11.3 用反比例函数解决问题（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

11.3 用反比例函数解决问题 题型一 根据实际问题列反比例函数关系式 1．某工厂现有原材料300t，平均每天用去xt，这批原材料能用y天，则y与x之间的函数解析式是（　　） A．y＝300x B． C． D．y＝300﹣x 【详解】解：由题意可得：xy＝300， ∴． 故本题选：B． 2．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是（　　） 体积x（mL） 100 80 60 40 20 压强y（kPa） 60 75 100 150 300 A．y＝3000x B．y＝6000x C．y D．y 【详解】解：由表格数据可得：xy＝6000， ∴y与x之间的关系的式子是y． 故本题选：D． 3．小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与录入文字的平均速度v（字/分）之间的函数表达式应为t＝　　（v＞0）． 【详解】解：由“录入的时间＝录入总量÷录入速度”可得：t（v＞0）． 故本题答案为：． 4．已知圆柱的侧面积是10πcm2，若圆柱底面半径为rcm，高为h cm，则h与r的函数关系式是　　． 【详解】解：由题意可得：h与r的函数关系式是：h（r＞0）． 故本题答案为：h（r＞0）． 题型二 用反比例函数解决实际问题 1．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．若该机器狗载重后总质量m＝20kg时，它的最快移动速度v＝4m/s；当其载重后总质量m＝16kg时，它的最快移动速度v＝　　m/s． 【详解】解：反比例函数的解析式为：v， 该机器狗载重后总质量m＝20kg时，它的最快移动速度v＝4m/s， 则k＝vm＝20×4＝80， ∴v， m＝16kg时，v5． 故本题答案为：5． 2．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.4米，则近视眼镜的度数减少了 　150　 度． 【详解】解：设， 将（0.2，500）代入， ∴k＝500×0.2＝100， ∴函数解析式为， 当x＝0.25时，， 当x＝0.4时，， ∴度数减少了400﹣250＝150（度）． 故本题答案为：150． 3．校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务的时间t（h）是参加植树人数n（人）的反比例函数，且当n＝60时，t＝2． （1）求这个反比例函数关系式； （2）为了能在1.5h内完成任务，至少需要多少人参加植树？ （3）这次共计要植树480棵，求平均每人每小时植树多少棵． 【详解】解：（1）∵t是n的反比例函数， ∴设t（k≠0）， ∵当n＝60时，t＝2， ∴k＝120， ∴反比例函数解析式为：t； （2）当t＝1.5时，n80， 根据反比例函数的性质，t随n的增大而减小， ∴至少需要80人参加植树； （3）设平均每人每小时植树x棵，则x•n•t＝480， ∴x4， 答：平均每人每小时植树4棵． 4．码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y（min）与装载速度x（吨/min）之间的函数关系如图． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）这批货物的质量是多少？ （3）轮船到达目的地后开始卸货，因任务紧需加快卸货速度，这样比原定卸货速度每分钟提高了50%，结果提前了40分钟完成卸货，求原定速度每分钟卸货多少吨？ 【详解】解：（1）∵x（吨/分钟）代表装载速度，y（分钟）代表装完货物所需时间， ∴货物的质量为xy， 设y与x之间的函数关系式为， 将（1.5，400）代入得：这批货物的质量为1.5×400＝600（吨）， 由xy＝600得：k＝600， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）由（1）可知：这批货物的质量为1.5×400＝600（吨）； （3）设原定速度每分钟卸货m吨，这样实际卸货速度为每分钟（1+50%）m吨， 则，解得：m＝5， 经检验，m＝5是原方程的根且符合题意， ∴原定速度每分钟卸货5吨． 题型三 用反比例函数解决跨学科融合问题 1．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若某杠杆的阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，则它的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m， ∴动力F关于动力臂l的函数解析式为：1000×0.6＝Fl，即F，是反比例函数， 又动力臂l＞0， ∴反比例函数F的图象是双曲线，且在第一象限． 故本题选：B． 2．在压力不变的情况下，某物体所受到的压强p（Pa）与它的受力面积S（m2）之间成反比例函数关系，且当S＝0.1时，p＝1000．下列说法中，错误的是（　　） A．p与S之间的函数表达式为 B．当S＝0.4时，p＝250 C．当受力面积小于0.2m2时，压强大于500Pa D．该物体所受到的压强随着它的受力面积的增大而增大 【详解】解：压力一定时，压强和受力面积成反比； ∵当S＝0.1时，p＝1000， ∴p（S＞0）， 当S＝0.4时，p250，故A，B正确； 当S＝0.2时，p500， ∴当受力面积小于0.2m2时，压强大于500Pa，故C正确； 该物体所受到的压强随着它的受力面积的增大而减小，故D错误． 故本题选：D． 3．数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm，当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，则该液体的密度ρ＝　　g/cm3． 【详解】解：设h关于ρ的函数解析式为h， 将ρ＝1，h＝20代入解析式得：k＝1×20＝20， ∴h关于ρ的函数解析式为h， 将h＝25 代入h得：25，解得：ρ＝0.8， 答：该液体的密度ρ为0.8g/cm3． 故本题答案为：0.8． 4．当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m3）成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压p＞120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V满足的条件是　　m3． 【详解】解：设球内气体的气压p（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为p， ∵图象过点（1.6，60）， ∴60，解得：k＝72， 由已知可得：p图象在第一象限内， ∴p随V的增大而减小， ∴当p≤120时，V， ∴V，即不小于m3． 故本题答案为：不小于． 5．小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． （1）求I关于R的函数解析式； （2）当R＝1600Ω时，求I的值； （3）若该台灯工作的最小电流为0.1A，最大电流为0.4A，求该台灯的电阻R的取值范围． 【详解】解：（1）设I关于R的函数解析式为， 当R＝800Ω时，I＝0.3A， ∴k＝0.3×800＝240， ∴； （2）当R＝1600Ω时，； （3）当I＝0.1A，， 当I＝0.4A，， ∴该台灯的电阻R的取值范围为600Ω≤R≤2400Ω． 题型四 用反比例函数解决分段问题 1．某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（小时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求图中线段OA所在直线的函数表达式； （2）当x≥3时，y与x成反比例关系．假设某人晚上19：00喝完100毫升低度白酒，那么此人第二天早上9：00能否驾车出行？请说明理由． 【详解】解：（1）设直线OA的解析式为y＝k1x， 将点代入y＝k1x得：， ∴k1＝60， ∴y＝60x； （2）当时，，即， ∴B（3，90）， 设双曲线的解析式为， 由题意可得：k2＝270， ∴， 由得：当y＝20时，x＝13.5， 从晚上19：00到第二天早上9：00时间间距为14小时， ∵14＞13.5， ∴第二天早上9：00能驾车出行． 2．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： （1）求a的值； （2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【详解】解：（1）设CD对应函数解析式为y（a≤x≤24）， 将B（24，10）代入y（a≤x≤24）中得：k＝24×10＝240， ∴y， 当y＝20时，20，解得：x＝12，即a＝12； （2）设AB的解析式为：y＝mx+n（0≤x≤2）， 将（0，10）、（2，20）代入y＝mx+n中得：，解得：， ∴AB的解析式为：y＝5x+10， 当y＝12时，12＝5x+10，解得：x＝0.4，12，解得：x＝20， ∴20﹣0.4＝19.6， 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时． 3．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温y（℃）与通电时间（min）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的关系如图所示． （1）求当4＜x≤a时，y与x之间的函数关系式； （2）加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？ 【详解】解：（1）设反比例函数的表达式为：y， 将点（4，100）代入反比例函数表达式得：k＝4×100＝400， ∴函数的表达式为：y， 当y＝20时，y20，解得：x＝20， ∴a＝20， ∴函数的表达式为：y（4＜x≤20）； （2）设0≤x≤4时，函数的表达式为：y＝mx+20， 将点（4，100）代入上式得：100＝4m+20，解得：m＝20， ∴一次函数的表达式为：y＝20x+20， 令y＝20x+20＝40，则x＝1，解得：x＝1， 在降温过程中，水温为40℃时，40，解得：x＝10， ∵10﹣1＝9， ∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min． 1．在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为U＝12（V）的蓄电池，通过调节滑动变阻器R（Ω）来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值R1＝2Ω）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流I与电阻R、RL之间关系为，通过得出如下数据（表格数据不完整）： R/Ω … 1 a 4 6 … I/A … 4 3 2 b … （1）a＝　　，b＝　　； （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在直角坐标系中画出对应函数的图象： ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是　　． （3）请结合函数图象分析，当x≥0时，的解集为　　． 【详解】解：（1）由题意可知：3，b， ∴a＝2，b＝1.5， 故本题答案为：2，1.5； （2）①根据表格数据描点：（1，4），（2，3），（3，2.4），（4，2），（6，1.5）， 在平面直角坐标系中画出对应函数y（x≥0）的图象如下： ②由图象可知：随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小， 故本题答案为：不断减小； （3）如图， 由函数图象知：当x≥2或x＝0时，x+6， 即当x≥0时，x+6的解集为x≥2或x＝0， 故本题答案为：x≥2或x＝0． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.3 用反比例函数解决问题 题型一 根据实际问题列反比例函数关系式 1．某工厂现有原材料300t，平均每天用去xt，这批原材料能用y天，则y与x之间的函数解析式是（　　） A．y＝300x B． C． D．y＝300﹣x 2．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是（　　） 体积x（mL） 100 80 60 40 20 压强y（kPa） 60 75 100 150 300 A．y＝3000x B．y＝6000x C．y D．y 3．小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与录入文字的平均速度v（字/分）之间的函数表达式应为t＝　　（v＞0）． 4．已知圆柱的侧面积是10πcm2，若圆柱底面半径为rcm，高为h cm，则h与r的函数关系式是　　． 题型二 用反比例函数解决实际问题 1．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．若该机器狗载重后总质量m＝20kg时，它的最快移动速度v＝4m/s；当其载重后总质量m＝16kg时，它的最快移动速度v＝　　m/s． 2．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.4米，则近视眼镜的度数减少了 　150　 度． 3．校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务的时间t（h）是参加植树人数n（人）的反比例函数，且当n＝60时，t＝2． （1）求这个反比例函数关系式； （2）为了能在1.5h内完成任务，至少需要多少人参加植树？ （3）这次共计要植树480棵，求平均每人每小时植树多少棵． 4．码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y（min）与装载速度x（吨/min）之间的函数关系如图． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）这批货物的质量是多少？ （3）轮船到达目的地后开始卸货，因任务紧需加快卸货速度，这样比原定卸货速度每分钟提高了50%，结果提前了40分钟完成卸货，求原定速度每分钟卸货多少吨？ 题型三 用反比例函数解决跨学科融合问题 1．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若某杠杆的阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，则它的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．在压力不变的情况下，某物体所受到的压强p（Pa）与它的受力面积S（m2）之间成反比例函数关系，且当S＝0.1时，p＝1000．下列说法中，错误的是（　　） A．p与S之间的函数表达式为 B．当S＝0.4时，p＝250 C．当受力面积小于0.2m2时，压强大于500Pa D．该物体所受到的压强随着它的受力面积的增大而增大 3．数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm，当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，则该液体的密度ρ＝　　g/cm3． 4．当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m3）成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压p＞120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V满足的条件是　　m3． 5．小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． （1）求I关于R的函数解析式； （2）当R＝1600Ω时，求I的值； （3）若该台灯工作的最小电流为0.1A，最大电流为0.4A，求该台灯的电阻R的取值范围． 题型四 用反比例函数解决分段问题 1．某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（小时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求图中线段OA所在直线的函数表达式； （2）当x≥3时，y与x成反比例关系．假设某人晚上19：00喝完100毫升低度白酒，那么此人第二天早上9：00能否驾车出行？请说明理由． 2．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： （1）求a的值； （2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 3．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温y（℃）与通电时间（min）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的关系如图所示． （1）求当4＜x≤a时，y与x之间的函数关系式； （2）加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？ 1．在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为U＝12（V）的蓄电池，通过调节滑动变阻器R（Ω）来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值R1＝2Ω）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流I与电阻R、RL之间关系为，通过得出如下数据（表格数据不完整）： R/Ω … 1 a 4 6 … I/A … 4 3 2 b … （1）a＝　　，b＝　　； （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在直角坐标系中画出对应函数的图象： ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是　　． （3）请结合函数图象分析，当x≥0时，的解集为　　． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$