第11章 反比例函数 期末压轴30题-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂(苏科版)

第11章 反比例函数 期末压轴30题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知点，，C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分，BE平分，直线BE交AD于点D．若反比例函数的图像经过点D，则k的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意根据角平分线的性质可知，进而可得，勾股定理求得，进而求得，进而求得点的坐标，即可求得 【详解】如图，过分别作的垂线，垂足分别为，， 平分，平分， , , ， 四边形是正方形 ，， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，正方形的判定，角平分线的性质，判定三角形全等以及全等的性质，勾股定理，理解角平分线的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）下列函数：①；②；③；④，其图象是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查看函数图象，中心对称图形，画出函数的图象，再根据中心对称图形的定义判断即可求解，正确画出函数图象是解题的关键． 【详解】解：函数的图象为 是轴对称图形，故不合题意； 函数的图象为 是中心对称图形，故符合题意； 函数的图象为 是中心对称图形，故符合题意； 函数的图象为 是轴对称图形，故不合题意； ∴图象是中心对称图形的是， 故选：． 二、填空题 3．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形的顶点B、D落在反比例函数 的图像上，点A落在反比例函数 （k为常数，)在第二象限的图像上，矩形被坐标轴分割成四个小矩形．若在第四象限的小矩形的面积为1，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质等知识，设，，，，由矩形性质得，，，，根据反比例函数比例系数k的几何意义及其图像上点的坐标特征得，，，结合，，可得，问题随之得解． 【详解】解：设，，，， 由题意：，，，， ∵点B、D落在反比例函数 的图像上， ∴，， ∵在第四象限的小矩形的面积为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A落在反比例函数 （k为常数，)在第二象限的图像上， ∴， 故答案为：． 三、解答题 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图1，点A是反比例函数的图象上一动点，连接并延长交反比例函数于点B，设与x轴正半轴的夹角为， (1)①若，则______；②若，则______； (2)小红同学在数学老师的指导下，证明了命题“无论如何变化，的值始终不变”为真命题．如图2，点E、F在，点G在上，O、F、G在同一条直线上，仅用无刻度的直尺在的图象上作点H，使得； (3)如图3，过点B作x轴、y轴的垂线分别交于点C、D； ①试说明的面积为定值，并求出该值； ②若，连接并延长交x轴于点E，求∠DCE的度数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①说明见解析；；② 【分析】（1）过点A作轴于点E，轴于点F，当，设，，求出，，得出；当，设，，得出，，求出，即可得出答案； （2）连接并延长，交的图象于一点，该点即为所求； （3）①设点，则，，得出，，根据，即可得出结论； ②根据，得出，求出，得出，，，求出直线的解析式为：，得出，求出， ，，根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，轴于点F，如图所示： 则， ∵， ∴和为等腰直角三角形， ∴，， ∴设，， ∵点A在反比例函数，点B在反比例函数上， ∴， 解得：，负值舍去，，负值舍去， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设，， ∵点A在反比例函数，点B在反比例函数上， ∴， 解得：，， ， ∴； （2）解：如图，连接并延长，交的图象于一点，该点即为点H； 连接，， ∵“无论如何变化，的值始终不变”为真命题， ∴根据解析（1）可知：， ∴， ∴，， ∴、分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴； （3）解：①设点，则，， ∴，， ∴， ∴的面积为定值． ②∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴根据解析（1）可知：此时， 即， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ，， ∴， ∴为直角三角形，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求一次函数解析，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 5．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正方形的边交于点，与边交于点D，一次函数的图象经过点D，与边交于点F． (1)求点F的坐标： (2)连接，探究与的数量关系，并证明； (3)在x轴上找两点M，N（M在N的右侧），使，且使四边形的周长最小，则点M的坐标为 ，四边形的周长最小为 ． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)； 【分析】（1）由正方形，，可得，将代入反比例函数表达式得：，则反比例函数的表达式为：，当时，，即，将代入，可求，则一次函数的表达式为：，当时，，可求，则； （2）待定系数法求直线的表达式为：；如图1，过点E作交过O作的角平分线于点G，过点G作于点N，设，则，证明，则，由勾股定理得，，，由勾股定理得，，即，可求，即，同理，直线的表达式为：，设交于点T，当时，，即，，证明，则，； （3）如图2，作点D关于x轴的对称点，将点向右平移2个单位使得，则，连接交x轴于点M，将点M向左平移2个单位得到点N，连接， 证明四边形为平行四边形，则，由四边形的周长为，可知此时四边形的周长最小，由勾股定理得，，，则四边形的周长的最小值为；同理，直线的表达式为，当时，，可求，则点M． 【详解】（1）解：∵正方形，， ∴， 将代入反比例函数表达式得：， ∴反比例函数的表达式为：， 当时，，即， 将代入得，， 解得，， ∴一次函数的表达式为：， 当时，， 解得，， ∴； （2）解：，理由如下： 设直线的表达式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的表达式为：； 如图1，过点E作交过O作的角平分线于点G，过点G作于点N， 设，则， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， 同理，直线的表达式为：， 设交于点T， 当时，，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2，作点D关于x轴的对称点，将点向右平移2个单位使得，则，连接交x轴于点M，将点M向左平移2个单位得到点N，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形的周长为， ∴此时四边形的周长最小， ∵， 由勾股定理得，，， ∴四边形的周长的最小值为； 同理，直线的表达式为， 当时，， 解得， ∴点M， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，正方形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，正方形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质是解题的关键． 6．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式： (2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或，理由见详解 【分析】（1）把，两点代入一次函数，运用求自变量，函数值的方法即可得到的坐标，再运用待定系数法即可求解反比例函数解析式； （2）如图所示，作点关于轴的对称点，可得，此时的值最小，运用两点之间的距离公式即可求解； （3）根据等腰直角三角形的判定和性质，图形结合分析，分类讨论：当点在点的右侧时；当点在点的左侧时；运用三角形全等的判定和性质列式求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴把，两点代入一次函数得，，， ∴，即，， 把代入反比例函数得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：如图所示，作点关于轴的对称点， ∴， ∴，此时的值最小， ∴，且， ∴， ∴的最小值为； （3）解：存在，理由如下， 设点，，且， 当点在点的右侧时，如图所示，过点作轴于点，过点作轴交的延长线于点， ∵是以为底的等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， 解得，， ∴； 当点在点的左侧时，如图所示， 同理可得，，则，且，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，轴对称最短路径的计算方法，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点之间的距离公式等知识的综合是解题的关键． 7．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)①的值为4；②m，的值为1，3； (2)当时，； (3) 【分析】（1）①将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论； ②过点作轴，可得，可用，表达点的坐标，建立关于，的二元一次方程组即可得出结论； （2）过点作轴于点，可得，可用，表达点的坐标，由此建立关于，的不等式，解之即可； （3）过点作轴于点，设，由等腰三角形的性质可表达点和点的坐标，由此建立关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ； 即的值为4； ②如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得． ，的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点作轴于点， 同理（1）可得，， ，， ， ， ， 若，则， ，， ， 即当时，； （3）解：由（2）得，，又， ∴， ，， ，即， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形， ， 设，， ，， 点是的中点， ； ， ， 点在上， ，整理得， （舍）或； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用，表达出点，的坐标是解题关键． 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点与，过点A作轴，垂足为，连接、． (1)求的值； (2)求证：为等腰三角形； (3)为轴上一点，的周长是否有最小值，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）把与代入，解方程组即得； （2）过作于点，根据， ， 得到线段，，，得到垂直平分，即得为等腰三角形； （3）作点C关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小．设所在直线的表达式为，把，代入，解方程组得到，即可求得点的坐标为． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点与， ∴， 解得：， 故m的值为8； （2）过作于点， ∵ ∴点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形； （3）存在，理由： 作点C关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小． 设所在直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 故点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数、一次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形判断，轴对称线段最短，待定系数法求一次函数解析式，一次函数性质，是解决问题的关键． 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图1，已知反比例函数与一次函数的图像相交于点A、B，直线与x轴、y轴交于点C、D． (1)若点，点． ①一次函数解析式是 ； ②直接写出线段的长，你有什么发现？ (2)若点，点，则②中的结论是否仍然成立？试说明理由． (3)实际上，对于任意两点A、B，②中的结论都成立，利用此结论解决问题： 如图2，已知矩形，点，若反比例函数与矩形的对角线有交点，则k的最大值为 ． 【答案】(1)①；②，，发现 (2)仍然成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的交点以及图像问题，坐标两点的距离公式，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）①根据题意利用待定系数法将点求出，再代入点，求出，所以点，将两点A、B分别代入一次函数即可得出答案； ②由①得出方程式可知点，，得，，发现． （2）根据题意将，点分别代入函数得，解得，即一次函数为，得到点，，进而得出，发现恒成立． （3）根据题意得出点E坐标，，所以，求出的一次函数，延长交于y轴于点M，即函数也是函数，求出点M坐标为，因为②中得出结论，即可得出中点N的坐标为，代入函数即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵两点A、B是与的交点， ∴将点A代入，解得，再代入点，解得， ∴， 将两点A、B分别代入得：，解得， 故答案为：． ②由①知一次函数为，即，， ∴，， j即． （2）解：②中的结论是否仍然成立，理由如下： 把点，点代入一次函数中得：，解得：， ∴一次函数解析式为：； 当时，， ∴ 当时，， ∴， ∴ ∴，， ，仍然成立． （3）解：∵四边形是矩形，点，， ∴， 如图2 延长交y轴于M，设直线得解析式为：， 则，解得：， ∴直线得解析式为：， 当时，， ∴， ∴的中点N的坐标为， 在②中对于任意两点，②中得结论都成立， ∴当反比例函数于矩形的对角线有交点N时，k有最大值，此时． 故答案为：4.5． 10．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究（1）将反比例函数的图象沿轴向左平移1个单位，可以得到函数的图象如图①，观察图象，以下结论正确的有______（写序号）； ①该函数图象与轴的交点坐标是；②该函数图象是中心对称图形，对称中心是；③当时，随的增大而减小． （2）在图②中画出函数的图象（无需列表），填空：该图象的对称中心坐标为 ______． 问题解决（3）①若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值； ②在①的条件下，如图③，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在x轴、y轴上，点坐标为，点是中点，连接交于，若函数的图象经过点，取线段的中点，经过点作直线与这个函数图象交于两点，点P横坐标为5，请直接写出四边形的面积为______． 深入思考（4）当时，对于任意正数，方程均无解，直接写出满足的数量关系______． 【答案】（1）①②；（2）见解析，；（3）①；②6；（4） 【分析】（1）数形结合判断作答即可； （2）由题意知，的图象是由的图象向下平移1个单位得到的，任何作函数图象，确定该图象的对称中心坐标即可； （3）①由函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，可得，计算求解即可；②由题意知，，，同理（1）可知，的对称中心为，当时，，即；待定系数法求直线的解析式为，联立，可求或，即，则的中点，即为对称中心，当时，，即；同理，直线l的解析式为，联立，计算求解，进而可得，与重合，如图③，根据，计算求解即可； （4）由，令，，由当时，对任意正数，方程均无解， 可知函数，的图象无交点，如图④，由题意知，的对称中心为，即图象不经过，由为任意正数，可知当经过点时，两图象无交点，即无解，将代入得，，整理得． 【详解】（1）解：由图象可知，该函数图象与轴的交点坐标是，①正确，故符合要求； 该函数图象是中心对称图形，对称中心是，②正确，故符合要求； 当时，随的增大而减小，③错误，故不符合要求； 故答案为：①②． （2）解：由题意知，的图象是由的图象向下平移1个单位得到的，作函数图象如下； ∴该图象的对称中心坐标为； （3）①解：∵函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， ∴， 解得，， ∴的值为； ②解：由题意知，，， 同理（1）可知，的对称中心为， 当时，，即； 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，或， ∴， ∴的中点，即为对称中心， 当时，，即； 同理，直线l的解析式为， 联立， 解得，或， ∴，与重合，如图③， ∵是对称中心， ∴， 故答案为：6； （4）解：， 令，， ∵当时，对任意正数，方程均无解， ∴函数，的图象无交点， 如图④， 由题意知，的对称中心为，即图象不经过， ∵为任意正数， ∴当经过点时，两图象无交点，即无解， 将代入得，，整理得； 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，图象的平移，一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，坐标与图形等知识．熟练掌握反比例函数的图象与性质，图象的平移，一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，坐标与图形是解题的关键． 11．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点． (1)设，点在函数、的图象上． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的x的范围； (2)设，如图②，过点A作轴，与函数的图象相交于点D，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 【分析】①将代入，可求，则；当时，，即，，将，代入，计算求解可得，进而可得； ②由题意知，使成立的x的范围为反比例函数图象在一次函数图象上方，且反比例函数图象和一次函数图象均在轴上方，所对应的x的范围，当时，，可求，即的图象经过点，数形结合可求使成立的x的范围为； （2）由，可得，由题意知，，则，，将代入得，，即，则，，由，正方形，可得，即，将代入可得，，即，将代入得，，进而可判断P一定在函数的图象上． 【详解】（1）①解：将代入得，， 解得，， ∴； 当时，，即， ∴， 将，代入得，， 解得，， ∴， ∴，； ②解：由题意知，使成立的x的范围为反比例函数图象在一次函数图象上方，且反比例函数图象和一次函数图象均在轴上方，所对应的x的范围， 当时，， 解得，， ∴的图象经过点， 由图象可知，使成立的x的范围为； （2）解：∵， ∴， 由题意知，，则，， 将代入得，，即， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 将代入可得，， ∴， 将代入得，， ∴函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质等知识．熟练掌握反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质是解题的关键． 12．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）如图，已知一次函数的图像与反比例函数 (k为常数，) 的图像相交于、． (1) ， ； (2)若点 在x轴正半轴上，连接． ①用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作，交 的图像于点 C；(不写作法，保留作图痕迹，标明字母) ②连接①中的，当四边形为平行四边形时，求n的值． 【答案】(1)6，2 (2)①作图见详解，② 【分析】（1）先利用即可求出，进而可得，问题得解； （2）①根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可；②过点作，过点作轴垂线，过点作轴垂线，两垂线交于点，即有，，结合平行四边形的性质有，，，即可证，则有，，根据、，可得， ，根据，可得，问题随之得解． 【详解】（1）解：将代入，有：， 即反比例函数解析式为：， 将代入，有：，解得：， 则：， 故答案为：6，2； （2）①尺规作图如图所示； ②过点作，过点作轴垂线，过点作轴垂线，两垂线交于点， 即有：，，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴结合图形有， ∴， ∴，， ， ，， ． 又， 点的纵坐标为． 点在反比例函数图像上， ， ， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，作一个角等于已知角的尺规作图等知识，问题难点在于最后一问，作出辅助线，证明，是解答本题的关键． 13．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在反比例函数的图象上． (1)求，的值； (2)若P，Q分别为反比例函数，图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）过B作于E，得到，，，根据勾股定理得到，求得；过C作轴于F，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得； （2）由（1）知，，设，，根据平行四边形的性质列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：过B作于E， ∵A的坐标为，点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 过C作轴于F， ∴， ∵将线段绕点A按顺时针方向旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点C恰好在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：由（1）知，， ∵P，Q分别为反比例函数，图象上一点， ∴设，， ∵以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为平行四边形的对角线时，由图象得这种情况不存在； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴； 当AQ为平行四边形的对角线时， ， 解得（不合题意）， 综上所述，． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 14．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”．    (1)当时； ①点________“的l镜像”；（填“在”或“不在”） ②“的l镜像”与x轴交点坐标是_________； (2)过y轴上的点作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，若，求的长． 【答案】(1)①在；② (2)的长为或 【分析】（1）①根据函数“的镜像”定义知：反比函数图象沿着直线翻折前后部分关于直线对称，当时，反比例函数值，则点关于直线对称点为，得出点在“的镜像”；②“ 的镜像”与轴交点纵坐标是0，根据直线对称点在反比例函数图象上纵坐标应为时，“的镜像”与轴交点坐标是． （2）由过轴上的点作轴垂线，与“的镜像”交于点、知：点，纵坐标，点，，故，点坐标为，点关于直线对称点坐标为，．当点，位置交换时，． 【详解】（1）解：①由反比例函数知：当时，． 且过点作轴的垂线． 关于直线对称点坐标为． 由“的镜像”定义得：点在“的镜像”上． 故答案为：在． ② “的镜像”与轴相交点纵坐标为0． 关于直线对称点在反比例函数上点纵坐标为6． 时，． “的镜像”与轴交点坐标是． 故答案为：． （2）解：如图，①过轴上的点作轴垂线，与“的镜像”交于点、．   点，纵坐标为． 点在反比例函数图象上． 点坐标． ． ． ． 点坐标为． 当时，反比例函数的值． 点与点关于直线对称． 由“的镜像”定义得：． 的长为． ②当点，位置交换时，同理得的长为． 的长为或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，轴对称的性质，分类讨论、数形结合是解题的关键． 15．（21-22八年级下·江苏盐城·期中）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图像，两个函数图像交于两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：      (1)设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为______； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 2 3 4 6 9 y 0 m 4 n 0 表中m＝______，n＝______； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，当______时，y的最大值为______． (3)①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长． ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)①，；②见解析；③3，4 (3)①；② 【分析】（1）根据题意，点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得根据的长等于纵坐标之差求解即可； （2）①根据表格数据分别将代入即可求得的值；②根据表格数据描点即可；③根据函数图象直接求解即可 （3）由题意可知，，代入得：，即，根据的结论求得最大值，进而求得对角线的长度； ②先求出点，点坐标，设点，可求, 由四边形面积列式，即可求解. 【详解】（1）点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得 ；     故答案为： （2）①当，当时， 故答案为：，；    ②如图所示，    ③观察函数图象， 当时，有最大值为，故答案为: ； （3）①根据题意可得代入 中，可以得到， 即 ， 由可知函数在时,取得最大值为， ∴当时,,即取得最大值， ， ∴在取得最大值时，矩形的对角线长为 ②∵直线与坐标轴分别交于点, ∴点, 点， 设点， ∴,点， ， ∵四边形面积 由得,当时,有最大值为，即有最小值， ∴四边形面积的最小值为. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，根据函数图象获取信息，矩形的性质，数形结合是解题的关键． 16．（22-23八年级下·江苏·期末）定义：平面直角坐标系中，若点M绕点N顺时针旋转，恰好落在函数图象W上，则称点M是点N关于函数图象W的“直旋点”．例如，点是原点O关于函数图象的一个“直旋点”．    (1)在①，②，③三点中，是原点O关于一次函数图象的“直旋点”的有 ___________（填序号）； (2)点是点关于反比例函数图象的“直旋点”，求k的值； (3)如图1，点在反比例函数图象上，点B是在反比例函数图象上点A右侧的一点，若点B是点A关于函数的“直旋点”，求点B的坐标． 【答案】(1)③ (2) (3)点B的坐标为 【分析】（1）根据“直旋点”的定义进行判断即可； （2）设点M绕点N顺时针旋转的对应点为，过点M作轴于点A，过点作轴于点B，证明，得出，，即可得出的坐标为，求出k的值即可； （3）设点B绕点A顺时针旋转的对应点为点C，连接，，过点A作x轴的平行线，过点B作于点E，过点C作于点E，求出反比例函数解析式为，设点B的坐标为，得出，，证明，得出，，求出点C的坐标为：，根据点C在函数图象上，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：①点绕原点顺时针旋转的对应点为，把代入得：， ∴不在函数的图象上， ∴不是原点O关于一次函数图象的“直旋点”； ②绕原点顺时针旋转的对应点为，把代入得：， ∴不在函数的图象上， ∴不是原点O关于一次函数图象的“直旋点”； ③绕原点顺时针旋转的对应点为，把代入得：， ∴在函数的图象上， ∴是原点O关于一次函数图象的“直旋点”； 综上分析可知，是原点O关于一次函数图象的“直旋点”的有③． 故答案为：③． （2）解：设点M绕点N顺时针旋转的对应点为，过点M作轴于点A，过点作轴于点B，如图所示：      ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据旋转可知，， ∴， ∴，， ∴， ∴的坐标为， 把代入得：． （3）解：设点B绕点A顺时针旋转的对应点为点C，连接，，过点A作x轴的平行线，过点B作于点E，过点C作于点E，如图所示：    ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点B在函数图象上， ∴设点B的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 根据旋转可知，， ∴， ∴，， ∴点C的坐标为：， ∵点C在函数图象上， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点B的坐标为． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 17．（22-23八年级下·江苏南京·期末）对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函数”．例如：对于函数和，则函数，的“和函数”．    (1)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①写出的表达式，并求出当x取何值时，的值为； ②函数，的图象如图①所示，则的大致图象是______． A．      B．  C．  D．   (2)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①下列关于“和函数”的性质，正确的有______；（填写所有正确的选项） A．的图象与x轴没有公共点 B．的图象关于原点对称 C．在每一个象限内，随x的值增大而减小 D．当时，随着x的值增大，的图像越来越接近的图象 ②探究函数与一次函数（为常数，且图象的公共点的个数及对应的k的取值范围，直接写出结论． 【答案】(1)①，或；②C； (2)①BD；②当且且时，公共点的个数为2；当或时，公共点的个数为1；当时，公共点的个数为0 【分析】（1）①直接代入求解即可； ②通过求在一三象限的最值确定函数图象； （2）①根据函数的性质依次判断即可； ②将函数交点问题转化为对一元二次方程根的判别式问题求解． 【详解】（1）①解：∵，， ∴， 把代入得：， 两边同乘，得：， 解得，， 经检验，，都是方程的解． 所以当或时，的值为； ②由完全平方公式可知：，，，即， 当时，， 当时，，， ∴，， 观察四个函数图象，C选项符合题意， 故选：C； （2）①解：∵，， ∴， A．当时，，所以图象与x轴有公共点，该选项错误； B．任选上的一点，，P关于原点对称点，代入得出 成立，故在上，所以的图像关于原点对称，该选项正确； C．当时，，当时，，此时y随x的增大而增大，该选项错误； D．，随着x的增大，越趋近于0，即和的图象越接近，该选项正确， 故选：BD； ②解：根据题意可得：， 即，该方程， 当且且时，公共点的个数为2； 当或时，公共点的个数为1； 当时，公共点的个数为0． 【点睛】本题考查新定义，函数的性质，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题关键． 18．（22-23八年级下·江苏镇江·阶段练习）我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究 (1)将反比例函数的图象向左平移一个单位，可以得到函数的图象（如图①），观察图象，判断以下结论是否正确（正确的打“”，错误的打“”）： ①该函数图象与y轴的交点坐标是；（_________） ②该函数图象是中心对称图形，对称中心是；（_________） ③当时，y随x的增大而减小；（_________）    (2)在图②中画出函数的图象，根据图象回答下列问题：    ①该函数图象是中心对称图形，对称中心是（________，________） ②当时，则y的范围是______________； ③当时，则x的范围是______________； 问题解决 (3)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求m的值； 深入思考 (4)对于任意正数k，方程均无解，直接写出b，k满足的数量关系． 【答案】(1)①；②；③ (2)函数图象见解析；①；②；③或 (3) (4) 【分析】（1）通过观察图象，分析图象性质即可判断是否正确； （2）在坐标轴上描点即可作图，根据图象回答问题即可； （3）通过化简运算，结合题意，即可求m的值； （4）由反比例函数无解时的性质，即可写出b，k满足的数量关系． 【详解】（1）解：①观察图可得，该函数图象与y轴的交点坐标是，故①； ②根据函数图象可知，该函数图象是中心对称图形，对称中心是，故②； ③当时，y随x的增大而减小，当，y随x的增大而减小，但，故③； 故答案为：①；②；③； （2）解：函数图象，如图所示：    ① 该函数图象是中心对称图形，对称中心是； ② 根据函数图象可知，当时，则y的范围是； ③ 根据函数图象可知，当时，则x的范围是或； 故答案为：①；②；③或． （3）解：， ∵函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， ∴， 解得． （4）解：， ， ， ∵对于任意k，方程均无解，当时分式无意义， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质；正确作图、理解题意、综合分析是本题解题的关键． 19．（2022·江苏泰州·二模）定义：平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴：②有两个顶点在同一反比例函数图像上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”． 例如，图1中，矩形ABCD的边ADBCx轴，ABCDy轴，且顶点A、C在反比例函数（k≠0）的图像上，则矩形ABCD是反比例函数的“伴随矩形”． 解决问题： (1)已知，矩形ABCD中，点A、C的坐标分别为：①A（﹣3，8），C（6，﹣4）；②A（1，5），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是______；（填序号） (2)如图1，点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的函数解析式； (3)若反比例函数“伴随矩形”ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点． 【答案】(1)①③ (2)y＝x (3)见解析 【分析】（1）根据反比例函数图像上点的坐标的特征可得答案； （2）根据矩形的性质和反比例函数图像上点的坐标的特征可得A（2，4），，从而得出点D的坐标，再利用待定系数法可得直线BD的解析式； （3）设A（m,），C（n,），则B（m, ），D（n, ），利用待定系数法求出直线BD的解析式可得答案． 【详解】（1）①∵A（﹣3，8），C（6，﹣4）， ∴﹣3×8＝﹣24，6×（﹣4）＝﹣24， ∴A、C满足同一个反比例函数， ②∵A（1，5），C（2，3）， ∴1×5＝5，2×3＝6， ∴A、C不满足同一个反比例函数， ③∵A（3，4），C（2，6）， ∴3×4＝12，2×6＝12， ∴A、C满足同一个反比例函数， ∴可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是①③， 故答案为：①③； （2）解：∵点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点， ∴A（2，4），， ∴D（，4）， 设直线BD的解析式为y＝ax+b， 则， ∴， ∴y＝x； （3）证明：∵A、C在反比例函数（k≠0）上， 设A（m,），C（n,），则B（m, ），D（n, ）， 设直线BD的解析式为＝cx+d， 则， ∴， 即y＝x， ∴直线BD过原点． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图像上点的坐标的特征，矩形的性质，待定系数法求函数解析式等知识，理解“伴随矩形”满足的两个条件是解题的关键． 20．（21-22八年级下·江苏无锡·期末）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． (1)求点C的坐标和反比例函数的表达式； (2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C（9，3）， (2) (3)存在，（－3，6）或（12，6）或或 【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠OAB=∠CBH，利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=6，CH=OB=3，即可确定点的坐标； （2）利用（1）中方法确定D(6,9)，由点A’恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点D’的坐标； （3）根据题意进行分类讨论：当OA’=OP时；当A’O=A’P时；当PO=PA’时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点C作CH⊥x轴，交于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠ABO+∠CBH=90°， ∵∠ABO+∠OAB=90°， ∴∠OAB=∠CBH， ∴∆AOB≅∆BHC， ∴BH=OA=6，CH=OB=3， ∴OH=9， ∴C(9，3) ∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C， ∴k=9×3=27， ∴； （2）如图所示，过点D作轴，，, 同（1）方法可得：， ∵， ∴四边形OGEA为矩形， ∴AO=EG=6，DE=OB=3，AE=AO=6， ∴D(6，9)， ∵点A’恰好落在反比例函数图象上， ∴当y=6时，x=， ∴m=， ∴D’(6+，9)即D’(，9)； （3）当OA’=OP时，如图所示： ∵A’(，6)， OA’=， 四边形OPQA’是菱形， A’Q∥OP，A’Q=OP， Q(12,6)， 当点Q’在第二象限时，Q’(-3,6)； 当A’O=A’P时，如图所示： 点A’与点Q关于x轴对称， Q(，-6)； 当PO=PA’时，如图设P（m,0）， 则PO=PA’， ∴， 解得：， ∴OP=A’Q=， ∴Q(，6)， 综上可得：Q(，6)或(，-6)或(12,6)或(-3,6) ． 【点睛】题目主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等，理解题意，（3）中根据等腰三角形进行分类讨论是解题关键． 21．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，与x轴交于A，与y轴交于C．    (1)若点． ①求一次函数和反比例函数的解析式； ②在y轴上取一点P，当的面积为5时，求点P的坐标； (2)过点B作轴于点D，点E为中点，线段交y轴于点F，连接．若的面积为11，求k的值． 【答案】(1)①②或 (2) 【分析】（1）①根据点，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式即可；②设，根据求解即可； （2）设，进而表示出 点的坐标，设直线的解析式为，待定系数法求得的解析式，进而令求得的坐标，根据，即可求得的值． 【详解】（1）解：①一次函数的图象与反比例函数的图象交于， 将分别代入，， 解得 ②设，则：， ，令，则，即 即 解得或 点P的坐标为或 （2）设， 轴，则， 点在一次函数上，则， ， 是的中点，则， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 点在轴上， 令，则， ， ， 即 解得． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，掌握以上知识是解题的关键． 22．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图所示，直线的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于的C，且B为线段的中点，向上平移直线与反比例函数的图像相交于点D，点E为x轴负半轴上一点，四边形为平行四边形．    (1)若，则点C的坐标为_______，反比例函数的表达式为_______； (2)在（1）的条件下，求平移后的直线的函数表达式； (3)当平行四边形的面积等于30时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）首先根据直线的解析式求出和的坐标，再利用中点坐标公式可得点的坐标，从而求出反比例函数解析式； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，利用可得点的坐标，再利用平移知，相同，从而解决问题； （3）根据的面积等于30，得的面积为30，由题意可得，，，再由（2）同理可得点的坐标，从而表示出，进而解决问题． 【详解】（1）解：当，时，， 当时，，当时，， ，， 为线段的中点， ， 反比例函数过点， ， ， 故答案为：，； （2）过点作轴于点，过点作轴于点， 则轴，    ∴， 在平行四边形中， ，， ∴， ∴，又，， ∴， ，， 由（1）知，，， ， ， ， ，把代入中，得， ， 设直线为， 直线由直线平移得到， ， 将代入中，得， ， 直线的解析式为为； （3）的面积等于30， 的面积为15， 点是的中点， 的面积为30， 由可得：，， ∵B为线段的中点， ∴， 将代入中，得：， 同（2）可得， ， 把代入中，得：， ， ， ， 的面积为30， ， 即， ． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质等知识，利用由特殊到一般类比的数学思想是解决问题（3）的关键． 23．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．    (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)设直线交轴于点，点，分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）把代入可得，即得反比例函数关系式为，从而，将，代入即可得一次函数的关系式为； （2）在中得，设,，而，由、中点重合列方程组可以得解． 【详解】（1）解：把代入得：， ． 反比例函数关系式为． 把代入得：， ， ， 解得， 一次函数的关系式为． 反比例函数关系式为，一次函数的关系式为； （2）解：在中，令得． ． 设,,而，四边形是平行四边形， 、的中点重合． ，解得或， 或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、坐标与图形、解方程等知识，解题时需要熟练掌握并灵活运用． 24．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的两倍的凸四边形叫做倍角梯形． 如图1，直线，点、在直线上，点、在直线上，若， 则四边形是倍角梯形．    (1)如图2，点是的边上一点，，，．若四边形是倍角梯形，则的长是___________； (2)如图3，以的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是倍角梯形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，直接写出的值． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据倍角梯形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出的长，； （2）由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合倍角梯形的定义即可证出四边形是倍角梯形； （3）由平行四边形的性质结合，可得出点，，的坐标；四边形向左平移个单位后，用含的代数式表示出平移后点，，的坐标，分点，落在反比例函数图象上及点，落在反比例函数图象上两种情况考虑，根据反比例函数图象上点的坐标特征：横坐标纵坐标，可得出关于的一元一次方程，求出的值，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出的值即可． 【详解】（1）解：点是的边上一点，，，，四边形是倍角梯形， ， ， ， ， ， 故答案为：5； （2）证明：四边形为平行四边形， ，， ， ， 又， 四边形是倍角梯形； （3）解：在（2）的条件下，，， ，点的横坐标，点的横坐标， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；四边形向左平移个单位后，点的坐标变为，点的坐标变为，点的坐标变为， 情况一：当四边形向左平移个单位后，点，落在反比例函数的图象上时，， 解得：， ； 情况二：当四边形向左平移个单位后，点，落在反比例函数的图象上时，， 解得：， ， 综上所述：的值为为或． 【点睛】本题考查了直角三角形、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，熟练运用知识点、数形结合是解题的关键． 25．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点、点，与正比例函数的图像交于点、点，设点、的横坐标分别为，()．    (1)如图1，若点坐标为． ①求，的值； ②若点的横坐标为，连接，求的面积． (2)如图2，依次连接，，，，若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①将点代入解析式，求得；     ②根据反比例函数解析式可得，分别过点、作轴的垂线交轴于点、，根据，，，可得； （2）直线，经过原点且与反比例函数分别交于点，，，，反比例函数的图像关于原点中心对称，则点，关于原点对称，点、关于原点对称，则四边形为平行四边形．点的坐标为，点的坐标为，根据，得出，根据在上，得出，，在上，得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：①点在上， ，； 点在上， ，     ②点的横坐标为， 当时，， ； 分别过点、作轴的垂线交轴于点、， ，， ；    （2）解：直线，经过原点且与反比例函数分别交于点，，，，反比例函数的图像关于原点中心对称， 点，关于原点对称，点、关于原点对称， ，， 四边形为平行四边形． 当时，四边形是矩形． 点，的横坐标分别为，， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， 又在上， ， ，在上， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 26．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且，）的图像经过点两点． (1)m与n的数量关系是(   ) A．    B．    C．    D． (2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合． ①求点P的坐标及反比例函数的表达式； ②连接、，则的面积为_____； (3)若点M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)B (2)①，反比例函数的表达式为，②8 (3)存在，或 【分析】（1）把分别代入得：，即可解答； （2）①过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证明，得出，，，，根据， ， 即可求出m和n的值，进而得到点P坐标，用待定系数法可求出反比例函数的表达式； ②设所在直线函数表达式为，直线交x轴于点C， 求出所在直线函数表达式为，再求出，则，最后根据即可求解； （3）根据M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，设，根据平行四边形的性质和中点坐标公式，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把分别代入得：， ∴，整理得：， 故选：B． （2）解：①过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， ∴， ∴， ∵点A绕x轴上的点P顺时针旋转90°，恰好与点B重合 ∴，， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数的表达式为过， ∴， ∴反比例函数的表达式为； ②设所在直线函数表达式为，直线交x轴于点C， 将代入得： ，解得：， ∴所在直线函数表达式为， 把代入得， 解得：， ∴，则， ∴， 故答案为：8． （3）解：∵M在反比例函数的图象上，点N在y轴上， ∴设， ∵以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形， ∴以A、B、M、N为顶点的四边形对角线互相平分， ①当为对角线时， ，解得：， ∴； ②当为对角线时， ，解得：， ∴； ∵， ∴不符合题意，舍去 ③当为对角线时， ，解得：， ∴ 综上：存在，或． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，割补法求面积，平行四边形的存在性问题，解决本题的关键在于各知识的综合应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质． 27．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，    (1)求反比例函数的关系式； (2)根据图像，当时x的取值范围为：______； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标； (4)若点P在y轴上，Q在双曲线上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出Q点的坐标：______． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）先把点代入中求出a得到，然后把A点坐标代入中求出k，即可得到反比例函数的表达式； （2）根据图象得出取值范围即可； （3）连接，，设直线与x轴交于点C，由，又，得，设，则，所以，求解即可． （4）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴， 把代入反比例函数， ∴； ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得， ∴ 由（1）知，， 根据图象可知，当时，或， ∴当时，x的取值范围为或； （3）解：连接，，设直线与x轴交于点C，如图，    ∵， 又∵， ∴ 设，则， ∴ 解得：或， ∴或． （4）解：设， 当时，如图，    ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴，此时与点A重合，不是平行四边形，故舍去； 当时，连接交于D，如图，    ∵ ∴点D是与的中点， ∴ 解得：， ∴， 当时，过Q作于N，过点B作于D，过点A作于S，如图，    ∵ ∴， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得：，（不符合题意，舍去） ∴ 综上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时， Q点的坐标为或． 【点睛】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象性质，一次函数与反比例函数交点问题，直线与坐标围成的三角形面积问题，平行四边形的性质，此题属反比例一次函数、几何图形综合题目，综合性较强，熟练掌握反比例函数图象性质、一次函数图象性质，平行四边形性质是解题的关键． 28．（22-23八年级下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限交于A、B两点． 探究一： P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为、、，矩形周长记为、、， （1）如图1，P是线段上不与点A、B重合的一点，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）： 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； （2）如图2，P是双曲线段上不与点A、B重合的一点，，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）； 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； 探究二： 如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线右上方的点Q，与反比例函数的图像交于点G．若G是的中点，且的面积为9，求k的值．    【答案】探究一：（1）8，，猜想：先变大后变小；（2）8，，先变小后变大；探究二： 【分析】探究一：（1）根据反比例函数k的几何意义，结合图形即可求解； （2）根据直线解析式的特点，结合图形即可求解； 探究二：设点G的坐标为，则，Q、A、B的坐标分别为、、，再由的面积求解即可． 【详解】解：探究一： （1）∵A点、B点在反比例函数上， ∴， 过P点作轴交反比例函数图像于点Q，过点Q作轴交于点D， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴在时，的值先增大后减小， ∴． 故答案为：8，＜，先增大后减小． （2）∵，． ∴直线的解析式为， 设A点坐标为， ∴， ∴， 过P点作轴交反比例函数于点E，过E作轴交于点F， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴时，先减小后增大， ∴先减小后增大， ∴． 故答案为：8，＞，先减小后增大． 探究二： 设点G的坐标为，则． 由题意得点Q、A、B的坐标分别为、、． ∵的面积 ， ∴．    【点睛】本题主要考查反比例函数的图像及性质，熟练掌握反比例函数的图像及性质、反比例函数k的几何意义是解题的关键． 29．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”．      【尝试初探】 （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______； 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______（）的图像平移得到； ③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图像经过点； ④对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）不是，4；（2）①18；②；（3）①（）；②图见解析，；③AB；④是为定值，定值为 【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）①根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案；②先由①得出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，令直线与轴交于点，当时，求出点的坐标，最后根据进行计算即可； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案；②描点连线即可得到图象，由图象观察可知，该图像可由平移得到；③先画出草图，再根据图象逐一判断即可得到答案；④将代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，4； （2）①是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； ②在双曲线上， ， ， 设直线的解析式为：， ， 解得， 直线的解析式为：， 令直线与轴交于点， 当时，， 解得：， ， 画出图如图所示：   ； （3）①点是第一象限内的“美好点”， ， 化简得：， 第一象限内的点的横坐标为正， ， 解得：， 关于的函数表达式为：（）； ②画出草图如图所示：    该图像可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； ③由图象可得： A.图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B.由图象可知随着的增大而减小，故B正确，符合题意； C.随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D.当时，，所以图像经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④， ， 对于图像上任意一点，代数式是为定值，定值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． 30．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，轴于点D，，，点C关于直线的对称点为点E．    (1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求k、b的值； ②若点P在y轴上，当最大时，求点P的坐标． 【答案】(1)在，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）设点A的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，如图，连接交于H，得到，求得，于是得到点E在这个反比例函数的图象上； （2）①根据正方形的性质得到，垂直平分，求得，设点A的坐标为，得到（负值舍去），求得，，把，代入得，解方程组即可得到结论； ②延长交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为，于是得到结论． 【详解】（1）解：（1）点E在这个反比例函数的图象上， 理由：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A， ∴设点A的坐标为， ∵点C关于直线的对称点为点E， ∴，平分， 如图．连接交于H， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴于D， ∴轴， ∴， ∵， ∴点E在这个反比例函数的图象上；      （2）（2）①∵四边形ACDE为正方形， ∴，垂直平分， ∴， 设点A的坐标为， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，， 把，代入得， ∴； ②延长交y轴于P， ∵，， ∴点B与点D关于y轴对称， ∴， 则点P即为符合条件的点， 由①知，，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 故当最大时，点P的坐标为．    【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 84 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 反比例函数 期末压轴30题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知点，，C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分，BE平分，直线BE交AD于点D．若反比例函数的图像经过点D，则k的值是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）下列函数：①；②；③；④，其图象是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形的顶点B、D落在反比例函数 的图像上，点A落在反比例函数 （k为常数，)在第二象限的图像上，矩形被坐标轴分割成四个小矩形．若在第四象限的小矩形的面积为1，则k的值为 ． 三、解答题 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图1，点A是反比例函数的图象上一动点，连接并延长交反比例函数于点B，设与x轴正半轴的夹角为， (1)①若，则______；②若，则______； (2)小红同学在数学老师的指导下，证明了命题“无论如何变化，的值始终不变”为真命题．如图2，点E、F在，点G在上，O、F、G在同一条直线上，仅用无刻度的直尺在的图象上作点H，使得； (3)如图3，过点B作x轴、y轴的垂线分别交于点C、D； ①试说明的面积为定值，并求出该值； ②若，连接并延长交x轴于点E，求∠DCE的度数． 5．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正方形的边交于点，与边交于点D，一次函数的图象经过点D，与边交于点F． (1)求点F的坐标： (2)连接，探究与的数量关系，并证明； (3)在x轴上找两点M，N（M在N的右侧），使，且使四边形的周长最小，则点M的坐标为 ，四边形的周长最小为 ． 6．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式： (2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 7．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点与，过点A作轴，垂足为，连接、． (1)求的值； (2)求证：为等腰三角形； (3)为轴上一点，的周长是否有最小值，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图1，已知反比例函数与一次函数的图像相交于点A、B，直线与x轴、y轴交于点C、D． (1)若点，点． ①一次函数解析式是 ； ②直接写出线段的长，你有什么发现？ (2)若点，点，则②中的结论是否仍然成立？试说明理由． (3)实际上，对于任意两点A、B，②中的结论都成立，利用此结论解决问题： 如图2，已知矩形，点，若反比例函数与矩形的对角线有交点，则k的最大值为 ． 10．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究（1）将反比例函数的图象沿轴向左平移1个单位，可以得到函数的图象如图①，观察图象，以下结论正确的有______（写序号）； ①该函数图象与轴的交点坐标是；②该函数图象是中心对称图形，对称中心是；③当时，随的增大而减小． （2）在图②中画出函数的图象（无需列表），填空：该图象的对称中心坐标为 ______． 问题解决（3）①若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值； ②在①的条件下，如图③，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在x轴、y轴上，点坐标为，点是中点，连接交于，若函数的图象经过点，取线段的中点，经过点作直线与这个函数图象交于两点，点P横坐标为5，请直接写出四边形的面积为______． 深入思考（4）当时，对于任意正数，方程均无解，直接写出满足的数量关系______． 11．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点． (1)设，点在函数、的图象上． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的x的范围； (2)设，如图②，过点A作轴，与函数的图象相交于点D，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 12．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）如图，已知一次函数的图像与反比例函数 (k为常数，) 的图像相交于、． (1) ， ； (2)若点 在x轴正半轴上，连接． ①用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作，交 的图像于点 C；(不写作法，保留作图痕迹，标明字母) ②连接①中的，当四边形为平行四边形时，求n的值． 13．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在反比例函数的图象上． (1)求，的值； (2)若P，Q分别为反比例函数，图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标． 14．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”．    (1)当时； ①点________“的l镜像”；（填“在”或“不在”） ②“的l镜像”与x轴交点坐标是_________； (2)过y轴上的点作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，若，求的长． 15．（21-22八年级下·江苏盐城·期中）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图像，两个函数图像交于两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：      (1)设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为______； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 2 3 4 6 9 y 0 m 4 n 0 表中m＝______，n＝______； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，当______时，y的最大值为______． (3)①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长． ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 16．（22-23八年级下·江苏·期末）定义：平面直角坐标系中，若点M绕点N顺时针旋转，恰好落在函数图象W上，则称点M是点N关于函数图象W的“直旋点”．例如，点是原点O关于函数图象的一个“直旋点”．    (1)在①，②，③三点中，是原点O关于一次函数图象的“直旋点”的有 ___________（填序号）； (2)点是点关于反比例函数图象的“直旋点”，求k的值； (3)如图1，点在反比例函数图象上，点B是在反比例函数图象上点A右侧的一点，若点B是点A关于函数的“直旋点”，求点B的坐标． 17．（22-23八年级下·江苏南京·期末）对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函数”．例如：对于函数和，则函数，的“和函数”．    (1)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①写出的表达式，并求出当x取何值时，的值为； ②函数，的图象如图①所示，则的大致图象是______． A．      B．  C．  D．   (2)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①下列关于“和函数”的性质，正确的有______；（填写所有正确的选项） A．的图象与x轴没有公共点 B．的图象关于原点对称 C．在每一个象限内，随x的值增大而减小 D．当时，随着x的值增大，的图像越来越接近的图象 ②探究函数与一次函数（为常数，且图象的公共点的个数及对应的k的取值范围，直接写出结论． 18．（22-23八年级下·江苏镇江·阶段练习）我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究 (1)将反比例函数的图象向左平移一个单位，可以得到函数的图象（如图①），观察图象，判断以下结论是否正确（正确的打“”，错误的打“”）： ①该函数图象与y轴的交点坐标是；（_________） ②该函数图象是中心对称图形，对称中心是；（_________） ③当时，y随x的增大而减小；（_________）    (2)在图②中画出函数的图象，根据图象回答下列问题：    ①该函数图象是中心对称图形，对称中心是（________，________） ②当时，则y的范围是______________； ③当时，则x的范围是______________； 问题解决 (3)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求m的值； 深入思考 (4)对于任意正数k，方程均无解，直接写出b，k满足的数量关系． 19．（2022·江苏泰州·二模）定义：平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴：②有两个顶点在同一反比例函数图像上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”． 例如，图1中，矩形ABCD的边ADBCx轴，ABCDy轴，且顶点A、C在反比例函数（k≠0）的图像上，则矩形ABCD是反比例函数的“伴随矩形”． 解决问题： (1)已知，矩形ABCD中，点A、C的坐标分别为：①A（﹣3，8），C（6，﹣4）；②A（1，5），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是______；（填序号） (2)如图1，点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的函数解析式； (3)若反比例函数“伴随矩形”ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点． 20．（21-22八年级下·江苏无锡·期末）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． (1)求点C的坐标和反比例函数的表达式； (2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 21．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，与x轴交于A，与y轴交于C．    (1)若点． ①求一次函数和反比例函数的解析式； ②在y轴上取一点P，当的面积为5时，求点P的坐标； (2)过点B作轴于点D，点E为中点，线段交y轴于点F，连接．若的面积为11，求k的值． 22．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图所示，直线的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于的C，且B为线段的中点，向上平移直线与反比例函数的图像相交于点D，点E为x轴负半轴上一点，四边形为平行四边形．    (1)若，则点C的坐标为_______，反比例函数的表达式为_______； (2)在（1）的条件下，求平移后的直线的函数表达式； (3)当平行四边形的面积等于30时，求的值． 23．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．    (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)设直线交轴于点，点，分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标． 24．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的两倍的凸四边形叫做倍角梯形． 如图1，直线，点、在直线上，点、在直线上，若， 则四边形是倍角梯形．    (1)如图2，点是的边上一点，，，．若四边形是倍角梯形，则的长是___________； (2)如图3，以的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是倍角梯形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，直接写出的值． 25．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点、点，与正比例函数的图像交于点、点，设点、的横坐标分别为，()．    (1)如图1，若点坐标为． ①求，的值； ②若点的横坐标为，连接，求的面积． (2)如图2，依次连接，，，，若四边形为矩形，求的值． 26．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且，）的图像经过点两点． (1)m与n的数量关系是(   ) A．    B．    C．    D． (2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合． ①求点P的坐标及反比例函数的表达式； ②连接、，则的面积为_____； (3)若点M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 27．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，    (1)求反比例函数的关系式； (2)根据图像，当时x的取值范围为：______； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标； (4)若点P在y轴上，Q在双曲线上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出Q点的坐标：______． 28．（22-23八年级下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限交于A、B两点． 探究一： P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为、、，矩形周长记为、、， （1）如图1，P是线段上不与点A、B重合的一点，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）： 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； （2）如图2，P是双曲线段上不与点A、B重合的一点，，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）； 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； 探究二： 如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线右上方的点Q，与反比例函数的图像交于点G．若G是的中点，且的面积为9，求k的值．    29．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”．      【尝试初探】 （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______； 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______（）的图像平移得到； ③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图像经过点； ④对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 30．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，轴于点D，，，点C关于直线的对称点为点E．    (1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求k、b的值； ②若点P在y轴上，当最大时，求点P的坐标． 试卷第1页，共3页 1 / 84 学科网（北京）股份有限公司 $$