第13讲 重难点专题拓展：二次函数综合之四种角度问题（3知识点+4大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第13讲 重难点专题拓展：二次函数综合之四种角度问题 （3知识点+4大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：角相等问题 对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。 二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。 利用三角函数值：根据等角的三角函数值相等，通过计算角的正弦、余弦或正切值来证明角相等。可利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角，进而利用等角的三角比解决问题。 借助相似三角形：证明包含这些角的三角形相似，根据相似三角形对应角相等得出结论。也可利用角平分线的相关性质定理，通过角平分线得到等角。 依据几何性质：运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等的性质来证明角相等。还可将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决。 知识点02：二倍角问题 倍角减半法：将二倍角转化为等角，如作一个角等于二倍角的一半，利用三角函数求解。 加倍法构造等腰三角形：构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质以及三角函数或相似三角形来求解。 二倍角的构造方法 如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则. 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了 知识点03：特殊角问题 运用三角函数值：已知特殊角（如 30°、45°、60°、90° 等），可直接利用其三角函数值来建立边与边之间的关系，进而解决问题。 构造特殊三角形：遇 45° 构造等腰直角三角形，遇 30°、60° 构造等边三角形，遇 90° 构造直角三角形，利用特殊三角形的性质来求解。 【题型1 角相等问题】 【例1】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：； （3）若点是抛物线上的一点，且，求直线的表达式． 【变式1-2】（24-25九年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点A、B，如图，已知点A的坐标是与y轴相交于点 (1)求抛物线解析式及对称轴； (2)当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值； (3)连接，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点点B除外，过点P作轴，垂足为作，射线交y轴于点Q，连接若，求点P的横坐标． 【变式1-3】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，直线与抛物线交于A，D两点． (1)求该抛物线的表达式及点D的坐标； (2)抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点、是对称轴上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值． 【题型2 二倍角问题】 【例2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线．D为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，过点D作轴于点F，交直线于点E． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)当时，求点D的坐标． 【变式2-1】如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴正半轴于点C．若P为第二象限抛物线上的一点，且，求点P的坐标． 【变式2-2】如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点．在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点的坐标． 【变式2-3】如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 【题型3 特殊角问题】 【例3】综合与探究 如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若，求m的值． 【变式3-1】如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点B．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知点G为抛物线在第一象限上的一点，且，求点G的坐标． 【变式3-2】抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．若，求a的值． 【变式3-3】如图，抛物线与交轴于点，点，与轴交于点，请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且，请直接写出点的坐标． 【题型4 两角和为特殊角问题】 【例4】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为第一象限内抛物线上一点．若点E的坐标为，且，求点P的坐标． 【变式4-1】如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，当时，求点的横坐标． 【变式4-2】如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式． (2)是线段上一动点（不与点，重合），过点作轴于点，交于点，交抛物线于点，连接，，． ①是否存在点．使？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． ②若，求点的坐标． 【变式4-3】（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且与y轴相交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设点D为轴正半轴上一点，联结，如果，求点D的坐标； (3)设点P在y轴上，且位于点C下方的一点，如果，求点P的坐标． 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于、两点． (1)求点、点的坐标及抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)若点是轴上一点．且．求点坐标． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴、y轴的公共点分别为、B，点C在这个二次函数的图象上，且横坐标为3． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求的正切值； (3)如果点D在这个二次函数的图象上，且，求点D的坐标． 3．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线线与轴的交点为、，点在点的左侧，点是该抛物线与轴的交点，点为抛物线的顶点，连接，和，交轴于点． (1)当顶点纵坐标为时，求该抛物线的表达式； (2)当和相似时，求该抛物线的表达式； (3)当时，求该抛物线的表达式． 4.（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图所示，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为点C． (1)求抛物线的解析式： (2)点是x轴正半轴上一动点，过点E作轴于点E，交直线于点D，交抛物线于点P，联结． ①当点E在线段上时，若与相似，求点E的坐标； ②若，直接写出点E的坐标． 5．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，顶点为，与轴负半轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点为抛物线对称轴上的一点，，求点的坐标： (3)抛物线沿射线平移至第一象限，顶点为，与原抛物线交于点．在原抛物线上是否存在点，使四边形为矩形，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由． 6．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A、与x轴正半轴交于点B，与轴正半轴交于点C，已知． (1)求b、c的值； (2)将抛物线平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点P． ①如果平移后的新抛物线经过点，且原点O到它的对称轴的距离等于的长度，求平移后新抛物线的解析式； ②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E，使得，记点E在新抛物线上的对应点为F，如果点F在的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标． 7．（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于原点O和点，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式，并写出它的对称轴； (2)求的值； (3)点D在抛物线上，如果，求点D的坐标． 8．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为A，点A的横坐标为2，点分别是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)当四边形为平行四边形时，求点的坐标； (3)设点为抛物线上另一个动点，当平分，且时，求点的坐标． 9．（24-25九年级下·上海青浦·阶段练习）如图，已知抛物线经过点与点，且交轴于点． (1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标； (2)将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移个单位，得到新抛物线．若新抛物线的顶点为，连结，直线将分割成面积相等的两个三角形． ①求的值； ②在新的抛物线上寻找点，使，求点的坐标． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 重难点专题拓展：二次函数综合之四种角度问题 （3知识点+4大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：角相等问题 对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。 二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。 利用三角函数值：根据等角的三角函数值相等，通过计算角的正弦、余弦或正切值来证明角相等。可利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角，进而利用等角的三角比解决问题。 借助相似三角形：证明包含这些角的三角形相似，根据相似三角形对应角相等得出结论。也可利用角平分线的相关性质定理，通过角平分线得到等角。 依据几何性质：运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等的性质来证明角相等。还可将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决。 知识点02：二倍角问题 倍角减半法：将二倍角转化为等角，如作一个角等于二倍角的一半，利用三角函数求解。 加倍法构造等腰三角形：构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质以及三角函数或相似三角形来求解。 二倍角的构造方法 如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则. 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了 知识点03：特殊角问题 运用三角函数值：已知特殊角（如 30°、45°、60°、90° 等），可直接利用其三角函数值来建立边与边之间的关系，进而解决问题。 构造特殊三角形：遇 45° 构造等腰直角三角形，遇 30°、60° 构造等边三角形，遇 90° 构造直角三角形，利用特殊三角形的性质来求解。 【题型1 角相等问题】 【例1】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 【答案】(1)； (2)点M的横坐标为． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式是、二次函数综合、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点M作于点H．证明，得出，设，则，，结合题意得出，分别计算即可得解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得； （2）解：过点M作于点H． 令，则， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 整理，得， 由，得（舍），． 点M的横坐标为． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：； （3）若点是抛物线上的一点，且，求直线的表达式． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）直线的解析式为或 【知识点】角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据抛物线与轴交于，两点，将抛物线表示式设为，然后将代入表达式求出a的值，即可求出抛物线的表达式； （2）连接．首先根据A，B，C三点的坐标求出，，，然后根据对应边成比例且夹角相等证明出，然后根据相似三角形对应角相等即可证明出； （3）首先由，得到，然后由相似三角形对应角相等得到，进而得到，根据题意当点P在线段BC下方的抛物线上时，可得，设设，在中，根据勾股定理列方程求出OD的长度，即可得到点D的坐标，然后根据待定系数法即可求出直线的解析式；当点P在线段BC上方的抛物线上时，根据题意得到，即可得出的解析式为． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为． 将代入得：，解得， 抛物线的解析式为，即． （2）如图1所示：连接． 由题意可知，，，， ． 又， ． ． （3）①如图2所示： ，， ． ， ． ． ． 设，则． 在中，由勾股定理得：，即．解得：． 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将，代入得：，解得：， 直线的解析式为． 如图3所示： ，， ． ， ． ． ． 的解析式为． 综上所述，直线的解析式为或． 【点睛】此题考查了勾股定理，待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数综合题中的角度问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，通过分析题目中角度之间的关系得到线段之间的关系． 【变式1-2】（24-25九年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点A、B，如图，已知点A的坐标是与y轴相交于点 (1)求抛物线解析式及对称轴； (2)当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值； (3)连接，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点点B除外，过点P作轴，垂足为作，射线交y轴于点Q，连接若，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，其对称轴为直线 (2) (3)点P的横坐标为：1或或 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可得到答案； （2）根据（1）所求得到当，且时，y随着x的增大而减小，故当，，当时，，由得，，解得； （3）在中，可求，由题意得，，，四边形为平行四边形或等腰梯形，当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，则，设，则，则，故，则，将点代入，得，解得，故；当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，则，由，得，则，设，则，故，解得，即；当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，设，则，而，故，即，可得，将点P代入，得，解得或（舍），因此，综上：点P的横坐标为1或或． 【详解】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：， ∴， ∴抛物线的表达式为：， ∴其对称轴为直线； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴当，且时，y随着x的增大而减小， ∴，， ∵， ∴， 解得：或（舍） ∴； （3）在中，， 由题意得，，， ∴四边形为平行四边形或等腰梯形， 当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， 将点代入， 得：， 解得：或（舍）， ∴； 当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， 即； 当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则， ∵ ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点P代入， 得：， 解得：或， 而当时，，故舍， ∴， 综上：点P的横坐标为1或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，二次函数的图像与性质，图像与坐标轴的交点，平行四边形的性质，等腰梯形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式1-3】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，直线与抛物线交于A，D两点． (1)求该抛物线的表达式及点D的坐标； (2)抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点、是对称轴上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值． 【答案】(1)抛物线的解析式为， (2)存在，点的横坐标或 (3) 【知识点】角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，解直角三角形； （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）连接交于点，则，先求两直线的交点，可得，设，过点作轴交于，由，得到方程，求出的值即可； （3）连接，过点作，过点作，与交于点，四边形的周长，当、、三点共线时，四边形的周长有最小值，分别求出，，即可得四边形的周长的最小值为． 【详解】（1）解：将、，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为， ， 解得或， ； （2）解：存在点，使，理由如下： 连接交于点， 直线与直线平行， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，解得， ， ，， ， 设， 过点作轴交于， ， ， 解得或或（舍， 或； 点的横坐标为或； （3）解：连接，过点作，过点作，与交于点， 四边形是平行四边形， ，， 、关于对称轴对称， ， 四边形的周长 ， 当、、三点共线时，四边形的周长有最小值， ，， ， 、， ，， 四边形的周长的最小值为． 【题型2 二倍角问题】 【例2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线．D为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，过点D作轴于点F，交直线于点E． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)当时，求点D的坐标． 【答案】(1)，，， (2) 【知识点】角度问题(二次函数综合)、一次函数与几何综合、求抛物线与y轴的交点坐标、三线合一 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据二次函数的性质和待定系数法求解即可得； （2）过点作于点，先求出的长，从而可得点的坐标，再代入二次函数的解析式求解即可得． 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，，解得或， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的函数表达式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的函数表达式为． （2）解：∵， ∴， 如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∵为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为，轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为． 【变式2-1】如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴正半轴于点C．若P为第二象限抛物线上的一点，且，求点P的坐标． 【答案】 【知识点】角度问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质的综合，勾股定理的逆定理，待定系数法求一次函数解析式等知识点，通过判断是直角三角形，得到，则有，取的中点，连，先证出，再证出，待定系数法求直线的解析式为，从而得到直线的解析式为，联立得方程组，进而即可得解，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】令，则， 解得或， ，； 令，则， ， ，，， ， 是直角三角形， ， ∴ ， 取的中点，连，过两点作直线， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ，， ，即 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 直线的解析式为， ∴联立， 解得：（舍去）或， ∴． 【变式2-2】如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点．在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点的坐标． 【答案】 【知识点】角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求解析式，角度问题是解题的关键． 先利用待定系数法求解析式，再根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则△是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解； 【详解】解：将，代入， 得， 解得：， 抛物线解析式为； 对于，令，则 解得：， ， ， △是等腰直角三角形， ， ， ， 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ， △是等腰直角三角形， ， 设，则， ，， ， 解得：（舍去）或， ． 【变式2-3】如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、等腰三角形的性质和判定 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）求出点坐标，可得是等腰直角三角形，即得，得到， 过点作交抛物线于点，过点作轴于点，可得，得到是等腰直角三角形，即得，设，则，可得，，进而得到，解方程即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得(不合，舍去) 或， ∴． 【题型3 特殊角问题】 【例3】综合与探究 如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2)或3 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）分两种情况画出图形，根据等腰直角三角形的性质列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）当点P在轴下方时，如图，过点P作轴于点D，则点D的坐标为， ∵， ∴是等腰直角三角形，， 即， 解得 其中不合题意，故 当点P在轴上方时，如图，过点P作轴于点E，则点E的坐标为， ∵， ∴是等腰直角三角形，， 即， 解得 其中不合题意，故 综上可知，或. 【变式3-1】如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点B．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知点G为抛物线在第一象限上的一点，且，求点G的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、待定系数法求函数表达式，用解直角三角形的方法求出点H的坐标是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）设直线交y轴于点H，过点H作于点N，根据，可得，再由，可设，则，，可得，可求出点，再求出直线的表达式，联立即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， ∵抛物线与x轴交于点，， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：当时，， ∴点，即 ∵点， ∴， ∴， 设直线交y轴于点H，过点H作于点N，      在中，， 即， ∵， 可设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， ∴点． 【变式3-2】抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．若，求a的值． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、y=ax²+bx+c的图象与性质、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数综合中的角度问题，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，待定系数法，一元二次方程根于系数的关系等；过点A作交于点F，过点F作轴于点G，设，由可判定，由全等三角形的性质得，，由待定系数法可求的解析式为，由一元二次方程根于系数的关系得，可得，代入的解析式求出，由抛物线的对称轴得，即可求解；掌握二次函数性质，二次函数与一元二次方程的关系，待定系数法，构建全等三角形是解题的关键． 【详解】解：过点A作交于点F，过点F作轴于点G． ， ， ， ， ， 设， 在和中 ()， ， ， 当时，， ， ， 设直线的解析式为， 则， ， 的解析式为， 抛物线与轴的交点为、， ， ，代入， 得， 解得， 经检验：是此方程的根， ， ， ， ， ． 【变式3-3】如图，抛物线与交轴于点，点，与轴交于点，请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或． 【知识点】角度问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、解直角三角形的相关计算、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质； （1）把点A和B的坐标代入解析式求出b，c的值即可解题； （2）先求出点C的坐标，即可得到，然后分为点P在直线的上方和点P在直线的下方两种，设直线交x轴于点D，求出点D的坐标，进而求出直线的解析式， 再联立直线和抛物线解析式求出交点P的坐标即可． 【详解】（1）解：把点A和B的坐标代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）当时，， ∴， ∴， 当点P在直线的上方时，设直线交x轴于点D， 则， ∴， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得或， ∴点P的坐标为； 当点P在直线的下方时，设直线交x轴于点D， 则， ∴， ∴点D的坐标为， 同理直线的解析式为， 解方程组得或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【题型4 两角和为特殊角问题】 【例4】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为第一象限内抛物线上一点．若点E的坐标为，且，求点P的坐标． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角度问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、等腰三角形的性质和判定 【分析】过点C作，过点E作，交于点F，过点F作轴于点H，证明，可得，，即知直线的解析式为，直线的解析式为，联立方程组，求解即可到P点坐标. 【详解】过点C作，过点E作，交于点F，过点F作轴于点H， ∴， 为等腰直角三角形， ∴. 当时，， ∴. ∵点E的坐标为， ∴. ∵， ， ， ∴， ， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得 ∵点P在第一象限， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数，二次函数的性质，等腰直角三角形性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式4-1】如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，当时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先将代入，求出点B的坐标，根据，得到点A的坐标，利用待定系数法将点A坐标代入即可求解； （2）先求出点C的坐标，由，可得是等腰直角三角形，得到，根据，则，可得点P在y轴右侧，分点P在x轴上方和下方两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将代入，则， ∴， ∵， ∴， 将点A坐标代入得， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：令，则， 解得：或， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在y轴右侧， 当点P在x轴下方时，设延长线交x轴于点E， 则，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，即 解得：或（舍去）， ∴点的横坐标为； 当点P在x轴上方时，设与x轴交于点F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，即 解得：或（舍去）， ∴点的横坐标为； 综上，点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数与几何综合、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 【变式4-2】如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式． (2)是线段上一动点（不与点，重合），过点作轴于点，交于点，交抛物线于点，连接，，． ①是否存在点．使？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． ②若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①不存在点，使；理由见解析；②的值为 【知识点】角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）把代入求出一次函数解析式，则的坐标为，再把代入中即可求出抛物线的解析式． （2）①求出，根据，求出，，结合轴，求出，设，则，，由题意得四边形是平行四边形，得到，据此求解即可； ②求出直线的解析式，根据题意得出点P在x轴上方，如图，连接，延长交x轴于N，证明，求出，从而求出直线的解析式，联立抛物线解析式求出的值即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 故， 则的坐标为， 把代入中 得， 解得：， ∴抛物线的解析式的为：． （2）解：①不存在点，使；理由如下， ∵， 令，则，解得：或3， ∴， 又∵， ∴，，， 又轴， ， ， ， ∵， ∴，， ， ∵轴， ∴， 当时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴，整理得， ∵， ∴不存在点，使； ②∵点，， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵是线段上一动点（不与点，重合）， ∴点P在x轴上方， 如图，连接，延长交x轴于N， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：，（舍去）； ∴的值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，一次函数解析式求解，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 【变式4-3】（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且与y轴相交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设点D为轴正半轴上一点，联结，如果，求点D的坐标； (3)设点P在y轴上，且位于点C下方的一点，如果，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、已知两点坐标求两点距离、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，先求出，，进而得到，，，再根据根据定理建立方程求解即可； （3）如图所示，过点A作轴于D，则，进而求出，再证明，即可证明，得到，由勾股定理求出，，则，则． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：设， 由（1）得 在中，当时，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴；    （3）解：如图所示，过点A作轴于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明是解题的关键． 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于、两点． (1)求点、点的坐标及抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)若点是轴上一点．且．求点坐标． 【答案】(1)，，抛物线解析式为 (2)15 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求一次函数解析式： （1）先求出一次函数解析式，进而求出点A坐标，再求出抛物线解析式，进而联立两函数解析式求出点C的坐标即可； （2）根据列式计算即可； （3）过点C作轴于D，可证明是等腰直角三角形，得到；当点Q在点A上方时，，当点Q在点A下方时，，两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 把代入中得，解得， ∴抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴ （2）解： ； （3）解：如图所示，过点C作轴于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当点Q在点A上方时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为； 当点Q在点A下方时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴、y轴的公共点分别为、B，点C在这个二次函数的图象上，且横坐标为3． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求的正切值； (3)如果点D在这个二次函数的图象上，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求角的正切值、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出两点的坐标，进而求出的长，勾股定理逆定理推出为直角三角形，再利用正切的定义，进行求解即可； （3）设，过点D作轴，垂足为点E，证明，得到，再根据点在抛物线上，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，．当时，得 ， ∴，． ∵， ∴，，， ∴． ∴． ∴． （3）设． 过点D作轴，垂足为点E．则，． ∵ ，， ∴． 又∵， ∴ ， ∴． 又∵，即， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵ 点D在二次函数的图象上， ∴ ． 解得 ，（不合题意，舍去）． ∴． ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理逆定理，求角的正切值，相似三角形的判定和性质等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 3．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线线与轴的交点为、，点在点的左侧，点是该抛物线与轴的交点，点为抛物线的顶点，连接，和，交轴于点． (1)当顶点纵坐标为时，求该抛物线的表达式； (2)当和相似时，求该抛物线的表达式； (3)当时，求该抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角度问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先求出对称轴为直线，则，再把代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出在，则；再求出，，得到，进而求出直线解析式为，则，得到，由于，，则当和相似时，只存在这一种情况，由相似三角形的性质得到，即，得到，则抛物线解析式为； （3）如图所示，过点B作于H，先求出，再由勾股定理求出，进而得到，再利用勾股定理得到；证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线对称轴为直线， ∵顶点纵坐标为， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴ ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 在在中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴当和相似时，只存在这一种情况， ∴，即， ∴或（舍去） ∴抛物线解析式为； （3）解：如图所示，过点B作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 令，则， 解得， ∴或（舍去）或（舍去）或（舍去） 经检验，是原方程的解， ∴抛物线解析式为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形，通过相似三角形对应边成比例进行求解是解题的关键． 4.（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图所示，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为点C． (1)求抛物线的解析式： (2)点是x轴正半轴上一动点，过点E作轴于点E，交直线于点D，交抛物线于点P，联结． ①当点E在线段上时，若与相似，求点E的坐标； ②若，直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②点的坐标为或 【知识点】角度问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）把代入求出一次函数解析式，则的坐标为，再把代入中即可求出抛物线的解析式． （2）①求出，根据，求出，，结合轴，求出，设，则，，分为当和当，分别求解即可． ②求出直线的解析式，分为当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，证明，求出，从而求出直线的解析式，即可求解．当点P在x轴下方时，得出，全等三角形的性质求出，求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 故， 则的坐标为， 把代入中 得， 解得：， ∴抛物线的解析式的为：． （2）解：①∵， 令，则，解得：或3， ∴， 又∵， ∴，，， 又轴， ， ， ， ∵， ∴，， ， 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故； 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故， 综上，或． ②∵点，， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）． ∴ 当点P在x轴下方时，如下图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）， ∴ 综上所述：点的坐标为：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，一次函数解析式求解，注意相似三角形分情况讨论．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 5．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，顶点为，与轴负半轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点为抛物线对称轴上的一点，，求点的坐标： (3)抛物线沿射线平移至第一象限，顶点为，与原抛物线交于点．在原抛物线上是否存在点，使四边形为矩形，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）设顶点式，再代入原点坐标即可求解； （2）设对称轴与x轴交于点D，在轴上方对称轴上取点，使得，联结，构造，即可求解； （3）先求出直线的表达式为，设，则平移后的抛物线表达式为，与抛物线的联立求得，过点M作y轴的平行线，过点N、P作平行线的垂线，垂足分别为G、H，可得，则，解得：，故，，由点的平移求得，再验证点在原抛物线上即可． 【详解】（1）解：∵顶点为， ∴设解析式为：， 又∵抛物线经过原点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设对称轴与x轴交于点D，在轴上方对称轴上取点，使得，联结， ∵顶点为， ∴对称轴为直线，， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设直线的表达式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 设， ∴平移后的抛物线表达式为， 与抛物线的联立得：， 解得：， ∴， 过点M作y轴的平行线，过点N、P作平行线的垂线，垂足分别为G、H， ∴.， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∵矩形，， ∴， ∴，， ∴， 将代入原抛物线解析式得：， ∴点Q在原抛物线上， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与相似三角形的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，函数图像的平移，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键在于构造相似三角形． 6．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A、与x轴正半轴交于点B，与轴正半轴交于点C，已知． (1)求b、c的值； (2)将抛物线平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点P． ①如果平移后的新抛物线经过点，且原点O到它的对称轴的距离等于的长度，求平移后新抛物线的解析式； ②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E，使得，记点E在新抛物线上的对应点为F，如果点F在的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】解直角三角形的相关计算、待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移 【分析】（1）由题意得，，根据，可知，，再利用待定系数法即可求解； （2）①设平移后的解析式为，且经过，可得；由题意可知，其在轴负半轴，则，可得，，平移后的对称轴为直线，根据切线的性质可知，求出，即可求解； ②连接交轴于，由（1）可知原抛物线的解析式为，根据，结合解直角三角形求得，即，进而求得，直线的解析式为，可得，过点作，则轴，结合解直角三角形可知，新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，即，新抛物线解析式为：，由题意知，代入解析式求得的值，即可求得解析式，进而可得顶点坐标． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∵点C在y轴正半轴上， ∴， ∴， ∵， ∴，， 将，代入，得：， 解得：； （2）解：①设平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过， ∴， ∴； 在中，当时，，即， 又∵在轴负半轴， ∴，即， ∴，， 平移后的抛物线对称轴为直线， ∵原点O到新抛物线的对称轴的距离等于的长度， ∴，即， 解得：， ∴， ∴平移后新抛物线的解析式； ②连接交轴于， 由（1）可知原抛物线的解析式为， ∵， ∴，则， ∵，则， ∴，即， 设直线的解析式为，代入，，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或， ∴， 过点作轴，过点E作于G， ∴， 设，则， ∴新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的， ∴新抛物线解析式为：， 又∵， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴平移后的新抛物线解析式为：， ∴新抛物线的顶点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，解直角三角形，待定系数法求函数解析式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 7．（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于原点O和点，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式，并写出它的对称轴； (2)求的值； (3)点D在抛物线上，如果，求点D的坐标． 【答案】(1)，直线 (2)3 (3)或 【知识点】解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）将点O (0，0)和点代入抛物线解析式，即可求出m和k的值，即得出其表达式，再根据其性质即可直接得出对称轴； （2）过点A作轴于点C，由（1）所求表达式可求出A点坐标，即得出AC和OC的长，进而可求出BC的长，再根据正切的定义即可求出； （3）由（2）可求．又易证，即得出．分类讨论：①当点D在x轴上方时，设抛物线对称轴与x轴交于点F，OD与抛物线对称轴交于点E，即得出，从而可求出E点坐标，进而可求出直线OD的解析式，再联立直线OD的解析式和抛物线解析式，求出解，即得出D点坐标；②当点D在x轴下方时，由①同理可求出此时D点坐标． 【详解】（1）将点O (0，0)和点代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∴它的对称轴为直线． （2）如图，过点A作轴于点C． ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可知． ∵，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点D在x轴上方时，如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，OD与抛物线对称轴交于点E， ∴． ∵， ∴， ∴． 设直线OD的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线OD的解析式为：． 联立，解得：，， ∴； ②当点D在x轴下方时，如图， 由①同理可求出此时直线OD的解析式为：． 联立，解得：，， ∴． 综上可知，如果，点D的坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，解直角三角形，一次函数图象与二次函数图象的交点问题等知识，较难．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 8．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为A，点A的横坐标为2，点分别是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)当四边形为平行四边形时，求点的坐标； (3)设点为抛物线上另一个动点，当平分，且时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 (3)或 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出A点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点P的坐标为，分两种情况讨论：为平行四边形的一条边，为平行四边形的一条对角线，用x表示出Q点坐标，再把Q点坐标代入抛物线中，列出方程求解即可； （3）当点P在y轴左侧时，抛物线不存在点R使得平分，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在的上方，点R在的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作于点H，则有，证明可得，设点P坐标为，点R坐标为，由相似比得到，进而得，过点Q作轴于点K，设点Q坐标为，由得到关于m的方程求得m，进而完成解答． 【详解】（1）解：将代得， ∴点A的坐标为， 将，代入，得∶ ，解得∶ ， ∴抛物线：． （2）解：如图，设点P的坐标为， 第一种情况：为平行四边形的一条边， ①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为， 将代入，得： ，解得或， 因为时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P的坐标为； ②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为， 将代入得∶ ，解得∶或， ∴此时点P的坐标为或； 第二种情况：当为平行四边形的一条对角线时， ∵， ∴的中点坐标为，得的中点坐标为， 故点Q的坐标为， 将代入得∶ ，解得，或， 因为时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或或． （3）解：当点P在y轴左侧时，抛物线不存在点R使得平分， 当点P在y轴右侧时，不妨设点P在的上方，点R在的下方， 过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T， 过点P作于点H，则有， 由平分，得，则， ∴， ∴， 设点P坐标为，点R坐标为， 所以有整理得：， 在中，， 过点Q作轴于点K， 设点Q坐标为， 若，则需， 所以， 所以解得∶， 所以点Q坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、平行四边形的性质、解直角三角形的应用、相似三角形的性质与判定、角平分线的性质等知识点，正确作出辅助线并灵活运用所学知识成为解题的关键． 9．（24-25九年级下·上海青浦·阶段练习）如图，已知抛物线经过点与点，且交轴于点． (1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标； (2)将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移个单位，得到新抛物线．若新抛物线的顶点为，连结，直线将分割成面积相等的两个三角形． ①求的值； ②在新的抛物线上寻找点，使，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）将点与点代入解析式，即可求解； （2）由抛物线平移得，抛物线得顶点为， ①交于，过作交轴于，由相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性质得，可求，由待定系数法得直线的解析式为，即可求解； ②（ⅰ）当在直线的右侧时，当时，，待定系数法得直线的解析式为，同理可求直线的解析式为，联立直线的解析式与抛物线的解析式，即可求解； （ⅱ）当在直线的左侧时，方法一：作关于的对称点，作射线交于，联结、，设，由勾股定理得，，，，联立可求，同理可求直线的解析式为，联立直线的解析式与抛物线的解析式，即可求解； 方法二：抛物线与轴交于，联结，可求，由等腰直角三角形的性质得 ，由可判定（），由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ， 顶点为， 故该抛物线的表达式，顶点坐标； （2）解：将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移个单位， ， 抛物线得顶点为， ①如图，设交于，过作交轴于， 直线将分割成面积相等的两个三角形． ， ， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， ， 解得：， 故的值为； ② ， （ⅰ）当在直线的右侧时， 当时，， 同理可求：直线的解析式为， 可设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，（舍去）， ； （ⅱ）当在直线的左侧时， 方法一：作关于的对称点，作射线交于，联结、， 设， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：，（舍去）， ； 方法二：抛物线与轴交于，联结， 当时， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， 满足条件； 综上所述：点的坐标或． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数图象的平移，勾股定理，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质等；掌握二次函数图象的平移，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用待定系数法，勾股定理进行求解，并能根据动点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$