第11章 反比例函数（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

第11章 《反比例函数》（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y B．y C．y＝﹣2x D． 2．（3分）反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象位于（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 3．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y（k≠0）的图象大致（　　） A． B． C． D． 4．（3分）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数的图象上的三个点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．若格点A、B在函数的图象上，则k的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（3分）对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．函数图象位于第一、三象限 B．函数图象经过点（﹣2，﹣3） C．函数图象关于y轴对称 D．x＞0时，y随x值的增大而增大 7．（3分）如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为﹣1．当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 8．（3分）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当I＜0.25时，R＜880 B．I与R的函数关系式是 C．当R＞1000时，I＞0.22 D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25 9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点B在y轴上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点C在反比例函数的图象上，则平行四边形OABC的面积是（　　） A．32 B．16 C．8 D． 10．（3分）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数y的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若k＝4，则△OEF的面积为；②若k，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是0＜k＜12；④若DE•EG，则k＝2．其中正确的命题个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）若反比例函数（m为常数）当x＞0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是　　． 12．（3分）点A（2，1）在反比例函数的图象上，则当x＞2时，y的取值范围是　　． 13．（3分）若函数y＝（m+3）x2﹣|m|是反比例函数，则m＝　　． 14．（3分）数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm，当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，则该液体的密度ρ＝　　g/cm3． 15．（3分）已知反比例函数（k为常数，k≠0），当1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为2，则k＝　　． 16．（3分）如图，反比例函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），若平行四边形ABCO的面积为4，则实数k的值为　　． 17．（3分）如图，已知矩形ABCD的一边AD落在y轴的正半轴，它的顶点B与对角线BD的中点E均在反比例函数的图象上，则矩形ABCD的面积为　　． 18．（3分）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y（k1＞0）和y（k2＞0）的图象上，若BD∥y轴，点D的横坐标为4，则k1+k2＝　　． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．（7分）已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1． （1）求y的表达式； （2）求当x＝﹣2时y的值． 20．（7分）画出反比例函数y的大致图象，结合图象回答： （1）当x＝2时，y的值； （2）当1＜x≤4时，y的取值范围； （3）当﹣1≤y＜4且y≠0时，x的取值范围． 21．（8分）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数．若在水温为20℃时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示． （1）将水从20℃加热到100℃需要　　min； （2）在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？ 22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x+b分别与x轴，y轴交于点A，B（0，1），且直线l经过双曲线的左端点C． （1）求点A的坐标和m的值． （2）平移直线l到直线l′的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求AE的长． 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交A（﹣1，m），B（n，﹣2）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P坐标． 24．（8分）项目化学习 项目主题：探究杠杆平衡条件 项目步骤：实验课上李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：自制了一个类似天平的仪器如图①，在左边固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况． 试验数据： x（cm） 10 15 20 25 30 y（g） 30 20 15 12 10 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如（10，30），（15，20）…在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； （2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； （3）当活动托盘B与点O的距离为12.5cm时，求砝码的质量； （4）当活动托盘B往左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B中添加还是减少砝码？　　．（填写“添加”或“减少”） 25．（10分）我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究 （1）将反比例函数的图象向右平移一个单位，可以得到函数的图象，关于这个函数的性质正确的有：　　． ①该函数图象与y轴的交点坐标是（0，6）； ②该函数图象是中心对称图形，对称中心是（﹣1，0）； ③该函数图象关于直线y＝x﹣1轴时称； ④当x＜0时，y随x的增大而减小． （2）在图中画出函数的图象，根据图象写出其两条不同类型的性质：　　；　　． 问题解决 （3）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求k的值； 深入思考 （4）当a＞0时，对于任意正数k，方程均无解，直接写出a，b，k满足的数量关系． 26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点C在y轴上，B在x轴上，把矩形ABOC沿对角线BC所在的直线翻折，点A恰好落在反比例函数的图象上点D处，BD与y轴交于点E，延长CD交x轴于点F，点D刚好是CF的中点．已知B的坐标为（﹣2，0）． （1）求∠DBF的度数； （2）求反比例函数的函数表达式； （3）若Q是反比例函数图象上的一点，P点在x轴上，若以P，Q，B，E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点的坐标 　或或　 ． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 《反比例函数》（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y B．y C．y＝﹣2x D． 【详解】解：y，y，y＝﹣2x不是反比例函数， y符合反比例函数的定义，它是反比例函数． 故选：D． 2．（3分）反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象位于（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【详解】解：∵k为常数，k≠0， ∴﹣k2＜0， ∴反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象位于第二、四象限． 故选：C． 3．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y（k≠0）的图象大致（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数y的图象经过二、四象限， 故D符合要求． 故选：D． 4．（3分）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数的图象上的三个点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 【详解】解：∵反比例函数中，k＞0， ∴反比例函数的图象位于第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵x1＜x2＜0，x3＞0， ∴点（x3，y3）在第一象限，点（x1，y1）和点（x2，y2）在第三象限， ∵x1＜x2＜0， ∴y3＞0＞y1＞y2， ∴y2＜y1＜y3． 故选：B． 5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．若格点A、B在函数的图象上，则k的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【详解】解：设点A的坐标为（1，m），则B（4，m﹣3）， 由题意可得：m＝4（m﹣3），解得：m＝4， ∴A（1，4）， ∵点A在反比例函数图象上， ∴k＝4． 故选：A． 6．（3分）对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．函数图象位于第一、三象限 B．函数图象经过点（﹣2，﹣3） C．函数图象关于y轴对称 D．x＞0时，y随x值的增大而增大 【详解】解：A．∵y，k＝﹣6＜0，∴函数图象位于第二、四象限，不合题意； B．当x＝﹣2时，y3，函数图象经过点（﹣2，3），不合题意； C．函数图象关于原点对称，不合题意； D．x＞0时，y随x值的增大而增大，符合题意． 故选：D． 7．（3分）如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为﹣1．当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 【详解】解：由反比例函数的对称性可得：点B的横坐标为1， ∴当y1＜y2时，x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1． 故选：C． 8．（3分）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当I＜0.25时，R＜880 B．I与R的函数关系式是 C．当R＞1000时，I＞0.22 D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点P（880，0.25）， ∴， ∴U＝220， ∴I与R的函数关系式是，故B不合题意； 当R＝1000时，， ∵220＞0， ∴I随R增大而减小， ∴当I＜0.25时，R＞880，当R＞1000时，I＜0.22，当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故A、C不合题意，D符合题意． 故选：D． 9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点B在y轴上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点C在反比例函数的图象上，则平行四边形OABC的面积是（　　） A．32 B．16 C．8 D． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，则∠AEB＝∠CDO＝90°， 由条件可知：AB＝CO，AB∥CO， ∴∠ABE＝∠COD， ∴△ABE≌△COD（AAS）， ∴△ABE与△COD的面积相等， ∴△ABE的面积＝△COD的面积相等， 同理可得：△AOE的面积＝△CBD的面积相等， ∴平行四边形OABC的面积2×（3+5）＝16． 故选：B． 10．（3分）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数y的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若k＝4，则△OEF的面积为；②若k，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是0＜k＜12；④若DE•EG，则k＝2．其中正确的命题个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：①∵k＝4， ∴E（，3），F（4，1）， ∴CE＝4，CF＝3﹣1＝2， ∴S△OEF＝S矩形AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△CEF ＝S矩形AOBCOA•AEOB•BFCE•CF ＝4×334×12，故①正确； ②∵k， ∴E（，3），F（4，）， ∴CE＝4，CF＝3， 如图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM＝3，OM， 在线段BM上取一点N，使得EN＝CE，连接NF， 在Rt△EMN中，由勾股定理可得：MN， ∴BN＝OB﹣OM﹣MN＝4， 在Rt△BFN中，由勾股定理可得：NF， ∴NF＝CF， 又∵EN＝CE， ∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，故②正确； ③由题意可得：点F与点C（4，3）不重合， ∴k≠4×3＝12， ∴0＜k＜12，故③正确； ④设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m）， 设直线EF的解析式为y＝ax+b，则有，解得， ∴yx+3m+3， 令x＝0，得y＝3m+3， ∴D（0，3m+3）， 令y＝0，得x＝4m+4， ∴G（4m+4，0）， 如图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM＝AE＝4m，EM＝3， 在Rt△ADE中，AD＝OD﹣OA＝3m，AE＝4m，由勾股定理可得：DE＝5m， 在Rt△MEG中，MG＝OG﹣OM＝（4m+4）﹣4m＝4，EM＝3，由勾股定理可得：EG＝5， ∴DE•EG＝5m×5＝25m，解得：m， ∴k＝12m＝1，故④错误． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）若反比例函数（m为常数）当x＞0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是　　． 【详解】解：∵反比例函数y图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ∴1﹣2m＜0，解得：m． 故答案为：m． 12．（3分）点A（2，1）在反比例函数的图象上，则当x＞2时，y的取值范围是　　． 【详解】解：∵点A（2，1）在反比例函数的图象上， ∴k＝2×1＝2＞0， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一三象限，在每一象限内y随x的增大而减小， ∴当x＞2时，0＜y＜1． 故答案为：0＜y＜1． 13．（3分）若函数y＝（m+3）x2﹣|m|是反比例函数，则m＝　　． 【详解】解：由条件可知2﹣|m|＝﹣1且m+3≠0，解得：m＝3． 故答案为：3． 14．（3分）数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm，当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，则该液体的密度ρ＝　　g/cm3． 【详解】解：设h关于ρ的函数解析式为h， 把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20， ∴h关于ρ的函数解析式为h， 把h＝25代入h，得25，解得：ρ＝0.8， 答：该液体的密度ρ为0.8g/cm3． 故答案为：0.8． 15．（3分）已知反比例函数（k为常数，k≠0），当1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为2，则k＝　　． 【详解】解：当k＞0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而减小． ∴2，解得：k＝4； 当k＜0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而增大． ∴2，解得：k＝﹣4； 综上，k＝±4． 故答案为：±4． 16．（3分）如图，反比例函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），若平行四边形ABCO的面积为4，则实数k的值为　　． 【详解】解：如图，作BD⊥x轴，垂足为点D，作AE⊥x轴，垂足为点E， ∵点B（﹣1，3），平行四边形ABCO的面积为4， ∴OC•BD＝4，即3OC＝4， ∴OC＝AB， ∴A（﹣1，3）， ∵反比例函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A， ∴k＝3×（）＝﹣7． 故答案为：﹣7． 17．（3分）如图，已知矩形ABCD的一边AD落在y轴的正半轴，它的顶点B与对角线BD的中点E均在反比例函数的图象上，则矩形ABCD的面积为　　． 【详解】解：设，D（0，b）， ∵它的顶点B与对角线BD的中点E均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴AB＝a，， ∴矩形ABCD的面积为． 故答案为：8． 18．（3分）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y（k1＞0）和y（k2＞0）的图象上，若BD∥y轴，点D的横坐标为4，则k1+k2＝　　． 【详解】解：如图，连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AE＝BE＝CE＝DE． 设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（4，a）， ∵BD∥y轴， ∴B（4，a+2m），A（4+m，a+m）． ∵A，B都在反比例函数（k1＞0）的图象上， ∴k1＝4（a+2m）＝（4+m）（a+m）， ∵m≠0， ∴m＝4﹣a， ∴B（4，8﹣a）， ∵B（4，8﹣a）在反比例函数（k1＞0）的图象上，D（4，a）在（k2＞0）的图象上， ∴k1＝4（8﹣a）＝32﹣4a，k2＝4a， ∴k1+k2＝32﹣4a+4a＝32． 故答案为：32． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．（7分）已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1． （1）求y的表达式； （2）求当x＝﹣2时y的值． 【详解】解：（1）∵y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例， ∴y1＝k1（x﹣1），y2， ∵y＝y1+y2，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1， ∴， ∴k2＝﹣2，k1＝1， ∴y＝x﹣1； （2）当x＝﹣2，y＝x﹣12﹣11． 20．（7分）画出反比例函数y的大致图象，结合图象回答： （1）当x＝2时，y的值； （2）当1＜x≤4时，y的取值范围； （3）当﹣1≤y＜4且y≠0时，x的取值范围． 【详解】解：作出反比例函数y的图象，如图所示： （1）把x＝2代入得：y2； （2）当x＝1时，y＝﹣4；当x＝4时，y＝﹣1， 由图象可得：当1＜x≤4时，y的取值范围为﹣4＜y≤﹣1； （3）当y＝﹣1时，x＝4；当y＝4时，x＝﹣1， 由题意可得：当﹣1≤y＜4且y≠0时，x的取值范围为x＜﹣1或x≥4． 21．（8分）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数．若在水温为20℃时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示． （1）将水从20℃加热到100℃需要　　min； （2）在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？ 【详解】解：（1）∵开机加热时每分钟上升25℃， ∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）设水温下降过程中函数关系式为，代入点（3.2，100）坐标得： ∴，解得：k＝320， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是； （3）在加热过程中，水温为40℃时，25x+20＝40，解得：x＝0.8， 在降温过程中，水温为40℃时，，解得：x＝8， ∵8﹣0.8＝7.2， ∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7.2min． 22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x+b分别与x轴，y轴交于点A，B（0，1），且直线l经过双曲线的左端点C． （1）求点A的坐标和m的值． （2）平移直线l到直线l′的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求AE的长． 【详解】解：（1）∵B（0，1）在直线y＝2x+b的图象上， ∴1＝0+b，即b＝1， ∴直线l的解析式为：y＝2x+1， 当y＝0时，y＝2x+1＝0，解得：， ∴， ∵直线l经过双曲线的左端点C， ∴当x＝1时，y＝2x+1＝3， ∴C（1，3）， ∴，即m＝3； （2）∵m＝3， ∴反比例函数解析式为：， 当x＝3时，， ∴D（3，1）， ∵平移直线y＝2x+1到直线l′， ∴设直线l′的解析式为：y＝2x+t， ∵直线l′经过D（3，1）， ∴当x＝3时，y＝2×3+t＝1， ∴t＝﹣5， ∴设直线l′的解析式为：y＝2x﹣5， ∴当y＝0时，2x﹣5＝0，解得：， ∴， ∵， ∴． 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交A（﹣1，m），B（n，﹣2）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P坐标． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（﹣1，m），B（n，﹣2）， ∴，解得：， ∴A（﹣1，6），B（3，﹣2）， 把A、B的坐标代入y＝kx+b得，解得：， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4； （2）观察图象，不等式的解集为：﹣1≤x＜0或x≥3； （3）连接OA，OB，由题意可得：C（0，4）， ， 设P（m，0）， 由题意可得：，解得：m＝±16， ∴P（16，0）或（﹣16，0）． 24．（8分）项目化学习 项目主题：探究杠杆平衡条件 项目步骤：实验课上李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：自制了一个类似天平的仪器如图①，在左边固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况． 试验数据： x（cm） 10 15 20 25 30 y（g） 30 20 15 12 10 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如（10，30），（15，20）…在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； （2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； （3）当活动托盘B与点O的距离为12.5cm时，求砝码的质量； （4）当活动托盘B往左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B中添加还是减少砝码？　　．（填写“添加”或“减少”） 【详解】解：（1）如图即为所求； （2）由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数， ∴设，把x＝10，y＝30代入得：k＝300， ∴y与x的函数关系式为：； （3）把x＝12.5代入，得y＝24， ∴当活动托盘B与点O的距离是12.5cm时，当砝码的质量为24g； （4）由反比例函数的增减性可得：随着活动托盘B与O点的距离不断减小，砝码的示数会不断增大， ∴应添加砝码， 故答案为：添加． 25．（10分）我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究 （1）将反比例函数的图象向右平移一个单位，可以得到函数的图象，关于这个函数的性质正确的有：　　． ①该函数图象与y轴的交点坐标是（0，6）； ②该函数图象是中心对称图形，对称中心是（﹣1，0）； ③该函数图象关于直线y＝x﹣1轴时称； ④当x＜0时，y随x的增大而减小． （2）在图中画出函数的图象，根据图象写出其两条不同类型的性质：　　；　　． 问题解决 （3）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求k的值； 深入思考 （4）当a＞0时，对于任意正数k，方程均无解，直接写出a，b，k满足的数量关系． 【详解】解：（1）由题意可得：当x＝0时，y6， ∴该函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣6），故①错误； ∵图象的对称中心是（0，0）， ∴y图象的对称中心是（1，0），故②错误； ∵图象关于直线y＝x和y＝﹣x对称， ∴y图象关于直线y＝x﹣1和y＝﹣x+1对称，故③正确； 由题意，对应函数y图象，∵当x＜1时，y随x的增大而减小， ∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故④正确； 故答案为：③④． （2）由题意可得：函数的图象可以由函数y的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∴函数的图象关于（1，2）对称． 作图如下： 由图象可得性质： ①图象关于直线y＝﹣x+3对称；②当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而增大． （3）由题意可得：函数3， 又∵函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， ∴k﹣3＝6， ∴k＝9． （4）由题意可得：kx+ba， ∴kx+b﹣a， ∵当a＞0时，对于任意正数k，方程均无解， ∴函数y＝kx+b﹣a与函数y没有交点． 如图， 结合图象可得：当直线y＝kx+b﹣a过（﹣1，0）时符合题意，即经过（﹣1，0）的直线可以和它有交点， ∴﹣k+b﹣a＝0即k+a﹣b＝0． 26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点C在y轴上，B在x轴上，把矩形ABOC沿对角线BC所在的直线翻折，点A恰好落在反比例函数的图象上点D处，BD与y轴交于点E，延长CD交x轴于点F，点D刚好是CF的中点．已知B的坐标为（﹣2，0）． （1）求∠DBF的度数； （2）求反比例函数的函数表达式； （3）若Q是反比例函数图象上的一点，P点在x轴上，若以P，Q，B，E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点的坐标 　或或　 ． 【详解】解：（1）∵把矩形ABOC沿对角线BC所在的直线翻折， ∴∠ABC＝∠DBC，∠CDB＝∠A＝90°， 又∵D是CF中点， ∴BD垂直平分CF， ∴BF＝BC，∠DBC＝∠DBF， ∴∠ABC＝∠DBC＝∠DBF＝30°； （2）由折叠可得：∠ABC＝∠DBC＝30°， ∵AB∥OC， ∴∠OCB＝∠ABC， ∴∠EBC＝∠ECB＝30°， ∴BE＝CE， ∴OE＝DE， ∵B的坐标为（﹣2，0）， ∴OB＝2，又∠DBF＝30°， ∴，， ∴， ∴BH＝3， ∴， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式； （3）如图2，作EQ∥x轴交， ∵OB＝2， ∴， ∴， ∴以DQ为边构造平行四边形可得：； 如图3，取E关于x的对称点E'（0，，作E′Q∥x轴，交，连接EQ，交x轴于M， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，P点的坐标为或或， 故答案为：或或． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$