第14讲 二次函数综合之三种面积问题（知识点+3大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第14讲 二次函数综合之三种面积问题 （知识点+3大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：3大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法： 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅垂高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 【题型1 求图形面积问题】 【例1】（23-24九年级上·上海松江·期末）二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ? 3 … (1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标； (2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积． 【变式1-1】（23-24九年级上·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像经过点和． (1)求该二次函数的表达式； (2)如果点在该函数图像上，求的面积． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求a、b的值； (2)如果点B是抛物线的顶点，求的面积． 【变式1-3】已知直线分别与轴、轴交于点，，抛物线经过点，． (1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)记该抛物线的对称轴为直线，点关于直线的对称点为，若点在轴的正半轴上，且四边形为梯形． ①求点的坐标； ②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为，其对称轴与直线交于点，若，求四边形的面积． 【题型2 已知面积关系求值】 【例2】（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为，点P是边上的一动点（不与C、B重合），连接、，过点O作射线交的延长线于点E，交于点M，． (1)当时，求直线的解析式； (2)设，，在点P的运动过程中，是否存在x，使的面积与的面积之和等于的面积？如果存在，请求出x的值；如果不存在，请说明理由． 【变式2-1】（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线经过点与点，且交轴于点． (1)求该拋物线的表达式，并写出其顶点坐标； (2)将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移个单位，得到新抛物线，若新抛物线的顶点为，连接，直线将分割成面积相等的两个三角形，求的值． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，二次函数的图像交轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数的图像交x轴于点B，交y轴于点C，． (1)求二次函数顶点P坐标； (2)将二次函数图像向下平移个单位，设平移后抛物线顶点为，若，求的值． 【变式2-3】（2024九年级下·上海·专题练习）如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，抛物线经过三点． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)连接，当时， ①求此抛物线表达式； ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 【题型3 面积最值问题】 【例3】如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为． (1)求二次函数的解析式； (2)点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标； 【变式3-1】如图，已知：关于的二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)有一个点从点出发，以每秒个单位的速度在上向点运动，另一个点从点与点同时出发，以每秒个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点到达点时，点、同时停止运动，问点、运动到何处时，面积最大，试求出面积． 【变式3-2】如图，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点在轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限的抛物线上一点，点位于何处时四边形面积最大，求此时点的坐标以及四边形的面积的最大值． 【变式3-3】已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知：抛物线顶点是点，且经过点． (1)求抛物线表达式； (2)平移抛物线，使得新顶点在原抛物线上，点横坐标为． ①如果，求的面积； ②新抛物线与轴交于，当时，求点坐标． 2．（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且． (1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； (2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求a的值； 3．（24-25九年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且．点是直线上方的抛物线上的动点． (1)若时，点正好位于抛物线顶点，求的长． (2)求直线的函数表达式（其中、用含的式子表示）； (3)若的面积的最大值为，求的值； 4．（上海静安·二模）在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y＝﹣+bx+c(其中b、c是常数)经过点A(﹣2，﹣2)与点B(0，4)，顶点为M． （1）求该抛物线的表达式与点M的坐标； （2）平移这条抛物线，得到的新抛物线与y轴交于点C(点C在点B的下方)，且△BCM的面积为3．新抛物线的对称轴l经过点A，直线l与x轴交于点D． ①求点A随抛物线平移后的对应点坐标； ②点E、G在新抛物线上，且关于直线l对称，如果正方形DEFG的顶点F在第二象限内，求点F的坐标． 5．（·上海青浦·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象与x轴正半轴交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为D，且tan∠CAO＝3． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点P是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP，交对称轴于点F，当S△CDF：S△FDP＝2：3时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将△PCD沿直线MN翻折，当点P恰好与点O重合时，折痕MN交x轴于点M，交y轴于点N，求的值．    6．（上海金山·阶段练习）如图，已知抛物线经过，，是抛物线上位于第一象限内的一点，直线交该抛物线对称轴于点，过顶点的直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式与顶点； (2)当时，求的值； (3)如果的面积等于的面积的2倍，求点的坐标． 7．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点．对称轴为直线的抛物线经过点，其与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为． ①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，求线段的长； ②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． 8．（23-24九年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且． (1)求点A、B的坐标以及该抛物线的表达式； (2)如图，如果点D是抛物线的顶点，过点D作y轴的平行线，交于点E，连接，求的面积； (3)如果、在抛物线上，我们将称为P、Q两点的函数值的平均变化率，并记为，即．当时，求的取值范围． 9．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲重难点专题拓展：二次函数综合之三种面积问题 （知识点+3大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：3大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法： 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅垂高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 【题型1 求图形面积问题】 【例1】（23-24九年级上·上海松江·期末）二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ? 3 … (1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标； (2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积． 【答案】(1)，顶点D的坐标为 (2) 【分析】本题考查二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式，并配方找到顶点坐标即可； （2）求出直线的解析式，过点D作轴交于点E，得到点E的坐标，根据计算即可． 【详解】（1）解：把、、代入得： ，解得， ∴函数关系式为：， ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：当时，， ∴点P的坐标为， 设直线的解析式为，把点和代入得： ，解得：， ∴解析式为， 过点D作轴交于点E， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 【变式1-1】（23-24九年级上·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像经过点和． (1)求该二次函数的表达式； (2)如果点在该函数图像上，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式； （1）把两点坐标代入二次函数得关于的二元一次方程组，解方程组求出即可； （2）先令，从而求出，再把代入二次函数得点坐标，可知轴，最后根据的面积，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：由图像经过点，可知， 再由图像经过点，可得，解得， 所以，该二次函数的表达式为； （2）把代入，得， 由、可知轴， 于是，边上的高为3， ∴． 10． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求a、b的值； (2)如果点B是抛物线的顶点，求的面积． 【答案】(1)，； (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）求出，，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点，则，，利用三角形面积即可得出答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线， ， ， ， 过点， ； （2）解：∵点B是抛物线的顶点， ， 由（1）可知：，设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点，则， ， ， 的面积为． 【变式1-3】已知直线分别与轴、轴交于点，，抛物线经过点，． (1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)记该抛物线的对称轴为直线，点关于直线的对称点为，若点在轴的正半轴上，且四边形为梯形． ①求点的坐标； ②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为，其对称轴与直线交于点，若，求四边形的面积． 【答案】(1)；对称轴为直线，顶点为 (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、已知正切值求边长 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）①根据设直线的解析式为，代入点，可得，所以点的坐标为． ②过点作轴，垂足为，则，根据由，得．得出点的坐标为，进而即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴的交点为，与轴的交点为． 将，、分别代入， 得 解得   所以抛物线的表达式为． 对称轴为直线，顶点为． （2）①如图2，点关于直线的对称点的坐标为． 因为，设直线的解析式为， 代入点，可得． 所以点的坐标为． ②过点作轴，垂足为，则． 由，得． 而，所以． 点的坐标为． ． 【点睛】本题考查了已知正切求边长，二次函数的平移，面积问题，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【题型2 已知面积关系求值】 【例2】（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为，点P是边上的一动点（不与C、B重合），连接、，过点O作射线交的延长线于点E，交于点M，． (1)当时，求直线的解析式； (2)设，，在点P的运动过程中，是否存在x，使的面积与的面积之和等于的面积？如果存在，请求出x的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，见解析 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据相似三角形的判定求证，根据相似三角形的性质可得，继而求得和点P坐标，根据待定系数法求直线的解析式； （2）过点E作于点D，交于点F，则，根据相似三角形的判定求证，根据相似三角形的性质可得关于的函数关系式，要使的面积与的面积之和等于的面积，则，继而求得和，根据相似三角形的判定求证，根据相似三角形的性质可得，继而可得的值，代入关于的函数关系式即可求解． 【详解】（1）根据题意可得：，，，， 当时，则， ， 在 和中， 又， ， ，即， 或1（舍去）， ， ，， 设直线的解析式为：，则： 解得：， 当时，直线的解析式为； （2）如图所示，过点E作于点D，交于点F，则， ， ， 又， ， 又， ， ，即， ， 点P是边上的一动点（不与C、B重合）， ， ，， ， ， ， ， ，即， 要使的面积与的面积之和等于的面积，则， 即， ， ， ， ，， ， ，即，解得：， ， ，解得：，（舍去）， 故在点P的运动过程中存在，使的面积与的面积之和等于的面积． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质，矩形的性质、坐标与图形，待定系数法求解析式，解题的关键是熟练掌握并运用相似三角形的判定及其性质． 【变式2-1】（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线经过点与点，且交轴于点． (1)求该拋物线的表达式，并写出其顶点坐标； (2)将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移个单位，得到新抛物线，若新抛物线的顶点为，连接，直线将分割成面积相等的两个三角形，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，进而利用配方法求出顶点坐标； （2）利用三角形中线平分面积进而得出过的中点，进而得出解析式，求出点坐标即可得出答案． 【详解】（1）解：将点与点，代入解析式得： ， 解得：， 该抛物线的表达式为：， ， 顶点坐标为：； （2）解：交轴于点， ， 根据题意得出：平移后解析式为：， 直线将分割成面积相等的两个三角形， 设与交于点，为中点， ，， 的中点坐标为：， 设的解析式为：， ， 解得：， 的解析式为：， 当直线过点， 解得：． 【点睛】此题主要考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数图象的平移等知识，利用三角形中线平分三角形的面积求解是解题关键． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，二次函数的图像交轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数的图像交x轴于点B，交y轴于点C，． (1)求二次函数顶点P坐标； (2)将二次函数图像向下平移个单位，设平移后抛物线顶点为，若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质等知识点． （1）先由直线解析式求出点B，C坐标，利用求得点A坐标，再利用待定系数法求解可得； （2）由平移知点P坐标为，设抛物线对称轴与x轴交于点H，与交于点M，知，先得出S，，根据列出方程求解可得. 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 当时，，解得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴， 则抛物线的顶点P的坐标为； （2）解：如图， 由平移知，点的坐标为， 设抛物线对称轴与轴交于点，与交于点，则， ∵， ， ∵， ∴， 解得，或． 【变式2-3】（2024九年级下·上海·专题练习）如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，抛物线经过三点． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)连接，当时， ①求此抛物线表达式； ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①；②存在，， 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据抛物线的性质可求出抛物线的对称轴，再根据且点在轴的负半轴上可求出点A的坐标，再根据，点在轴的正半轴上，可得出点关于直线对称．进一步即可求出点B的坐标． （2）①设相交于点D．先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，即可求出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线表达式．②过点作，垂足为点．由已知条件得出，，利用A，C的坐标求出的解析式，设直线与直线的交点为点，则． 设，然后分两种情况当点在点上方时和当点在点下方时，利用三角形的面积求出y值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过三点，且点在轴的负半轴上，   ∴．     由抛物线表达式可知：对称轴为直线． ∵，点在轴的正半轴上， ∴点关于直线对称． ∴． （2）①设相交于点D． ∵， ∴， ∴ ∵点C在x轴上，， ∴，轴，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴，即， ∴．   把代入，可得． ∴抛物线表达式为． ②存在．如图，过点作，垂足为点． ∵， ∴． ∴． ∵，∴． ∵，， 设直线的解析式为：， 则， 解得： ∴可求得直线的解析式为． 设直线与直线的交点为点，则． 设， （Ⅰ）当点在点上方时，． ∵， ∴， 即，得．   ∴． （Ⅱ）当点在点下方时，． 同理可得． ∴． 综上所述，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，求二次函数解析式，一次函数解析式以及二次函数的性质,相似三角形的判定以及性质等知识点，根据题意画出图像是解题的关键． 【题型3 面积最值问题】 【例3】如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为． (1)求二次函数的解析式； (2)点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标； 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数与面积的综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）在中，令，，可得，将，代入即可求解； （2）过点P作轴交于点E，设点，则，根据即可建立函数关系式求解； 【详解】（1）解：在中， 令，则；令，则，解得； ∴， 将，代入得： ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴交于点E， 设点，则 ， ∵， ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； 【变式3-1】如图，已知：关于的二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)有一个点从点出发，以每秒个单位的速度在上向点运动，另一个点从点与点同时出发，以每秒个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点到达点时，点、同时停止运动，问点、运动到何处时，面积最大，试求出面积． 【答案】(1) (2)当、或时，面积最大，最大面积是 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质； （1）代入和，解方程组即可； （2）设运动时间为，则，得，运用二次函数的顶点坐标解决问题． 【详解】（1）解：把和代入， 解得：， ∴二次函数的表达式为：； （2）如图2， 设运动时间为，由，得，则， ， 当 时，最大，最大面积为 ； 即当、或时，面积最大，最大面积是． 【变式3-2】如图，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点在轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限的抛物线上一点，点位于何处时四边形面积最大，求此时点的坐标以及四边形的面积的最大值． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)此时点的坐标为，四边形的面积的最大值为． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、一次函数图象与坐标轴的交点问题、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（）先由直线与轴交于点，与轴交于点，求出点，点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （）过作轴于点，交于点，设，则，则，然后由得出，再根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求二次函数的解析式，二次函数的几何问题，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴点，点， ∵抛物线交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过作轴于点，交于点， 设，则， ∴， 则 ， 当时，有最大，最大值为， ∴， 此时点的坐标为． 【变式3-3】已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1)，； (2)面积的最大值为，． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（）直接由待定系数法求出二次函数的解析式，再令，解方程求解即可； （）过点作轴的垂线交于点，连接、，先求出直线解析式，则，当取最大值时，的面积最大，设，则，故有，利用二次函数的性质求最值即可解答； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的综合等，熟练掌握知识点并能够综合运用知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得， ∴二次函数的表达式为， 当时， ， 解得，， ∴； （2）解：过点作轴的垂线交于点，连接、， 设直线的表达式为， 把、代入得：， 解得， ∴直线的表达式为， 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴， ， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，点的坐标为． 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知：抛物线顶点是点，且经过点． (1)求抛物线表达式； (2)平移抛物线，使得新顶点在原抛物线上，点横坐标为． ①如果，求的面积； ②新抛物线与轴交于，当时，求点坐标． 【答案】(1) (2)①14② 【分析】（1）根据题意采取待定系数法即可求得答案； （2）根据题意可得点，及平移后的函数解析式为，①过点B作轴交y于点N，过点P作轴交y于点M，根据题意得，及有对应边成比例求得点P的横坐标，即可求得答案； ②根据平移后的解析式求得点点，进一步得到，根据已知得即可解得点P． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点是点， ∴，解得，， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴． （2）点横坐标为，且使得新顶点在原抛物线上，则点 设平移后抛物线， ①过点B作轴交y于点N，过点P作轴交y于点M，如图，过点P作轴于点K， ∵， ∴， ∴， 则，解得（舍去）或， 故． ②∵平移后抛物线， ∴点， 则，， 即， 过点P作轴于点K，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得或（舍去）或（舍去）， 故点． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式、图象的平移、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质及含角的直角三角形性质，熟练掌握函数图象平移与二次函数的顶点式结合，及数形结合是解题的关键． 2．（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且． (1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； (2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求a的值； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）令，求出的坐标，过点作轴于，平行线分线段成比例，求出点的横坐标为，进而求出点坐标，待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，设，则，所以，利用三角形面积公式得到的面积，接着根据二次函数的性质得到的面积有最大值为，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）解：过点作轴于，如图， 当时，，解得，， ，， ， ， ， ∴， 把，代入，得： ， 解得：， ∴； （2）解：过点作轴交于点，如图， 设，则， ， 的面积的面积的面积， 的面积， 当时，的面积有最大值为， ， 解得． 3．（24-25九年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且．点是直线上方的抛物线上的动点． (1)若时，点正好位于抛物线顶点，求的长． (2)求直线的函数表达式（其中、用含的式子表示）； (3)若的面积的最大值为，求的值； 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）令，求出的坐标和对称轴，过点作轴于，平行线分线段成比例，求出点的横坐标为，进而求出点坐标，根据时，点正好位于抛物线顶点，利用两点之间的距离公式求解即可； （2）利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （3）过点作轴交于点，设，则，所以，利用三角形面积公式得到的面积，接着根据二次函数的性质得到的面积有最大值为，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）解：过点作轴于，如图， 当时，，解得，， ，， 对称轴为直线， ， ， ， 当时，，即顶点坐标为， 当时，，即， ∵时，点正好位于抛物线顶点， ∴，， ∴； （2）解：由（1）知，， 将，代入得， ， 解得：， ∴； （3）解：过点作轴交于点，如图， 设，则， ， 的面积的面积的面积， 的面积， 当时，的面积有最大值为， ， 解得． 4．（上海静安·二模）在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y＝﹣+bx+c(其中b、c是常数)经过点A(﹣2，﹣2)与点B(0，4)，顶点为M． （1）求该抛物线的表达式与点M的坐标； （2）平移这条抛物线，得到的新抛物线与y轴交于点C(点C在点B的下方)，且△BCM的面积为3．新抛物线的对称轴l经过点A，直线l与x轴交于点D． ①求点A随抛物线平移后的对应点坐标； ②点E、G在新抛物线上，且关于直线l对称，如果正方形DEFG的顶点F在第二象限内，求点F的坐标． 【答案】（1）；顶点M的坐标是：(2，6)；（2）①点A对应点的坐标为(﹣6，﹣5)；②F(﹣2，)． 【分析】（1）根据抛物线y＝﹣+bx+c(其中b、c是常数)经过点A(﹣2，﹣2)与点B(0，4)，从而可以求得抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可得到顶点M的坐标； （2）①根据新抛物线的对称轴l经过点A，可得新抛物线的顶点为(-2,k)，设平移后新抛物线的解析式为，可得C点坐标，由面积列方程求出k，从而可以得到点A随抛物线平移后的对应点坐标； ②根据题意和正方形的性质，设F(﹣2，2a)、E(﹣2+a，a)．将E代入（2）的解析式中即可求出a，继而解题．可以求得点F的坐标． 【详解】解：（1）将A(﹣2，﹣2)、B(0，4)代入中， 解得 ∴该抛物线的表达式为：； ∵y＝x2+2x+4＝(x﹣2)2+6， ∴顶点M的坐标是：(2，6)； （2）①∵平移后抛物线的对称轴经过点A(﹣2，﹣2)， ∴可设平移后的抛物线表达式为：， ∴C(0，﹣2+k)． ∴， 解得，k＝3． ∴， 即原抛物线向左平移4个单位，向下平移3个单位可以得到新的抛物线． ∴点A对应点的坐标为(﹣6，﹣5)； ②设EG与DF的交点为H． 在正方形DEFG中，EG⊥DF，EG＝DF＝2EH＝2DH． ∵点E、G是这条抛物线上的一对对称点， ∴EG∥x轴． ∴DF⊥x轴， 设F(﹣2，2a)． ∵点F在第二象限内， ∴a＞0． ∴EG＝DF＝2EH＝2DH＝2a． 不妨设点E在点G的右侧，那么E(﹣2+a，a)． 将点E代入，得， 解得，，(不合题意，舍去)． ∴F(﹣2，)． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及待定系数法求解析式、函数图象的平移、二次函数的性质、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 5．（·上海青浦·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象与x轴正半轴交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为D，且tan∠CAO＝3． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点P是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP，交对称轴于点F，当S△CDF：S△FDP＝2：3时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将△PCD沿直线MN翻折，当点P恰好与点O重合时，折痕MN交x轴于点M，交y轴于点N，求的值．    【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）(5，8)；（3） 【分析】（1）在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝3，求出点A的坐标，即可求解； （2）利用，即可求解； （3）证明∠ONM＝∠POH，则． 【详解】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象与y轴交于点C， ∴点C的坐标为（0，3）， ∴OC＝3， 联结AC，在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝3， ∴OA＝1，    将点A（1，0）代入y＝ax2﹣4ax+3，得a﹣4a+3＝0， 解得：a＝1． 所以，这个二次函数的解析式为 y＝x2﹣4x+3； （2）过点C作CG⊥DF，过点P作PQ⊥DF，垂足分别为点G、Q．    ∵抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线x＝2， ∴CG＝2， ∵， ∴PQ＝3， ∴点P的横坐标为5， ∴把x＝5代入y＝x2﹣4x+3，得 y＝8， ∴点P的坐标为（5，8）； （3）过点P作PH⊥OM，垂足分别为点H，    ∵点P的坐标为（5，8）， ∴OH＝5，PH＝8， ∵将△PCD沿直线MN翻折，点P恰好与点O重合， ∴MN⊥OP， ∴∠ONM+∠NOP＝90°， 又∵∠POH+∠NOP＝90°， ∴∠ONM＝∠POH， ∴． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图象的翻折、面积的计算等，具有一定的综合性，难度适中． 6．（上海金山·阶段练习）如图，已知抛物线经过，，是抛物线上位于第一象限内的一点，直线交该抛物线对称轴于点，过顶点的直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式与顶点； (2)当时，求的值； (3)如果的面积等于的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，；顶点的坐标为； (2)； (3)． 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，再将一般形式转化成顶点式即可求出顶点坐标； （2）设直线交x轴与点D，设，作轴交于点Q，证明，求出，再求出直线的解析式为：，与联立可得：，求出，求出，，所以； （3）设直线交x轴与点D，设，作轴交于点Q，求出直线的解析式为：，与联立可得：，求出，表示出，，利用求出，故． 【详解】（1）解：∵经过，， ∴，解得：， 故抛物线解析式为：， 将一般式转化成顶点式可得：， ∴顶点C坐标为：； （2）解：设直线交x轴与点D，设，作轴交于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， 设直线的解析式为：，将代入可得：， ∴直线的解析式为：，与联立可得：， 解得或， ∵是抛物线上位于第一象限内的一点， ∴，即，， ∴， ∵，即，， ∴， ∴； （3）解：设直线交x轴与点D，设，作轴交于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：，（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查二次函数，一次函数，点的坐标，勾股定理，正切值，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，会求一次函数和二次函数的交点坐标，会利用点的坐标表示三角形面积，掌握勾股定理． 7．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点．对称轴为直线的抛物线经过点，其与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为． ①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，求线段的长； ②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． 【答案】(1)； (2)①；②的面积不变，的面积为2． 【分析】（1）先求得，，利用抛物线的对称性求得，设抛物线的表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）①；②联立求得，利用待定系数法求得直线的解析式为，作轴交直线于点，求得，利用三角形的面积公式，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则；令，则，解得； ∴，， ∵对称轴为直线，其与轴的另一交点为， ∴， 设抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①根据题意设新抛物线的顶点坐标为，则新抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得（舍去）或， 当时，新抛物线的解析式为， 令，则， 解得或； ∴与轴的另一交点为； ∴； ②的面积不变， ∵新抛物线的解析式为， 联立得，整理得， 解得或； ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 作轴交直线于点， 则点， ∴ ， ∴的面积不变，的面积为2． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，二次函数图象的平移，掌握以上基础知识是解本题的关键． 8．（23-24九年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且． (1)求点A、B的坐标以及该抛物线的表达式； (2)如图，如果点D是抛物线的顶点，过点D作y轴的平行线，交于点E，连接，求的面积； (3)如果、在抛物线上，我们将称为P、Q两点的函数值的平均变化率，并记为，即．当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及一次函数解析式，二次函数综合问题知识． （1）依据题意，抛物线的对称轴为直线，又，依据抛物线的对称性，从而可得、，将代入，求出，即可得解； (2)依据题意，由可得，设直线的表达式为，将、代入，可得直线的表达式为，又由抛物线可得顶点坐标标为，又与y轴平行，从而可得，进而求出的面积； （3）依据题意，由、在抛物线上，从而结合所给信息求出，再结合，即可判断得解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线．     又，依据抛物线的对称性， ∴或， ∴、．      将代入，可得． 故该抛物线的表达式为． （2）由题意可得 ，设直线的表达式为． 将、代入， 得，解得． 即直线的表达式为．     抛物线的顶点坐标为．     ∵与轴平行， ∴点横坐标与点的横坐标相等， 将代入， 可得． 故．    ∴的面积为 （3）∵ 、在抛物线上， ∴ ．   又∵， ∴． 9．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数与面积问题，相似三角形的判定与性质； （1）把，代入计算即可； （2）先求出点D坐标，再求出抛物线的对称轴与直线交点E坐标，即可根据求解； （3）过点P作轴，垂足为H，证明，得到，设点，得到， ，列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点是二次函数图像对称轴上的一点， 又∵二次函数图像的对称轴为直线， ∴，点D坐标为， 设直线的表达式为， ∵直线经过，，得， 解得， ∴直线的表达式为， 设抛物线的对称轴与直线交于点E， ∴点E坐标为， ∴， ∴； （3）解：过点P作轴，垂足为H， 设点， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去），， 即点P的横坐标是． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$