精品解析：山西省卓越联盟2024-2025学年高二下学期5月冲刺考试数学试题（C卷）

2024~2025学年第二学期高二5月冲刺考 数学（C卷） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版集合与常用逻辑用语，不等式（20%），选择性必修第二册（40%），选择性必修第三册（40%）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知全集，若集合满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 1 6. 某疾病在人群中的患病率为，该疾病患者被检测出（结果为阳性）的概率为，阴性人群被检测为阳性的概率为，则一个人检测结果为阳性的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是5，6，7，8的一个排列，定义随机变量X，Y满足，其中分别表示数据中的最小者和最大者，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 学生食堂提供共4种主食和共5种配菜，李明同学想点2种主食与2种配菜，则（ ） A. 不选主食的方法种数为30 B. 主食和配菜都选的方法种数为12 C. 配菜至少选1种的方法种数为54 D. 主食，配菜只选2种的方法种数为21 11. 将个数排成行列的一个数阵，如： 该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象在处的切线方程是____________． 13. 在数列中，，，则该数列的通项公式为_____. 14. 已知随机事件A，B满足，且，则_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，为数列的前项和，若，求正整数的值． 16. 某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了400名学生进行调查，将数据整理后得到如下列联表： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 105 250 每天使用时长低于2小时 合计 175 400 （1）完善列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”有关联？ （2）按每天使用电子产品的时长是否低于2小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取15人进一步调查其用眼卫生情况，再从这15人中随机抽取5人，记为所抽5人中每天使用电子产品不低于2小时的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，求证：对且，都有． 18. 某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． （1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为元，求； （2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为元，求的分布列； （3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 19. 泊松分布是统计与概率学里常见的离散型概率分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，如自然灾害发生的次数等．若随机变量服从参数为的泊松分布，记作Poisson（），则其概率分布为． （1）当时，泊松分布可以近似为正态分布．已知某交通路口平均每分钟通过的车辆数服从的泊松分布，试估算在一分钟内该路口通过的车辆数大于15且小于30的概率；参考数据：若，则， （2）若随机变量服从二项分布，当且时，二项分布近似于泊松分布，其中．某工厂生产电子元器件的次品率为0.003，现从一批产品中随机抽取1000件，记其中的次品数为，按泊松分布近似计算： ①这1000件产品中恰有2件次品的概率；（参考数据：） ②求使得最大时的值． （3）若Poisson（），求证：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期高二5月冲刺考 数学（C卷） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版集合与常用逻辑用语，不等式（20%），选择性必修第二册（40%），选择性必修第三册（40%）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定求解即可. 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题的否定为“，”． 故选：B． 2. 已知全集，若集合满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简全集，求出集合M，再利用元素下集合、集合与集合间的关系逐项判断作答. 【详解】依题意，，又，则或， 因此，，不是的子集，，即ABC错误，D正确. 故选：D 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在等式两边求导，再令，可得出关于的等式，即可得出的值. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故选：C. 4. 设，则使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件及必要条件定义结合不等式的性质判定各个选项即可. 【详解】对于A，，故是的充要条件； 对于B，由得，能推出，反之不成立， 所以是的充分不必要条件； 对于C，由无法得到之间的大小关系，反之也是， 所以是的既不充分也不必要条件； 对于D，由不能推出，反之则成立，所以是的必要不充分条件． 故选：B． 5. 已知，，且，则当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的巧用求最小值，即可得的值. 【详解】已知，，且， 所以， 当且仅当时，即时，取得最小值， 则. 故选：A. 6. 某疾病在人群中的患病率为，该疾病患者被检测出（结果为阳性）的概率为，阴性人群被检测为阳性的概率为，则一个人检测结果为阳性的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】用事件表示一个人患此种疾病，用事件表示检测结果为阳性， 则，， 所以 ． 故选：B. 7. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，进而利用的单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递减， 因为， 所以不等式可变为，即， 所以，即， 所以不等式的解集为. 故选：D. 8. 已知是5，6，7，8的一个排列，定义随机变量X，Y满足，其中分别表示数据中的最小者和最大者，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知求得所有排列数，再求得符合条件的排列数，进而利用古典概型概率公式即可求解. 【详解】依题意5，6，7，8的所有排列种数为， 当或时，；当或时，； 当或时，， 所以满足的排列有；；；；；；；，共8种， 所以． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例证明选项A，利用不等式的性质证明选项B，利用基本不等式证明选项C，利用不等式的性质证明选项D. 【详解】因为，所以，所以，即，故A错误； 因为，所以，故B正确； 由，得，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以等号不成立，故，故C正确； 因为，所以， 所以，所以， 所以，即，故D错误. 故选：BC. 10. 学生食堂提供共4种主食和共5种配菜，李明同学想点2种主食与2种配菜，则（ ） A. 不选主食的方法种数为30 B. 主食和配菜都选的方法种数为12 C. 配菜至少选1种的方法种数为54 D. 主食，配菜只选2种的方法种数为21 【答案】ABD 【解析】 【分析】由两种计数原理结合组合数逐个判断即可. 【详解】对于A，不选主食的方法种数为，A正确； 对于B，主食和配菜都选的方法种数为，B正确； 对于C，配菜至少选1种的方法种数为，C错误； 对于D，主食，配菜只选2种的方法种数为，D正确． 故选：ABD． 11. 将个数排成行列的一个数阵，如： 该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】综合运用等差数列，等比数列的性质和求和公式计算可以判定各个选项. 【详解】由题意，根据等差数列的通项公式得, 根据等比数列的通项公式得. 因为，，所以， 解得（，舍去），故A正确； 所以. ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选:ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象在处的切线方程是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，求出函数在处的切线斜率，进而可得切线方程. 【详解】由已知，得，所以， 所以所求切线方程为，即. 故答案为：. 13. 在数列中，，，则该数列的通项公式为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法及等差数列的求和公式求解即可. 【详解】由题意得， 当时，， 将这个式子累加，得， 所以，而满足上式， 所以. 故答案为：. 14. 已知随机事件A，B满足，且，则_____________. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】首先根据概率运算法则将原等式化简，求出的值，然后根据已知条件求出的值，最后即可求出条件概率的值. 【详解】因为，所以， 整理得，因为， 所以，所以， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，为数列的前项和，若，求正整数的值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）设出等比数列的公比，结合已知列出方程组，即可求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 设数列的公比为，则，解得，则， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知， 所以． 由，得，解得， 所以满足的正整数的值为10． 16. 某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了400名学生进行调查，将数据整理后得到如下列联表： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 105 250 每天使用时长低于2小时 合计 175 400 （1）完善列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”有关联？ （2）按每天使用电子产品的时长是否低于2小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取15人进一步调查其用眼卫生情况，再从这15人中随机抽取5人，记为所抽5人中每天使用电子产品不低于2小时的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 145 105 250 每天使用时长低于2小时 30 120 150 合计 175 225 400 有关联； （2）分布列： 0 1 2 3 4 5 数学期望. 【解析】 【分析】（1）根据已知完善列联表，应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得到结论； （2）根据已知的可能取值为0，1，2，3，4，5，应用超几何分布的概率公式求对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 列联表如下： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 145 105 250 每天使用时长低于2小时 30 120 150 合计 175 225 400 零假设：“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”无关联． 因为， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为“学生近视”与“每天使用电子产品时长是否低于2小时”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001． 【小问2详解】 由分层随机抽样知：在每天使用电子产品不低于2小时的学生中抽取人， 在每天使用电子产品低于2小时的学生中抽取人． 所以的可能取值为0，1，2，3，4，5， 所以， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 5 所以. 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，求证：对且，都有． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 当时，函数在上单调递增． 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2） 不妨设，则，要证对，都有， 只需证，即需证． 构造函数，则要证，需证函数在上为增函数， 因为， 所以函数在上为增函数成立， 所以当时，对且，都有． 【解析】 【分析】（1），根据与1的大小关系分类讨论，根据导数的正负判断函数的单调性； （2）设，要证，即证，构造新函数，证明函数在上单调递增即可． 【小问1详解】 因为，定义域为， 所以． 当时，令，得或，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 当时，恒成立，所以函数在上单调递增． 当时，令，得或，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 略 18. 某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． （1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为元，求； （2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为元，求的分布列； （3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 【答案】（1） （2）分布列： 0 10 20 30 40 50 60 （3）游客选择网上购票更划算【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算即可； （2）利用排列组合和古典概型的概率公式求分布列； （3）先求出的分布列，再计算两个随机变量的期望，比大小即可. 【小问1详解】 ，即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包的概率均为， 所以． 【小问2详解】 由题意得的可能取值为0，10，20，30，40，50，60， ， ， ，， 所以的分布列为： 0 10 20 30 40 50 60 【小问3详解】通过景点购票，由（2）得， 的可能取值为0，10，20，30，40， ， ， ， 所以， 故， 所以游客选择网上购票更划算. 19. 泊松分布是统计与概率学里常见的离散型概率分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，如自然灾害发生的次数等．若随机变量服从参数为的泊松分布，记作Poisson（），则其概率分布为． （1）当时，泊松分布可以近似为正态分布．已知某交通路口平均每分钟通过的车辆数服从的泊松分布，试估算在一分钟内该路口通过的车辆数大于15且小于30的概率；参考数据：若，则， （2）若随机变量服从二项分布，当且时，二项分布近似于泊松分布，其中．某工厂生产电子元器件的次品率为0.003，现从一批产品中随机抽取1000件，记其中的次品数为，按泊松分布近似计算： ①这1000件产品中恰有2件次品的概率；（参考数据：） ②求使得最大时的值． （3）若Poisson（），求证：当时，． 【答案】（1）0.8186； （2）①0.225；②，或 （3）证明：因为Poisson（），所以， 由泊松分布的概率公式，得， 所以， 要证当时，，只要证当时，． 令，则， 所以在上单调递减， 又，所以只要证， 因为，所以只需证， 令，则对任意的恒成立， 所以在上单调递减，且， 所以，所以， 所以当时，. 【解析】 【分析】（1）由题意，结合正态分布原则即可求解； （2）①由泊松分布概率公式求解即可；②由题意，故只需讨论与1的大小关系即可求解； （3）分析知，只要证当时，，构造函数，利用导数证明即可. 【小问1详解】 因为Poisson（），且，可近似地认为，即， 所以 ； 【小问2详解】 ①由题知Poisson（），其中， ． ②， 所以， 当时，，当时，，当时，， 所以 所以当，或时，最大． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $