精品解析：山西省运城市部分学校2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

2024~2025学年度高一年级5月质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内所对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点为的重心，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点在侧面上，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或3 D. 若，则向量在向量上的投影向量的坐标为 10. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数的增区间为，减区间为 C. 函数的值域为 D. 若，则实数的取值范围为 11. 如图，已知圆台的一个轴截面为为弧的中点，，圆台的体积为，则（ ） A. B. 异面直线与所成的角为 C. 过三点的平面与圆台下底面的交线长为 D. 二面角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的最小正周期为，则____________． 13. 已知正数a，b满足，则的最小值为____________． 14. 如图所示，在中，是BC的中点，是BE的中点，，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知复数且i为虚数单位)，复数是纯虚数． （1）求实数的值； （2）求复数的模． 16. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求B； （2）若，求的面积的最大值． 17. 已知向量满足． （1）求向量的夹角； （2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 18. 今年是国家安全法颁布十周年，4月15日迎来了第十个全民国家安全教育日．某大学团委组织开展了2025年全民国家安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养．该活动共有200名学生参加，现将所有答案卷面成绩统计分成五段，分别为，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中x的值； （2）根据频率分布直方图，求这200名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （3）已知学生成绩落在的平均数是77，方差是5；落在的平均数是84，方差是5．求这两组数据的总方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，是BC的中点．将沿直线AE翻折成四棱锥是DP的中点． （1）求CF的长； （2）设二面角的大小为． （i）用表示直线PC与平面AECD所成角的正切值； （ii）求函数的值域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度高一年级5月质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式求解确定，再结合交集运算即可求解. 【详解】 又， 可得， 故选：C. 2. 复数在复平面内所对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简，利用复数的几何意义可得. 【详解】由，可得复数在复平面内所对应的点在第四象限. 故选：D. 3. 在中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解. 【详解】由，根据正弦定理得， 设， 可得， 故选：B. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意计算可得，可得结论. 【详解】由， 故有． 故选：D. 5. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式先得再根据平方和关系得，即可得解. 【详解】由， 可得为锐角， 可得. 故选：C. 6. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点为的重心，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件得出向量之间的关系，再通过向量的运算法则逐步推导出关于和的表达式，从而确定和的值，最后计算. 【详解】如图，延长AG与BO相交于点，可得为OB的中点，可得， 由，有，有， 又由， 有，可得. 故选：A. 7. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出圆锥的底面半径，高，母线长，再结合圆锥的轴截面构造等式即可求出. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，有， 可得， 圆锥的轴截面如图，设体积最大的球的半径为， 有，有，解得， 故该球的最大体积为． 故选：C. 8. 如图，已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点在侧面上，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，由空间中垂直关系的转化可得，从而可得的轨迹，故可求的最小值. 【详解】如图，取的中点，连接， 由正三角形可得， 而由正三棱柱可得平面， 因平面，故， 而平面，故平面， 而平面，故， 又，平面， 故平面，而平面，故， 所以点在以线段为直径的圆与长方形相交的部分，记的中点为． 又由， 故的最小值为． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或3 D. 若，则向量在向量上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，通过向量平行的坐标计算公式计算即可；对于B，通过向量垂直的坐标计算公式计算得到的值从而判断；对于C，通过向量模的坐标计算公式计算得到的值从而判断；对于D，通过投影向量公式计算即可. 【详解】对于A，若，有，可得，故A错误； 对于B，若，有，可得，故B正确； 对于C，由，有，解得或3，故C正确； 对于D，若，有，由， 可得向量在向量上的投影向量的坐标为，故D错误． 故选：BC． 10. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数的增区间为，减区间为 C. 函数的值域为 D. 若，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用偶函数的定义；B利用复合函数的单调性求出在上的单调性，再利用对称性即可；C先求出当时，即可得出的范围，再结合对称性即可；D利用以及对称性和单调性即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， 由，有， 可得函数为偶函数，故A选项正确； 对于B选项，当时，， 由函数在上单调递增，在上单调递增， 可得函数在上单调递增（复合函数的单调性）， 又由函数为偶函数，可得函数的增区间为，减区间为， 故B选项正确； 对于C选项，当时，由，得，有， 可得， 又由函数为偶函数，可得函数的值域为，故C选项错误； 对于D选项，由及函数是偶函数， 且函数的增区间为，减区间为， ，可得，故D选项正确． 故选：ABD. 11. 如图，已知圆台的一个轴截面为为弧的中点，，圆台的体积为，则（ ） A. B. 异面直线与所成的角为 C. 过三点的平面与圆台下底面的交线长为 D. 二面角的正切值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A选项，根据已知的上下底面边长，利用圆台体积公式求出高，再通过勾股定理求相关线段长. 对于B选项，连接相关线段，利用线线平行找出异面直线所成角，通过已知线段长用余弦定理求角. 对于C选项，延长线段找交点和相关点，根据已知线段长求角的余弦值，进而求相关线段长度判断对错. 对于D选项，作垂线，根据线面垂直性质找二面角，通过相关线段关系求角的三角函数值判断对错. 【详解】对于A选项，由，设圆台的高为， 有圆台的体积为，可得， 易求得，故A选项正确； 对于B选项，如图，连接点和圆台底面的圆心并延长，与圆交于另一点，连接，， 由，可得或其补角即是异面直线和所成的角． 又由， 有，可得，故B选项正确； 对于C选项，的延长线与的延长线相交于点F，与圆台的底面圆周的交点为， 由，有，可得， 可得，故C选项错误； 对于D选项，过作，连接NH，由平面，可得， 又由，可得平面，可得， 又由，可得为二面角的平面角， 有，有， 可得，故D选项错误． 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的最小正周期为，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据周期性求出，即可求出解析式，代入求值即可. 【详解】因的最小正周期为，则，结合可得， 则，得. 故答案为： 13. 已知正数a，b满足，则的最小值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】变形，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因， 则 当且仅当时取等号， 故的最小值为4． 故答案为： 14. 如图所示，在中，是BC的中点，是BE的中点，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由，结合三角形面积公式得到，即可求解. 【详解】由，可得， 有 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知复数且i为虚数单位)，复数是纯虚数． （1）求实数的值； （2）求复数的模． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）化简，再利用纯虚数的概念即可求出； （2）化简，再利用复数的模的定义即可求解. 【小问1详解】 由， 又由复数是纯虚数，有，解得； 【小问2详解】 由（1）可知，有， 有， 可得复数的模为． 16. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求B； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理得到，再由正弦定理和三角恒等变换的公式，求得，得到，即可求解；（2）由余弦定理求得，再由不等式求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由余弦定理，可得，则， 又由正弦定理，可得， 所以，即，即， 又由，可得，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 解：由及余弦定理，可得， 又由不等式，可得，当且仅当时取等号， 由的面积， 故的面积的最大值为． 17. 已知向量满足． （1）求向量的夹角； （2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用夹角公式求解. （2）由（1）的信息，利用夹角公式及共线向量定理列式求解. 【小问1详解】 设向量的夹角为， 由，得，即， 由，得，即， 则有，又，解得，， 因此，所以向量的夹角为. 【小问2详解】 由（1）知，则 ， 由向量与的夹角是钝角，得， 且向量与不共线，因此，解得且， 所以实数的取值范围为. 18. 今年是国家安全法颁布十周年，4月15日迎来了第十个全民国家安全教育日．某大学团委组织开展了2025年全民国家安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养．该活动共有200名学生参加，现将所有答案卷面成绩统计分成五段，分别为，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中x的值； （2）根据频率分布直方图，求这200名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （3）已知学生成绩落在的平均数是77，方差是5；落在的平均数是84，方差是5．求这两组数据的总方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差． 【答案】（1）0.015 （2）76.25，75 （3）17 【解析】 【分析】(1)根据频率直方图的性质：概率之和为1求解即可，（2）利用频率直方图求解平均数求解即可，（3）利用分组方差的求法求解即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图，有， 解得； 【小问2详解】 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 由， 可得中位数为， 学生成绩的平均数为； 【小问3详解】 这两组数据的平均数为， 这两组数据的总方差为 ． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，是BC的中点．将沿直线AE翻折成四棱锥是DP的中点． （1）求CF的长； （2）设二面角的大小为． （i）用表示直线PC与平面AECD所成角的正切值； （ii）求函数的值域． 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）如图，取AP的中点，连接LF，LE，可证是等边三角形，四边形LECF是平行四边形，可解问题； （2）取AD的中点，连接BQ，与AE相交于点，连接DE，过作，垂足为，（i）可证可得，又证为直线PC与平面AECD所成的角，则，即可得解；（ii）由（i）得，设，有，则，利用对勾函数求值域. 【小问1详解】 如图，取AP的中点，连接LF，LE， 是BC的中点，， 是等边三角形， ，且， ， ， 四边形LECF是平行四边形， ， 是等边三角形，， ； 【小问2详解】 取AD的中点，连接BQ，与AE相交于点，连接DE，过作，垂足为， （i），四边形ABCD是平行四边形，， ， ， ， ， 是等边三角形，， 为二面角的平面角，可得， 平面平面PGQ， 平面， 平面平面ABCD， 为直线PC与平面AECD所成的角， ， ， ， ； （ii）由 ， 设，有， ， ， ， 函数的值域为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $