44 导数的几何意义重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 44 导数的几何意义重难点专题 常考结论及公式 结论一：关于导数的几个重要结论 （1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数； （2）函数 ( )y f x= 的导数 '( )f x 反映了函数 ( )f x 的瞬时变化趋势，其正负号反映了 变化的方向，其大小 '| ( ) |f x 反映了变化的快慢， '| ( ) |f x 越大，曲线在这点处的切线越 “陡”. （3）曲线在某点处的切线与曲线的交点不一定只有一个，可以有“切过”的切线情况 存在. 结论二：求在曲线上某点的切线方程的步骤 （1）求出函数 ( )f x 的导数 '( )f x ； （2）求出切线的斜率 ' 0( )f x ，其中切点的坐标为 ( )0 0, ( )x f x ； （3）利用点斜式写出切线方程： ' 0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x− = − . 结论三：求过某点且与曲线相切的切线方程的步骤 求过点 ( , )m n 且与函数 ( )f x 图象相切的切线方程求法： （1）设出切点 ( )0 0, ( )x f x ； （2）求出函数 ( )f x 的导数 '( )f x ； （3）求出切线的斜率 ' 0( )k f x= ； （4）利用点斜式写出切线方程： ' 0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x− = − ； （5）由切线过点 ( , )m n 列出关于 0x 的方程 ' 0 0 0( ) ( )( )n f x f x m x− = − ，然后解出 0x 即 可. 结论四：共切点的公切线问题 若直线 l为函数 ( )f x 与 ( )g x 的公切线，且共切点（切点的横坐标设为 0x ），则常 见的有两个等量关系式： 0 0( ) ( )f x g x= 和 0 0'( ) '( )f x g x= .然后根据题目问题求解即可； 结论五：不共切点的公切线问题 若直线 l为函数 ( )f x 与 ( )g x 的公切线，一般情况下先设直线 l与函数 ( )f x 与 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 ( )g x 的切点分别为 1 1( , ( ))A x f x 与 2 2( , ( ))B x g x ，则常见的有两个等量关系式： 2 1 1 2 1( ) ( ) '( )( )g x f x f x x x− = − 和 1 2'( ) '( )f x g x k= = .然后根据题目问题求解即可； 题型一 关于平均变化率与瞬时变化率的考查 【例 1】已知函数 ( ) 23f x x x= − ，则 ( ) ( ) 0 1 1 lim f x f x x→ + − − = △ △ △ △ __________． 【跟踪训练 1】“S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见的函数模型，其图象 形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在 0.5 毫升培养液 中放入 5 个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草 履虫的数量 y (单位：个)与时间 t (单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数 0.081 74 37 e 5 t y − = + . 已知函数 0.08 375 ( ) 1 74e t f t − = + 0t  .的部分图象如图所示， ( )f t 为 ( )f t 的导函数. 给出下列四个结论： ①对任意 1 3(0,24), (96,144)t t  ，存在 2 (24,96)t  ，使得 1 3 2 ( ) ( ) ( ) 2 f t f t f t  +   ； ②对任意 1 3(0,24), (96,144)t t  ，存在 2 (24,96)t  ，使得 3 1 2 3 1 ( ) ( ) ( ) f t f t f t t t −  = − ； ③对任意 2 (24,96)t  ，存在 1 3(0,24), (96,144)t t  ，使得 1 3 2 ( ) ( ) ( ) 2 f t f t f t +  ； ④对任意 2 (24,96)t  ，存在 1 3(0,24), (96,144)t t  ，使得 3 1 2 3 1 ( ) ( ) ( )= f t f t f t t t −  − . 其中所有正确结论的序号是___________. 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 题型二 求曲线切线的斜率（倾斜角）问题 【例 2】已知点 P是曲线 4 e 3x y − = + 上一动点， 为曲线在点 P处的切线的倾斜角，则  的取值范围是（ ） A． 0, 6       B． , 6 2       C． , 6 3        D． 0, 3       【跟踪训练 2】已知函数 1, 0, ( ) ln( ), 0, kx x f x x x −  =  − −  若函数 ( )f x 的图象上关于原点对称的点 有 2 对，则实数 k的取值范围为（ ） A． ( ,0)− B． 1 (0, ) 2 C． (0, )+ D．(0,1) 题型三 已知切线（斜率）求参数 【例 3】已知函数 ( ) eln | |f x x x a= − − ， 2[1,e ]x .若 ( )y f x= 的图象与 x轴有且仅有两 个交点，则实数a的取值范围是（ ） A．[1,e] B． (0,e] C． 2[1,e 2e]− D． 2(0,e 2e]− 【跟踪训练 3】已知函数 ( ) 2 2 2 8 10 2 e 1 2x x x x f x x x−  − +  =  + −  ， ， ，若 ( )f x x m − 恒成立，则实数 m的取值范围为（ ） A． ( ,4 2ln2− − B． 1 ,4 2ln 2 4       − C． 1 ,5 2ln 2 8       − D． 1 ,5 2ln 2 4       − 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 题型四 求在曲线上一点处的切线方程或斜率问题 【例 4】（多选）已知公比为 q的正项等比数列 na ，其首项 1 1a  ，前n项和为 nS ，前 n项积为 nT ，且函数 ( ) ( )( ) ( )1 2 9f x x x a x a x a= + + + 在点 ( )0,0 处切线斜率为 1，则（ ） A．数列 na 单调递增 B．数列 lg na 单调递减 C． 4n = 或 5 时， nT 取值最大 D． ( )4 1 1 nS q q  − 【跟踪训练 4】（多选）在平面直角坐标系 xOy中，设曲线 C的方程是 1xy = ，下列结 论正确的是（ ） A．曲线 C上的点与定点 ( )2, 2F 距离的最小值是2 2− B．曲线 C上的点和定点 ( )2, 2F 的距离与到定直线 l： 2 0x y+ − = 的距离的比是 2 C．曲线 C绕原点顺时针旋转 45°，所得曲线方程是 2 2 1x y− = D．曲线 C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是 2 题型五 求过一点且与曲线相切的切线问题 【例 5】（多选）若过点 ( )1,P t− 最多可以作出 ( )*Nn n 条直线与函数 ( ) 1 ex x f x + = 的图 像相切，则（ ） A． tn可以等于 2022 B．n不可以等于 3 C． e 3t n+  D． 1n = 时，   4 0 , e t    +    【跟踪训练 5】若过点 ( )( ), 0a b a  可以作曲线 exy x= 的三条切线，则（ ） A．0 eba b  B． e 0aa b−   C． 20 e 4a b  + D． ( ) 24 e 0a b− +   武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 题型六 共切点的公切线问题 【例 6】若曲线 ( ) 21 :C f x x a= + 和曲线 ( )2 : 4ln 2C g x x x= − 存在有公共切点的公切线， 则该公切线的方程为__________. 【跟踪训练 6】已知函数 ( ) lnf x x x= ， ( ) 3 1 2 2 3e g x ax x= − − ，若函数 ( )f x 的图象与函 数 ( )g x 的图象在交点处存在公切线，则函数 ( )g x 在点 ( )( )1, 1g 处的切线在 y轴上的截距 为 （ ） A． 2 3e − B． 2 3e C． 3e 2 3e + − D． 2e 2 3e + 题型七 不共切点的公切线问题 【例 7】若存在直线与函数 ( ) 1exf x −= ， ( ) lng x x a= + 的图象都相切，则实数 a的最大 值为______. 【跟踪训练 7】已知函数 ( ) ( ) ( ), 0xf x e g x a x a= =  ，若函数 ( )y f x= 的图象上存在 点 ( )0 0,P x y ，使得 ( )y f x= 在点 ( )0 0,P x y 处的切线与 ( )y g x= 的图象也相切，则a的 取值范围是（ ） A． ( 0,1 B． (0, 2e  C． (1, 2e D． 1 , 2 2 e e       课后突破训练 1．设 ( )f x 是可导函数，且 0 0 0 ( ) ( 2 ) lim 3 x f x x f x x x → − − +  =  ，则 0( )f x =（ ） A． 1 2 B． 2− C． 1− D．0 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 2．点 P在函数 y＝ex的图象上．若满足到直线 y＝x+a的距离为 2 的点 P有且仅有 3 个，则实数 a的值为（ ） A．2 2 B．2 3 C．3 D．4 3．过直线 1y x= − 上一点 P可以作曲线 ( ) lnf x x x= − 的两条切线，则点 P横坐标 t的取 值范围为（ ） A．0 1t  B．1 et  C．0 t e  D． 1 1t e   4．已知 0a  ， 1x ， 2x 为方程 ln 2lnx a x= 的解，且 2 1 0x x  ，则下列结论正确的是（ ） A 2 e1,ea       B． ( )1 0,1x  C． 2 1 ,e e x       D． 1 2 2x x+  5．已知曲线 ( ) ( )2 0xf x a e a=   与曲线 ( ) ( )3 3 0g x x m m= −  有公共点，且在该点处的 切线相同，当 m 变化时，则实数 a 的取值范围为（ ） A． 3 27 1, 8e       B． 3 27 0, 8e       C． 3 1, 2e       D． 3 0, 2e       6．若直线 l与曲线 exy = 和 lny x= 都相切，则直线 l的条数有（ ） A． 0 B．1 C．2 D．无数条 7．（多选）若 ( ) ( )0 0 0 Δ 0 0 lim Δ , , Δx f x x y f x y x→ + − 存 在， 则称 ( ) ( )0 0 0 Δ 0 0 lim Δ , , Δx f x x y f x y x→ + − 为 二元函数 ( ),z f x y= 在点 0 0( , )x y 处对 x的偏导数，记为 ( )0 0,xf x y ；若 ( ) ( )0 0 0 0 0 Δ l , Δ , Δ im y f x y y f x y y→ + − 存在，则称 ( ) ( )0 0 0 0 Δ 0 lim , , y f x y y f x y y→ + −  为二元函数 ( ),z f x y= 在点 0 0( , )x y 处对 y的偏导数，记为 ( )0 0,yf x y ，已知二元函数 ( ) 2 3, 2 ( 0, 0)f x y x xy y x y= − +   ，则（ ） A． ( )1,2 2xf  = − B． ( )1, 12 0yf  = C． ( , ) ( , )x yf m n f m n + 的最小值为－1 D． ( , )f x y 的最小值为－ 4 27 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 8．若实数 a，b，c，d满足 23ln 2 1 a a c b d − − = = ，则 2 2( ) ( )a c b d+ + + 的最小值为 ____________． 9．若过点 A（a，0）的任意一条直线都不与曲线 C： ( ) 12 exy x −= − 相切，则 a的取值 范围是___． 10．设点 P在直线2 14 0x y− − = 上，点Q在曲线 lny x x= + 上，线段 PQ的中点为 ,M O为 坐标原点，则 OM 的取小值为___________. 11．已知存在 0a  ，使得函数 ( ) lnf x a x= 与 ( ) 2 3g x x x b= − − 的图象存在相同的切线， 且切线的斜率为 1，则 b的最大值为___. 12．已知函数 2 2 , 0, ( ) ln , 0, x x a x f x x x  + +  =   其中a是实数．设 1 1 2 2( , ( )), ( , ( ))A x f x B x f x 为该 函数图象上的两点，且 1 2x x ． （1）若函数 ( )f x 的图象在点 ,A B处的切线互相垂直，且 2 0x  ，求 2 1x x− 的最小值； （3）若函数 ( )f x 的图象在点 ,A B处的切线重合，求a的取值范围． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 44 导数的几何意义重难点专题 常考结论及公式 结论一：关于导数的几个重要结论 （1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数； （2）函数 ( )y f x= 的导数 '( )f x 反映了函数 ( )f x 的瞬时变化趋势，其正负号反映了 变化的方向，其大小 '| ( ) |f x 反映了变化的快慢， '| ( ) |f x 越大，曲线在这点处的切线越 “陡”. （3）曲线在某点处的切线与曲线的交点不一定只有一个，可以有“切过”的切线情况 存在. 结论二：求在曲线上某点的切线方程的步骤 （1）求出函数 ( )f x 的导数 '( )f x ； （2）求出切线的斜率 ' 0( )f x ，其中切点的坐标为 ( )0 0, ( )x f x ； （3）利用点斜式写出切线方程： ' 0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x− = − . 结论三：求过某点且与曲线相切的切线方程的步骤 求过点 ( , )m n 且与函数 ( )f x 图象相切的切线方程求法： （1）设出切点 ( )0 0, ( )x f x ； （2）求出函数 ( )f x 的导数 '( )f x ； （3）求出切线的斜率 ' 0( )k f x= ； （4）利用点斜式写出切线方程： ' 0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x− = − ； （5）由切线过点 ( , )m n 列出关于 0x 的方程 ' 0 0 0( ) ( )( )n f x f x m x− = − ，然后解出 0x 即 可. 结论四：共切点的公切线问题 若直线 l为函数 ( )f x 与 ( )g x 的公切线，且共切点（切点的横坐标设为 0x ），则常 见的有两个等量关系式： 0 0( ) ( )f x g x= 和 0 0'( ) '( )f x g x= .然后根据题目问题求解即可； 结论五：不共切点的公切线问题 若直线 l为函数 ( )f x 与 ( )g x 的公切线，一般情况下先设直线 l与函数 ( )f x 与 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 ( )g x 的切点分别为 1 1( , ( ))A x f x 与 2 2( , ( ))B x g x ，则常见的有两个等量关系式： 2 1 1 2 1( ) ( ) '( )( )g x f x f x x x− = − 和 1 2'( ) '( )f x g x k= = .然后根据题目问题求解即可； 题型一 关于平均变化率与瞬时变化率的考查 【例 1】已知函数 ( ) 23f x x x= − ，则 ( ) ( ) 0 1 1 lim f x f x x→ + − − = △ △ △ △ __________． 【答案】10 【分析】求导 ( ) 6 1f x x = − ，根据 ( ) ( ) 0 1 1 lim x f x f x x→ + − − △ △ △ △ ，利用导数的定义求解. 【详解】因为 ( ) ( )6 1 1 5f x x f= − =  = ， 所以 ( ) ( ) 0 1 1 lim x f x f x x→ + − − △ △ △ △ ， ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 lim x f x f f f x x→ + − + − − = △ △ △ △ ， ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 1 lim lim x x f x f f f x x x→ → + − − − = + △ △ △ △ △ △ ， ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 1 lim lim x x f x f f x f x x→ − → + − − − = + −△ △ △ △ △ △ ， ( ) ( )1 1f f=  +  ， ( )2 1 10f = = ． 故答案为：10 【跟踪训练 1】“S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见的函数模型，其图象 形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在 0.5 毫升培养液 中放入 5 个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草 履虫的数量 y (单位：个)与时间 t (单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数 0.081 74 37 e 5 t y − = + . 已知函数 0.08 375 ( ) 1 74e t f t − = + 0t  .的部分图象如图所示， ( )f t 为 ( )f t 的导函数. 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 给出下列四个结论： ①对任意 1 3(0,24), (96,144)t t  ，存在 2 (24,96)t  ，使得 1 3 2 ( ) ( ) ( ) 2 f t f t f t  +   ； ②对任意 1 3(0,24), (96,144)t t  ，存在 2 (24,96)t  ，使得 3 1 2 3 1 ( ) ( ) ( ) f t f t f t t t −  = − ； ③对任意 2 (24,96)t  ，存在 1 3(0,24), (96,144)t t  ，使得 1 3 2 ( ) ( ) ( ) 2 f t f t f t +  ； ④对任意 2 (24,96)t  ，存在 1 3(0,24), (96,144)t t  ，使得 3 1 2 3 1 ( ) ( ) ( )= f t f t f t t t −  − . 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①② 【分析】根据函数的图象可刻画出导函数的图象，再根据导函数和原函数的图象特征逐 个判断后可得正确的选项. 【详解】根据函数的图象可得导函数的图象（如图所示）， 设导数 ( )f t 在 t t= 0取最大值，结合 ( )f t 的图象可知 024 96t  ， 且当 ( )00,t t 时， ( )f t 为增函数，在 ( )0 ,t + 上 ( )f t 为减函数， 对于①，任意 1 3(0,24), (96,144)t t  ，取 2 0t t= ，则有 1 3 2 ( ) ( ) ( ) 2 f t f t f t  +   ，故①成立. 对于②，设 ( )( ) ( )( )1 1 2 2, , ,A t f t B t f t ，由 ( )f t 图象的性质可平移 直线 AB至C处， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 此时平移后的直线与 ( )f t 图象相切，且 ( )24,96Cx  ，取 2 Ct x= ， 故 3 1 2 3 1 ( ) ( ) ( ) f t f t f t t t −  = − ，故②正确. 对于③，取如图所示的 3t ，设 ( )( )3 3,Q t f t ， ( )3 3 , 2 f t S t       ， 过S作横轴的平行线， 交 ( )f t 的图象于T，由函数的图象特征可得 ( )24,96Tx  ， 取 2 Tt x= ，则 ( )2 3 1 32 ( ) ( ) ( )f t f t f t f t=  + ，故③不成立. 对于④，取 ( )( )0 0,N t f t （ 0t 为①中 ( )f t 最大值点）， 则过N的切线“穿过”曲线 ( )y f x= ，曲线上不存在与该切线平行的割线， 否则与导数存在唯一的最大值点矛盾，故④错误. 故答案为：①②. 【点睛】思路点睛：在导数问题中，如果知道原函数的图象，则可以根据切线的变化刻 画出导数的图象，从而可研究与导数或原函数性质有关的命题判断. 题型二 求曲线切线的斜率（倾斜角）问题 【例 2】已知点 P是曲线 4 e 3x y − = + 上一动点， 为曲线在点 P处的切线的倾斜角，则  的取值范围是（ ） A． 0, 6       B． , 6 2       C． , 6 3        D． 0, 3       【答案】A 【分析】求出函数 4 e 3x y − = + 的导数，利用均值不等式求出切线斜率的取值范围即可计 算作答. 【详解】函数 4 e 3x y − = + 的定义域是 R，求导得：函数 2 4 e (e 3) x x y   = + ，而e 0x  ， 则曲线在点 0( , )( R)P t y t 处的切线的斜率 2 4 e 4 4 3 3(e 3) e 2 e 2 3 e 3 32 3 e t t t t t t k  =  = + + = + +  ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 当且仅当e 3 e t t = ，即e 3t = ， 1 ln 3 2 t = 时取“=”，而 2 4 e 0 (e 3) t t   + ， 于是得 3 0 tan 3   ，有倾斜角 锐角，因此，0 6    ， 所以 的取值范围是 0, 6       . 故选：A 【点睛】关键点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数 图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键. 【跟踪训练 2】已知函数 1, 0, ( ) ln( ), 0, kx x f x x x −  =  − −  若函数 ( )f x 的图象上关于原点对称的点 有 2 对，则实数 k的取值范围为（ ） A． ( ,0)− B． 1 (0, ) 2 C． (0, )+ D．(0,1) 【答案】D 【分析】函数 ( )f x 的图象上关于原点对称的点有 2 对，等价于函数 ( )( )ln 0y x x= − −  的图象关于原点对称的函数 ( )ln 0y x x=  的图象与直线 ( )1 0y kx x= −  的交点个数为 2，画出函数图象，利用图象,结合导数的几何意义可得结果. 【详解】 要使函数 ( )f x 的图象上关于原点对称的点有 2 对， 只需函数 ( )( )ln 0y x x= − −  的图象关于原点对称的函数 ( )ln 0y x x=  的图象与直线 ( )1 0y kx x= −  的交点个数 为 2 即可. 如图,可作出函数 ( )( )ln 0y x x= − −  关于原点对称的函数 ( )ln 0y x x=  的图象， 当直线 1y kx= − 与 lny x= 的图象相切时,设切点为 ( ), lnm m , 又 lny x= 的导数为 1 'y x = ，则 1 ln 1 km m k m − =   =  ，解得 1 1 m k =  = ， 可得切线的斜率为 1，结合图象可知 ( )0,1k 时,函数 lny x= 的图象与直线 1y kx= − 有 2 个交点,即函数 ( )f x 的图象上关于原点对称的点有 2 对,故选 D. 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及导数的几何意义，考查了转换思想与 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 数形结合思想的应用，属于难题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得 到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将对称点问题转化为直线与曲线交 点问题是解题的关键. 题型三 已知切线（斜率）求参数 【例 3】已知函数 ( ) eln | |f x x x a= − − ， 2[1,e ]x .若 ( )y f x= 的图象与 x轴有且仅有两 个交点，则实数a的取值范围是（ ） A．[1,e] B． (0,e] C． 2[1,e 2e]− D． 2(0,e 2e]− 【答案】D 【分析】将 ( )y f x= 的图象与 x轴有且仅有两个交点，转化为函数 elny x= 与 | |y x a= − 的图象在 2[1,e ]上有且仅有两个交点，再利用数形结合去求解实数a的取值范围. 【详解】 ( ) eln | |f x x x a= − − ， 2[1,e ]x 的图象与 x轴有且仅有两个交点， 等价于函数 elny x= 与 | |y x a= − 的图象在 2[1,e ]上有且仅有 两个交点. 当直线 y x a= − 与 elny x= 的图象相切时， 令 e ' 1y x = = ，得 ex = ，即切点为 (e,e)，此时 0a = ； 当 y x a= − 的图象过点 2(e ,2e)时， 2 e2ea = − ， 所以要使函数 elny x= 与 | |y x a= − 的图象在 2[1,e ]x 上有且仅有两个交点， 则需 2(0,e 2e]a − . 故选：D. 【跟踪训练 3】已知函数 ( ) 2 2 2 8 10 2 e 1 2x x x x f x x x−  − +  =  + −  ， ， ，若 ( )f x x m − 恒成立，则实数 m的取值范围为（ ） A． ( ,4 2ln2− − B． 1 ,4 2ln 2 4       − C． 1 ,5 2ln 2 8       − D． 1 ,5 2ln 2 4       − 【答案】C 【分析】由 ( )f x 在 ( ,2)− 和 (2, )+ 上的单调性，画出 ( )y f x= 的图象，分别求得当 2( ) 2 8 10f x x x= − + 与 y x m= − 相切时，当 2e 1xy x−= + − 和 y m x= − 相切时，切点的坐标， 求得对应的m值，结合函数图象即可求得范围． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 【详解】解： ( ) | |f x x m− 恒成立可以转化为函数 ( )y f x= 的图象不在 | |y x m= − 图象的 下方， 当 2x 时， 2( ) e 1xf x x−= + − ， 2( ) e 1 0xf x − = − + ， ( )f x 在 ( ,2)− 上单调递减，且 f （2） 2= ， 又当 2x  时， 2 2( ) 2 8 10 2( 2) 2f x x x x= − + = − + ， ( )f x 在 (2, )+ 上单调递增，且 f （2） 2= ， 画出函数图象如下图所示， 令 , ( ) , x m x m g x x m m x x m − = − =  −  ， 当 22 8 10y x x= − + 和 y x m= − 相切时，设切点的横坐标为 1x ， 1( ) 1f x = ，即 14 8 1x − = ，解得 1 9 4 x = ，切点坐标为 9 17 ( , ) 4 8 ， 此时 1 8 m = ，结合图象可知 1 8 m ， 当 2e 1xy x−= + − 和 y m x= − 相切时，设切点的 横坐标为 2x ， 2( ) 1f x = − ，即 2 2 e 11 x− +− = − ，解得 2 2 ln 2x = − ， 切点坐标为 (2 ln 2,3 ln 2)− − ， 此时 5 2ln 2m = − ，结合图象可知 5 2ln 2m − ， 所以实数m的取值范围为 1 5 2ln 2 8 m − . 故选：C． 题型四 求在曲线上一点处的切线方程或斜率问题 【例 4】（多选）已知公比为 q的正项等比数列 na ，其首项 1 1a  ，前n项和为 nS ，前 n项积为 nT ，且函数 ( ) ( )( ) ( )1 2 9f x x x a x a x a= + + + 在点 ( )0,0 处切线斜率为 1，则（ ） A．数列 na 单调递增 B．数列 lg na 单调递减 C． 4n = 或 5 时， nT 取值最大 D． ( )4 1 1 nS q q  − 【答案】BCD 【分析】根据导数的几何意义，求得 5a ，结合数列的单调性，以及等比数列的前 n项和 的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 【详解】对 A：因为 ( ) ( )( ) ( )1 2 9f x x x a x a x a= + + + ， 故 ( )f x = ( )( ) ( )1 2 9x a x a x a+ + + ( )( ) ( )1 2 9[ ]x a x a x ax+ + + +  则 (0)f  1 2 9 1a a a= = ， ( ) 9 5 1a = ，解得 5 1a = ， 又 1 1a  ，且数列 na 是正项数列，故可得 ( )0,1q ，故该数列单调递减，A 错误； 对 B： 1 1lg lg lg lg n n n n a a a q a + + − = = ，由 A 知： ( )0,1q ，故 lg 0q  ， 故数列 lg na 单调递减，B 正确； 对 C：由 A 可知： 5 1a = ，又 ( )1 1, 0,1a q  ， 故数列 na 的前 4 项均为大于1的正数，从第6项开始均为小于 1 的正数， 故当 4n = 或5时， nT 取得最大值，C 正确； 对 D：因为 1q  ，故 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 5 4 4 1 1 1 1 1 1 n n n n a q a q q S q q q q q − − − = = = − − − ，因为 ( )0,1 ,0 1nq q   ， 故可得 ( ) ( )4 4 1 1 1 1 nq q q q q −  − − ，即 ( )4 1 1 nS q q  − ，故 D 正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的单调性，以及等比数列前n项和的计算，涉及导 数的几何意义和计算，处理问题的关键是对多项式函数 ( )f x 正确的求导，属综合中档 题. 【跟踪训练 4】（多选）在平面直角坐标系 xOy中，设曲线 C的方程是 1xy = ，下列结 论正确的是（ ） A．曲线 C上的点与定点 ( )2, 2F 距离的最小值是2 2− B．曲线 C上的点和定点 ( )2, 2F 的距离与到定直线 l： 2 0x y+ − = 的距离的比是 2 C．曲线 C绕原点顺时针旋转 45°，所得曲线方程是 2 2 1x y− = D．曲线 C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是 2 【答案】ABD 【分析】A 选项，设出曲线C任意一点的坐标，根据两点间的距离公式以及基本不等式 求得“最小值”；B 选项，结合点到直线的距离公式求得正确答案，C 选项，通过求实半 轴 a来进行判断；D 选项，通过求切线方程来进行判断. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 【详解】曲线 C的方程是 1xy = ，则 1 y x = ，所以曲线C是反比例函数 1 y x = 对应的图象， 即曲线C是双曲线. A 选项，设 1 ,P x x       是曲线C上的任意一点， ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 4PF x x x x x x     = − + − = + − + +        ， 令 1 t x x = + ，则 2 2 2 1 2t x x = + + ， 当 0x  时， 1 1 2 2t x x x x = +   = ，当且仅当 1 , 1x x x = = 时，等号成立， 当 0x  时， ( ) ( ) 1 1 2 2t x x x x   = − − +  − −  = − − −  ， 当且仅当 1 , 1x x x − = = − − 时，等号成立， 所以 (   ), 2 2,t − − + . 所以 ( ) 2 2 2 2 2 2 2PF t t t t= − + = − = − ， ( )2 , 2 2 2 2,t  −  − − −  − +  ， 所以当 2t = 时， PF 取得最小值为2 2− ，A 选项正确. B 选项， 1 ,P x x       到直线 2 0x y+ − = 的距离为 1 2 2 2 2 x tx + − − = ， 所以曲线 C上的点和定点 ( )2, 2F 的距离与到定直线 l： 2 0x y+ − = 的距离的比是 2 ， B 选项正确. C 选项，由上述分析可知曲线C是双曲线，由于曲线C的图象关于 y x= 对称， 所以 y x= 是双曲线C实轴所在直线， 由 1 y x xy =  = 解得 1 1 x y =  = 或 1 1 x y = −  = − ， 点 ( )1,1 与点 ( )1, 1− − 的距离是 2 22 2 2 2+ = ，所以双曲线C的实轴长2 2 2, 2a a= = ， 而双曲线 2 2 1x y− = 的实半轴 1a = ，所以 C 选项错误. D 选项， 1 1 ,y y x x = = − ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 所以在曲线C上任意一点 1 ,m m       处的切线方程为 ( )2 1 1 y x m m m − = − − ， 令 0x = 得 2 y m = ；令 0y = 得 2x m= ， 所以曲线 C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是 1 2 2 2 2 m m   = ，D 选项正确. 故选：ABD 题型五 求过一点且与曲线相切的切线问题 【例 5】（多选）若过点 ( )1,P t− 最多可以作出 ( )*Nn n 条直线与函数 ( ) 1 ex x f x + = 的图 像相切，则（ ） A． tn可以等于 2022 B．n不可以等于 3 C． e 3t n+  D． 1n = 时，   4 0 , e t    +    【答案】AD 【分析】设过点 ( )1,P t− 的直线与函数 ( ) 1 ex x f x + = 的图像相切时的切点为 ( ),a b ，利用 导数的几何意义可得 ( ) 2 1 ea t a = + ，构造函数 ( ) 2 1 ( ) ea a g a + = ，进而可得过点 ( )1,P t− 的直 线与函数 ( ) 1 ex x f x + = 的图像相切的切线条数即为直线 y t= 与曲线 ( ) 2 1 ( ) ea a g a + = 的图 象的公共点的个数，利用导数研究函数的性质，画出函数的大致图象，利用数形结合可 得 n不同取值时 t的取值，结合选项分析即得. 【详解】设过点 ( )1,P t− 的直线与函数 ( ) 1 ex x f x + = 的图像相切时的切点为 ( ),a b ，则 1 ea a b + = ， 因为 ( ) 1 ex x f x + = ， ( ) ( ) 2 e 1 e e e x x x x x x f x − +  = = − ， 所以切线方程为 e ( ) 1 ea a y x a a a+ −− = − ，又 ( )1,P t− 在切线上， 所以 1 ( 1 ) e ea a a a t a−= − + − − ，整理得 ( ) 2 1 ea t a = + ， 令 ( ) 2 1 ( ) ea a g a + = ，则过点 ( )1,P t− 的直线与函数 ( ) 1 ex x f x + = 的图像相切的切线条数即为 直线 y t= 与曲线 ( ) 2 1 ( ) ea a g a + = 的图象的公共点的个数， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 因为 ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 1 e 1 e 1 1 ( ) e e a a a a g a a a a a  + − + − + − == ， 令 ( ) 0g a = ，得 1a =  ， 所以，当 1a  − 时， ( ) 0g a  ， ( )g a 单调递减，当 1 1a−   时， ( ) 0g a  ， ( )g a 单调递 增，当 1a  时， ( ) 0g a  ， ( )g a 单调递减， 因为 ( 1) 0g − = ， 4 (1) e g = ， (0) 1g = ， 所以，函数 ( )g a 的图像大致如图 由图可知当 0t  时，直线 y t= 与曲线 ( ) 2 1 ( ) ea a g a + = 的 图像没有公共点，即 0n = ， 当 0=t 或 4 e t  时，直线 y t= 与曲线 ( ) 2 1 ( ) ea a g a + = 的图 像有 1 个公共点，即 1n = ， 当 4 e t = 时，直线 y t= 与曲线 ( ) 2 1 ( ) ea a g a + = 的图像有 2 个公共点，即 2n = ， 当 4 0 e t  时，直线 y t= 与曲线 ( ) 2 1 ( ) ea a g a + = 的图像有 3 个公共点，即 3n = ， 对于 A，当 4 2022 e t =  ，此时 1n = ，则 2022tn = 符合题意，故 A 正确； 对于 B，当 4 0 e t  时， 3n = ，故 B 错误； 对于 C，当 0=t 时， 1n = ，则 e 1 3t n+ =  ，故 C 错误； 对于 D，当 0=t 或 4 e t  时， 1n = ，则当 1n = 时，   4 0 , e t    +    ，故 D 正确. 