精品解析：江苏 南京市第二十九中学2026-2027学年第一学期 九年级阶段性练习（10月）

2026~2027学年第一学期南京二十九中学阶段性练习 九年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A．该方程是二元一次方程，故此选项不符合题意； B．该方程是二元二次方程，故此选项不符合题意； C．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； D、该方程是分式方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键． 2. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： 解得，． 3. 对于反比例函数，以下四个结论中错误的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 函数的图象经过点 C. 函数的图象在第一、三象限 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【详解】解：对于反比例函数，． A、反比例函数增减性的前提是“在每一象限内”，该选项表述错误． B、， 函数图象经过点，表述正确． C、， 函数图象在第一、三象限，表述正确． D、当时，． 第三象限内随的增大而减小， 当时，，表述正确． 4. 在平面直角坐标系中，函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论，分别求出表达式即可判断． 【详解】解：当时，，图象在第四象限，且y随x的增大而增大， 当时，，图象在第三象限，且y随x的增大而减小， ∴函数的图象是： 5. 如图，点分别在反比例函数和的图像上，轴，与轴交于点，点是轴上一点，若，的面积为3，则的值为（ ） A. B. 8 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数值的几何意义解答即可得到正确的选项． 【详解】解：连接、， ∵轴， ， 点，分别在反比例函数和的图象上， ，， ， ，， ，， ． 故选：A． 6. 当常数m取不同的值时，的值随的变化描述： ①的值随x的增大而增大；②的值随x的增大而减小； ③的值随x的增大先增大后减小；④的值随x的增大先减小后增大． 其中所有可能出现的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】设，任取，进行作差法可求出，分两种情况：，进行讨论即可． 【详解】解：设， 任取， ， ∵， ∴，，， 当时，此时， ∴， ∴， ∴的值随x的增大而增大，故①正确； 当时，当x取值很小时，， 此时， ∴，随x增大而减小， 当x取值很大时，， 此时， ∴，随x增大而增大． ∴时，的值随x的增大先减小后增大，故④正确． 综上所述，正确的是①④． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 使分式有意义的自变量x的取值范围是______． 【答案】x≠－1 【解析】 【分析】根据分式的分母不等于零求解即可． 【详解】解：要使分式有意义， 只需x+1≠0， ∴x≠－1， 故答案为：x≠－1． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟知分式的分母不等于零是解答的关键． 8. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， 可得判别式， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键． 9. 已知反比例函数，在x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 _________________ 【答案】 【解析】 【分析】由于反比例函数的图象当x>0时，y随x的值增大而增大，可知比例系数为负数，据此列出不等式解答即可． 【详解】解：反比例函数，在x＞0时，y随x的增大而增大， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性得出比例系数的正负是解题的关键． 10. 据统计，2024年某地区手机支付用户的规模为亿，经过连续两年增长，2026年约为亿．已知第二年的增长率是第一年的2倍，设第一年的增长率为x，可列方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知第一年增长率为，可得第二年增长率为，根据增长后总量的计算方法，结合最终用户量即可列出方程． 【详解】解：由题意得，第二年增长率为， ∵2024年手机支付用户量为亿， ∴2025年用户量为亿， ∴2026年用户量为亿， 又∵2026年用户量约为亿， ∴列方程得． 11. 设，是方程的两实数根，__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求式子通分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两实数根， ∴根据根与系数的关系可得： ，． 对通分变形得：． 将，代入得： ． 12. 在中，有两条弦和，若，则__________．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】通过取的中点构造三角形，利用三角形三边关系和同圆中弦与弧的对应关系比较大小． 【详解】解：取的中点，连接，，如图： ∵是的中点， ∴， ∴，， 在中，， ∵， ∴，即． ∴， ∴，即． 13. 如图，是的两条弦，，且，则的半径等于___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要查了垂径定理．作于点M、N．连接，则四边形是矩形，利用垂径定理求得和的长，然后在直角中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点M、N．连接．则，四边形是矩形． ∴， 在直角中，． 故答案为：5． 14. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，已知一个交点为，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先将分别代入和，求得，，联立两个函数解析式解得另一交点，然后结合图象求解． 【详解】解：将代入得， ∴ ∴ 将代入得， ∴ ∴ 联立得， 解得或 将代入 ∴ 由图象得，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴关于x的不等式的解集为或． 15. 点与点在反比例函数上，若，则n的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据点的坐标求出反比例函数解析式，再根据分和两种情况，结合反比例函数的性质求解的范围． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为， ， 反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小， 当时，∵当时，， ∴此时； 当时，， 综上，的取值范围是或． 16. 若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是_______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可． 【详解】解：当时，． 当时，可得，解得：，符合题意； 当时，可得，解得：，不符合题意； 当时， ，则 ∴． ∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数， ∴，解得：，，解得：，即． 综上可得，实数m的取值范围是或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，； 【小问3详解】 解： ， ， 或 解得，． 18. 如图，的半径分别交弦于点E、F，且．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：如图过点O作于点G， 则，， ∵， ∴， 即． 在与中， ， ∴， ∴， 即是等腰三角形． 【解析】 【分析】如图过点O作于点G，得到，，推导出，则，即可解答． 【详解】略 19. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有实数根； （2）不论k为何值，方程总有一个确定的实数根为______． 【答案】（1） 证明： ， ∴不论k为何值，方程总有实数根； （2）1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程； （1）计算出判别式，根据判别式的符号即可证明； （2）方程左边可分解因式，因此用因式分解法即可求解，在解中有一个与k无关的解，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：原方程可化为， 即或， 解得：； ∴方程有一个确定的实数根1． 故答案为：1． 20. 如图，已知是的直径，点C，D在上，，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴． ，， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据相等的弧所对的圆心角相等得到，再有，，即可证明． （2）先根据为等腰三角形求出的值，再根据也是等腰三角形，即可求出的度数． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 21. 如图，学校打算用长的篱笆围成一个面积是的矩形生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙，墙长为．求这个生物园边的长． 【答案】 【解析】 【分析】设这个生物园边的长为，则，根据面积建立方程，解方程求出的值，再结合即可求解． 【详解】解：设这个生物园边的长为，则， 由题意得， 整理得， 解得或， 当时，，超过墙长，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴这个生物园边的长为． 22. 北京木雕小器作是国家级非物质文化遗产．某圆形摆件的底座（如图1）采用木雕工艺制作，它的卡槽是圆弧形．卡槽的示意图如图2，其跨度（弧所对的弦的长）为，弓形高（即弧的中点到弦的距离）为． （1）用尺规作出所在的圆（保留作图痕迹）； （2）直接写出卡槽所在圆的半径的长． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）圆的半径的长为． 【解析】 【分析】本题考查确定圆心的位置，垂径定理的应用及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）在上取一点，连接，作、的垂直平分线，两直线交于点，即可得； （2）利用垂径定理得出，在中，利用勾股定理求出的长，即可得答案． 【小问1详解】 解：在上取一点，连接，作、的垂直平分线，两直线交于点，以点O为圆心，以为为半径画圆，则即为所求． 【小问2详解】 解：设的垂直平分线交于，交于，连接， ∴ ∵弓形高（即弧的中点到弦的距离）为，即，， ∴， ∴， 解得：， ∴圆的半径的长为． 23. 某特产专卖店销售一种特产，其进价为每千克8元，按每千克20元出售，平均每天可售出100千克，后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加25千克． （1）若每天的销售量为200千克，则每千克特产的售价为__________元； （2）专卖店销售这种特产若想要平均每天获利1500元，且销售量尽可能大，则每千克特产应售价为多少元？ 【答案】（1）16 （2）每千克特产应售价为14元 【解析】 【分析】（1）根据每降低1元，平均每天的销售量可增加25千克求解即可； （2）设每千克降价x元，根据利润的计算方法建立方程，并解方程即可． 【小问1详解】 解：∵每降低1元，平均每天的销售量可增加25千克， ∴要降低的价格为（元）， ∴降价之后为（元）； 【小问2详解】 解：设每千克降价x元， 根据题意得， 解得，， ∵要使销售量尽可能大，售价应更低， ∴， ∴每千克特产应售价为（元）． 24. 已知，用两种不同的方法比较与的大小． 【答案】方法一：作差法 ， ， ， ∵， ∴， ∴，即； 方法二：作商法 ， ∵， ∴，即； 综上所述，． 【解析】 【分析】分别用作差法和作商法进行比较即可． 