42 数列的求和重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 42 数列的求和重难点专题 常考结论及公式 结论一：两个补充结论 （1） 2 2 2 2 1 1 2 3 ( 1)(2 1) 6 n n n n+ + + + = + + ； （2） 2 3 3 3 3 11 2 3 ( 1) 2 n n n   + + + + = +    ； 结论二：分组转化求和法 适用于多个等差数列和等比数列的和差形式.做法是把数列的每一项分成两项或几 项，使其转化为几个等差、等比数列，再求和. 结论三：并项求和法 对于形如 ,n n n b n a c n  =   为奇数 ， 为偶数 或者合并部分项后有规律即可. 结论四：错位相减法 若数列 na 是公差为d 的等差数列，数列 nb 是公比为q 的等比数列.则 n na b 或 n n a b       形式数列的前 n 项和可以采用错位相减法求解.对于 n na b 型需要两端对求和 式子两端同时乘以q再错位相减后得到 ( ) n nS An B q C= + + ； 结论五：倒序相加法 若数列 na 满足于首末两项等“距离”的两项和相等（或者有求和可能），那么 该数列的前 n 项和可以用倒序相加法求解. 结论六：裂项相消法 若数列 na 的通项公式可以拆分为 1 1 1 1 ( ) 1 1 ( )n nn n n n n n n b bf n a b b b b b b   + + + + − = = = −   ， 其中 1( ) n nf n b b+= − ，为常数. 那么该数列的前n 项和可以用裂项相消法求解. 常见的有（1）若 nb 是公差为d 的等差数列，且 1 n n n a b b  + = ，为常数.则有 1 1 1 1 1 1n n n n n n n n n b b a b b d b b d b b   + + + +  − = =  = −    ； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 （2）若 nb 是公差为d 的等差数列，且 1 n n n a b b  + = + ，为常数.则有 ( )1 1 n n n n n a b b db b   + + = = − + ； （3）其他类型的：① 1 2 1 ( 1) 4 ( 1) 4 4 1 ( 1) (2 1) ( 1) (2 1) n n n n n n n a n n n + + −  −  = = − − +  − − 1 1 ( 1) (2 1) ( 1) (2 1) ( 1) (2 1) ( 1) (2 1) n n n n n n n n + + − + − − − = − +  − − 1 1 1 ( 1) (2 1) ( 1) (2 1)n nn n+ = − − − − + ； ② 1( )( ) n n n n ca a a a + = + + 1 1 ( ) ( ) ( )( ) 1 n n n n a a c a a a     + + + − + =  + + − 1 1 1 1 n n c a a a +   =  −  − + +  ； ③ ( 1)( 2) na n n n  = + + [( 2) ] 1 ( 1)( 2) 2 n n n n n  + − =  + + 1 1 2 ( 1) ( 1)( 2)n n n n    =  −  + + +  ； 题型一 利用倒序相加法求和 【例 1】已知函数 ( )y f x= 满足 ( ) ( )1 1f x f x+ − = ，若数列 na 满足 1 2 1 (0) (1)n n a f f f f f n n n −      = + + + + +            ，则数列 na 的前 20 项的和为（ ） A．230 B．115 C．110 D．100 【跟踪训练 1】德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19 岁的高斯得到了 一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼 时，对1 2 3 100+ + ++ 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给 数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数 2 ( ) 2 2 x x f x = + ，设数列 na 满足 ( ) 1 2 1 (0) (1) Nn n a f f f f f n n n n −     = + + + + +             ， 若 12nn nb a += ，则 nb 的前 n项和 nS = _________． 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 题型二 利用分组求和转化法求和 【例 2】已知数列 na 满足 2 2 1 3 1n na a n−− = − ， ( ) * 2 1 2 3 5 Nn na a n n+ + = +  ，记数列 na 的 前 n项和为 nS ，则 60S = ___________. 【跟踪训练 2】等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 4 2 24 , 2 1n nS S a a= = + .数列 nb 的前n 项和为 nT ，且 1 1 2 n n n a T + + = (1)求数列   ,n na b 的通项公式； (2)数列 nc 满足 cos , , n n n a n n c b n  =   为奇数 为偶数 ，求 2 1 n i i c =  . 题型三 利用错位相减法求和 【例 3】数列 na 满足 1 2a = ， ( ) ( )1 2 2 1 n n n a a n n  + + =  + N ，则 2022 1 2 2021 a a a a = + ++ __________ 【跟踪训练 3】函数  y x= 广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中 x 为不超 过实数 x 的最大整数，例如： 2.1 3− = − ， 3.1 3= ．已知函数 ( )  2log f x x= ，则 10(1) (3) (5 ...) (2 1)f f f f+ + + + + = __________． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 题型四 利用并项求和法求和 【例 4】已知数列 na 的前 n项和为 nS ，若 sin 3 n n a n  = ，则 2022S =（ ） A．0 B． 1011 3− C． 1012 3− D． 1008 3− 【跟踪训练 4】在数列 na 中，已知 1 1a = ，且 1 2n na a n+ + = ，则其前31项和 31S 的值 为（ ） A．361 B．423 C．481 D．523 题型五 利用裂项相消法求和 【例 5】定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到 的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项 的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如 2,4 的一阶和数列是 2,6,4 ， 设 n阶和数列各项和为 nS ． (1)试求数列 2,4 的二阶和数列各项和 2S 与三阶和数列各项和 3S ，并猜想 nS 的通项公 式（无需证明）； (2)设 ( )( ) ( ) ( )3 3 1 3 2 1 log 3 log 3 n n n n S n b S S + − + = −  − ， nb 的前m 项和 mT ，若 2025 2 mT  ，求m 的最小值. 【跟踪训练 5】数列 na 满足 1 1a = ， ( ) ( )( )1 1 1 Nn nna n a n n n+ +− + = +  ． (1)证明：数列 n a n       为等差数列． (2)若 2 1 1 n n n n b a a a+ + =   ，求数列 nb 的前n 项和 nS ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 题型六 奇偶项不同通项公式的求和问题 【例 6】已知数列{ }na 满足： ( ) ( ) ( ) 1 * 21 1 3 1 n n n na a n n + +− + − = + N ，若 1 2 1a a= = ，则数 列{ }na 的前 20 项和 20S = ___________. 【跟踪训练 6】在数列 nb 中， 1 1 ( 1) 2 1 n n nb b n − + − − = + ，则数列 nb 的前20项和为________． 题型七 周期数列的求和问题 【例 7】记数列{ }na 前 n 项和为 nS ，且数列{ }na 满足 1=2a ， 1 1 1 n n n a a a + − = + ，则 2016S =（ ） A．504 B． -504 C．588 D． -588 【跟踪训练 7】已知数列 na ， nb 满足 1n n nb a a+= − ，其中， *Nn . (1)若 1 2a = ， 2 n nb = . ①求证： na 为等比数列； ②试求数列 nn a 的前 n项和. (2)若 2n nb a += ，数列 na 的前 6291 项之和为 1926，前 77 项之和等于 77，试求前 2024 项之和是多少？ 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 课后突破训练 1.定义域为 R 的函数 ( )f x 满足 ( )1 3f = ， ( ) ( ) 0f x f x− + = ， ( ) ( )1 1f x f x− = + 数列 na 满足 ( )na f n= ，前n 项利为 nS ，则 2022S =（ ） A．3 B．0 C． 3− D．2022 2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 xR ， 用 x 表示不超过 x 的最大整数，则 ( )  f x x= 称为高斯函数.已知数列 na 满足 1 1a = ， 且 ( ) 11 2 1n nn a na n++ − = + ，若  lgn nb a= ，数列 nb 的前n 项和为 nT ，则 2022T =（ ） A．4956 B．4959 C．4962 D．4965 3．在数列 na 中， 1 2a = ， 1 1 1 n n n a a a + + = − ，则数列 nna 的前2n项的和为（ ） A． 25 3n n+ B． 28n C． 26 2n + D． 24 4n + 4．设数列 na 为： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , , , , , , , , 2 2 4 4 4 4 8 8 8 8 8 8 8 8 ，其中第 1 项为 1 1 ，接下来 2 项均为 1 2 ，再接下来 4 项均为 1 4 ，再接下来 8 项均为 1 8 ，…，以此类推，记 1 n n i i S a = = ， 现有如下命题：①存在正整数 k ，使得 1 ka k  ；②数列 n S n       是严格减数列.下列判断正 确的是（ ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 5．设数列 na 前n 项和为 nS ，已知 1 4 5 a = ， 1 1 2 ,0 2 1 2 1, 1 2 n n n n n a a a a a +    =   −    ，则 2020S =（ ） A．1010 B．1012 C．2020 D．2022 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 6．（多选）若数列 na 满足 ( ) * 1 2 1 21, 1, 3,n n na a a a a n n N− −= = = +   ，则称数列 na 为 斐波那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列.则下列关于斐波那契数列结论正确 的是（ ） A． 1 2 3 2 1n na a a a a ++ + + + = − B． 2020 2020 2021S a a= + C． 1 3 5 2021 2022a a a a a+ + + + = D． 2 4 6 2020 2021a a a a a+ + + +  7.已知数列 na 的各项互异，且 0na  ， 1 1 1 2 n na a+ − = （ *Nn ），则 1 1 2 2 3 1 n n n a a a a a a a a− − = + + + _________. 8．已知数列 na 的前n 项和为 nS ，且 1 2 1 1 1 2 1n n S S S n + + + = + ，设函数 ( ) 1 cos 2 f x x= + ， 则 na = ___________， 3 20211 2 2022 2022 2022 2022 a aa a f f f f        + + + + =                ___________. 9．对正整数 n，函数 ( )n 是小于或等于 n的正整数中与 n互质的数的数目．此函数以 其首名研究者欧拉命名，故被称为欧拉函数．根据欧拉函数的概念，可得 ( )441 =______， 数列 ( ) 7nn 的前 n项和 nS = ______． 10．已知数列 na 的前 n 项和 nS 满足 ( ) 1 1 2 n n nS S a= − + ，设 ( )( ) 1 11 1 n n n n a c a a + + = + + ， 若数列 nc 的前 n 项和为 nT ，且对任意的 *Nn 满足 2 2 3 nT   + ，则实数的取值 范围是______________. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 11．在数列 na 中， 1 2a = − ， ( ) ( ) * 11 2 2,n nn a na n n−− =  N ． (1)求数列 na 的通项公式； (2)令 ( ) ( )2 4 1 4 1 2 n n n n a b n  − = − ，求数列 nb 的前n 项和 nS ． 12．已知数列 na 的前 n 项和为 , 2 3n n nS S a n= − ． (1)求数列 na 的通项公式 na ； (2)若 3 2 1 n n a n b n n + =  − ， 为正偶数 ， 为正奇数 ， 1 2 3n nT b b b b= + + + + ，求 21T ； (3)记 2 3 2log 1 3 n n a c +  = +    ，若数列 nc 中去掉数列 na 中的项后余下的项按原来的顺序 组成数列 nd ，求 1 2 200d d d+ + + 的值． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 42 数列的求和重难点专题 常考结论及公式 结论一：两个补充结论 （1） 2 2 2 2 1 1 2 3 ( 1)(2 1) 6 n n n n+ + + + = + + ； （2） 2 3 3 3 3 11 2 3 ( 1) 2 n n n   + + + + = +    ； 结论二：分组转化求和法 适用于多个等差数列和等比数列的和差形式.做法是把数列的每一项分成两项或几 项，使其转化为几个等差、等比数列，再求和. 结论三：并项求和法 对于形如 ,n n n b n a c n  =   为奇数 ， 为偶数 或者合并部分项后有规律即可. 结论四：错位相减法 若数列 na 是公差为d 的等差数列，数列 nb 是公比为q 的等比数列.则 n na b 或 n n a b       形式数列的前 n 项和可以采用错位相减法求解.对于 n na b 型需要两端对求和 式子两端同时乘以q再错位相减后得到 ( ) n nS An B q C= + + ； 结论五：倒序相加法 若数列 na 满足于首末两项等“距离”的两项和相等（或者有求和可能），那么 该数列的前 n 项和可以用倒序相加法求解. 结论六：裂项相消法 若数列 na 的通项公式可以拆分为 1 1 1 1 ( ) 1 1 ( )n nn n n n n n n b bf n a b b b b b b   + + + + − = = = −   ， 其中 1( ) n nf n b b+= − ，为常数. 那么该数列的前n 项和可以用裂项相消法求解. 常见的有（1）若 nb 是公差为d 的等差数列，且 1 n n n a b b  + = ，为常数.则有 1 1 1 1 1 1n n n n n n n n n b b a b b d b b d b b   + + + +  − = =  = −    ； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 （2）若 nb 是公差为d 的等差数列，且 1 n n n a b b  + = + ，为常数.则有 ( )1 1 n n n n n a b b db b   + + = = − + ； （3）其他类型的：① 1 2 1 ( 1) 4 ( 1) 4 4 1 ( 1) (2 1) ( 1) (2 1) n n n n n n n a n n n + + −  −  = = − − +  − − 1 1 ( 1) (2 1) ( 1) (2 1) ( 1) (2 1) ( 1) (2 1) n n n n n n n n + + − + − − − = − +  − − 1 1 1 ( 1) (2 1) ( 1) (2 1)n nn n+ = − − − − + ； ② 1( )( ) n n n n ca a a a + = + + 1 1 ( ) ( ) ( )( ) 1 n n n n a a c a a a     + + + − + =  + + − 1 1 1 1 n n c a a a +   =  −  − + +  ； ③ ( 1)( 2) na n n n  = + + [( 2) ] 1 ( 1)( 2) 2 n n n n n  + − =  + + 1 1 2 ( 1) ( 1)( 2)n n n n    =  −  + + +  ； 题型一 利用倒序相加法求和 【例 1】已知函数 ( )y f x= 满足 ( ) ( )1 1f x f x+ − = ，若数列 na 满足 1 2 1 (0) (1)n n a f f f f f n n n −      = + + + + +            ，则数列 na 的前 20 项的和为（ ） A．230 B．115 C．110 D．100 【答案】B 【分析】利用倒序相加法即可求得前 20 项的和. 【详解】 1 2 1 (0) (1)n n a f f f f f n n n −      = + + + + +            ，① 1 2 1 (1) (0)n n n a f f f f f n n n − −      = + + + + +            ，② 两式相加，又因为 ( ) ( )1 1f x f x+ − = 故 2 1na n= + ，所以 1 2 n n a + = 所以 na 的前 20 项的和为 1 2 20 2 3 21 = 2 2 2 nS a a a= + + + + + + 20 19 1 20 1 =115 2 2 nS  =  +  故选：B 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 【跟踪训练 1】德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19 岁的高斯得到了 一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼 时，对1 2 3 100+ + ++ 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给 数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数 2 ( ) 2 2 x x f x = + ，设数列 na 满足 ( ) 1 2 1 (0) (1) Nn n a f f f f f n n n n −     = + + + + +             ， 若 12nn nb a += ，则 nb 的前 n项和 nS = _________． 【答案】 12nn + 【分析】根据 2 ( ) 2 2 x x f x = + 可推出 ( ) (1 ) 1f x f x+ − = ，由此可采用倒序相加的方法求得 1 2 n n a + = ，继而得 12nn nb a += 的表达式，采用错位相减法可求得数列的前 n项和. 【详解】由 2 ( ) 2 2 x x f x = + 得， 1 1 2 2 ( ) (1 ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 22 x x x x xx x x x x f x f x − − + − = + = + = + = + +  + ++ + ， 由 ( ) 1 2 1 (0) (1) Nn n a f f f f f n n n n −     = + + + + +             ， 得 1 2 1 (1) (0)n n a f f f f f n n n −      = + + + + +            ， 故 1 2 1, 2 n n n a n a + = + = ， 故 12 ( 1) 2n nn nb a n += = +  ， 所以 1 2 32 2 3 2 4 2 ... ( 1) 2nnS n=  +  +  + + +  ， 则 3 12 42 2 2 3 2 4 2 2 ( 1) 2n nnS n n +=  +  +  + +  + +  ， 两式相减得： 2 3 12 2 2 2 ... 2 ( 1) 2n nnS n +− =  + + + + − +  112(1 2 )2 2 1 1 2 2 ( ) n nnn n+ +− + = − − = +  − 故 12nnS n +=  ， 故答案为： 12nn + 题型二 利用分组求和转化法求和 【例 2】已知数列 na 满足 2 2 1 3 1n na a n−− = − ， ( ) * 2 1 2 3 5 Nn na a n n+ + = +  ，记数列 na 的 前 n项和为 nS ，则 60S = ___________. 【答案】1545 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 【分析】根据题意得到 2 1 2 1 6n na a+ −+ = ， 2 2 2 6 7n na a n+ + = + ，再利用分组求和法计算得 到答案. 【详解】 2 2 1 2 1 2 3 1 3 5 n n n n a a n a a n − + − = −  + = + ，两式相减得到 2 1 2 1 6n na a+ −+ = ； 2 2 2 1 2 1 2 3 2 3 5?  n n n n a a n a a n + + + − = +  + = + ，两式相加得到 2 2 2 6 7n na a n+ + = + ； ( ) ( ) ( )60 1 3 59 2 4 60 15 14 15 6 13 15 12 1545 2 S a a a a a a   = + + + + + + =  +  +  =    . 故答案为：1545 【跟踪训练 2】等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 4 2 24 , 2 1n nS S a a= = + .数列 nb 的前n 项和为 nT ，且 1 1 2 n n n a T + + = (1)求数列   ,n na b 的通项公式； (2)数列 nc 满足 cos , , n n n a n n c b n  =   为奇数 为偶数 ，求 2 1 n i i c =  . 【答案】(1) 2 1na n= − ， 1 0, 1 2 , 2 2 n n n b n n − =  =  −   . (2) 2 2 1 4 12n 4 2 9 9 4 n i n c n n + = − + + −   【分析】（1）由等差数列通项公式和前 n 项和公式列方程组即可求得首项和公差；由 nT 与 nb 的关系即可求得 nb 的通项公式. （2）由错位相减法和分组求和法即可求解. 【详解】（1）因为 na 为等差数列，且 4 2 24 , 2 1n nS S a a= = + ， 所以 ( ) ( ) 1 1 1 1 4 6 8 4 2 1 2 2 1 1 a d a d a n d a n d + = +  + − = + − + ，解得 1 1, 2.a d= = 2 1,na n n  = − N . 又因为 1 1 2 n n n a T + + = ， 得 1 1 1 1 2 2 n n n n a n T − + = − = − ， 当 1n = 时， 11 1 1 1 0 2 a b T + = = − = ， 当 2n  时， 1 1 2 1 1 2 2 2 2 n n n n n n n n n b T T − − − − − − = − = − + = ，不符合 1 0b = . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 所以 1 0, 1 2 , 2 2 n n n b n n − =  =  −   . （2） 1 2 5 2 1 3 4 6 ... n n i nic c c c c c c c c = = + + + + + + + + + = 1 2 3 4 5 68 2 1 2n na b a b a b a b−− + − + − + − − + = 1 3 5 2 1 2 4 6 2( + ) ( )n na a a a b b b b−− + + + + + + + + = ( ) 1 3 5 2 1 [1 4 3 ] 0 2 4 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 n n n n − + − − − + + + + + = 2 1 3 5 2 1 0 2 4 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 n n n n − − − + + + + + + 令 1 3 5 2 1 0 2 4 2 2 2 2 2 2 n n n T − − = + + + + ① 则 3 5 7 2 1 1 0 2 4 2 2 4 2 2 2 2 n n n T + − = + + + + ② ①-②得： 1 3 5 2 1 2 1 3 0 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 n n n n T − + − = + + + + − 2 1 2 1 2 2 2 28 2 1 2 1 4 n n n+ + − − = − − 2 1 3 1 3 3 2 n n + = −  . 所以 2 4 1 3 1 4 12 4 3 3 3 2 9 9 4 n n n n n T + +  = − = −     . 综上， 2 2 1 4 12 4 2 9 9 4 n i n n c n n + = − + + −   . 题型三 利用错位相减法求和 【例 3】数列 na 满足 1 2a = ， ( ) ( )1 2 2 1 n n n a a n n  + + =  + N ，则 2022 1 2 2021 a a a a = + ++ __________ 【答案】 2023 2021 【分析】由已知整理得 1n n a f n a + = （ )，先利用累乘法求数列 na 的通项，再利用错位相减 法求其前 2021 项的和，从而得到结果. 【详解】由 ( ) ( )1 2 2 1 n n n a a n n  + + =  + N 得： ( )1 2 2 1 n n na a n + + = + ， ( )1 11 3 2 1 1 2 2 1 1 4 3 2 2 1 2 1 3 2 n nn n n n n a a a a n n a a n a a a a n n − −− − − +  =     =     = +   −  ； 设 1 2n nS a a a= + + + ， 则 ( )0 1 2 2 12 2 3 2 4 2 2 1 2n nnS n n − −=  +  +  ++  + +  ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 ( )1 2 3 12 2 2 3 2 4 2 2 1 2n nnS n n − =  +  +  ++  + +  ， ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 n n n n nS n n − − − − = + + + + − +  = + − +  − ( )2 2 2 1 2 2n n nn n= + − − +  = −  ， 2nnS n =  ，即 1 2 2 n na a a n+ + + =  ， 2021 2021 2021 2S =  ， 2021 2022 2023 2a =  ， 2021 2022 2021 1 2 2021 2023 2 2023 2021 2 2021 a a a a   = = + + +  . 故答案为： 2023 2021 . 【跟踪训练 3】函数  y x= 广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中 x 为不超 过实数 x 的最大整数，例如： 2.1 3− = − ， 3.1 3= ．已知函数 ( )  2log f x x= ，则 10(1) (3) (5 ...) (2 1)f f f f+ + + + + = __________． 【答案】4107 【分析】根据新函数的定义，确定 ( )f x 的值，然后用分组求和法、错位相减法求和． 【详解】由题意可得：当 12 1 2 1, Nn nx n+ +   −  时， ( )  2log nf x x= = ，在 12 1,2 1n n+ + − 内共有 12n− 项奇数，且 ( )1 0f = ， 故 10(1) (3) (5) .. (2 1).f f f f+ + + + + 0 2 80 1 2 2 2 3 2 ... 9 2 10= +  +  +  + +  + 0 1 2 81 2 2 2 3 2 ... 9 2 10=  +  +  + +  + 令 0 1 2 81 2 2 2 3 2 ... 9 2A=  +  +  + +  , 则 1 2 3 92 1 2 2 2 3 2 ... 9 2A=  +  +  + +  ， 两式相减得： 9 1 2 3 8 9 9 91 21 2 2 2 ... 2 9 2 9 2 8 2 1 4097 1 2 A − − = + + + + + −  = −  = −  − = − − ， 即 4097A = ，则 10..(1) (3) (5) (2 1) 10 410. 7f f f f A+ + + + + = + = . 故答案为：4107. 题型四 利用并项求和法求和 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 【例 4】已知数列 na 的前 n项和为 nS ，若 sin 3 n n a n  = ，则 2022S =（ ） A．0 B． 1011 3− C． 1012 3− D． 1008 3− 【答案】B 【分析】利用周期数列的性质，即可求得 2022S . 【详解】因为 ( ) sin 3 n f n  = 的周期为 6，且 1 2 6 7 8 12 3 3a a a a a a+ ++ = + ++ =  = − ， 6 0a = ，所以 ( )2022 337 3 3 1011 3S =  − = − . 故选：B 【跟踪训练 4】在数列 na 中，已知 1 1a = ，且 1 2n na a n+ + = ，则其前31项和 31S 的值 为（ ） A．361 B．423 C．481 D．523 【答案】C 【分析】采用并项求和的方式，自第二项起每两项作和，结合等差数列求和公式可求得 结果. 【详解】 ( ) ( ) ( )31 1 2 3 4 5 30 31 1 2 2 2 4 2 30S a a a a a a a= + + + + ++ + = +  +  ++  ( ) ( )15 2 30 1 2 2 4 30 1 2 481 2  + = +  + + + = +  = . 故选：C. 题型五 利用裂项相消法求和 【例 5】定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到 的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项 的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如 2,4 的一阶和数列是 2,6,4 ， 设 n阶和数列各项和为 nS ． (1)试求数列 2,4 的二阶和数列各项和 2S 与三阶和数列各项和 3S ，并猜想 nS 的通项公 式（无需证明）； (2)设 ( )( ) ( ) ( )3 3 1 3 2 1 log 3 log 3 n n n n S n b S S + − + = −  − ， nb 的前m 项和 mT ，若 2025 2 mT  ，求m 的最小值 【答案】(1) 2 30S = ， 3 84S = ， 13 3nnS += + (2)7 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 【分析】（1）根据 1 2 3, ,S S S 进行猜想，结合等比数列的知识进而求解，并进行推导. （2）利用裂项求和法求得 mT ，由此列不等式，从而求得m 的最小值. 【详解】（1）一阶和数列： 2,6,4 ，对应 1 12S = ； 二阶和数列： 2,8,6,10,4 ，对应 2 30S = ； 三阶和数列： 2,10,8,14,6,16,10,14,4 ，对应 3 84S = ； 故猜想 13 6n nS S −= − ， ( )13 3 3n nS S −− = − ， 所以数列 3nS − 是首项为 1 3 9S − = ，公比为3的等比数列， 所以 1 13 9 3 , 3 3n nn nS S − +− =  = + . 下面证明 13 6n nS S −= − ： 设 1 1 2 12 4n m mS a a a a− −= + + + + + + ， 则 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 12 2 4 4n m m m m mS a a a a a a a a a− −= + + + + + + + + + + + + + 1 13 2 4 3 6n nS S− −= − − = − ， 所以 13 6n nS S −= − 成立.（证毕） 所以 13 3nnS += + . （2）由于 13 3nnS += + ， 所以 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 3 3 1 3 2 1 3 2 1 3 3 log 3 log 3 1 2 2 1 n n n n n n n S n n b S S n n n n + + + + − + + = = = − −  − + + + + ， 则 23 2 1 2 1 4 2 33 3 3 3 3 3 3 9 2025 3 2 4 3 2 1 2 2 2 m m m m mT b b b m m m + + + = + + + = − + − + + − = −  + + + ． 所以 ( )3 2 113m m +  ， 当 6m = 时， ( )63 729 6 2 113 904=  +  = ，不成立， 当 7m = 时， ( )73 2187 7 2 113 1017=  +  = ，成立， 所以m 的最小值为 7． 【点睛】本题的难点在于第一问，猜想 nS 的递推关系式并利用配凑法求得 nS .对于复 杂的问题的研究，可先通过简化题目来进行，如本题求 1 2 3, ,S S S ，找到规律后可进行猜 想，猜想后要进行证明. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 【跟踪训练 5】数列 na 满足 1 1a = ， ( ) ( )( )1 1 1 Nn nna n a n n n+ +− + = +  ． (1)证明：数列 n a n       为等差数列． (2)若 2 1 1 n n n n b a a a+ + =   ，求数列 nb 的前n 项和 nS ． 【答案】(1)见解析(2) ( ) ( ) 2 2 1 1 16 4 1 2n n − + + 【分析】（1）根据已知证明 1 1 n na a n n + − + 等于一个定值即可； （2）利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）证明：因为 ( ) ( )1 1 1n nna n a n n+ +− = + ， 所以 1 1 1 n na a n n + − = + ，又 1 1 1 a = ， 所以数列 n a n       是首项为 1，公差为 1 的等差数列； （2）解：由（1）得 ( ) 21 1n n a n a n n = + −  = ， ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 2 2 1 1 1 1 1 41 2 1 2 1 1 2 n n b n n n n n n n n n n  + = = = −  + + + + + + +   ， 则 ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 1 2 2 3 1 1 2 nS n n n n   = − + + −    + + +   ( ) ( ) 2 2 1 1 1 4 4 1 2n n   = −   + +  ( ) ( ) 2 2 1 1 16 4 1 2n n = − + + . 题型六 奇偶项不同通项公式的求和问题 【例 6】已知数列{ }na 满足： ( ) ( ) ( ) 1 * 21 1 3 1 n n n na a n n + +− + − = + N ，若 1 2 1a a= = ，则数 列{ }na 的前 20 项和 20S = ___________. 【答案】 115− 【分析】分别讨论 *2 1 2 ,n m n m m= − = N、 ，由累加法得 2 1 2 2m ma a+ +、 的通项，即可求 20S . 【详解】当 *2 1,n m m= − N 时， ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 1 3 2 1 1 6 2 m m m m m ma a a a m m − + − + −− + − = − = − + = − ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 ∴ ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 1 1 2 6 1 2 1 2 1 6 1 2 1 3 1 2 m m m m ma a a a a a a a m m m m m m m m + + − − −= − + − + + − + = + − + + + − + + = − + = + + ∴ ( ) ( )2 2 21 3 19 3 1 2 9 1 2 9 10a a a+ + + =  + + + + + + + + ； 当 *2 ,n m m= N 时， ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 21 1 6 1 m m m m m ma a a a m + + +− + − = − + = + ，即 ( )2 2 2 6 1m ma a m+ − = − + ， ∴ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 6 1 2 1 1 6 1 1 3 4 1 2 m m m m ma a a a a a a a m m m m m m m m + + −= − + − + + − + = − + − + + + − + − + = − + = − − + ∴ ( ) ( )2 2 22 4 20 3 1 2 9 4 1 2 9 10a a a+ + + = −  + + + −  + + + + . 故 ( )2 2 220 1 3 19 2 4 20 3 1 2 9 (1 2 9) 10S a a a a a a= + + + + + + + =  + + + + + + + + ( ) ( )2 2 2 9(1 9) 3 1 2 9 4 1 2 9 10 3 20 115 2 + −  + + + −  + + + + = −  + = − 故答案为： 115− 【跟踪训练 6】在数列 nb 中， 1 1 ( 1) 2 1 n n nb b n − + − − = + ，则数列 nb 的前20项和为________． 【答案】230 【分析】根据递推公式得到从第一项起，依次相邻两奇数项的和为 2，从第二项起，依 次相邻两偶数项的和组成以 12 为首项，16 为公差的等差数列，进而分组求和即可. 【详解】因为 ( ) 1 1 1 2 1 n n nb b n − + − − = + ， 所以有： 2 1 2 1 1 3b b− =  + = ， 3 2 2 2 1 5b b+ =  + = ， 4 3 2 3 1 7b b− =  + = ， 5 4 2 4 1 9b b+ =  + = ， 6 5 2 5 1 11b b− =  + = ， 7 6 2 6 1 13b b+ =  + = ， 8 7 2 7 1 15b b− =  + = ，… 由此可得出： 1 3 2b b+ = ， 2 4 12b b+ = ， 5 7 2b b+ = ， 6 8 28b b+ = ，…， 所以从第一项起，依次相邻两奇数项的和为 2， 从第二项起，依次相邻两偶数项的和组成以 12 为首项，16 为公差的等差数列， 所以数列 nb 的前 20 项和为： 1 2 5 12 5 5 4 16 230 2    +  +    =    ． 故答案为：230 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 题型七 周期数列的求和问题 【例 7】记数列{ }na 前 n 项和为 nS ，且数列{ }na 满足 1=2a ， 1 1 1 n n n a a a + − = + ，则 2016S =（ ） A．504 B． -504 C．588 D． -588 【答案】D 【分析】根据递推式得到{ }na 为下标周期为 4 的数列，并求得 1 2 3 4 7 6 a a a a+ + + = − ，进 而求 2016S . 【详解】由题设 1=2a ， 1 2 1 1 1 1 3 a a a − = = + ， 2 3 2 1 1 1 2 a a a − = = − + ， 3 4 3 1 3 1 a a a − = = − + ， 4 5 4 1 2 1 a a a − = = + ，… 所以{ }na 是下标周期为 4 的数列，且 1 2 3 4 7 6 a a a a+ + + = − ， 则 2016 1 2 3 4 2013 2014 2015 2016 7 ( ) ... ( ) 504 ( ) 588 6 S a a a a a a a a= + + + + + + + + =  − = − . 故选：D 【跟踪训练 7】已知数列 na ， nb 满足 1n n nb a a+= − ，其中， *Nn . (1)若 1 2a = ， 2 n nb = . ①求证： na 为等比数列； ②试求数列 nn a 的前 n项和. (2)若 2n nb a += ，数列 na 的前 6291 项之和为 1926，前 77 项之和等于 77，试求前 2024 项之和是多少？ 【答案】(1)①证明见解析；② 1( 1) 2 2+= −  +nnS n (2) 2024 1849=T 【分析】（1）①，利用累加法求解 na 即可； ②由①得 2nna = ,令 2 n n nc na n= =  ， nc 的前n 项和为 nS ,利用错位相减法求解数列的和 即可； （2）推出数列 na 是一个周期为 6 的周期数列,然后求解数列 na 的任意连续 6 项之和 为 0，然后利用其周期和相关值求出 1 2,a a ，则得到答案. 【详解】（1）①证明： 1 2 n n na a+ − = ，当 2n  时累加得 ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1n n n n na a a a a a a a− − −= − + − + + − + 1 2 12 2 2 2n n− −= + + + + 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 ( )12 1 2 2 2 1 2 n n −− = + = − 1 1 2 2 2 n n n n a a + + = = ， ( )2n  ，又 21 1 2 1 2, 2, 4, 2 a a b a a = = =  = 所以 na 为首项为 2，公比为 2 的等比数列. ②由①得 2nna = ，令 2 n n nc na n= =  ， nc 的前n 项和为 nS ， 则 2 3 1 1 2 3 1 1 2 2 2 3 2 ( 1) 2 2 n n n n nS c c c c c n n − −= + + ++ + =  +  +  ++ −  +  ，A 2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 ( 1) 2 2n nnS n n +=  +  +  ++ −  +  ， B A B− 得 2 3 12 2 2 2 2n nnS n +− = + + ++ −  ( )2 1 1 1 2 1 2 2 2 (1 ) 2 2 1 2 n n nn n − + + − = + −  = −  − − 1( 1) 2 2nnS n + = −  + （2）若 2 1n n n nb a a a+ += = − ，则 3 2 1 6 3n n n n n n na a a a a a a+ + + + += − = −  = − = ， 所以数列 na 是周期为 6 的周期数列，设 1a m= ， 2a t= ，则 3a t m= − ， 4a m= − ， 5a t= − ， 6a m t= − ， 1 2 3 4 5 6 0a a a a a a + + + + + = 设数列 na 的前 n项和为 nT ，则 6 0nT = . 所以 6291 1048 6 3 3 2 22 1926 963T T T a a += = = =  = ， 77 12 6 5 5 3 77T T T a += = = = ，所以 1 2 3 886a a a= − = 所以 2024 337 6 2 2 1 2 886 963 1849T T T a a += = = + = + = . 课后突破训练 1.定义域为 R 的函数 ( )f x 满足 ( )1 3f = ， ( ) ( ) 0f x f x− + = ， ( ) ( )1 1f x f x− = + 数列 na 满足 ( )na f n= ，前n 项利为 nS ，则 2022S =（ ） A．3 B．0 C． 3− D．2022 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 【答案】A 【分析】由已知确定函数的周期性，即得数列的周期性，再由函数性质计算函数值得数 列的项，从而利用周期性求和． 【详解】 (1 ) (1 )f x f x− = + ( ) (2 )f x f x = − ， ( ) ( ) 0 ( ) ( )f x f x f x f x+ − =  − =− ， ∴ (2 ) ( )f x f x− = − − ，从而 (2 ) ( )f x f x+ = − ， ( 4) ( 2) ( )f x f x f x+ = − + = ， ∴ ( )f x 同周期函数，4 是它的一个周期， ( ) ( ) 0f x f x 中令 0x = 得 (0) (0) 0f f+ = ，即 (0) 0f = ， (2) (0) 0f f= = ， (3) ( 1) (1) 3f f f= − = − = − ， (4) (0) 0f f= = ， (1) (2) (3) (4) 0f f f f+ + + = ， (4 1) (4 2) (4 3) (4 4) 0, Zf k f k f k f k k+ + + + + + + =  ， 2022 1 2 2022 (1) (2) (2022)S a a a f f f= + + + = + + + (2021) (2022) (1) (2) 3 0 3f f f f= + = + = + = ， 故选：A． 2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 xR ， 用 x 表示不超过 x 的最大整数，则 ( )  f x x= 称为高斯函数.已知数列 na 满足 1 1a = ， 且 ( ) 11 2 1n nn a na n++ − = + ，若  lgn nb a= ，数列 nb 的前n 项和为 nT ，则 2022T =（ ） A．4956 B．4959 C．4962 D．4965 【答案】B 【分析】先利用累加法求出 na n= ，得到当1 9n≤ ≤ 时， 0nb = ；当10 99n  时， 1nb = ； 当100 999n  时， 2nb = ；当1000 2022n  时, 3nb = ，直接求和可得答案. 【详解】由 ( ) 11 2 1n nn a na n++ − = + ，且 1 1a = ，根据累加法可得： 2 1 1 2 2 1 1( 1) ( 1) ( 2) 2n n n n nna na n a n a n a a a a n− − −= − − + − − − + + − + = ， 所以 na n= . 所以  lgn nb a= . 当1 9n≤ ≤ 时， 0nb = ； 当10 99n  时， 1nb = ； 当100 999n  时， 2nb = ； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 当1000 2022n  时, 3nb = . 因此 2022 0 9 1 90 2 900 1023 3 4959T =  +  +  +  = . 故选：B. 3．在数列 na 中， 1 2a = ， 1 1 1 n n n a a a + + = − ，则数列 nna 的前2n项的和为（ ） A． 25 3n n+ B． 28n C． 26 2n + D． 24 4n + 【答案】A 【分析】分析出数列 na 为周期数列，且对任意的 Nk  ， 2 1 1 2ka a− = = ， 2 2 3ka a= = ， 计算出数列数列 nna 的前2n项中奇数项和偶数项的和，相加可得出结果. 【详解】因为 1 2a = ， 1 1 1 n n n a a a + + = − ，则 1 2 1 1 3 1 a a a + = = − ，且 12 1 1 1 1 1 11 1 1 n n n n n nn n a a a a a aa a + + + + + + − = = = +− − − ， 所以，对任意的 Nk  ， 2 1 1 2ka a− = = ， 2 2 3ka a= = ， 记 ( )1 3 5 2 13 5 2 1 nS a a a n a −= + + + + −奇 ， 2 4 6 22 4 6 2 nS a a a na= + + + +偶 ， 则 ( ) ( ) 22 1 2 12 1 3 5 2 1 2 2 n n S n n + −  = + + + + − = =  奇 ， ( ) ( ) 23 2 4 6 2 3 2 2 3 3 2 2 n n n S n n + + + + + = = = + 偶 ， 因此，数列 nna 的前 2n项和为 2 2 22 3 3 5 3S S n n n n n+ = + + = +奇 偶 . 故选：A. 4．设数列 na 为： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , , , , , , , , 2 2 4 4 4 4 8 8 8 8 8 8 8 8 ，其中第 1 项为 1 1 ，接下来 2 项均为 1 2 ，再接下来 4 项均为 1 4 ，再接下来 8 项均为 1 8 ，…，以此类推，记 1 n n i i S a = = ， 现有如下命题：①存在正整数 k ，使得 1 ka k  ；②数列 n S n       是严格减数列.下列判断正 确的是（ ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【分析】由题规律找出 na 的表达式 ，利用不等式的性质判断即可，对n 进行分类讨论 写出 nS ，从而求出 nS n ，利用 1 0 1 n nS S n n + −  + 即可. 【详解】由题意得：当 12 2 1( N )k kn k−   −  时， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 其中 ( )1 12 ,0 2 1 Nk kn m m m− −= +   −  ， 1 1 1 1 2 2 n k k a m− − =  + ， 所以不存在正整数 k ，使得 1 ka k  ，故①为假命题； 当 ( )2 1 Nkn k = −  时 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 2 2 4 8 2 k n k S k− − = +  +  +  + +  = ， 所以 1 1 ( 1) 1 ( 1) n n n nn nS S S n n n n S+ + − +− = + + 1 ( 1) n nna S n n + −= + ( ) 1 2 1 2 ( 1) k k k n n −  − = + ( ) 1 1 2 0 ( 1) k k n n − − =  + 当 ( )1 12 ,0 2 2 2, Nk kn m m k m− −= +   −   时； 1 1 ( 1) 1 ( 1) n n n nn nS S S n n n n S+ + − +− = + + 1 ( 1) n nna S n n + −= + ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 ( 1) k k k m k m n n − − −   +  − − + +    = + ( ) 1 1 2 2 0 ( 1) k k n n − − − =  + 故数列 n S n       是严格减数列， 所以②为真命题. 故选：D. 5．设数列 na 前n 项和为 nS ，已知 1 4 5 a = ， 1 1 2 ,0 2 1 2 1, 1 2 n n n n n a a a a a +    =   −    ，则 2020S =（ ） A．1010 B．1012 C．2020 D．2022 【答案】A 【分析】根据递推公式归纳总结得到 na 的周期，再求结果即可. 【详解】根据题意， 1 2 3 4 5 4 3 1 2 4 , , , , , 5 5 5 5 5 a a a a a= = = = = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 故数列 na 是以4为周期的周期数列，又 1 2 3 4 2a a a a+ + + = ， 故 2020 505 2 1010S =  = . 故选：A. 6．（多选）若数列 na 满足 ( ) * 1 2 1 21, 1, 3,n n na a a a a n n N− −= = = +   ，则称数列 na 为 斐波那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列.则下列关于斐波那契数列结论正确 的是（ ） A． 1 2 3 2 1n na a a a a ++ + + + = − B． 2020 2020 2021S a a= + C． 1 3 5 2021 2022a a a a a+ + + + = D． 2 4 6 2020 2021a a a a a+ + + +  【答案】AC 【分析】利用斐波那契数列的递推关系进行累加求和即可判断. 【详解】A 选项， 1 2n n na a a− −= + ， 3 1 2 4 2 3 1 1n n n a a a a a a a a a+ − − =  − =    − = .累加得， 1 2 1 2 3n n na a a a a a a+ + − − = + + + ，即 2 2 1 2n na a a a a+ − = + + + .又 2 1a = ，所以 1 2 3 2 1n na a a a a ++ + + + = − ，A 正确； B 选项，由 A 选项可知 2 1n nS a += − ，故 2020 20 2020 20 122 21 1aS aa= − = −+ ，B 不正确； C 选项， 1 2n n na a a− −= + ， 4 2 3 6 4 5 2022 2020 2021 a a a a a a a a a − =  − =    − = . 累加得， 2022 2 3 5 2021a a a a a− = + + + ， 所以 2 11 3 5 2021 2022 2022 20221 1a a a a a a aaa − + = − + =+ + + + = ，C 正确； D 选项，由 C 选项中同理可知， 3 1 5 3 2021 2019 2021 1 2022 4 6 2020 1 2021( ) 1a a a a a a aa a a aa aa = − + − + + − = − = −+ + + + ，D 不 正确. 故选：AC. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 7.已知数列 na 的各项互异，且 0na  ， 1 1 1 2 n na a+ − = （ *Nn ），则 1 1 2 2 3 1 n n n a a a a a a a a− − = + + + _________. 【答案】2 【分析】由 1 1 1 2 n na a+ − = 得 11 22 n n n n a a a a −− = − ，利用裂项相消求和即可 【详解】由题意，得 1 1 1 2 n na a+ − = ，则 1 12n n n na a a a− −− = ， ( )*2, Nn n  ， 即 11 22 n n n n a a a a −− = − ， 所以 1 1 2 2 3 1 n n n a a a a a a a a− − + + + 1 3 11 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n a a a a aa a a − − = − + − + + − 1 1 2 2n n a a a a − =  = − . 故答案为：2 8．已知数列 na 的前n 项和为 nS ，且 1 2 1 1 1 2 1n n S S S n + + + = + ，设函数 ( ) 1 cos 2 f x x= + ， 则 na = ___________， 3 20211 2 2022 2022 2022 2022 a aa a f f f f        + + + + =                ___________. 【答案】 n 2021 2 【分析】根据 1 1 , 1 , 2 n n n S n a S S n− = =  −  ，作差即可求出 na 的通项公式，再由 ( )f x 的解析式 及诱导公式得到 ( ) ( )1 1f x f x+ − = ，再利用倒序相加法求和. 【详解】解：由于 1 2 1 1 1 2 ... 1n n S S S n + + + = + ，①， 当 1n = 时 1 1 1 S = ，所以 1 1a = ， 当 2n  时， 1 2 1 1 1 1 2( 1) ... n n S S S n− − + + + = ，②， ①−②得： 1 2 2( 1) 2 1 ( 1)n n n S n n n n − = − = + + ， 所以 ( 1) 2 n n n S + = ( )2n  ，显然 1n = 时 ( 1) 2 n n n S + = 也成立， 当 2n  时， 1 ( 1) ( 1) 2 2 n n n n n n n a S S n− + − = − = − = ， 当 1n = 时 na n= 也成立，所以 na n= ； 根据函数 1 ( ) cos 2 f x x=  + ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 所以 ( ) ( ) 1 1 1 (1 ) cos 1 cos cos 2 2 2 f x x x x   − = − + = − + = − + ， 1 1 1 cos 2 2 2 2 f   = + =    ， 所以 ( ) (1 ) cos cos 1 1f x f x x x + − = − + = ； 所以 3 2020 20211 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2022 2022 2022 2022 2022 a a aa a f f f f f+ + ++ + 1 2 3 2021 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2022 2022 0 2022 2022 2 202 20 2 f f f f f= + + ++ + 1 2021 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2022 2 20 1010 1 12 10 22022 2022 2022 2022 202 1 2 2 1 0 2 f f f f f f f     +       = + +    + + + +    1 2021 1010 2 2 = + = ． 故答案为：n ； 2021 2 9．对正整数 n，函数 ( )n 是小于或等于 n的正整数中与 n互质的数的数目．此函数以 其首名研究者欧拉命名，故被称为欧拉函数．根据欧拉函数的概念，可得 ( )441 =______， 数列 ( ) 7nn 的前 n项和 nS = ______． 【答案】 252 ( )6 1 7 1 6 nn− + 【分析】由质因数分解求得441的所有质因数，利用质因数结合定义可求得 (441) ，因 为除了 7 的倍数外，其他数都与7n 互质，因此易得 (7 ) n ，然后由错位相减法求得数列 { (7 )}nn 的前 n 项和． 【详解】因为 2 2441 3 7=  ， 所以不大于 441 的数中，能被 i（i＝3，7）整除的数与 441 都不互质， 所以 ( ) 441 441 441 441 441 252 3 7 21  = − − + = ． 因为除了 7 的倍数外，其他数都与7n 互质，所以 ( ) 1 7 7 7 6 7 7 n n n n −= − =  ， 则 ( )16 1 2 7 7nnS n −=  +  + +  ，所以 ( )27 6 7 2 7 7nnS n=  +  + +  ， 所以 ( ) ( )1 1 7 6 6 1 7 7 7 6 7 1 6 7 1 1 7 n n n n n nS n n n −  −− =  + + + −  =  −  = − −  −  ， 故 ( )6 1 7 1 6 n n n S − + = ． 故答案为：252； ( )6 1 7 1 6 nn− + ． 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）公式法：等差数列和等比数列直接应用其前n 项和公式计算； （2）裂项相消法：最典型的数列：{ }na 是公差为d 且各项均不为 0 的等差数列，数列 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 1 1 { } n na a + 的项需变形： 1 1 1 1 1 1 ( ) n n n na a d a a+ + = − ，然后求和； （3）错位相减法：{ }na 是等差数列，{ }nb 是等比数列，则数列{ }n na b 的前n 项和需用此 法； （4）分组（并项）求和法：例如{ }na 是等差数列，{ }nb 是等比数列，则数列{ }n na b+ 的 前 n 项可用分组求和法； （5）倒序相加法：与等差数列有类似性质的数列：首末两项及与首末两项等距离的两 项的和相等，则可用倒序相加法求和． 10．已知数列 na 的前 n 项和 nS 满足 ( ) 1 1 2 n n nS S a= − + ，设 ( )( ) 1 11 1 n n n n a c a a + + = + + ， 若数列 nc 的前 n 项和为 nT ，且对任意的 *Nn 满足 2 2 3 nT   + ，则实数的取值 范围是______________. 【答案】 (  1 , , 1 3   + − −   【分析】（1）根据 1 1 , 1 , 2 n n n S n a S S n− = =  −  求出 na 为等比和首项均为 1 2 的等比数列，利用 等比数列通项公式求出答案； （2）变形得到 1 1 1 2 1 2 1 n n n c + = − + + ，利用裂项相消法求和得到 1 1 1 1 3 2 1 3 n n T + = −  + ，结合 2 2 3 nT   + 恒成立，从而得到 2 2 1 3 3  +  ，求出实数的取值范围. 【详解】 ( ) 1 1 2 n n nS S a= − + 整理为 1n nS a= − + ， 当 1n = 时， 1 1 1S a= − + ，即 1 1 1a a= − + ，解得： 1 1 2 a = ， 当 2n  时， 1 1 1n nS a− −= − + ， 1n nS a= − + 与 1 1 1n nS a− −= − + 相减得： 1n n na a a −= − + ， 即 1 1 2 n n a a − = ， 故 na 为等比和首项均为 1 2 的等比数列， 所以 1 1 1 1 2 2 2 n n n a −   =  =    ； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 ( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 12 1 11 1 2 1 2 1 1 1 2 2 n n n n n n n n n a c a a + + + + + = = = − + + + +   + +      ， 故 1 2 22 3 11 3 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n nnT c c c c += − + − + + −+ + = + + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 2 1 3n n+ + = − = −  + + + ， 因为对任意的 *Nn 满足 2 2 3 nT   + ， 故只需 2 2 1 3 3  +  ， 解得： 1 3   或 1  − ， 故实数的取值范围是 (  1 , , 1 3   + − −   . 11．在数列 na 中， 1 2a = − ， ( ) ( ) * 11 2 2,n nn a na n n−− =  N ． (1)求数列 na 的通项公式； (2)令 ( ) ( )2 4 1 4 1 2 n n n n a b n  − = − ，求数列 nb 的前n 项和 nS ． 【答案】(1) 2 n na n= −  (2) ( ) 2 1 1 1 n n S n + − = − 【分析】（1）对已知等式进行变形，利用累乘法求解；（2）先写出数列 nb 的通项公式， 再利用裂项相消法求解． 【详解】（1）（1）解法一 由 ( ) ( )*11 2 2,n nn a na n n−− =  N 知 ( ) * 1 2 2, 1 n n a n n n a n− =   − N ， 可得 2 1 2 2 1 a a  = ， 3 2 2 3 2 a a  = ，…， ( )1 2 2 1 2 n n na a n − −  − = − ， 则 ( )3 12 4 1 2 3 2 1 2 12 2 2 3 2 1 2 2 1 n n n n na a aa a n a a a a a n n − − −  −      =    − − ，（累乘法的应用） 即 1 1 2nn a n a −=  ，又 1 2a = − ，所以 ( )2 2 n na n n= −   ， 当 1n = 时， 1 2a = − 也满足上式，（注意验证 1n = 的情况） 所以 *2 ,nna nn−  = N ． 解法二 由 ( ) ( )*11 2 2,n nn a na n n−− =  N 知 ( )*1 2 2, 1 n na a n n n n −=   − N ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 21 页 又 1 2 1 a = − ，则 n a n       是以－2 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 12 2 2n nn a n −= −  = − ， 所以 *2 ,nna nn−  = N ． （2）由（1）知 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 1 2 14 4 1 1 1 1 4 1 1 1 2 1 2 1 2 1 12 1 24 n n nnn n n n n n n na b nn n n + + − = −  = −      +  +  − − + = = − −−  − ， 故 ( ) ( )11 1 1 1 1 1 1 1 3 3 5 1 2 12 2 1 n n n n S n n − = − + + + + +       − + =      +   +   − − ． 12．已知数列 na 的前 n 项和为 , 2 3n n nS S a n= − ． (1)求数列 na 的通项公式 na ； (2)若 3 2 1 n n a n b n n + =  − ， 为正偶数 ， 为正奇数 ， 1 2 3n nT b b b b= + + + + ，求 21T ； (3)记 2 3 2log 1 3 n n a c +  = +    ，若数列 nc 中去掉数列 na 中的项后余下的项按原来的顺序 组成数列 nd ，求 1 2 200d d d+ + + 的值． 【答案】(1) 3 2 3 n na =  − (2) 4194531 (3) 42522 【分析】（1）利用 nS 与 na 的关系即可求解. （2）根据n 的奇偶，分别求 21T 中奇数项的和以及偶数项的和即可. （3）首先求出 nc ，然后去除掉 na 中的项，表示出 1 2 200d d d+ + + ，即可求解. 【详解】（1）由 2 3n nS a n= − ，当 1n = 时， 1 1 12 3S a a= = − ，解得 1 3a = ， 当 2n  时， 1 12 3( 1)n nS a n− −= − − ，两式作差得 12 2 3n n na a a −= − − ， 即 ( )1 12 3, 3 2 3n n n na a a a− −= + + = + ， 所以数列 3na + 为等比数列，公比为 2，所以 ( ) 1 13 3 2 3 2 n n na a −+ == +  ， 所以数列 na 的通项公式 3 2 3 n na =  − ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 22 页 （2）由 3 2 1 n n a n b n n + =  − ， 为正偶数 ， 为正奇数 ,得 3 2 2 1 n n n b n n   =  − ， 为正偶数 ， 为正奇数 所以 ( ) ( )21 1 3 21 2 4 20T b b b b b b= + + + + + + + ( )10 11 11 4 1 4(1 41) 11 3 4 4 231 4 227 4194531 2 1 4 −+  = +  = − + = + = − ； （3） ( )2 3 2log 1 2 1, 3 2 1 3 nn n n a c n a +  = + = + =  −    ， 因为 1 2 3 4 5 6 7 2003, 9, 21, 45, 93, 189, 381 401a a a a a a a c= = = = = = =  = ， 所以 ( ) ( )1 2 200 1 2 207 1 2 7d d d c c c a a a+ + + = + + + − + + + ( ) ( )76 1 23 415 207 21 42522 2 1 2 −+  = − + = − ．