精品解析：福建省泉州市南安市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2025年春季期中教学质量测试 初二年级数学试题 （本试卷25题，满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂（写）在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果、表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可．熟练掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是整式，故此选项不符合题意； B、是整式，故此选项不符合题意； C、是分式，故此选项符合题意； D、是整式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 当时，下列分式没有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件进行判断即可，解题的关键是理解分母为零即为分式无意义的条件． 【详解】解：当时，， ∴当时，分式没有意义， 故选：． 3. 下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，理解“形如的函数，叫做正比例函数．据此解答即可．理解相关定义是解题的关键． 【详解】解：A．是正比例函数，符合题意； B．是一次函数，不符合题意； C．是反比例函数，不符合题意； D．是二次函数，不符合题意； 故选：A． 4. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是最简分式，根据最简分式的概念判断即可．一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选：D． 5. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于250度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可得，配制一副度数小于250度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是， 故选：C． 6. 一次函数的图象一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数性质，根据一次函数的性质，可知一次函数的图象经过哪几个象限，然后即可得到一次函数的图象一定经过哪几个象限．解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【详解】解：一次函数， 当时，该函数图象经过第一、三、四象限， 当时，该函数图象经过第二、三、四象限， 一次函数的图象一定经过第三、四象限， 故选：C． 7. 关于x的方程有增根，则k的值为（ ） A. 6 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程增根，先将方程两边都乘以得到整式方程，再将分式方程的增根代入整式方程求解可得． 【详解】解：方程两边都乘以，得， ∵原方程有增根， ∴， 解得， 把代入中， 得． 故选：A． 8. 数学的美无处不在．数学家研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数，现有一组调和数：，则x的值是（ ） A. 20 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据调和数的关系，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根． 【详解】解：一组调和数：、6、， ， 解得， 经检验：是原分式方程的解． 故选：B． 9. 如图，一个函数的图象由射线，线段，射线组成，其中点，则此函数在的最大值是（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据函数的最大值即在取值范围内的最高点对应的函数值，由函数图象和题目中的条件，从而可以解答本题． 【详解】解：由函数图象可得，点是函数的图象的最高点， ∴故当时，函数在有最大值，最大值为， 故选：D． 10. 已知反比例函数的图象沿y轴向上平移1个单位长度后可以得到函数的图象，关于新函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，y的取值范围是 B. 该函数的图象与y轴有交点 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 该函数图象与x轴的交点为 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象与性质，由反比例函数的性质可知，反比例函数当或时，随的增大而增大，且关于对称；经过平移后得到，关于对称，增减性不变．解题的关键是掌握反比例函数图象与系数的关系． 【详解】解：A．当时，的取值范围是，故本选项符合题意； B．该函数的图象与轴无限接近，但是没有交点，故本选项不符合题意； C．当时，随的增大而增大，故本选项不符合题意； D．令，得，解得，则该函数图象与轴的交点为，故此选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 写出一个属于平面直角坐标系中第二象限的点的坐标_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据第二象限点坐标的符号题特征解答即可． 【详解】解：属于平面直角坐标系中第二象限的点的坐标可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：． 12. “气凝胶”是一种具有纳米多孔结构的新型材料，其颗粒尺寸通常小于，将数据用科学记数法表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】利用科学记数法的方法表示即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 13. 已知点，若点P在y轴上，则a为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了坐标轴上的点的坐标特点，熟知y轴上的点的横坐标为0是解题的关键； 根据y轴上的点的横坐标为0建立方程求解即可． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， 解得：， 故答案为：2． 14. 已知点在一次函数的图象上，则m______n．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据当时，随x的增大而增大求解即可． 【详解】解∶在中，， ∴y随x的增大而增大， ∵点在一次函数的图象上，， ∴， 故答案为：． 15. 科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是mg，根据一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同，即可列出方程. 【详解】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是mg，根据题意可得方程：； 故答案为：. 16. 如图，直线l与x轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点A和点B，点P是x轴上一个动点，的面积为，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设交轴于点，连接，得出，进而得到，从而得到，得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：如图，设交轴于点，连接， ， 点在反比例函数图象上， ， ， ， ∵反比例函数图象在第二象限， 故答案为： ． 三、选择题：本题共9小题，共86分． 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，零次幂，乘方，先根据负整数指数幂，零次幂，乘方计算，再计算乘法，最后算减法即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，原式先将除法转换为乘法，然后约分，再算减法，最后将失真玳入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 19. 解方程：． 【答案】分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，关键是一定要进行检验，判断是否为原方程的增根． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 检验：当时，， 是方程的增根，该分式方程无解． 20. 如图，在平面直角坐标系中，经过原点O和点的直线与反比例函数的图象交于点A、B，轴于点D，且． （1）求直线与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）直线的解析式为；反比例函数的解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟记一次函数和反比例函数的解析式求法，利用数形结合的方法求解是解题的关键． （1）设直线的解析式为，将点代入即可求出直线的解析式，再根据条件确定点A的横坐标代入直线的解析式求出点A坐标即可求出反比例函数的解析式； （2）先联立解析式求出B点坐标，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； ∵轴于点D，且，点A在第三象限， ∴令代入得， ， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，， ∴， 又∵轴于点D， ∴， ∴． 21. 已知，其中． （1）判断A与B的大小关系，并说明理由． （2）若a为整数时，设，求整数y的值． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键 （1）利用作差法比较与的大小关系即可； （2）先根据分式的加减运算法则计算，得出，再根据为大于0的整数，为整数，即可确定的值，从而求出整数的值． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 ， 为大于0的整数，为整数， 或， 或或或， ， ， ． 22. 某校综合与实践小组的同学开展了主题为探究最大心率与年龄的关系项目化学习，他们通过某医学杂志收集到在一定年龄范围内的最大心率（最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数）数据如下： 年龄x/周岁 17 22 27 32 37 42 47 最大心率y/（次/分钟） 203 198 193 188 183 178 173 （1）根据表中信息，可推断最大心率y（次/分钟）是年龄x（周岁）的______函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）：求y关于x的函数表达式． （2）已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 30周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次/分钟至______次/分钟；小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在108次/分钟至126次/分钟，小美的年龄是______周岁． 【答案】（1）一次， （2）133，152； 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的判断及待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）根据“年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分”即可判定函数类型，然后根据待定系数法即可求得函数解析式； （2）先求出小李的最大心率，然后分别乘以、即可求出他的运动心率控制的范围；根据小美运动心率控制的范围求出她的最大心率，然后代入（1）中函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：根据表中的信息可知，年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分， ∴可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的一次函数关系． 故答案为：一次． 设y关于x的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将和分别代入， 得，解得：， ∴y关于x的函数关系式为． 小问2详解】 解：当时，，（次/分），（次/分）， ∴小李的运动心率应该控制在133次/分至152次/分； 当运动心率应该控制在108次／分至126次／分时，，， 当时，，解得， ∴小美的年龄是周岁． 故答案为：133，152；． 23. 《哪吒之魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少3元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花800元购进B款哪吒玩偶的数量相同． （1）问：两款的进货单价分别是多少元？ （2）小洋决定将A款玩偶的销售单价定为8元，B款玩偶的销售单价定为15元，小洋打算要花费2000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少个时，小洋获得的总利润最高，最高为多少元？ 【答案】（1）A款的进货单价是5元，则B款的进货单价是8元 （2）购进A款80个，购进B款200个时，获得的总利润最高，最高为1640元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款个，先根据“A款的数量不小于B款的”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ， 答：A款的进货单价是5元，则B款的进货单价是8元； 【小问2详解】 解：设购进B款个，则购进A款个， 又A款的数量不小于B款的， ， 解得：， 设总利润为，则， ， ∴随的增大而增大， 当取得最大整数解200时，取得最大值，最大值为， 此时，则， 答：购进A款80个，购进B款200个时，获得的总利润最高，最高为1640元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点D、C，点A在x轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点D恰好落在y轴正半轴上的点B处． （1）求B点的坐标以及直线的解析式； （2）点H是x轴上一动点，若，求出点H的坐标； （3）在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）先求出，，根据勾股定理求出，根据折叠得出，，则可求出，即可求出点B的坐标，在中，根据勾股定理得出，解方程求出点A的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）联立方程组求出E的坐标，然后根据，三角形的面积公式求出，即可求解； （3）分三种情况讨论：①，；②，；③，，然后根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，，解得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴ 解得， ∴， 设直线解析式为， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：联立方程组， 解得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴或，即或； 【小问3详解】 解：①当，时，如图，过P作于H， 则，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②，，如图，过P作于H， 同理可证， ∴，， ∴， ∴； ③，， 设 如图，过P作于M，于N， 在四边形是矩形， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴ 综上，在第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的综合应用，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义等知识，明确题意，添加合适辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 25. 阅读下列材料，完成探究证明与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，… 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． （1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，且，若，则______，______； 【证明】 （2）已知，且，求证：． 【运用】 （3）①请用上述规律，解分式方程． ②若，求k的值． 【答案】（1）k，k；（2）见解析；（3）①；② 【解析】 【分析】（1）设，，然后分别代入计算即可； （2）设，则，，，，然后分别代入等式左边计算即可得出结论； （3）①直接利用（2）中的规律解分式方程即可； ②直接利用（2）中的规律即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， 故答案为：k，k； （2）设， 则，，，， ∴ ； （3）①∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； ②∵， ∴，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季期中教学质量测试 初二年级数学试题 （本试卷25题，满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂（写）在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 当时，下列分式没有意义的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 5. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于250度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 7. 关于x的方程有增根，则k的值为（ ） A 6 B. C. D. 2 8. 数学的美无处不在．数学家研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数，现有一组调和数：，则x的值是（ ） A. 20 B. 12 C. 10 D. 8 9. 如图，一个函数的图象由射线，线段，射线组成，其中点，则此函数在的最大值是（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 5 10. 已知反比例函数的图象沿y轴向上平移1个单位长度后可以得到函数的图象，关于新函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，y的取值范围是 B. 该函数的图象与y轴有交点 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 该函数图象与x轴的交点为 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 写出一个属于平面直角坐标系中第二象限的点的坐标_____． 12. “气凝胶”是一种具有纳米多孔结构的新型材料，其颗粒尺寸通常小于，将数据用科学记数法表示为____． 13. 已知点，若点P在y轴上，则a为______． 14. 已知点在一次函数的图象上，则m______n．（填“”“”或“”） 15. 科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是__________________． 16. 如图，直线l与x轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点A和点B，点P是x轴上一个动点，的面积为，则k的值为______． 三、选择题：本题共9小题，共86分． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解方程：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，经过原点O和点的直线与反比例函数的图象交于点A、B，轴于点D，且． （1）求直线与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． 21. 已知，其中． （1）判断A与B的大小关系，并说明理由． （2）若a为整数时，设，求整数y的值． 22. 某校综合与实践小组的同学开展了主题为探究最大心率与年龄的关系项目化学习，他们通过某医学杂志收集到在一定年龄范围内的最大心率（最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数）数据如下： 年龄x/周岁 17 22 27 32 37 42 47 最大心率y/（次/分钟） 203 198 193 188 183 178 173 （1）根据表中信息，可推断最大心率y（次/分钟）是年龄x（周岁）的______函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）：求y关于x的函数表达式． （2）已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 30周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次/分钟至______次/分钟；小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在108次/分钟至126次/分钟，小美的年龄是______周岁． 23. 《哪吒之魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少3元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花800元购进B款哪吒玩偶的数量相同． （1）问：两款的进货单价分别是多少元？ （2）小洋决定将A款玩偶销售单价定为8元，B款玩偶的销售单价定为15元，小洋打算要花费2000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少个时，小洋获得的总利润最高，最高为多少元？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点D、C，点A在x轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点D恰好落在y轴正半轴上的点B处． （1）求B点的坐标以及直线的解析式； （2）点H是x轴上一动点，若，求出点H的坐标； （3）在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 阅读下列材料，完成探究证明与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，… 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． （1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，且，若，则______，______； 【证明】 （2）已知，且，求证：． 运用】 （3）①请用上述规律，解分式方程． ②若，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$