【详解】略 25. 如果关于x的一元二次方程（a，b，c均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根的2倍大1，则称这样的方程为“倍邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“倍邻根方程”． （2）若一元二次方程是“倍邻根方程”，求k的值． （3）若一元二次方程（b为常数）是“倍邻根方程”，求证：． 【答案】（1）是“倍邻根方程”，判断如下： 解得，， ∵，符合“倍邻根方程”定义， ∴方程是“倍邻根方程”； （2） （3）证明：设方程的两根为、，且， 由根与系数的关系得，，， 将代入得，， ∴， 将代入得，， ∴， 把代入上式得， ． 【解析】 【分析】（1）先进行解方程，再根据新定义进行求解即可； （2）设方程的两根为、，根据新定义可得，再根据根与系数的关系得，将代入进行求解即可； （3）设方程的两根为、，根据新定义可得，由根与系数的关系得，，，将分别代入两式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两根为、，且， 由根与系数的关系得， ∴ 解得， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 26. 完成以下问题 （1）如图①，，是上的两条弦，，，垂足分别为E、F．如果，和的大小有什么关系？为什么？ （2）如图②，是的弦．求作弦，使，且与的夹角为（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】（1）解：． 连接，，设半径为r． ，，，, ，, 在中，，在中，, ，，即． （2）过点作的平行线，再作交于点P,连接,作,连接,以点为圆心，任意长在、、、上画弧，分别交于G、H、J、K四个点，分别以点J、K为圆心，长度为半径画弧，交于点S、T，延长,交于点C，延长,交于点D,连接，即得到，且与的夹角为． 尺规作图：如图所示： 【解析】 【分析】（1）连接，，设半径为r，在、中使用勾股定理，分别表示出和的长，再根据即可比较出和的大小关系． （2）过点作的平行线，再作交于点P,连接,作,可证明,连接,用尺规作图，就可以以为边作一个大小为的角，这个角的另一边与的交点，即为C点；再连接,用尺规作图，以为边作一个大小为的角，这个角的另一边与的交点，即为D点，连接,即可得到与的夹角为，也可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，,,为公共边， ∴, ∴, 得到角，用于确定与的夹角， 连接后， ∵点、点都相对于点、点偏移， ∴与的夹角为， ∵, , ∴,即, ∴, ∴， 综上即得到，且与的夹角为， 27. 【思考】车轮为什么要做成圆形？ 如图1，车轮做成圆形的优点是当车轮在水平地面上滚动时，其中心O到地面的距离始终等于半径，保持不变；同时，车轮上最高点到地面的距离始终等于直径，也保持不变． 【探究】 （1）如图2，当正方形车轮在水平地面上滚动时，请画出其中心O的运动轨迹，写出必要的文字说明． （2）分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由这三段圆弧围成的封闭图形称为莱洛三角形． 如图3，当莱洛三角形在水平地面上滚动时，其最高点和中心O所形成的图形大致为（ ） 【延伸】 （3）如图4，过莱洛三角形的三个顶点A，B，C作．动点M从点A出发，以每秒的速度绕点O按逆时针方向旋转一周，线段与莱洛三角形交于点N．设M的运动时间为t秒，记，．部分数据记录如下： t（秒） 0 … 240 … 6 … … … 0 … ①的最大值为__________． ②在给定的平面直角坐标系中描出关于t的函数图像，写出必要的文字说明． ③连接，若D，E是莱洛三角形边界上弧上的两点，且，，求点O到的距离． 【答案】（1）解：正方形车轮轴心O的运动轨迹如下： 理由：设正方形边长为a． 以某个触地顶点为支点转动时，O到支点的距离恒等于正方形对角线长的一半，即为， 故O的轨迹是以该支点为圆心、为半径的一段圆弧； 当正方形转过后，另一个顶点成为新的支点，圆弧随之换圆心，O到新支点的距离仍为； 因此O的运动轨迹是由依次相接的圆弧组成的曲线： 每段圆弧的圆心是当时的触地顶点，半径是正方形对角线长的一半，圆心角为； 相邻两段弧在“一边贴地”处相接，此处运动方向发生突变，曲线出现向下的尖点． 高度变化：一边贴地时O离地最低，为； 一条对角线竖直时O离地最高，为． （2）A （3）①；② 说明：当时，射线与弧相交，而弧是以C为圆心、6为半径的圆弧， 故保持不变，图像是一条水平线段； 当时，射线与弧相交，N沿弧由B运动到C，由6逐渐减小到0； 当时，射线与弧相交，N沿弧由C运动到A，由0逐渐增大到6； 图像关于直线对称． ③ 【解析】 【分析】（1）以某个触地顶点为支点转动时，O到支点的距离恒等于正方形对角线长的一半，每次旋转90度后，切换支点，此过程点O走了一段圆弧，后面重复这个过程，据此作图即可； （2）根据在滚动过程中，其“最高点”与水平面的距离不变；“车轮轴心O”到水平面的距离开始先增加再减小，再增加再减小，不断循环，进行判断作答即可； （3）①根据题意可得，求出的半径，由是的一条弦，可知当是的直径时，有最大值，据此可得答案；②当时，故保持不变，图像是一条水平线段；当时，射线与弧相交，N沿弧由B运动到C，由6逐渐减小到0；当时，射线与弧相交，N沿弧由C运动到A，由0逐渐增大到6；图像关于直线对称，据此作图即可；③连接，可证明，则可证明，则点B到的距离就是这条弦的弦心距，O、B、垂足三点共线，求出该弦心距即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：当“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动时，在滚动过程中，其“最高点”与水平线距离保持不变， ∴其“最高点”的移动路径是水平的， ∵“车轮轴心O”到水平平面的距离开始先增加再减小，再增加再减小，不断循环， ∴其“最高点”和“车轮轴心O”所形成的图形按上、下放置，应大致为：A． 【小问3详解】 解：①如图所示，过点O作于点T，连接， ∵时，， ∴； ∵点O是等边三角形的外接圆圆心， ∴， ∴， 由垂径定理可得， ∴， ∴， ∴； ∵是的一条弦， ∴当是的直径时，有最大值， ∴的最大值为； ②略 ③如图所示，连接， 由（3）①得，且； 由、知直线是的垂直平分线， ∴； ∵， ∴， ∴点B到的距离就是这条弦的弦心距，O、B、垂足三点共线． 用勾股求弦心距． ∵D，E在弧上，而弧是以B为圆心、6为半径的圆弧， ∴是半径为6的圆的一条弦．设B到的距离为d， 由“半径、弦心距、半弦”的直角三角形：，即． O也在从B出发垂直于的这条射线上， 故：O到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期南京二十九中学阶段性练习 九年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. D. 3. 对于反比例函数，以下四个结论中错误的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 函数的图象经过点 C. 函数的图象在第一、三象限 D. 当时， 4. 在平面直角坐标系中，函数的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点分别在反比例函数和的图像上，轴，与轴交于点，点是轴上一点，若，的面积为3，则的值为（ ） A. B. 8 C. D. 6 6. 当常数m取不同的值时，的值随的变化描述： ①的值随x的增大而增大；②的值随x的增大而减小； ③的值随x的增大先增大后减小；④的值随x的增大先减小后增大． 其中所有可能出现的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 使分式有意义的自变量x的取值范围是______． 8. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 9. 已知反比例函数，在x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 _________________ 10. 据统计，2024年某地区手机支付用户的规模为亿，经过连续两年增长，2026年约为亿．已知第二年的增长率是第一年的2倍，设第一年的增长率为x，可列方程__________． 11. 设，是方程的两实数根，__________． 12. 在中，有两条弦和，若，则__________．（填“”“”或“”） 13. 如图，是的两条弦，，且，则的半径等于___________． 14. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，已知一个交点为，则关于x的不等式的解集为________． 15. 点与点在反比例函数上，若，则n的取值范围是__________． 16. 若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是_______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 如图，的半径分别交弦于点E、F，且．求证：是等腰三角形． 19. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有实数根； （2）不论k为何值，方程总有一个确定的实数根为______． 20. 如图，已知是的直径，点C，D在上，，． （1）求证：； （2）求的度数． 21. 如图，学校打算用长的篱笆围成一个面积是的矩形生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙，墙长为．求这个生物园边的长． 22. 北京木雕小器作是国家级非物质文化遗产．某圆形摆件的底座（如图1）采用木雕工艺制作，它的卡槽是圆弧形．卡槽的示意图如图2，其跨度（弧所对的弦的长）为，弓形高（即弧的中点到弦的距离）为． （1）用尺规作出所在的圆（保留作图痕迹）； （2）直接写出卡槽所在圆的半径的长． 23. 某特产专卖店销售一种特产，其进价为每千克8元，按每千克20元出售，平均每天可售出100千克，后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加25千克． （1）若每天的销售量为200千克，则每千克特产的售价为__________元； （2）专卖店销售这种特产若想要平均每天获利1500元，且销售量尽可能大，则每千克特产应售价为多少元？ 24. 已知，用两种不同的方法比较与的大小． 25. 如果关于x的一元二次方程（a，b，c均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根的2倍大1，则称这样的方程为“倍邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“倍邻根方程”． （2）若一元二次方程是“倍邻根方程”，求k的值． （3）若一元二次方程（b为常数）是“倍邻根方程”，求证：． 26. 完成以下问题 （1）如图①，，是上的两条弦，，，垂足分别为E、F．如果，和的大小有什么关系？为什么？ （2）如图②，是的弦．求作弦，使，且与的夹角为（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 27. 【思考】车轮为什么要做成圆形？ 如图1，车轮做成圆形的优点是当车轮在水平地面上滚动时，其中心O到地面的距离始终等于半径，保持不变；同时，车轮上最高点到地面的距离始终等于直径，也保持不变． 【探究】 （1）如图2，当正方形车轮在水平地面上滚动时，请画出其中心O的运动轨迹，写出必要的文字说明． （2）分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由这三段圆弧围成的封闭图形称为莱洛三角形． 如图3，当莱洛三角形在水平地面上滚动时，其最高点和中心O所形成的图形大致为（ ） 【延伸】 （3）如图4，过莱洛三角形的三个顶点A，B，C作．动点M从点A出发，以每秒的速度绕点O按逆时针方向旋转一周，线段与莱洛三角形交于点N．设M的运动时间为t秒，记，．部分数据记录如下： t（秒） 0 … 240 … 6 … … … 0 … ①的最大值为__________． ②在给定的平面直角坐标系中描出关于t的函数图像，写出必要的文字说明． ③连接，若D，E是莱洛三角形边界上弧上的两点，且，，求点O到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $