41 数列的通项求法重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 41 数列的通项难点专题 常考结论及公式 结论一：利用 na 与 nS 之间的关系求通项 若数列{ }na 的前 n项和为 nS ，则 1 1 , 1 , 2 n n n S n a S S n− = =  − ，将递推数列代数式转化为 1na + 与 na 间的关系，有些题目需要先转化为 1nS + 与 nS 间的递推式，求出 nS 后再解出 na 即 可. 结论二：累加法求数列的通项 对于形如 1 ( )n na a f n+ − = 的递推关系的递推数列，即数列相邻两项之差是一个 关于 n的函数式，可以直接对等式两边求和解答，也可写为 1 1 2( ) ( )n n n n na a a a a− − −= − + − 2 1 1( )a a a+ + − + 的形式进行迭代； 结论三：累乘法求数列的通项 对于形如 1 ( )n n a f n a + = 的递推关系的递推数列，即数列相邻两项之商是一个关于n的函 数式，可以直接对等式两边求积解答，也可写为 1 2 1 1 2 1 n n n n n a a a a a a a a − − − = 的形式； 结论四：构造法求数列的通项 （1）构造等差法：形如 1 n n n Aa a Ba C + = + （ A，B，C为常数）的数列，将其变形 为 1 1 1 n n C B a A a A+ =  + ,若 A C= ，则 1 na       是以 B A 为公差的等差数列，然后直接根据等 差数列的通项公式求出即可；若 A C ，则利用待定系数法，构造新数列求解. （2）构造等比法：形如 1n na pa q+ = + （ 0p  且 1p  ， 0q  ）的递推关系的 递推数列，可以看成是 1na + 关于 na 的一次函数型，通常采用待定系数法将其转化为 1 ( )n na p a + + = + 形式，其中为待定系数，还原后整理为 1 ( 1)n na pa p + = + − ， 则必有 ( 1)p q− = ，解得 1 q p  = − ，然后由数列 na + 为等比数列，求出通项即 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 可. （3）综合等差等比构造法：形如 1 n n na pa c q+ = + （ 0p  且 1p  ， 0q  ，c为 常数），技巧是将递推公式两边同时除以 nq 得到 1 1 n n n n a ap c q q q + − =  + ，如果令 1 n n n a b q − = ， 则有 1n n p b b c q + =  + ，可以转化为构造等比法来求解. 题型一 利用 na 与 nS 之间的关系求通项 【例 1】已知数列 na 和 nb 首项均为 1，且 1 2n na a n−  （ ）， 1n na a+  ，数列 nb 的前 n 项和为 nS ，且满足 1 12 0n n n nS S a b+ ++ = ，则 2019S =（ ） A．2019 B． 1 2019 C．4037 D． 1 4037 【跟踪训练 1】设数列 na 的前n项和为 nS ，已知 1 0a = ， 1 2n nS a += − ，若 1 1 2 4 n n n n S a S a + + +  ， 则 n的最小值是______． 题型二 利用累加法求数列的通项 【例 2】已知数列 na 满足 1 1a = ， ( )1 1n na a n n N  + = + +  ，则 1 2 3 2021 1 1 1 1 a a a a + + + + = （ ） A． 2021 1011 B． 2021 2022 C． 1010 2021 D． 1010 1011 【跟踪训练 2】在数列{ }na 中， 1 1a = ， 1 1 2 1 n n na a − −− = − ( 2)n ． (1)求{ }na 的通项公式； (2)设 1 1n n n n a n b a a + + − = ，记数列{ }nb 的前 n项和为 nS ，证明： 1nS  ． 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 题型三 利用累乘法求数列的通项 【例 3】（多选）设数列 na ， nb 的前n项和分别为 nS ， nT ， 1 1S = ， 1 2 n n n S S n + + = ， 且 2 1 2 n n n n a b a a + + = ，则下列结论正确的是（ ） A． 2021 2021a = B． ( )1 2 n n n S + = C． ( ) 1 1 2 nb n n = − + D． 1 3 3 4 nT n −  【跟踪训练 3】已知数列 na 满足 1 1a = ， 2 1 16 a = ， 2 2 14n n na a a+ += ，则 na 的最小值为（ ） A． 122− B． 102− C． 52− D． 62− 题型四 构造新数列法求数列的通项 【例 4】已知数列 na 满足 2 1 1 23 2n n n n n na a a a a a+ + + +− = ，且 1 23 1a a= = ，则 7a =（ ） A． 1 63 B． 1 65 C． 1 127 D． 1 129 【跟踪训练 4】已知在数列 na 中， 1 5 6 a = ， 1 1 1 1 3 2 n n na a + +   = +     ，则 na = ______． 题型五 归纳猜想法求数列的通项 【例 5】雪花曲线因其形状类似雪花而得名，它的产生也与雪花类似，由等边三角形开 始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边 三角形，但要去掉与原三角形叠合的边，接着对每-个等边三角形“尖出”的部分继续上 述过程，即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形（如图：（2），（3），（4） 是等边三角形（1）经过第一次，第二次，第三次，变化所得雪花曲线）若按照上述规 律，一个边长为3的等边三角形，经过四次变化得到的雪花曲线的周长是（ ） A． 143 3 B． 204 9 C． 256 9 D． 64 3 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 【跟踪训练 5】（多选）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数， 他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个 数：1,3,6,10,...称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1,4,9,16,...称为正方形数， 记三角形数构成数列 na ，正方形数构成数列 nb ，则下列说法正确的是（ ） A． 6 21a = B．1225 既是三角形数，又是正方形数 C． 1 2 3 1 1 1 1 ... 1n n a a a a n + + + + = + D． *, 2m m  N ，总存在 *,p qN ，使得 m p qb a a= + 成立 题型六 与通项有关的其他综合问题 【例 6】（多选）斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波 那契于 1202 年提出的数列.斐波那契数列为 1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列 从第 3 项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为 ( ) F n ，则 ( ) F n 的通项公式 为（ ） A． ( 1) 1 ( ) 2 n n F n − + = B． ( ) ( ) ( )1 1 , 2F n F n F n n+ = + −  且 ( ) ( )1 1, 2 1F F= = C． ( ) 1 1 5 1 5 2 25 n n F n     + −  = −            D． ( ) 1 1 5 1 5 2 25 n n F n     + −  = +            武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 【跟踪训练 6】已知数列 na 的前 n项和为 nS ，数列 nb 的前 n项和为 nT ，满足 1 1a = ， 3 ( ) ( )n nS n m a m R= +  ，且 1 5 n na b = ．若对 *n N  ， nT  恒成立，则实数的最小值 为____________． 课后突破训练 1．已知数列 na 的前n项和 nS ，且 2( 1)n nS a n− = − ， 2 2 n a n nb S = ，则数列 nb 的最小项为 （ ） A．第 3 项 B．第 4 项 C．第 5 项 D．第 6 项 2．已知数列 na 满足 0na  ，其前n项和 2 2 3 4 n n n a a S + − = ，数列 nb 满足 ( ) 1 1 1 1 n n n n n b a a + + + = − ，其前n项和为 nT ，若 2nT n   对任意n N 恒成立，则实数的取值 范围是（ ） A． 1 , 21   −    B． 1 , 15   −    C． 4 , 33   −    D． 4 , 21   −    3．（多选）已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且 2( 1)n nS a n− = − ， 2 2 n a n n b S = ，则（ ） A． 2 nS n= B． 2na n= C．数列 nb 是递增数列 D．数列 nb 的最小值为 32 81 4．（多选）设数列{ }na 的前n项和为 nS ，且满足 1 1 22 2 n na a a n −+ + + = ，则下列说法不 正确的是（ ） A．{ }na 可能为等差数列 B．{ }na 一定为等比数列 C． ,n N +  使得 3nS = D． 2 n n a a + 的最小值为2 2 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 5．（多选）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状， 后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…， 设各层球数构成一个数列 na ，则（ ） A． 4 12a = B． 1 1n na a n+ = + + C． 100 5050a = D． 1 22 n n na a a+ +=  6．（多选）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或 小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6， 10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数， 记三角形数构成数列 na ，正方形数构成数列 nb ，则下列说法正确的是（ ） A． 1 2 3 1 1 1 1 1n n a a a a n + + + + = + B．1225 既是三角形数，又是正方形数 C． 1 2 3 1 1 1 1 33 20nb b b b + + + +  D． *N ,m m   2，总存在 *, Np q ，使得 m p qb a a= + 成立 7．已知数列 na 满足 1 11, 2 1 n n n a a a na += = + ，则 na =__________. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 8．已知在数列 na 中， 1 2a = ， 32 1 1 2 2 3 n n a aa a a n ++ + + + = − ，则 na = __________． 9．已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且 1 2a = ， 1 4 2n nS a+ = + ，则 na = __________． 10．如图所示的图形是由一连串直角三角形拼合而成的，其中 1 1 2 2 3 7 8 1OA A A A A A A= = =  = = ，如果把图中的直角三角形继续作下去，记 1 2, , , nOA OA OA 的长度构成数列 na ，则此数列的通项公式为 na = ______． 11．我国南宋时期的数学家杨辉，在他 1261 年所著的《详解九 章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此 图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开 始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和． (1)把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数 列：1，3，6，10，15，…，写出 na 与 ( )*1 , 2na n n−  N 的递 推关系，并求出数列 na 的通项公式； (2)设 ( ) 1 = , N 1 2 n nn a nb n  −  +  ，证明： 1 2 3+ 2nb bb b + + +  . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 12．已知数列 na 的前 n项和为 nS ，满足： 1 1a = ， 1 1 2 2 n n nS a a + = − (1)求数列 na 的通项公式； (2)对于正整数 , , ( )m n k m n k  ，已知 3 ,6 3 , 3n m ka a a    三数构成等差数列，求正整数 , 的值. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 41 数列的通项难点专题 常考结论及公式 结论一：利用 na 与 nS 之间的关系求通项 若数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，则 1 1 , 1 , 2 n n n S n a S S n− = =  − ，将递推数列代数式转化为 1na + 与 na 间的关系，有些题目需要先转化为 1nS + 与 nS 间的递推式，求出 nS 后再解出 na 即 可. 结论二：累加法求数列的通项 对于形如 1 ( )n na a f n+ − = 的递推关系的递推数列，即数列相邻两项之差是一个 关于 n 的函数式，可以直接对等式两边求和解答，也可写为 1 1 2( ) ( )n n n n na a a a a− − −= − + − 2 1 1( )a a a+ + − + 的形式进行迭代； 结论三：累乘法求数列的通项 对于形如 1 ( )n n a f n a + = 的递推关系的递推数列，即数列相邻两项之商是一个关于n 的函 数式，可以直接对等式两边求积解答，也可写为 1 2 1 1 2 1 n n n n n a a a a a a a a − − − = 的形式； 结论四：构造法求数列的通项 （1）构造等差法：形如 1 n n n Aa a Ba C + = + （ A，B，C 为常数）的数列，将其变形 为 1 1 1 n n C B a A a A+ =  + ,若 A C= ，则 1 na       是以 B A 为公差的等差数列，然后直接根据等 差数列的通项公式求出即可；若 A C ，则利用待定系数法，构造新数列求解. （2）构造等比法：形如 1n na pa q+ = + （ 0p  且 1p  ， 0q  ）的递推关系的 递推数列，可以看成是 1na + 关于 na 的一次函数型，通常采用待定系数法将其转化为 1 ( )n na p a + + = + 形式，其中为待定系数，还原后整理为 1 ( 1)n na pa p + = + − ， 则必有 ( 1)p q− = ，解得 1 q p  = − ，然后由数列 na + 为等比数列，求出通项即 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 可. （3）综合等差等比构造法：形如 1 n n na pa c q+ = + （ 0p  且 1p  ， 0q  ，c 为 常数），技巧是将递推公式两边同时除以 nq 得到 1 1 n n n n a ap c q q q + − =  + ，如果令 1 n n n a b q − = ， 则有 1n n p b b c q + =  + ，可以转化为构造等比法来求解. 题型一 利用 na 与 nS 之间的关系求通项 【例 1】已知数列 na 和 nb 首项均为 1，且 1 2n na a n−  （ ）， 1n na a+  ，数列 nb 的前 n 项和为 nS ，且满足 1 12 0n n n nS S a b+ ++ = ，则 2019S =（ ） A．2019 B． 1 2019 C．4037 D． 1 4037 【答案】D 【分析】先利用条件得到 1n n na a a+  ，进而得到 1na = ，代入 1 12 0n n n nS S a b+ ++ = ，利用 nS 与 nb 的关系推得 1 nS       是等差数列，进而求出 1 2 1 nS n = − ，代入即可求得结果. 【详解】解： 1 12n n n na a n a a− +  （ ）, ， 1n n na a a+   ， 1n na a + = ， 另外： 1 2 1a a a  ，可得 2 1 1a a= = ， 1na = . 1 12 0n n n nS S a b+ ++ = ， 1 12 0n n nS S b+ + + = ，即 1 12 0n n n nS S S S+ ++ − = ， 1 2 1 1 n nS S+ − = ，又 1 1 1 1 nS b = = ， 数列 1 nS       是首项为 1，公差为 2 的等差数列， 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 ( ) 1 1 2 1 2 1 n n n S  = + − = − ，故 1 2 1 nS n = − ， 2019 1 1 2 2019 1 4037 S =  − = . 故选：D. 【跟踪训练 1】设数列 na 的前n 项和为 nS ，已知 1 0a = ， 1 2n nS a += − ，若 1 1 2 4 n n n n S a S a + + +  ， 则 n 的最小值是______． 【答案】4 【解析】根据已知条件先求解出 nS ，再利用 ( )1 2n n na S S n−= −  求解出 na ，将不等式化 简求解出2n 的取值范围，从而 n 的最小值可求. 【详解】∵ 1 12n n n nS a S S+ ++ = = − ，∴ 1 2 2n nS S+ = + ， ∴ ( )1 2 2 2n nS S+ + = + ，∴ 2nS + 是等比数列且 2q ， 又 1 12 2 2S a+ = + = ，∴ 2 2 n nS + = ，∴ 2 2 n nS = − ， ∴当 2n  时， 1 1 2 n n n na S S − −= − = ，则有 1 4 1 8 n n a a + + = ， 又∵ 1 1 2 4 n n n n S a S a + + +  ，∴ 1 2 2 2 1 2 2 8 n n + −  − ， 化简得 22 16 2 14 0n n−  +  ，解得2 8 5 2n  + 或2 8 5 2n  − ， ∵n N ，所以2 8 5 2n  + ，则 min 4n = ． 故答案为：4 . 【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用，其中涉及构造法求通项公式以及利用 ( )1 2n n na S S n−= −  求 na 的通项公式，难度较难. 题型二 利用累加法求数列的通项 【例 2】已知数列 na 满足 1 1a = ， ( )1 1n na a n n N  + = + +  ，则 1 2 3 2021 1 1 1 1 a a a a + + + + = （ ） A． 2021 1011 B． 2021 2022 C． 1010 2021 D． 1010 1011 【答案】A 【分析】利用递推关系式，通过累加法求解数列的通项公式，然后利用裂项消项法，求 解数列的和． 【详解】由 1 1n na a n+ = + + 得： 1n na a n−− = ， 1 2 1n na a n− −− = − ， 2 3 2n na a n− −− = − ，…， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 3 2 3a a− = ， 2 1 2a a− = ， 各式相加得： 1 2 3na a n− = + + + ，又 1 1a = ， ( )1 1 2 3 2 n n n a n +  = + + + + = ， ( ) 1 2 1 1 2 1 1na n n n n    = = −  + +  ， 1 2 3 2021 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 3 4 2021 2022a a a a    + + + + =  − + − + − + + −    1 2 1 20 2021 12 12 01   =  − =    . 故选：A. 【跟踪训练 2】在数列{ }na 中， 1 1a = ， 1 1 2 1 n n na a − −− = − ( 2)n ． (1)求{ }na 的通项公式； (2)设 1 1n n n n a n b a a + + − = ，记数列{ }nb 的前 n项和为 nS ，证明： 1nS  ． 【答案】(1) 2 n na n= − ； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据数列递推式，利用累加法求数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求和，即可证明结论． (1)由 1 1 2 1 n n na a − −− = − ，则 1 2 1 2 1a a− = − ， 2 3 2 2 1a a− = − ，…， 1 1 2 1 n n na a − −− = − ( 2)n ， 累加得： ( ) ( ) 2 1 1 1 2 1 2 2 ... 2 1 1 2 1 2 n n n na n n n −  − = + + + + − − = − + = − − ，验证 a1＝1 成立， 所以 2nna n= − ； (2)由（1）， ( )( ) 111 1 2 1 1 1 2 2 12 2 1 n n n n nn n n n a n n n b a a n nn n ++ + + − − + − = = = − − − −− − − ， 所以 1 ...n nS b b= + + = 1 2 2 3 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 3     − + − +    − − − −    ... 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1n n nn n n+ +   + − = −  − − − − − −  1 1 1 2 1n n+ = − − − ． 当 1n  时， 12 1n n+  + ，则 1 1 2 1n n+ − − ＞0，所以 1nS  ． 题型三 利用累乘法求数列的通项 【例 3】（多选）设数列 na ， nb 的前n 项和分别为 nS ， nT ， 1 1S = ， 1 2 n n n S S n + + = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 且 2 1 2 n n n n a b a a + + = ，则下列结论正确的是（ ） A． 2021 2021a = B． ( )1 2 n n n S + = C． ( ) 1 1 2 nb n n = − + D． 1 3 3 4 nT n −  【答案】ABD 【分析】对于 AB，通过累乘法求出{ }nS 的通项公式，进而求出{ }na 的通项公式，即可 求解； 对于 CD，通过{ }na 的通项公式求出{ }nb 的通项公式，再通过裂项相消求 nT ，进而求解. 【详解】由题意，得 1 2n n S n S n + += ， ∴当 2n  时， ( )1 2 1 1 2 1 11 3 1 1 2 1 2 n n n n n n nS S S n n S S S S S n n − − − ++ =    =    = − − ， 又当 1n = 时 1 1S = 也符合上式， ∴ ( )1 2 n n n S + = ，易得 na n= ，∴ 2021 2021a = ， 故 A，B 正确； ( ) ( ) ( ) 22 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n na b a a n n n n n n + + +   = = = + = + −  + + +  ， ∴ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 4 3 5 1 1 2 2 2 1 2 nT n n n n n n n n     = + − + − + − ++ − + − = + + − −    − + + + +    3 1 1 1 3 4 2 1 2 4 n n n n   = + − +  +  + +  ， 易知{ }nT n− 单调递增， ∴ 1 1 1 3 nT n T−  − = ，∴ 1 3 3 4 nT n −  ，故 C 错误，D 正确. 故选:ABD． 【跟踪训练 3】已知数列 na 满足 1 1a = ， 2 1 16 a = ， 2 2 14n n na a a+ += ，则 na 的最小值为（ ） A． 122− B． 102− C． 52− D． 62− 【答案】D 【分析】首先变形递推公式为 2 1 1 4n n n n a a a a + + + = ，判断数列 1n n a a +       是等比数列，再利用累乘 法求数列 na 的通项公式，再利用二次函数的性质求数列的最小值. 【详解】∵ 1 1a = ， 2 1 16 a = ， 2 2 14n n na a a+ += ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 ∴ 0na  ， 2 1 1 4n n n n a a a a + + + = ， ∴数列 1n n a a +       是首项为 2 1 1 16 a a = ，公比为 4 的等比数列， ∴ 1 31 1 4 4 16 n nn n a a − −+ =  = ． 当 2n  时， 1 ( 1)( 6) 4 5 21 2 2 1 1 2 1 4 4 4 1 4 n n n nn n n n n a a a a a a a a − − − − −− − − =     =     = ， ∵n＝1 时， 1 ( 1)( 6) 2 14 1 n n a − − = = ，∴ 1 ( 1)(2 6)4 n nna − −= ． 2 1 7 25 2 2 84 n na   − −   = ， *Nn ∴当 n＝3 或 n＝4 时， na 取得最小值，最小值为 3 64 2− −= . 故选:D 题型四 构造新数列法求数列的通项 【例 4】已知数列 na 满足 2 1 1 23 2n n n n n na a a a a a+ + + +− = ，且 1 23 1a a= = ，则 7a =（ ） A． 1 63 B． 1 65 C． 1 127 D． 1 129 【答案】C 【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项 公式，再用累加法求出 1 1 na + ，进而得到数列 na 的通项公式，即可得到答案. 【详解】因为 2 1 1 23 2n n n n n na a a a a a+ + + +− = ，所以 1 2 13 2 n n n n n a a a a a + + + = − ， 则 1 2 1 1 3 21 3 2n n n n n n n a a a a a a a + + + + − = = − ，有 2 1 1 1 1 1 1 2 n n n na a a a+ + +   − = −    ， 所以数列 1 1 1 n na a+   −    是以 2 1 1 1 2 a a − = 为首项，2为公比的等比数列， 则 1 1 1 1 2 2 2n n n na a − + − =  = ，所以 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1n n n n n n n na a a a a a a a − + + + −       = − + − + + − + = + + + + = −           则 1 1 1 2 1 n n a + += − ，所以 7 7 1 1 = 2 1 127 a = − . 故选：C. 【点睛】利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值。比较复杂的递 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 推公式求通项公式一般需用构造法构造来求，构造法求数列通项公式一般而言包括：取 倒数，取对数，待定系数法等,其中待定系数法较为常见. 【跟踪训练 4】已知在数列 na 中， 1 5 6 a = ， 1 1 1 1 3 2 n n na a + +   = +     ，则 na = ______． 【答案】 3 2 2 3n n − 【分析】由构造法可得 ( )1 1 2 2 3 2 3 3 n n n na a + + − = − ，所以数列 2 3 n na − 是以 4 3 − 为首项， 2 3 为公比的等比数列，即可求出数列 na 的通项公式. 【详解】因为 1 5 6 a = ， 1 1 1 1 3 2 n n na a + +   = +     ，所以 1 1 2 2 2 1 3 n n n na a + + =  + ， 整理得 ( )1 1 2 2 3 2 3 3 n n n na a + + − = − ，所以数列 2 3 n na − 是以 1 4 2 3 3 a − = − 为首项， 2 3 为公比的等比数列，所以 1 4 2 2 3 3 3 n n na −   − = −     ，解得 3 2 2 3 n n n a = − ． 故答案为： 3 2 2 3n n − . 题型五 归纳猜想法求数列的通项 【例 5】雪花曲线因其形状类似雪花而得名，它的产生也与雪花类似，由等边三角形开 始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边 三角形，但要去掉与原三角形叠合的边，接着对每-个等边三角形“尖出”的部分继续上 述过程，即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形（如图：（2），（3），（4） 是等边三角形（1）经过第一次，第二次，第三次，变化所得雪花曲线）若按照上述规 律，一个边长为3的等边三角形，经过四次变化得到的雪花曲线的周长是（ ） A． 143 3 B． 204 9 C． 256 9 D． 64 3 【答案】C 【分析】找出相邻图形的边长之间的关系以及相邻图形边数之间的关系即可求解. 【详解】设雪花曲线的边长分别为 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a ，边数为 1 2 3 4 5, , , ,b b b b b ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 周长为 ( )1,2,3,4,5nS n = . 2 1 1 1 3 a a=  = ， 3 2 1 1 3 3 a a= = ， 4 3 1 1 3 9 a a= = ， 5 1 27 a = ， 1 3b = ， 2 3 4b =  ， 3 3 4 4b =   ， 4 3 4 4 4b =    ， 5 3 4 4 4 4b =     ， 1 9S = ， 2 12S = ， 3 16S = ， 4 64 3 S = ， 5 256 9 S = ， 故选：C. 【跟踪训练 5】（多选）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数， 他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个 数：1,3,6,10,...称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1,4,9,16,...称为正方形数， 记三角形数构成数列 na ，正方形数构成数列 nb ，则下列说法正确的是（ ） A． 6 21a = B．1225 既是三角形数，又是正方形数 C． 1 2 3 1 1 1 1 ... 1n n a a a a n + + + + = + D． *, 2m m  N ，总存在 *,p qN ，使得 m p qb a a= + 成立 【答案】ABD 【分析】利用等差数列求和，分别求出 na ， nb ，进而结合裂项求和法逐个选项进行 判断即可得到答案. 【详解】三角形数构成数列 :1,1 2,1 2 3,1 2 3 4,...na + + + + + + ，易得 ( )1 1 2 ... 2 n n n a n + = + + + = ； 正方形数构成数列 :1,1 3,1 3 5nb + + + ，1 3 5 7,...+ + + ，易得 ( ) 21 2 11 3 .... 2 1 2 n n n n nb + − = + + + − = = ； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 对于 A： 6 21a = ，故 A 正确； 对于 B：令 2 1225 2 n n n a + = = ，解得 49n = ； 令 2 1225nb n= = ，解得 35n = .故 B 正确； 对于C：∵ ( ) 1 2 1 1 2 1 1na n n n n   = = −  + +  ， ∴ 1 2 3 1 1 1 1 1 2 ... 2 1 1 1n n a a a a n n   + + + + = − =  + +  ，故 C 错误； 对于 D：取 , 1p m q m= = − ，且 *, 2m m N ，则 ( ) ( )2 1 1 2 2 m m m m m + − = + ，即 1m m mb a a −= + ， 故 *, 2m m  N ，总存在 *,p qN ，使得 m p qb a a= + 成立，故 D 正确. 故选：ABD. 题型六 与通项有关的其他综合问题 【例 6】（多选）斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波 那契于 1202 年提出的数列.斐波那契数列为 1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列 从第 3 项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为 ( ) F n ，则 ( ) F n 的通项公式 为（ ） A． ( 1) 1 ( ) 2 n n F n − + = B． ( ) ( ) ( )1 1 , 2F n F n F n n+ = + −  且 ( ) ( )1 1, 2 1F F= = C． ( ) 1 1 5 1 5 2 25 n n F n     + −  = −            D． ( ) 1 1 5 1 5 2 25 n n F n     + −  = +            【答案】BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】解：斐波那契数列为 1，1，2，3，5，8，13，21，……， 显然 ( ) ( )1 1, 2 1F F= = ， ( ) ( ) ( )3 1 2 2F F F= + = ， ( ) ( ) ( )4 2 3 3F F F= + = ， ， ( ) ( ) ( )1 1 , 2F n F n F n n+ = + −  ，所以 ( ) ( ) ( )1 1 , 2F n F n F n n+ = + −  且 ( ) ( )1 1, 2 1F F= = ，即 B 满足条件； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 由 ( ) ( ) ( )1 1 , 2F n F n F n n+ = + −  ， 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 5 1 5 1 5 1 1 2 2 2 F n F n F n F n  − + − + − = − −    所以数列 ( ) ( ) 1 5 1 2 F n F n  −  + −     是以 1 5 2 + 为首项， 1 5 2 + 为公比的等比数列， 所以 ( ) ( ) 1 5 1 5 1 2 2 n F n F n  − + + − =      所以 ( ) ( ) 1 1 5 1 2 1 1 5 1 5 1 5 ( ) ( ) 2 2 2 n n F F nn − − + = + + + + ， 令 1 1 5 2 n n n F b − =  +     ，则 1 5 3 1 2 n nb b+ − = + ， 所以 1 5 5 5 3 5 5 ( ) 10 2 10 n nb b+ + − + − = − ， 所以 5 5 10 nb  +  −     以 5 5 10 − 为首项， 5 3 2 − 为公比的等比数列， 所以 1 5 5 5 5 5 3 ( )( ) 10 10 2 n nb −+ − −= + ， 所以 ( ) 1 1 5 5 5 5 5 3 1 5 5 1 5 1 5 10 10 2 2 5 2 2 n n n n F n − −           + − − + + −    = + = −                               ； 即 C 满足条件； 故选：BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难 度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题． 【跟踪训练 6】已知数列 na 的前 n项和为 nS ，数列 nb 的前 n项和为 nT ，满足 1 1a = ， 3 ( ) ( )n nS n m a m R= +  ，且 1 5 n na b = ．若对 *n N  ， nT  恒成立，则实数的最小值 为____________． 【答案】 2 5 【分析】当 1n = 时，解得 2m = ，当 2n  时，由 13 3 3n n na S S −= − 化简得 1 1 1 n n a n a n− + = − ，利 用累乘法求得 ( 1) 2 n n n a + = ，进而得 2 1 1 5 1 nb n n   = −  +  ，利用裂项求和法得 2 1 2 1 5 1 5 nT n   = −   +  ，因此利用对 *n N  ， nT  恒成立即可求解. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 【详解】解析：当 1n = 时， 1 1 13 3 (1 )S a m a= = + ，解得 2m = ． 当 2n  时，由 1 1 3S ( 2) 3S ( 1 2) n n n n n a n a− − = +  = − + ，得 1 1 1 n n a n a n− + = − ． 依据叠乘法（累乘法）可得 ( 1) 2 n n n a + = ． 由 1 5 n na b = ，得 2 2 1 1 5 ( 1) 5 1 nb n n n n   = = −  + +  ， 于是 2 1 1 1 1 1 1 5 2 2 3 1 nT n n        = − + − + + −      +       2 1 2 1 5 1 5n   = −   +  ． 由于对 *n N  ， nT  恒成立， 2 5   ， 故实数的最小值为 2 5 ． 故答案为： 2 5 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前 n项和，以及数列的函数特征， 考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大. 课后突破训练 1．已知数列 na 的前n 项和 nS ，且 2( 1)n nS a n− = − ， 2 2 n a n nb S = ，则数列 nb 的最小项为 （ ） A．第 3 项 B．第 4 项 C．第 5 项 D．第 6 项 【答案】A 【分析】由 nS 与 na 的关系 1( 1)n n na S S n−= −  化简即可求出 nS 及 na ，可得 nb ，分析单调性 即可求解. 【详解】∵ 1( 1)n n na S S n−= −  , ∴ 1n n nS a S −− = ,则 2 1 ( 1)nS n− = − ,即 2 *( N )nS n n=  , ∴ 2 2( 1) 2 1na n n n= − − = − . 易知 0nb  , 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 ∵ 2 1 2 +1 +14 4 2 2 +1 n n n nb b n n − = =， （ ） , 2 4 41 4 2 2 ( ) ( 1) 1 n n b n n b n n + = = + + 当 2 1 1 n n  + 时, 2 1n  + ,∴当1 3n  时, 1n nb b + , 当 3n  时, 1n nb b + ,又 2 3 1 32 , 2 81 b b= = , ∴当 3n = 时, nb 有最小值.故选：A 【点睛】本题主要考查了数列 nS 与 na 的关系，数列的单调性，属于中档题. 2．已知数列 na 满足 0na  ，其前n 项和 2 2 3 4 n n n a a S + − = ，数列 nb 满足 ( ) 1 1 1 1 n n n n n b a a + + + = − ，其前n 项和为 nT ，若 2nT n   对任意n N 恒成立，则实数的取值 范围是（ ） A． 1 , 21   −    B． 1 , 15   −    C． 4 , 33   −    D． 4 , 21   −    【答案】A 【分析】利用 na 与 nS 关系可证得 na 为等差数列，由此可求得 na ，将 nb 进行裂项后， 前后相消可求得 2nT ，将问题转化为 ( ) 2 3 4 3 n n   + ；令 ( ) 2 3 4 3 n n c n = + ，可证得 nc 为递增 数列，由此得到 ( ) 1minnc c  = . 【详解】当 1n = 时， 2 1 1 1 1 2 3 4 a a a S + − = = ，解得： 1 3a = 或 1 1a = − ，又 0na  ， 1 3a = ； 当 2n  时，由 2 2 3 4 n n n a a S + − = 得： 2 1 1 1 2 3 4 n n n a a S − −− + − = ， 2 2 1 1 1 2 2 4 n n n n n n n a a a a a S S − −− + − −  = − = ，整理可得： ( )( )1 1 2 0n n n na a a a+ −+ − − = ， 0na  ， 1 2 0n na a − − − = ，即 1 2n na a −− = ，  na 是以3为首项，2为公差的等差数列， ( )3 2 1 2 1na n n = + − = + ； 经检验： 1 3a = 满足 2 1na n= + ； 综上所述： ( )2 1na n n N = +  ， ( ) ( )( ) ( ) 1 11 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 2 1 2 3 n n n n b n n n n + ++    = − =  −  +  + + + +  ， 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 5 5 7 7 9 4 1 4 1 4 1 4 3 nT n n n n    =  + − − + + ++ + − −  − + + +  武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 ( ) ( ) 1 1 1 1 4 4 3 4 3 4 3 4 3 3 4 3 n n n n n   =  − =  =  + + +  ， 由 2nT n   得： ( ) 2 2 3 4 3 n n nT n   = + ， 令 ( ) 2 3 4 3 n n c n = + ，则 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 1 1 4 10 3 0 3 4 7 3 4 3 3 4 3 4 7 n n n n n n c c n n n n + + + + − = − =  + + + + ，  nc 为递增数列， 1 1 21 nc c  = ， 1 21   ，即实数的取值范围为 1 , 21   −    . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够采用裂项相消的方法求得 2nT ，对于通项公 式中含有 ( )1 n − 类型的数列进行裂项求和时，需注意将通项裂成两项之和的形式，进而 利用 ( )1 n − 的波动性前后相消得到结果. 3．（多选）已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且 2( 1)n nS a n− = − ， 2 2 n a n n b S = ，则（ ） A． 2 nS n= B． 2na n= C．数列 nb 是递增数列 D．数列 nb 的最小值为 32 81 【答案】AD 【分析】根据 1n n nS a S −− = 得到 2 1 ( 1)nS n− = − ，进而求出前 n项和与通项公式，进而判断 AB 选项；利用 4 1 2 1 n n b n b n +   =   +  ，结合 2 1 n n+ 与 1 的大小关系，得到 nb 不是递增数列，且 求出 nb 的最小值，判断 CD 选项. 【详解】 1( 2)n n na S S n−= −  ， 1n n nS a S − − = ，则 2 1 ( 1)nS n− = − ，即 ( ) 2 * nS n n= N ， 1 1a = ，当 2n  时， 2 2( 1) 2 1na n n n= − − = − ，又 1 1a = 满足上式， ( ) *2 1na n n = − N ， 故 A 正确，B 错误； 易知 0nb  ， 2 1 4 2 n nb n − = ， 2 1 1 4 2 ( 1) n nb n + + = + ， 4 2 4 1 4 2 2 ( 1) 1 n n b n n b n n +   = =  + +  ，当 2 1 1 n n  + 时， 2 1n  + ，当1 3n  时， 1n nb b + ，当 3n  时， 1n nb b + ，数列 nb 不是递增数列， 且当 3n = 时， nb 取得最小值 32 81 ，故 C 错误，D 正确． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 故选：AD． 4．（多选）设数列{ }na 的前n 项和为 nS ，且满足 1 1 22 2 n na a a n −+ + + = ，则下列说法不 正确的是（ ） A．{ }na 可能为等差数列 B．{ }na 一定为等比数列 C． ,n N +  使得 3nS = D． 2 n n a a + 的最小值为2 2 【答案】ACD 【分析】利用相减的方法求得通项公式 na ，求得前n 项和 nS ，然后分析数列{ }na 的性质， 判断各选项． 【详解】首先由题意 1 1a = ， 由 1 1 22 2 n na a a n −+ + + = ，得 2n  时， 2 1 2 12 2 1 n na a a n − −+ + + = − ， 相减得 12 1n na − = ， 1 1 2 n n a − = ， 1 1a = 也适合，所以 1 1 2 n n a − = ， 数列{ }na 是等比数列，不是等差数列，A 错，B 正确； 1 1 1 12 2 2 1 2 1 2 n n n S − − = = −  − ，所以不存在 N*n ，使得 3nS = ，C 错； 0na  ， 2 2 2 2 2n n n n a a a a +   = ．当且仅当 2 n n a a = ，即 2na = 时，等号成立，但 1 1 2 2 n n a − =  ，因此2 2 取不到．D 错误， 故选：ACD． 【点睛】本题考查等比数列、等差数列的判断，考查由数列前n 项和求数列通项的方法， 考查等比数列前n 项和公式，还考查基本不等式的应用，解题中注意类似由 nS 求 na 的变 形为常常有 2n  ，对 1a 一般直接由 1 1a S= 求出，然后检验． 5．（多选）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状， 后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…， 设各层球数构成一个数列 na ，则（ ） 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 A． 4 12a = B． 1 1n na a n+ = + + C． 100 5050a = D． 1 22 n n na a a+ +=  【答案】BC 【分析】根据示意图，结合题意找到各层球的数量与层数的关系，可得 1 ( 1) 2 n n n n a a n− + = + = ，即可判断各项的正误. 【详解】由题意知： 1 2 3 11, 3, 6, ... , n na a a a a n−= = = = + ，故 ( 1) 2 n n n a + = ， ∴ 4 4 (4 1) 10 2 a  + = = ，故 A 错误； 1 1n na a n+ = + + ，故 B 正确； 100 100 (100 1) 5050 2 a  + = = ，故 C 正确； 12 ( 1)na n n+ = + ， 2 ( 1)( 2)( 3) 4 n n n n n n a a + + + + = ，显然 1 22 n n na a a+ +  ，故 D 错误； 故选：BC 6．（多选）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或 小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6， 10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数， 记三角形数构成数列 na ，正方形数构成数列 nb ，则下列说法正确的是（ ） 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 A． 1 2 3 1 1 1 1 1n n a a a a n + + + + = + B．1225 既是三角形数，又是正方形数 C． 1 2 3 1 1 1 1 33 20nb b b b + + + +  D． *N ,m m   2，总存在 *, Np q ，使得 m p qb a a= + 成立 【答案】BCD 【分析】利用累加法，分别求出 ,n na b ，进而分别利用裂项求和法、放缩法，逐个选项 进行判断即可得到答案. 【详解】三角形数构成数列 na ：1，3，6，10，…，则有 ( )2 1 3 2 12, 3, , 2n na a a a a a n n−− = − = − =  ，利用累加法， 得 1 ( 1)(2 ) 2 n n n a a − + − = ，得到 ( 1) 2 n n n a + = ；n=1 成立 正方形数构成数列 nb ：1，4，9，16，…，则有 ( )2 1 3 2 13, 5, , 2 1 2n nb b b b b b n n−− = − = − = −  ，利用累加法， 得 1 (2 2)( 1) 2 n n n b b + − − = ，得到 2 nb n= ,n=1 成立 对于 A， 1 2 1 1 2( ) ( 1) 1na n n n n = = − + + ，利用裂项求和法： 1 2 3 1 1 1 1 1 2 2(1 ) 1 1n n a a a a n n + + + + = − = + + ，故 A 错误； 对于 B，令 2 1225 2 n n n a + = = ，解得 49n = ；令 2 1225nb n= = ，解得 35n = ；故 B 正确； 对于 C， 2 2 1 1 4 1 1 2( ) 4 1 2 1 2 1nb n n n n =  = − − − + ，则 2 2 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 4 3nb b b b n + + + + = + + + + 5 1 1 1 1 1 1 2( ) 4 5 7 7 9 2 1 2 1n n  + − + − + − − + ， 整理得， 1 2 3 1 1 1 1 5 1 1 33 1 33 2( ) 4 5 2 1 20 2 1 20nb b b b n n + + + +  + − = −  + + ，故 C 正确； 对于 D，取m p q= = ，且 *Nm ，则令 2 ( 1) ( 1) 2 2 m m m m m + − = + ，则有 1m m mb a a −= + ， 故 *N ,m m   2，总存在 *, Np q ，使得 m p qb a a= + 成立，故 D 正确； 故选：BCD 7．已知数列 na 满足 1 11, 2 1 n n n a a a na += = + ，则 na =__________. 【答案】 2 1 1n n− + 【分析】由题可得 1 1 1 2 n n n a a+ − = ，然后利用累加法及等差数列求和公式即得. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 【详解】对递推关系取倒数，得 1 2 11 1 2n n n n na n a a a+ + = = + . 即 1 1 1 2 n n n a a+ − = ，分别用1,2,3,..., 1n− 替换n ，有 2 1 1 1 2 1 a a − =  ， 3 2 1 1 2 2 a a − =  ， 4 3 1 1 2 3 a a − =  ，…， 1 1 1 2( 1) n n n a a − − = − 以上n 1− 个式子相加，得 ( ) ( )( ) 1 1 1 2 1 2 3 ... 1 1 2 n n n n n a a  − = + + + + − = −   ， 所以， 21 1 n n n a = − + ，n=1 成立 ∴ 2 1 1 na n n = − + . 故答案为： 2 1 1n n− + .. 8．已知在数列 na 中， 1 2a = ， 32 1 1 2 2 3 n n a aa a a n ++ + + + = − ，则 na = __________． 【答案】2n 【分析】根据给定条件，利用数列前 n项和的意义，探讨数列 na 相邻两项的关系，构 造常数列求解作答. 【详解】因为 321 1 2 2 3 n n a aa a a n ++ + + + = − ，当 2n  时， 3 12 1 2 2 3 1 n n a aa a a n −+ + + + = − − ， 则 1 n n n a a a n += − ，即有 1 1 n na a n n + = + ，当 1n = 时， 1 2 2a a= − ，得 2 4a = ， 2 1 2 1 a a = 满足上式， Nn  ， 1 1 n na a n n + = + ，因此数列{ }n a n 是常数列，即 1 2 1 na a n = = ，所以 2na n= . 故答案为：2n 9．已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且 1 2a = ， 1 4 2n nS a+ = + ，则 na = __________． 【答案】 2nn  【分析】利用数列的递推式可得 ( )2 1 12 2 2n n n na a a a+ + +− = − ，构造等比数列，求得 1 1 2 2 n n na a + + − = ，从而 1 1 1 2 2 n n n n a a+ + − = ，构造等差数列，求得答案. 【详解】由题意得 2 14 2S a= + ，所以 1 2 14 2a a a+ = + ，解得 2 8a = ， 又因为 2 2 1 14 4n n n n na S S a a+ + + += − = − ，于是 ( )2 1 12 2 2n n n na a a a+ + +− = − ， 因此数列 1 2n na a+ − 是以 2 12 4a a− = 为首项、2 为公比的等比数列， 故 1 1 1 2 4 2 2 n n n na a − + + − =  = ，于是 1 1 1 2 2 n n n n a a+ + − = ， 因此数列 2 n n a      是以 1 为首项、1 为公差的等差数列， 故 1 ( 1) 2 n n a n n= + − = ，故 2 n na n=  , 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 故答案为： 2nn  10．如图所示的图形是由一连串直角三角形拼合而成的，其中 1 1 2 2 3 7 8 1OA A A A A A A= = =  = = ，如果把图中的直角三角形继续作下去，记 1 2, , , nOA OA OA 的长度构成数列 na ，则此数列的通项公式为 na = ______． 【答案】 *, Nn n 【分析】由勾股定理易得. 【详解】因为 1 1OA = ， 2 2OA = ， 3 3OA = ，…， nOA n= ， 所以 1 1a = ， 2 2a = ， 3 3a = ，…， na n= ． 故答案为： *, Nn n . 11．我国南宋时期的数学家杨辉，在他 1261 年所著的《详解九 章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此 图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开 始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和． (1)把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数 列：1，3，6，10，15，…，写出 na 与 ( )*1 , 2na n n−  N 的递 推关系，并求出数列 na 的通项公式； (2)设 ( ) 1 = , N 1 2 n nn a nb n  −  +  ，证明： 1 2 3+ 2nb bb b + + +  . 【答案】(1) 1n na a n−− = ， ( 1) 2 n n n a + = （ *Nn ）；(2)证明见解析. 【分析】（1）根据已知写出 na 与 ( )*1 , 2na n n−  N 的递推关系，再利用累加法求出数列  na 的通项公式； （2）先求出 1 2 n nb n   =      ，再利用错位相减法求出 1 2 3+ nb bb b+ + + 2 =2 2n n+ − ，即得证. (1)解：由“杨辉三角”的定义可知： 1 1a = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 2n  时， 1n na a n−− = 所以有 ( ) ( )1 1 2n n n n na a a a a− − −= − + − + ( )2 1 1 ( 1)a a a n n   + − + = + − ( 1) 2 1 2 n n + + + + = ， 故 ( 1) 2 n n n a + = ,该式对 a1=1 也成立. 所以 ( 1) 2 n n n a + = （ *nN ） (2)解：由题得 ( ) 1 ( 1) 2= , N 1 2n n n n n n b  − +  +  ，所以 1 2 n nb n   =      ， 设 1 2 3+ nn b b bT b+= + + ， 所以 21 1 11 ( ) 2 ( ) + ( ) 2 2 2 n nT n + + =  ，（1） 所以 2 3 +11 1 11 ( ) 2 1 2 ( ) + ( ) 2 2 2 n nnT  +  +=  ，（2） （1）−（2）得 2 3 +11 1 1 1( ) ( ) + ( ) ( ) 2 2 2 1 1 + 2 2 2 n n n nT + + −= ， 所以 +1 1 1 [1 ( ) ] 1 1 ( ) 2 2 2 12 1 2 n n n nT − − = − ， 所以 +11 1 1 11 ( ) ( ) 1 ( ) (1 ) 2 2 2 2 =1 2 nn n n nT n= − +− − 所以 =2 ( 1 ( ) 2 2) nnT n− + 所以 1 2 3 2 + =2 2 n n b n b b b + + + + − 故 1 2 3+ 2nb bb b + + +  . 12．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足： 1 1a = ， 1 1 2 2 n n nS a a + = − (1)求数列 na 的通项公式； (2)对于正整数 , , ( )m n k m n k  ，已知 3 ,6 3 , 3n m k a a a    三数构成等差数列，求正整数 , 的值. 【答案】(1) ( )*Nna n n=  (2) 1 = = 【分析】（1）根据 1 1 , 1 , 2 n n n S n a S S n− = =  −  求出 1 1 2 0n n na a a+ −+ − = ，得到 na 为等差数列， 设出公差，利用 1 2 2 3 1 2 2 a a aa = + − 求出公差，进而求出通项公式； （2）由等差数列性质得到 3 3 12 3n k m  = + ，变形为 123 3n m k m − − + = ，结合 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 正整数 , , ( )m n k m n k  ，得到只有 1, 2n m k m− = − = ，等式才成立，进而求出正整数 ,  的值. 【详解】（1） 1 1 2 2 n n nS a a + = − 变形为 ( ) 1 12 n n nn nS a a a a+ + − = ①， 当 2n  时， ( )1 1 12 n n n n n a a a S a − − −  − = ②，①－②得： ( ) ( ) 1 1 112 2 n n n n n n nn n a a a a a a aa a + + − −   − −= − ， 由于 na 在分母上，故 0na  ，所以 ( ) ( ) 1 1 1 12 1 2 n n n n nn a a a aa a + + − −− −= − ， 整理得： ( )1 1 2 0n n n na a a a+ −+ − = ， 因为 0na  ，所以 1 1 2 0n n na a a+ −+ − = ， 即 1 1n n n na a a a+ −− = − ， 所以 na 为等差数列，首项为 1 1a = ，设公差为d ， 当 2n = 时， 1 2 2 3 1 2 2 a a aa = + − ，即 1 2 2 1 1 2 2 d d d+ + + = − ， 解得： 1d = ， 所以 1 1na n n= + − = ，经验证，满足要求； （2）由题意得 3 ,6 3 , 3n m k    成等差数列， 故 3 3 12 3n k m  = + ， 因为m n k  且 , ,m n k 为正整数， 所以 123 3n m k m − − + = ，其中 , 为正整数， 因为 1, 2n m k m−  −  ， 而 33 27 12=  ， 故只有 1, 2n m k m− = − = 时， 123 3n m k m − − + = 才成立， 此时3 9 12 + = ，由于 , 为正整数， 所以 1 = = .