴OF=. 【点睛】本题为三角形相似综合题，涉及到勾股定理运用、正方形基本知识等，难点在于找到相似三角形，此类题目通常难度较大． 题型六、一线三等角型 21．（20-21九年级上·四川·阶段练习）如图，在中，，，点为边上一点，且，点为中点，． （1）求的长． （2）求证：． 【答案】（1）5；（2）证明见解析； 【分析】（1）先证明出∽，得出，假设BD为x，则DC=15-x，代入分式方程求出BD的长； （2）由（1）可知，推出≌，得出结果； 【详解】（1）∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴∽，∴， ∵为中点，∴， ∵，设，则， 即：，解得：，， ∵， ∴． （2）由（1）可知，∵，∴， 在和中，，∴≌ ∴ 【点睛】本题考查三角形全等的性质，三角形相似的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用． 22．如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°． （1）求证：； （2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理求出PC的长，从而可得BP的长，再利用相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）， ， ， 在和中，， ； （2）在中，， ， ， ， 由（1）已证：， ，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 23．（2024秋•魏都区校级期末）如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD． （1）若AP＝3，求BD的长； （2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用一线三等角模型证明△ACP∽△BPD，即可解答； （2）利用角平分线的性质可得∠PCD＝∠ACP，从而可得∠PCD＝∠DPB，然后证明△CPD∽△PBD，即可解答． 【详解】（1）解：∵AB＝9，AC＝3， ∴BP＝AB﹣AP＝9﹣3＝6， ∵∠A＝∠CPD，∠ACP+∠APC＝180°﹣∠A，∠APC+∠BPD＝180°﹣∠CPD， ∴∠ACP＝∠BPD， ∵∠A＝∠B， ∴△ACP∽△BPD， ∴， ∴， ∴BD， ∴BD的长为； （2）证明：∵CP平分∠ACD， ∴∠PCD＝∠ACP， ∵∠ACP＝∠DPB， ∴∠PCD＝∠DPB， ∵∠CPD＝∠B， ∴△CPD∽△PBD， ∴， ∴PD2＝CD•BD． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角模型是解题的关键． 24．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 拓展：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE， ∴∠ACP=∠BPE， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP， ∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B， ∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE， 则PB=AC=8， ∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP， ∵∠B=∠CPE， ∴∠ECP=∠B， ∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE， ∴， 即， 解得：， ∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 题型七、手拉手型 25．（24-25九年级上·贵州毕节·阶段练习）如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，，则，再通过等角的余角相等得出，最后利用相似三角形的判定方法即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 26．如图，和均为等腰三角形，且，，． (1)求证：； (2)连接BD、CE，若，的面积为9，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据，即可得出，再根据，即证明； （2）由，得出，，从而可证，进而可证，再根据，即得出，进而可求． 【详解】（1）证明：∵，， ∴．     又∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴，即， ∴，且相似比为，    ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定定理及其性质是解题关键． 27．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，在四边形中，，，对角线，相交于点O，且，平分． (1)求证：； (2)如图2，过点D作，使，连接，取中点 F，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）在上截取，连接，通过证明是正三角形，以及，即可推得结论正确； （2）延长，交于点 G，先证明，然后证明是正三角形，进一步推理得到，得出，最后利用，，即可证得结论． 【详解】（1），， 是正三角形， ，， ，平分， ， 在 上截取，连接， 则是正三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）延长，交于点 G， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 是正三角形， ， 又， ，， ， ， ， ，， ． 28．（2024春·安徽六安·九年级校考阶段练习）［问题发现］ (1)如图1，在Rt△ABC中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，已知．请直接写出线段与的数量关系； ［实验研究］ (2)在（1）的条件下，将正方形绕点旋转至如图2所示的位置，连接，，．请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论； ［结论运用］ (3)在（1）（2）的条件下，若的面积为8，当正方形旋转到，，三点共线时，请求出线段的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)线段的长为或 【分析】(1)先判断出△ABD为等腰直角三角形，进而求出，即可得出结论； (2)先利用三角函数得出，证明夹角相等即可得出△ACF∽△BCE，进而求出结论； (3)分两种情况计算，当点E在线段BF上时，先用勾股定理求出，，即可得出，借助(2)得出结论；当点E在线段BF延长线上同前一种情况一样即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， 四边形是正方形， ，， ， ，， 点与点重合， ，，， ； ， ， ， ； （2）解：． 证明：由（1）得，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图1，，，点为的中点， ，， ， 的面积为8， ， ， ， ， 点与点重合，四边形是正方形， ； 如图2，、、三点共线且点在线段上， ， ， ， ． ， ； 如图3，、、三点共线且点在线段上， 则， ． ， ， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，正方形性质和旋转性质，分类讨论和画出图形是解决本题的关键． 题型八、三角形内接矩形型 29．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 30．如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上． （1）求正方形DEFG的边长； （2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）过点作AM⊥BC于点M，由AB=AC=10，BC=16，根据等腰三角形的性质与勾股定理，即可求得AM的长，又由四边形DEFG是矩形，易证得△ADG∽△ABC，设MN=DE=x，由相似三角形对应高的比等于相似比，即可得方程，则可表示出DG的长，由正方形的性质可得DE=DG，可得结果； （2）由题意得：DN=2DE，由（1）知：，即可得到结论． 【详解】解：过点作AM⊥BC于点M， ∵AB=AC=5，BC=6， ∴BM=BC=3， 在Rt△ABM中，AM==4， ∵四边形DEFG是矩形， ∴DG∥EF，DE⊥BC， ∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形， ∴MN=DE， 设MN=DE=x， ∵DG∥EF， ∴△ADG∽△ABC， ∴DG：BC=AN：AM， ∴， 解得：DG=﹣x+6， ∵四边形DEFG为正方形， ∴DE=DG，即x=﹣x+6， 解得x=， ∴正方形DEFG的边长为； （2）由题意得：DN=2DE， 由（1）知：， ∴DE=． 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质，相似三角形对应高的比等于相似比． 31．有一块三角形的余料，要把它加工成矩形的零件，已知：，高，矩形的边在边上，G、H分别在、上，设的长为、的长为． (1)写出y与x的函数关系式． (2)当x取多少时，是正方形？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是正方形 【分析】本题考查了求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质综合，根据正方形的性质求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先证明，再根据相似三角形的性质列出比例式求解； （2）根据y与x的函数关系式为及正方形的性质，得到关于的方程求解． 【详解】（1）解：∵，高，的长为、的长为，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴； （2）由（1）可知，y与x的函数关系式为； ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴ 解得：． 答：当时，四边形是正方形． 32．有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）． 【答案】甲同学 【分析】对于甲图：设正方形的边长为x，则，证明 ，利用相似比可计算出；对于乙图：作BH⊥ACN，交DE于N，如图乙，先利用勾股定理计算出AC=2.5，再利用面积法计算出，设正方形的边长为y，则，可求出则，接着证明利用相似比可计算出，然后比较x和y的大小进行判断． 【详解】解：如图1所示，设甲同学加工的桌面边长为xm， ∵DE∥AB ∴△CDE∽△CBA ∴ 即 ∴x＝ 图2所示，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P． 由勾股定理得： AC＝ ∵ ∴ 设乙同学加工的桌面边长为ym， ∵DE∥AC ∴△BDE∽△BAC ∴ 即 ∴y＝ ∵＞，即x＞y，x2＞y2 ∴甲同学的加工方法更好． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，然后利用三角形相似的性质计算相应线段的长，也考查了正方形的性质． 1．（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知在中，，点、、分别为边、、上一点，连接和，且． (1)求证：； (2)连接，如果点是中点，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可知，设，，然后可得，则有，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴； （2）解：如图， 由（1）可知：， ∴， 设，且， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 2．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE （1）求证：△BDE∽△BCA； （2）如果AE=AC，求证：AC2=AD•AB．    【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由BA•BD=BC•BE得，结合∠B=∠B，可证△ABC∽△EBD； （2）先根据BA•BD=BC•BE，∠B=∠B，证明△BAE∽△BCD，再证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的对应边长比例可证明结论. 【详解】（1）证明：∵BA•BD=BC•BE． ∴， ∵∠B=∠B， ∴△BDE∽△BCA； （2）证明：∵BA•BD=BC•BE． ∴， ∵∠B=∠B， ∴△BAE∽△BCD， ∴， ∵AE=AC， ∴， ∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD， ∴∠B=∠ACD. ∵∠BAC=∠BAC ∴△ADC∽△ACB， ∴. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键．相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③根据两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例得两个三角形相似. 3．（2025·江西·二模）如图，在平行四边形中，是延长线上的一点，且与分别交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过四边形是平行四边形，推出，得到，，从而得证； （2）由（1）可知，，推出，根据，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明、及是解题的关键． （1）由正方形的性质得，，，则，所以，根据相似三角形的性质即可得证； （2）由，证明，得，由，证明，得，则，代入数据求出，进而可求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知在梯形中，，对角线与交于点，点是边边上的中点，连接交于点，并满足． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． （1）由，且，得，则，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，则； （2）先证明，得，则，由，得，所以，则根据相似三角形的性质可求证． 【详解】（1）证明：∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝EF＝FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N． (1)求证：AM=BM； (2)若AB＝28，求CN的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明△AEM∽△CED，进而可以解决问题； （2）证明△AFM∽△CFN，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠CAB=∠DCA， ∵∠AEM=∠CED， ∴△AEM∽△CED， ∴， ∵AE=EF=FC， ∴， ∴； ∵AB=CD， ∴AM=BM； （2）在△AFM和△CFN中，∠FAM=∠FCN，∠AFM=∠CFN， ∴△AFM∽△CFN， ∴， ∴； ∵ ∴   ∵AB=28， ∴CN=7． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线四边形的性质，解决本题的关键是得到△AEM∽△CED． 7．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 8．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在平行四边形中，E为边上一点，且，在上取一点F，使． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，找出相似三角形是解题的关键． （1）由可得，由三角形外角的性质可得，结合可得，进而可得，即可证明； （2）设，则，根据推出，可求x的值，再证，可得． 【详解】（1）证明：平行四边形中，， ， ，， ， ， 又 ， ； （2）解： ， 设，则， ，， 由（1）知， ， ， ， 解得（负值舍去）， ，． ， ， ，， ， 又平行四边形中，， ， ， 又 ， ， ， ， ． 9．（2025·四川广元·模拟预测）如图，点C是与的公共顶点，且，有下列3个条件：①；②；③． (1)请在上述条件中选择一个条件来证明，并写出证明过程． (2)在（1）的结论下，若，求的长． 【答案】(1)选择①或③均正确，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质． （1）选择①，根据对应边成比例且夹角相等证明相似；选择③，根据对应两角相等证明相似； （2）先根据相似的性质得，再由，证明，得，再代入已知的值计算，即可得的长． 【详解】（1）解：选择①或③均正确． 选择①证明如下： ∵， ， ∵， ∴， 即， ∴； 选择③证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：由（1）得， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ， ． 10．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知：在矩形中，的平分线分别与边及边的延长线相交于点、，为的中点，连接． (1)如果，，求的面积； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、矩形、正方形的性质和判定、角平分线的定义、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过作于，交于，证明≌，根据角平分线和矩形的对边平行得：，并求出，由∽，列比例式求的长，代入面积公式可得结论； （2）证明≌，推出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过作于，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， 在和中， ， ∴≌， ∴， ， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴． 11．（2024秋•嘉定区校级月考）如图（图1），△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点P是AC边上的一点．取结PB交CD于点F，过点P作PB的垂线交AB边于点E． （1）求证：△PAE∽△BCF； （2）当P是AC边的中点，时，如图2，求的值； （3）当P是AC边的中点．，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）先根据已知条件证明∠CBF＝∠APE和∠BCF＝∠A，再根据相似三角形的判定证明△PAE∽△BCF即可； （2）过点P作PO⊥AC交AB于点O，再利用相似三角形的判定定理证明△EOP∽△FCP，从而证明，然后根据中位线定理求出，从而求出答案即可； （3）按照（2）中的方法进行解答即可． 【详解】证明：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠PCF+∠BCF＝90°，∠CPF+∠CBP＝90°， ∵BP⊥PE， ∴∠BPE＝90°， ∴∠CPF+∠APE＝90°， ∴∠CBF＝∠APE， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠PCF+∠A＝90°， ∴∠BCF＝∠A， ∴△PAE∽△BCF； （2）如图所示：过点P作PO⊥AC交AB于点O， ∴∠APO＝∠ACB＝90°， 由（1）可知：∠CBF＝∠APE，∠BCF＝∠A， ∴∠AEP＝∠BFC，∠OEP＝∠PFC， ∵∠EOP+∠A＝∠PCF+∠A＝90°， ∴∠EOP＝∠PCF， ∴△EOP∽△FCP， ∴， ∵P为AC中点，OP∥BC， ∴OP是△ABC的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）由（2）可知，当，理由如下： 过点P作PO⊥AC交AB于点O，如（2）中的图， ∴∠APO＝∠ACB＝90°， 由（1）可知：∠CBF＝∠APE，∠BCF＝∠A， ∴∠AEP＝∠BFC，∠OEP＝∠PFC， ∵∠EOP+∠A＝∠PCF+∠A＝90°， ∴∠EOP＝∠PCF， ∴△EOP∽△FCP， ∴， ∵P为AC中点，OP∥BC， ∴OP是△ABC的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题关键是正确识别图形，熟练掌握利用相似三角形的性质和判定解答问题． 12．［问题发现］ (1)如图1，在Rt△ABC中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，已知．请直接写出线段与的数量关系； ［实验研究］ (2)在（1）的条件下，将正方形绕点旋转至如图2所示的位置，连接，，．请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论； ［结论运用］ (3)在（1）（2）的条件下，若的面积为8，当正方形旋转到，，三点共线时，请求出线段的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)线段的长为或 【分析】(1)先判断出△ABD为等腰直角三角形，进而求出，即可得出结论； (2)先利用三角函数得出，证明夹角相等即可得出△ACF∽△BCE，进而求出结论； (3)分两种情况计算，当点E在线段BF上时，先用勾股定理求出，，即可得出，借助(2)得出结论；当点E在线段BF延长线上同前一种情况一样即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， 四边形是正方形， ，， ， ，， 点与点重合， ，，， ； ， ， ， ； （2）解：． 证明：由（1）得，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图1，，，点为的中点， ，， ， 的面积为8， ， ， ， ， 点与点重合，四边形是正方形， ； 如图2，、、三点共线且点在线段上， ， ， ， ． ， ； 如图3，、、三点共线且点在线段上， 则， ． ， ， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，正方形性质和旋转性质，分类讨论和画出图形是解决本题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似三角形（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、"A"字型及其变形 题型二、"8"字型及其变形 题型三、"AX"字型 题型四、“子母型” 题型五、“双垂直型” 题型六、一线三等角型 题型七、手拉手型 题型八、三角形内接矩形型 B综合攻坚・能力跃升 题型一、"A"字型及其变形 1．（17-18九年级上·上海松江·期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，=． （1）如果AD=4，求BD的长度； （2）如果S△ADE=2，求S四边形DBCE的值． 2．如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 3．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 4．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G． （1）求证：DF•AB=BC•DG； （2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG． 题型二、"8"字型及其变形 5．（22-23九年级上·北京房山·期中）如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 6．如图与交于，且． （1）求证：∽． （2）若，，，求的长． 7．已知：如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，，垂足为点，且． （1）求证：； （2）过点作的垂线，交于点，求证：． 8．如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、． （1）求证：； （2）连接，若．求证：． 题型三、"AX"字型 9．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 10．如图，中，中线，交于点，交于点． （1）求的值． （2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 11．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F． （1）求证：； （2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积． 12．如图，在中，点E在上，，和相交于点F，过点F作，交于点G．    (1)求的值． (2)若， ①求证：． ②求证：． 题型四、“子母型” 13．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 14．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 15．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 16．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B． （1）求证：△AED∽△ADC； （2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 题型五、“双垂直型” 17．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 19．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F， （Ⅰ）求证：△AFE∽△CFD； （Ⅱ）若AB＝4，AD＝3，求CF的长． 20．（2024春·福建莆田·九年级校考期末）【问题情境】 （1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD² = AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC² = AB·AD． 【结论运用】 （2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF， ①求证：△BOF∽△BED； ②若，求OF的长． 题型六、一线三等角型 21．（20-21九年级上·四川·阶段练习）如图，在中，，，点为边上一点，且，点为中点，． （1）求的长． （2）求证：． 22．如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°． （1）求证：； （2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长． 23．（2024秋•魏都区校级期末）如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD． （1）若AP＝3，求BD的长； （2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD． 24．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 题型七、手拉手型 25．（24-25九年级上·贵州毕节·阶段练习）如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：． 26．如图，和均为等腰三角形，且，，． (1)求证：； (2)连接BD、CE，若，的面积为9，求的面积． 27．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，在四边形中，，，对角线，相交于点O，且，平分． (1)求证：； (2)如图2，过点D作，使，连接，取中点 F，连接，求证：． 28．（2024春·安徽六安·九年级校考阶段练习）［问题发现］ (1)如图1，在Rt△ABC中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，已知．请直接写出线段与的数量关系； ［实验研究］ (2)在（1）的条件下，将正方形绕点旋转至如图2所示的位置，连接，，．请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论； ［结论运用］ (3)在（1）（2）的条件下，若的面积为8，当正方形旋转到，，三点共线时，请求出线段的长． 题型八、三角形内接矩形型 29．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 30．如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上． （1）求正方形DEFG的边长； （2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ． 31．有一块三角形的余料，要把它加工成矩形的零件，已知：，高，矩形的边在边上，G、H分别在、上，设的长为、的长为． (1)写出y与x的函数关系式． (2)当x取多少时，是正方形？ 32．有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）． 1．（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知在中，，点、、分别为边、、上一点，连接和，且． (1)求证：； (2)连接，如果点是中点，，求的长． 2．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE （1）求证：△BDE∽△BCA； （2）如果AE=AC，求证：AC2=AD•AB．    3．（2025·江西·二模）如图，在平行四边形中，是延长线上的一点，且与分别交于点． (1)求证：； (2)求的值． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知在梯形中，，对角线与交于点，点是边边上的中点，连接交于点，并满足． (1)求证：； (2)求证：． 6．平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝EF＝FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N． (1)求证：AM=BM； (2)若AB＝28，求CN的长． 7．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 8．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在平行四边形中，E为边上一点，且，在上取一点F，使． (1)求证：； (2)若，，求的值． 9．（2025·四川广元·模拟预测）如图，点C是与的公共顶点，且，有下列3个条件：①；②；③． (1)请在上述条件中选择一个条件来证明，并写出证明过程． (2)在（1）的结论下，若，求的长． 10．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知：在矩形中，的平分线分别与边及边的延长线相交于点、，为的中点，连接． (1)如果，，求的面积； (2)连接，求的度数． 11．（2024秋•嘉定区校级月考）如图（图1），△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点P是AC边上的一点．取结PB交CD于点F，过点P作PB的垂线交AB边于点E． （1）求证：△PAE∽△BCF； （2）当P是AC边的中点，时，如图2，求的值； （3）当P是AC边的中点．，请直接写出的值． 12．［问题发现］ (1)如图1，在Rt△ABC中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，已知．请直接写出线段与的数量关系； ［实验研究］ (2)在（1）的条件下，将正方形绕点旋转至如图2所示的位置，连接，，．请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论； ［结论运用］ (3)在（1）（2）的条件下，若的面积为8，当正方形旋转到，，三点共线时，请求出线段的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $