预备衔接专题02 因式分解（4知识+7题型）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

预备衔接专题02 因式分解 因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形．我们在七年级已学过：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法.前一衔接专题我们介绍了几个新的乘法公式，接下来我们将会拓展几个特殊的因式分解． 我们先复习一下初中阶段所学的因式分解形式： 一、十字相乘法 1． 型 这类式子在许多问题中经常出现，其特点如下： （1）二次项系数是 1 ； （2）常数项是两个数之积； （3）一次项系数是常数项的两个因数之和． 因此，. 运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式． 2． 型 反过来， ． 若将二次项系数 分解成 ，将常数项 分解成 ，把 写成 ，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 ，如果它正好等于 的一次项系数 ，那么 就可以分解成 ，其中 位于上一行， 位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫作十字相乘法．必须注意，分解系数及十字相乘都有多种可能的情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 二、求根公式法 关于 的二次三项式 的因式分解有时也可用求根公式法．若关于 的方程 的两个实数根是 ，则二次三项式 就可分解为 ，其中 ． 三、分组分解法 能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式。而对于四项以上的多项式，如 既没有公式可用，也没有公因式可以提取。因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫作分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： （1）如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； （2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组法或其他方法（如十字相乘法）来分解； （4）分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 四、几个特殊的因式分解 1． ； 2． ； 3． ； 4． ． 例1 分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 例2 把下列关于 的二次多项式分解因式： （1） ； （2） ； （3） ． 例3 分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 例4 分解因式： （1） ； （2） ； （3） ． 例5 分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 例6 分解因式： （1） ；（2） ． 例7 设 为正整数，且 是质数，求 的值． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预备衔接专题02 因式分解 因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形．我们在七年级已学过：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法.前一衔接专题我们介绍了几个新的乘法公式，接下来我们将会拓展几个特殊的因式分解． 我们先复习一下初中阶段所学的因式分解形式： 一、十字相乘法 1． 型 这类式子在许多问题中经常出现，其特点如下： （1）二次项系数是 1 ； （2）常数项是两个数之积； （3）一次项系数是常数项的两个因数之和． 因此，. 运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式． 2． 型 反过来， ． 若将二次项系数 分解成 ，将常数项 分解成 ，把 写成 ，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 ，如果它正好等于 的一次项系数 ，那么 就可以分解成 ，其中 位于上一行， 位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫作十字相乘法．必须注意，分解系数及十字相乘都有多种可能的情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 二、求根公式法 关于 的二次三项式 的因式分解有时也可用求根公式法．若关于 的方程 的两个实数根是 ，则二次三项式 就可分解为 ，其中 ． 三、分组分解法 能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式。而对于四项以上的多项式，如 既没有公式可用，也没有公因式可以提取。因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫作分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： （1）如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； （2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组法或其他方法（如十字相乘法）来分解； （4）分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 四、几个特殊的因式分解 1． ； 2． ； 3． ； 4． ． 例 1 分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 解：（1）如图 2－1 所示，将二次项 分解成图中的两个 的积，再将常数项 2 分解成 -1 与 -2 的乘积，而图中对角线上的两个数乘积的和为 ，就是 中的一次项，所以有 ． 图2－1 图2－2 图2－3 图 2－4 图2－5 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 2－1 中的两个 用 1 来表示（如图 2－2 所示）。 （2）由图 2－3，得 ． （3）由图 2－4，得 ． （4）（如图 2－5 所示）． 例 2 把下列关于 的二次多项式分解因式： （1） ； （2） ； （3） ． 解：（1）令 ，解得 ， 原式 ． （2）令 ，解得 ， 原式 ． （3）原式 ． 例 3 分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 解：（1）原式 ； （2） 原式 ； （3） 原式 （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 例 4 分解因式： （1） ； （2） ； （3） ． 解：（1）方法一 原式 ． 方法二 原式 （2）方法一 原式 方法二 原式 (3) 原式 例 5 分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 解：（1）将 $4 m n$ 拆成 ， 原式 （2）将 拆成 ， 原式 （3）方法一 将常数项 8 拆成 ， 原式 ． 方法二 将一次项 拆成 ， 原式 ． 方法三 将三次项 拆成 ， 原式 . 方法四 增加两项 ，原式 ． （4）通过添项构造我们熟悉的乘法公式，进而实现分解， 原式 例 6 分解因式： （1） ；（2） ． 解：（1）方法一 设 ， 原式 方法二 设 ，原式 （2）原式 ． 令 ， 原式 例 7 设 为正整数，且 是质数，求 的值． 解：质数只能分解为 1 与其本身，因此可对原式进行适当的因式分解， 因为 ， 所以只能 ，易得 ． 例 8 分解因式： ． 解：原式中 的最高次方低于 的最高次方，故不妨将原式整理成关于 的二次三项式，以 为主元来因式分解． 原式 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$