故选：AD. 【跟踪训练 5】若过点 ( )( ), 0a b a  可以作曲线 exy x= 的三条切线，则（ ） A．0 eba b  B． e 0aa b−   C． 20 e 4a b  + D． ( ) 24 e 0a b− +   【答案】D 【分析】设切点为 ( )00 0, exx x ，利用导数的几何意义及条件可得关于 0x 的方程 ( ) 020 0 e x x ax a b− − = − 有三个不同的解，构造函数 ( ) ( )2 exf x x ax a= − − ，利用导数研究 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 函数的性质利用数形结合即得. 【详解】由题可得 ( )1 exy x = + ， 设切点 ( )00 0, exx x ，则 ( ) 0 0 0 0 0 e 1 e x x x b x x a − + = − ，整理得 ( ) 020 0 e x x ax a b− − = − ， 由题意知关于 0x 的方程 ( ) 0 2 0 0 e x x ax a b− − = − 有三个不同的解， 设 ( ) ( )2 exf x x ax a= − − ， ( ) ( )( )2 exx xf x a = + − ， 由 0f x ，得 2x = − 或 x a= ，又 0a  ， 所以当 < 2x − 时， 0f x ， ( )f x 单调递增，当 2 x a−   时， 0f x ， ( )f x 单调 递减，当 x a 时 0f x ， ( )f x 单调递增， 当 x→−时 ( ) 0f x → ， 当 x→+时， ( )f x →+，且 ( ) 2 4 2 e a f + − = ， ( ) e 0af a a= −  ， 函数 ( )f x 的大致图像如图所示， 因为 ( )f x 的图像与直线 y b= − 有三个交点， 所以 2 4 0 e a b +  −  ，即 ( ) 24 e 0a b− +   . 故选：D. 【点睛】利用导数研究零点问题： （1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂， 可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像； （2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值 域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题； （3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；② 利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究. 题型六 共切点的公切线问题 【例 6】若曲线 ( ) 21 :C f x x a= + 和曲线 ( )2 : 4ln 2C g x x x= − 存在有公共切点的公切线， 则该公切线的方程为__________. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 【答案】 2 4y x= − 【分析】先分别求出 ( )f x 和 ( )g x 的导数，然后设公共切点的坐标为 0(x ， 0 )y ，根据题意 有 0 0( ) ( )f x g x = ， 0 0( ) ( )f x g x= ，代入相应表达式列出方程组，解出 0x 与a的值，计算 出切线斜率和公切线的切点坐标，即可得到切线的方程． 【详解】 ( ) 2f x x a= + ， ( ) 4ln 2g x x x= − ，则有 ( ) 2f x x = ， 4 ( ) 2g x x  = − ． 设公共切点的坐标为 0(x ， 0 )y ，则 0 0( ) 2f x x = ， 0 0 4 ( ) 2g x x  = − ， 2 0 0( )f x x a= + ， 0 0 0( ) 4ln 2g x x x= − ． 根据题意，有 0 0 2 0 0 0 0 4 2 2 4ln 2 0 x x x a x x x  = −  + = −     ，解得 0 1 3 x a =  = − ． 公切线的切点坐标为 (1, 2)− ，切线斜率为 2． 公切线的方程为 2 2( 1)y x+ = − ，即 2 4y x= − ． 故答案为： 2 4y x= − 【跟踪训练 6】已知函数 ( ) lnf x x x= ， ( ) 3 1 2 2 3e g x ax x= − − ，若函数 ( )f x 的图象与函 数 ( )g x 的图象在交点处存在公切线，则函数 ( )g x 在点 ( )( )1, 1g 处的切线在 y轴上的截距 为 （ ） A． 2 3e − B． 2 3e C． 3e 2 3e + − D． 2e 2 3e + 【答案】C 【分析】设交点为 ( ), lnm m m ，分别求出 ( )f x ， ( )g x 的导数，由题意得切线的斜率相 等且切点重合，得到 m，a的方程，消去 a，可得1 e ln 0m m+ = ，令 ( ) 1 e lnh x x x= + ， 运用求得，判断单调区间，即可得到 1 e m = ，进而得到 a的值，再求 ( )g x 的导数和在 ( )( )1, 1g 处的切线斜率和切点，求得切线方程，令 0x = ，即可得到所求截距. 【详解】设交点为 ( ), lnm m m ，且 ( ) lnf x x x= 的导数为 ( ) ln 1f x x = + ， ( ) 3 1 2 2 3e g x ax x= − − 的导数为 ( ) 2 1 3 2 g x ax = − ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 由题意， 2 11 ln 3 2 m am+ = − 且 3 1 2ln 2 3e m m am m= − − ，消去 a得：1 e ln 0m m+ = ， 令 ( ) 1 e lnh x x x= + ， ( ) ( )e ln 1h x x = + ， 当 1 e x  时 ( )' 0h x  ， ( )h x 递增；当 1 0 e x  时 ( )' 0h x  ， ( )h x 递减. ∴ 1 e x = 处 ( )h x 取得极小值，也为最小值为 0，则1 e ln 0m m+ = ，解得 1 e m = ， 代入 2 11 ln 3 2 m am+ = − ，可得 21 e 6 a = ，即有 ( ) 2 3e 1 2 6 2 3e g x x x= − − ， ∴ ( ) 2 2e 1 2 2 g x x = − ，则在 ( )( )1, 1g 处的切线斜率为 2e 1 2 k − = ，切点为 2e 1 2 1, . 6 2 3e   − −    ∴在 ( )( )1, 1g 处的切线方程为 ( ) 2 2e 1 2 e 1 1 6 2 3 2 y x e   − − − − = −    ，令 0x = ，可得 3e 2 3e y + = − . 故选：C. 题型七 不共切点的公切线问题 【例 7】若存在直线与函数 ( ) 1exf x −= ， ( ) lng x x a= + 的图象都相切，则实数 a的最大 值为______. 【答案】1 【分析】先由函数图象特征确定 a的范围，再设出直线与曲线 ( ) 1exf x −= ， ( ) lng x x a= + 相切的切点，利用导数的几何意义建立函数，探求最值作答. 【详解】因存在直线与函数 ( ) 1exf x −= ， ( ) lng x x a= + 的图象都相切，由函数 ( ) 1exf x −= ， ( ) lng x x a= + 的图象知， 必有函数 ( ) 1exf x −= 的图象在 ( ) lng x x a= + 的图象及上方， 即 0x  ， 1( ) ( ) e lnxf x g x a x−   − 成立，令 1( ) e lnxx x −= − ， 0x  ， 1 1( ) exx x  − = − 在 (0, )+ 单调递增，而 (1) 0 = ，则当0 1x  时， ( ) 0x   ，当 1x  时， ( ) 0x   ， 因此， ( ) x 在(0,1)上递减，在 (1, )+ 上递增， min( ) (1) 1x = = ，则 1a  ， 设直线与曲线 ( ) 1exf x −= ， ( ) ln , 1g x x a a= +  相切的切点分别为 0 1 0( ,e ), ( , ln ), 0 x x t t a t − +  ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 而 1 1( ) e , ( )xf x g x x − = = ，于是有： 0( ) ( )f x g t = ，即 0 1 1 e x t − = ， 0 1 lnx t= − ， 该直线方程为 0 0 1 1 0e e ( ) x x y x x − − − = − ，点 ( ,ln )t t a+ 在此直线上，则 1 1 ln ( 1 ln )t a t t t t + − = − + ， 整理得： ln 1 ln t a t t = − + ，令 ln ( ) 1 ln , 0 t h t t t t = − +  ，求导得： 2 2 1 1 ln 1 ln ( ) t t t h t t t t − − −  = − + = ， 显然函数 1 lny t t= − − 在 (0, )+ 上单调递减，当 1t = 时， 0y = ，当0 1t  时， ( ) 0h t  ， 当 1t  时， ( ) 0h t  ， 即函数 ( )h t 在(0,1)上单调递增，在 (1, )+ 上单调递减， max( ) (1) 1h t h= = ，即 1a  ， 所以实数 a的最大值为 1. 故答案为：1 【点睛】关键点睛：涉及直线与函数图象相切问题，设出切点坐标，借助导数的几何意 义求解是解题的关键. 【跟踪训练 7】已知函数 ( ) ( ) ( ), 0xf x e g x a x a= =  ，若函数 ( )y f x= 的图象上存在 点 ( )0 0,P x y ，使得 ( )y f x= 在点 ( )0 0,P x y 处的切线与 ( )y g x= 的图象也相切，则a的 取值范围是（ ） A． ( 0,1 B． (0, 2e  C． (1, 2e D． 1 , 2 2 e e       【答案】B 【分析】由两条直线的公切线，表示出切点坐标，构造函数 ( )h t ，利用导函数求得极值 点；根据极值点，求出两侧的单调性，再根据单调性求得 ( )h t 的最大值． 【详解】 ( ) ( )e ,xf x g x a x= = 的公共切点为 00( , e ) x P x ，设切线与 ( )y g x= 的图象相切 与点 ( ),t a t ( ) 00' , '( ) 2 x a f x e g t t = = 由题意可得 0 0 0 0 0 2 x x x a e t e a t e x t  =    − =  − ，解得 0 1x t= − 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 所以 0 12 2 , 0x ta te te t−= =  令 1( ) 2 , 0th t te t−=  则 ( ) 1 1 11 1'( ) 2 1 2t t th t e te e t t t − − −= − = − 令 '( ) 0h t = ，解得 1 2 t = 当 0t  时， ( ) 0h t  当 1 0 2 t  时， ( )' 0h t  ，函数 ( )h t 在 1 0, 2       上单调递增 当 1 2 t 时， ( )' 0h t  ，函数 ( )h t 在 1 0, 2       上单调递减 当 t 从右侧趋近于 0 时， (0)h 趋近于 0 1 2 2 h e   =    当 t 趋近于+ 时， (0)h 趋近于 0 所以 ( )0, 2a e 所以选 B 【点睛】本题考查了导数的综合应用，利用导数的单调性求得值域，属于难题． 课后突破训练 1．设 ( )f x 是可导函数，且 0 0 0 ( ) ( 2 ) lim 3 x f x x f x x x → − − +  =  ，则 0( )f x = A． 1 2 B． 2− C． 1− D．0 【答案】C 【详解】 ( )0 0 0 ( ) 2   3 x f x x f x x lim x→ − − + ＝ ， ( )0 0 0 3 0 ( 2 3 ) 2 3x f x x x f x x f x lim x （ ） − → + − − +   = − ( )0 0 0 ( ) 21 1 3 1? 3 3x f x x f x x lim x→ − − +   = −  − = −    ＝ ． 故选 C． 2．点 P在函数 y＝ex的图象上．若满足到直线 y＝x+a的距离为 2 的点 P有且仅有 3 个，则实数 a的值为（ ） 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 A．2 2 B．2 3 C．3 D．4 【答案】C 【解析】要满足到直线 y＝x+a的距离为 2 的点 P有且仅有 3 个，则需要直线与函数 y ＝ex的图象相交，而且点 P在函数 y＝ex的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为 2 ，另外一侧两个点到直线距离为 2 ．于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从 而解决问题． 【详解】过函数 y＝ex的图象上点 P（x0，y0）作切线，使得此切线与直线 y＝x+a平行 y′＝ex，于是 0 1xe = ，则 x0＝0，y0＝1 ∴P（0，1）， 于是当点 P到直线 y＝x+a的距离为 2 时，则满足到直线 y＝x+a的距离为 2 的点 P 有且仅有 3 个， ∴ 1 2 1 1 a d − + = = + ，解得 a＝﹣1 或 a＝3 又当 a＝﹣1 时，函数 y＝ex的图象与直线 y＝x﹣1 相切，从而只有两个点到直线距离 为 2 ，所以不满足； 故 a＝3． 故选：C． 【点睛】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度 较大. 3．过直线 1y x= − 上一点 P可以作曲线 ( ) lnf x x x= − 的两条切线，则点 P横坐标 t的取 值范围为（ ） A．0 1t  B．1 et  C．0 t e  D． 1 1t e   【答案】C 【分析】根据导数的几何意义得出切线方程，再将方程 0 0 02 lnt x x x= − 的根的个数问题 转化为函数 y t= 与函数 ( ) 2 lng x x x x= − 的图象的交点个数问题，结合图象，即可得出答 案. 【详解】解：由题意得 ( , 1)P t t − ，设切点为 ( )0 0,A x y ， 0 0x  ， 1 ( ) 1f x x  = − ， ( ) 00 0 0 11 1 x f x x x −  = − = ， 则过点 P的切线方程为 ( )00 0 0 0 1 ln x y x x x x x − − + = − ，整理得 0 0 0 1 ln 1 x y x x x − = − + ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 由点 P在切线上，则 0 0 0 1 1 ln 1 x t t x x − − = − + ，即 0 0 02 lnt x x x= − ， 因为过直线 1y x= − 上一点 P可以作曲线 ( ) lnf x x x= − 两条切线， 所以关于 0x 的方程 0 0 02 lnt x x x= − 有两个不等的实数根， 即函数 y t= 与函数 ( ) 2 lng x x x x= − 的图象有两个交点， ( ) 2 ln 1 1 lng x x x = − − = − ， ( ) ( )0 0 e, 0 eg x x g x x      ， 则函数 ( )g x 在 ( )0 e， 上单调递增，在 ( )e, + 上单调递减，且 (e) eg = ， 0x→ 时， ( ) 0g x → ； x→+时， ( )g x →−， 则函数 y t= 与函数 ( ) ln 2g x x x x= − + 的图象如下图所示： 由图可知，0 et  ， 故选：C. 4．已知 0a  ， 1x ， 2x 为方程 ln 2lnx a x= 的解，且 2 1 0x x  ，则下列结论正确的是（ ） A． 2 e1,ea       B． ( )1 0,1x  C． 2 1 ,e e x       D． 1 2 2x x+  【答案】A 【分析】将题设转化为直线 lny a x=  和函数 2lny x= 的图象有 2 个交点，画出图象， 当直线 lny a x=  和函数 2lny x= 的图象相切时，求出a的值，即可得a的取值范围，进 而求得 1 21 x e x   ，即可求解. 【详解】 由题意得，方程 ln 2lnx a x= 的解即为函数 lny a x=  和函数 2lny x= 的图象交点的横坐标，作出图象如图所示， 由图可知，当 ln 0a ，即0 1a  时，直线 lny a x=  和函数 2lny x= 图象的交点有且只有 1 个，不合题意； 当 ln 0a  ，即 1a  时，当直线 lny a x=  和函数 2lny x= 的图 象相切时，设切点 ( ), lnm a m ，由 2 y x  = 知 2 ln a m = ， 则切线方程为 2 y x m = ，又切点 ( ), lnm a m 在函数 2lny x= 的图 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 象上，则 ln 2lna m m = ，联立 2 ln ln 2ln a m a m m  =    = ， 解得 em = ， 2 eea = ，由图可知，当 2 e1,ea       时，直线 lny a x=  和函数 2lny x= 的图象 有 2 个交点， 由题意可知，两个交点的横坐标为 1 2,x x ，且 2 1 0x x  ，则 1 21 x e x   ，则 A 正确；B、 C 错误； 1 2 1 e 2x x >+  + ，D 错误. 故选：A. 5．已知曲线 ( ) ( )2 0xf x a e a=   与曲线 ( ) ( )3 3 0g x x m m= −  有公共点，且在该点处的 切线相同，当 m 变化时，则实数 a 的取值范围为（ ） A． 3 27 1, 8e       B． 3 27 0, 8e       C． 3 1, 2e       D． 3 0, 2e       【答案】B 【分析】求出两函数的导函数，得到两函数在公共点 ( , )s t 处的导数值，由切点既在曲线 上，可得m与 s及 a与 s的关系，由 0m  求得 s的范围，构造函数 2 2 3 ( ) ( ) 2s s h s s e =  ，则 实数 a的取值范围可求． 【详解】由 2( ) ( 0)xf x ae a=  ， ( ) ( )3 3 0g x x m m= −  ，得 2( ) 2 xf x ae = ， 2( ) 3g x x = ， 设 ( ) 2 ( 0)xf x ae a=  与曲线 ( ) ( )3 3 0g x x m m= −  的公共点为 ( , )s t ， 则 2( ) 2 sf s ae = ， 2( ) 3g s s = ， 则 2 2 2 3 3 2 s s s ae ae s m  =  = − ，整理得 3 2 2 2 3 2 2 3 s m s s s a e  = −   =  ① ② ． 由①且 0m  ，得 3 2 s  ， 由②得， 2 2 2 3 ( ) 3 2s s a s e =  ． 令 2 2 3 ( ) ( ) 2s s h s s e =  ，则 2 2 (1 ) ( ) 0 s s s h s e −  =  ，函数 ( )h s 在 3 ( , ) 2 + 上为单调减函数， 3 9 3 4( ) ( ) 2 h s h e   = ，又当 s→ +时， ( ) 0h s → ，  3 9 2 40 3 a e   ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 实数a的取值范围是 3 27 0, 8e       ． 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义、参数的取值范围求解，考查函数与方程思想、转化 与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 6．若直线 l与曲线 exy = 和 lny x= 都相切，则直线 l的条数有（ ） A． 0 B．1 C．2 D．无数条 【答案】C 【分析】先设出所求直线 l，再通过设出的直线斜率得到切点，运用切点和斜率构造方 程，再通过构造新的函数求解方程解的情况 【详解】设直线 :l y kx b= + 因为直线 l与曲线 exy = 和 lny x= 都相切 所以对于曲线 exy = ， exy k = = ， lnx k= ，切点 (ln , )A k k 对于曲线 lny x= ， 1 y k x  = = ( 0)x  ， 1 x k ，切点 1 1 ( , ln )B k k ( 0)k  因为公切线过 A、B两点 所以 1 ln ln 1 1 ln ln A B A B k y y k kkk x x k k k k − − + = = = − − − 进而可得 ln ln 1 0k k k k− − − = 令 ( ) ln ln 1g k k k k k= − − − ( 0)k  1 ( ) lng x k k  = − ( 0)k  因为 ln k， 1 k − 均为增函数，又因为 (1) 1 0g = −  ， ( ) 1 e 1 0 e g = −  所以存在 0k 使得 0 0 1 ln =0k k − 即 0 0 1 ln k k = 所以 ( )g k 在 0(0, )k k 时单调递减，在 0( , )k k + 单调递增， ( )0 1,ek  0 min 0 0 0 0( ) ( ) ln ln 1g k g k k k k k= = − − − 又因为 0 0 1 ln k k = 所以 min 0 0 0 0 0 0 1 1 1 ( ) 1 0g k k k k k k k =  − − − = − −  当 2ek = 时， ( ) ( )2 2 2 2 2 2e e e 1 e 3 0g k g lne lne= = − − − = −  因为 ( )0 1,ek  ，所以 ( ) ( ) 2 0 e 0g k g  所以在 ( )20 , ek 内存在 1k 使得直线 l与曲线 exy = 和 lny x= 都相切 当 2 1 e k = 时， ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ln ln 1 3 1 0 e e e e e e g k g   = = − − − = − +     武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 21 页 因为 ( )0 1,ek  ，所以 ( )0 2 1 0 e g k g       所以在 02 1 , e k       内存在 2k 使得直线 l与曲线 e xy = 和 lny x= 都相切 所以综上所述，存在两条斜率分别为 1 2,k k 的两条直线 l与曲线 e xy = 和 lny x= 都相切 故选：C 【点睛】①本题运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来 ②通过构造新的函数求解所得到的跟直线斜率有关的方程 ③通过零点存在性定理最后得到函数是否存在零点，即方程解的情况 7．（多选）若 ( ) ( )0 0 0 Δ 0 0 lim Δ , , Δx f x x y f x y x→ + − 存 在， 则称 ( ) ( )0 0 0 Δ 0 0 lim Δ , , Δx f x x y f x y x→ + − 为 二元函数 ( ),z f x y= 在点 0 0( , )x y 处对 x的偏导数，记为 ( )0 0,xf x y ；若 ( ) ( )0 0 0 0 0 Δ l , Δ , Δ im y f x y y f x y y→ + − 存在，则称 ( ) ( )0 0 0 0 Δ 0 lim , , y f x y y f x y y→ + −  为二元函数 ( ),z f x y= 在点 0 0( , )x y 处对 y的偏导数，记为 ( )0 0,yf x y ，已知二元函数 ( ) 2 3, 2 ( 0, 0)f x y x xy y x y= − +   ，则（ ） A． ( )1,2 2xf  = − B． ( )1, 12 0yf  = C． ( , ) ( , )x yf m n f m n + 的最小值为－1 D． ( , )f x y 的最小值为－ 4 27 【答案】ABD 【分析】根据偏导数的定义进行分析计算， ( )1,2 2xf  = − ， ( )1, 12 0yf  = ， 2 1 1 ( , ) ( , ) 3 3 3 x yf m n f m n n   + = − −    ， ( ) ( ), ,x yf m n f m n + 的最小值为 1 3 − ，由于 ( ) ( ) 2 3 2 3 2,f x y x y y y y y= − + −  − ，构造函数 ( ) 3 2g x x x= − （ 0x  ），利用导数可求出 ( ),f x y 的最小值. 【详解】对 A，因为 ( ) 2 3, 2f x y x xy y= − + （ 0x  ， 0y  ）， 所以 ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 , l , im , x x f x x x f x f y y y x  → −  =   + ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 02 2 lim x x x x x y y x x y y x →  + − ++  − + −   =   2 0 0 0 0 0 2 lim 2 2 2 x x x x xy x y x →  +  −  = = −  ，则 ( )1,2 2xf  = − ，故 A 选项正确； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 22 页 对 B，同理可得 ( ) ( ) ( )0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 , , , lim 2 3y y f x y y f x y f x y x y y → + −  = = − +  ，所以 ( )1,2 10yf  = ， 故 B 选项正确； 对 C，因为 ( ) ( ) 2 2 2 1 1, , 2 2 2 3 3 2 3 3 3 x yf m n f m n m n m n n n n    + = − − + = − = − −    ， 所以当 1 3 n = 时， ( ) ( ), ,x yf m n f m n + 取得最小值，且最小值为 1 3 − ，故 C 选项错误； 对 D， ( ) ( ) 2 3 2 3 2,f x y x y y y y y= − + −  − ， 令 ( ) 3 2g x x x= − （ 0x  ）， ( ) 23 2g x x x = − ， 当 2 0 3 x  时， ( ) 0g x  ，当 2 3 x  时， ( ) 0g x  ， 故 ( ) min 2 4 3 27 g x g   = = −    ，从而当 2 3 x y= = 时， ( ),f x y 取得最小值，且最小值为 4 27 − . 故 D 选项正确. 故选：ABD. 8．若实数 a，b，c，d满足 23ln 2 1 a a c b d − − = = ，则 2 2( ) ( )a c b d+ + + 的最小值为 ____________． 【答案】2 2 【分析】由题意可知点 ( , )a b 在曲线 23lny x x= − 上.点 ( , )c d− − 在曲线 2y x= + 上.由 2 2( ) ( )a c b d+ + + 的最小值的几何意义就是曲线 23ln ( 0)y x x x= −  到曲线 2y x= + 上点的距离的最小值.设出切点由斜率为1，即可求出切点，利用点到直线的距离即可求 出最值. 【详解】因为 23ln 2 1 a a c b d − − = = 所以 2 ,3ln ab a−= 2 2d c d c= − − = − + . 所以点 ( , )a b 在曲线 23lny x x= − 上. 点 ( , )c d− − 在曲线 2y x= + 上. 2 2( ) ( )a c b d+ + + 的最小值的几何意义就是曲线 23ln ( 0)y x x x= −  到曲线 2y x= + 上点的距离的最小值. 等价于曲线 23ln ( 0)y x x x= −  平行于 2y x= + 的切线到曲线 2y x= + 的距离. 设切点为 0 0( , )x y , 3 2y x x  = − , 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 23 页 则 0 0 0 0 3 2 1 1x xy x x x = = − =  = 或 0 3 2 x = − （舍） 所以 0 3ln1 1 1y = − = − ，切点 (1, 1)− . 该点到直线 2y x= + 的距离为： 1 1 2 2 2 2 d + + = = . 所以 2 2( ) ( )a c b d+ + + 的最小值为2 2 . 故答案为：2 2 . 【点睛】本题考查了利用导数求曲线上的点到直线的距离的最值.考查了转化与化归思 想.属于难题.其中 2 2( ) ( )a c b d+ + + 的几何意义为点 ( , )a b 到点 ( , )c d− − 的距离是解本题 的关键. 9．若过点 A（a，0）的任意一条直线都不与曲线 C： ( ) 12 exy x −= − 相切，则 a的取值 范围是___． 【答案】（－2，2） 【分析】设出切点，求出切线方程，问题转化为 ( )20 02 2 0x a x a− + + + = 无实根，根据根 的判别式得到不等式，求出 a的取值范围. 【详解】设点 ( )( )0 10 0, 2 exB x x −− 为曲线 C上任意一点，因为 ( ) 11 exy x − = − ， 则曲线 C在点 B处的切线 l的方程为 ( ) ( ) ( )2 0 110 0 02 e 1 e xxy x x x x −−− − = − − ． 据题意，切线 l不经过点 A，则关于 0x 的方程 ( ) ( )0 0 1 1 0 0 02 e 1 e )( x x x x a x − − − − = − − 无实根， 即 ( )20 02 2 0x a x a− + + + = 无实根，所以 ( ) ( ) 2 2 4 2 0a a = + − +  ，解得: 2 2a−   ，所 以 a的取值范围是（－2，2）. 故答案为：（－2，2）. 10．设点 P在直线2 14 0x y− − = 上，点Q在曲线 lny x x= + 上，线段 PQ的中点为 ,M O为 坐标原点，则 OM 的取小值为___________. 【答案】 3 5 2 ## 3 5 2 【分析】通过转化可得 2 4 OM 的最小值为 ( )2 2 2, lnQ x x x+ 到 ( )1 1, 2 14N x x− − + 距离平方的 最小值，利用导数求出切线即可得出. 【详解】由题可设 ( )1 1,2 14P x x − ， ( )2 2 2, lnQ x x x+ ，则 1 2 1 2 22 14 ln, 2 2 x x x x x M + − + +      则 2 2 2 1 2 1 2 22 14 ln 2 2 x x x x x OM + − + +    = +        武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 24 页 即 ( ) ( ) ( ) 2 22 2 1 2 2 14 ln 2 14OM x x x x x= − − + + − − +       ， 即 2 4 OM 的最小值为 ( )2 2 2, lnQ x x x+ 到 ( )1 1, 2 14N x x− − + 距离平方的最小值， 其中点Q在曲线 lny x x= + 上，N在直线 2 14y x= + 上， QN 的最小值为在曲线 lny x x= + 上与直线 2 14y x= + 平行的切线的切点到直线 2 14y x= + 的距离， 设切点为 ( )0 0 0, lnx x x+ ，因为曲线导数 1 1y x  = + ，则 0 1 1 2 x + = ，解得 0 1x = ，所以切点 为 ( )1,1 ， 所以 min 15 3 5 5 QN = = ，所以 min 3 5 2 OM = . 故答案为： 3 5 2 . 11．已知存在 0a  ，使得函数 ( ) lnf x a x= 与 ( ) 2 3g x x x b= − − 的图象存在相同的切线， 且切线的斜率为 1，则 b的最大值为___. 【答案】-3 【分析】分别求出两函数的导函数，由切线斜率为 1 求得切点坐标，写出曲线 ( )f x 在切 点处的切线方程，把 ( )g x 的切点代入，可得 b与 a的关系式，再由导数求最值即可 【详解】解: ( ) ( ), 2 3 = = − a f x g x x x 令 ( ) 1 a f x x  = = ，得 x a= ，切点为 ( ), lna a a ， 令 ( ) 2 3 1g x x= − = ，得 2x = ，切点为 (2, 2 )− −b . 切线方程为 ln− = −y a a x a代入，可得 2 2b alna a− − − = − 则 4b a alna= − − 令 ( ) ln 4= − −h x x x x ，则 ( ) 1 ln 1 lnh x x x− = − = − ,当 0 1x  时， ( ) 0h x  ，当 1x  时， ( ) 0,h x  ∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴ ( ) ( )1 3 max h x h= = − 即 b的最大值为-3. 故答案为：-3. 12．已知函数 2 2 , 0, ( ) ln , 0, x x a x f x x x  + +  =   其中a是实数．设 1 1 2 2( , ( )), ( , ( ))A x f x B x f x 为该 函数图象上的两点，且 1 2x x ． （1）若函数 ( )f x 的图象在点 ,A B处的切线互相垂直，且 2 0x  ，求 2 1x x− 的最小值； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 25 页 （3）若函数 ( )f x 的图象在点 ,A B处的切线重合，求a的取值范围． 【答案】（1）1；（2） ( )ln 2 1,− − + ． 【分析】（1）当 A处的切线与 B处的切线垂直时 ( ) ( )1 2 1f x f x  = − ，当 0x  时， 1 22 2 0 2 2x x+   + ，有 ( ) ( ) ( )( )2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x− = + − +  − + +   ，可得答 案； （2）由已知得 1 20x x  ，分 1 0x  、 2 0x  得到函数 ( )f x 的图象在点 A、B处的切线方 程，由两处切线重合的充要条件得到 ( ) ( )2( ) ln 2 2 1 1 0h x x x x= − + − −   ，由 ( )h x 的单调 性可得答案． 【详解】（1）由导数的几何意义可知，点 A处的切线斜率为 ( )1f x ，点 B处的切线斜率 为 ( )2f x ，故当 A处的切线与 B处的切线垂直时， ( ) ( )1 2 1f x f x  = − ， 当 0x  时，有 ( ) 2 2f x x = + ，所以 1 2 0x x  ， ( )( )1 22 2 2 2 1x x+ + = − ，所以 1 22 2 0 2 2x x+   + ，所以 ( ) ( ) ( )( )2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 x x x x x x− = + − +  − + + =   ，当 且仅当 ( )2 12 2 2 2x x+ = − + ，即 1 2 3 1 , 2 2 x x= − = − 时，等号成立，所以 2 1x x− 的最小值为 1． （2）当 1 2 0x x  或 1 20 x x  时， ( ) ( )1 2f x f x  ， 所以 1 20x x  ， 当 1 0x  时，函数 ( )f x 的图象在点 A处的切线方程为 ( ) ( )( )21 1 1 12 2 2y x x a x x x− + + = + − ， 即 ( ) 21 12 2y x x x a= + − + ， 当 2 0x  时，函数 ( )f x 的图象在点 B处的切线方程为 ( )2 2 2 1 lny x x x x − = − ，即 2 2 1 ln 1y x x x = + − ， 两处切线重合的充要条件是 1 2 2 2 1 1 2 2, ln 1 . x x x x a  = +   − = − + ， 由 1 2 1 2 2x x = + 及 1 20x x  ， 得 ( )2 21 1 2 1 11 0, ln 1 ln 2 2 1x a x x x x−   = + − = − + − ， 记 ( ) ( )2( ) ln 2 2 1 1 0h x x x x= − + − −   ，则 1 ( ) 2 0 1 h x x x  = −  + ， 所以 ( )h x 在 ( 1,0)− 上单调递减， (0) ln2 1h = − − ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 26 页 x趋近于 1− 时， ( )h x 趋近于+，所以 ( )( ) ln 2 1,h x  − − + ， 所以 a的取值范围是 ( )ln 2 1,− − + ．