精品解析：河北省承德市琢名小渔名校联考2024-2025学年高二下学期期中数学试题A

河北省承德市琢名小渔名校联考2024-2025学年高二下学期期中 数学试题A 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 92 B. 102 C. 120 D. 148 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列数和组合数的计算公式求解即可. 【详解】. 故选：A. 2. 若随机变量，则（ ） A. 4.4 B. 5.6 C. 8 D. 10.4 【答案】D 【解析】 【分析】由二项分布期望、方差公式及期望运算性质即可求解. 【详解】由得， 所以， 故选：D. 3. 已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将在上存在极值，转化为在上有变号零点，再利用二次方程的判别式大于0求解即可. 【详解】， 因为在上存在极值，所以在上有变号零点， 所以方程有两个不同的实数根， 故，解得或. 故选：C. 4. 在展开式中的系数为（ ） A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】将因式分解得 ，要求的系数，只需一个因式取常数其余的取即可. 【详解】 展开式中的系数为， 故选：A. 5. 若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（ ） A. 15个 B. 16个 C. 31个 D. 32个 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，即是求集合的非空子集的个数. 【详解】集合的不含有元素的子集个数就是集合的子集个数，共有个， 故不含元素的非空子集共有15个. 故选：A. 6. 2025有（ ）个不同的正因数 A. 10 B. 12 C. 15 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】把2025进行质因数分解，然后结合分步乘法原理计算． 【详解】2025，故2025的正因数个数有. 故选：C. 7. 如果今天是星期一，则天后是（ ） A. 星期六 B. 星期日 C. 星期一 D. 星期二 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定理计算被7除余数后即可求解. 【详解】55 ， 而为7的倍数， 故被7除余数是6，所以天后是星期日. 故选：B. 8. 关于的方程恰好有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意将“方程恰好有4个不同的实数根” 转化为“直线与函数图象在恰好有两个不同的交点”，数形结合可得，解之即得. 【详解】由题意知，所以 ，令，则得， 从而可转化为“直线与函数图象在恰好有两个不同的交点”. 而，当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减， 又∵，；当时，， 需使，即， 从而实数的取值范围为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将4本不同的书分给3个人，则共有24种分配方法 B. 将2个a，3个b，1个排成一排，则共有60种排法 C. 将6个参加数学竞赛的名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，则共有10种方法 D. 从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，则共有种选法 【答案】BC 【解析】 【分析】根据分步计数原理判断A，根据顺序一定问题，列式判断B，根据隔板法，列式判断C，根据分类计数原理，或是无序问题，判断D. 【详解】根据分步乘法计数原理，将4本不同的书分给3个人，共有种分配方法，故A错误； 将2个a，3个b，1个排成一排，共有种排法，故B正确； 将6个名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，采用隔板法，共有种方法，故C正确； 从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，共有或种选法，故D错误. 故选：BC. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A通过通项公式可判断，BC，通过赋值法可判断，D通过简单复合函数求导，再赋值可判断. 【详解】展开式的通项公式， 当时，，故A正确； 将代入得， 而，故，故B错误； 即为展开式中各项的系数之和， 故，故C正确； 对两边同时对求导， 得， 将代入得：，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则（ ） A. 在单调递减 B. 为的极小值点 C. D. 当时，必有 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求导，借助导数，研究函数在定义域上的单调性及随的变化的变化趋势，即可判断A，B；将变形，即可借助在上的单调性判断C；利用及在上的单调性，即可判断D. 【详解】的定义域为. 因为，令，解得. 所以当或时，；当时，. 故在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增. 所以为的极小值点， 故A错误，B正确； 因为， 而在单调递增，故，故C正确； 因为当时，在上单调递增，且， 故，即，从而，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 现有三批同样规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为.将三种产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品为合格品的概率为_______________（用小数表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算作答. 【详解】设=“取到合格品”，=“取到的产品来自第i批”， 则，， 由全概率公式得： . 故答案为： 13. 已知展开式中有一项是，则______________. 【答案】3367 【解析】 【分析】根据多项展开式每一项的次数特征，以及生成这一项的方法，结合组合数公式，即可求解. 【详解】因为展开式中每一项的次数均为，故； 从而含有的项为， 所以，故. 故答案为： 14. 若关于的不等式且在上恒成立，则实数的取值范围为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式可构造函数，再结合函数单调性可得，即，求出在上的最大值即可得出结论. 【详解】由得， 令，则， 由二次函数性质可知在单调递增，且，所以， 即，即在上恒成立. 令，则，由可得， 当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减， 故，所以，即， 可得实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 4名男生和3名女生共7人排成一排.（下列问题的结果全部用数字表示） （1）如果男生甲不站在队伍的两头，有多少种不同的排法； （2）如果全部男生相邻，有多少种不同的排法； （3）如果女生不能相邻，有多少种不同的排法； （4）如果队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有多少种不同的排法. 【答案】（1）3600 （2）576 （3）1440 （4）576 【解析】 【分析】（1）应用特殊元素优先处理结合排列数及组合数运算求解； （2）应用捆绑法结合排列数及组合数运算求解； （3）应用插空法结合排列数及组合数运算求解； （4）应用特殊元素优先处理结合排列数及组合数运算求解. 【小问1详解】 男生甲不站在队伍的两头，有种排法； 【小问2详解】 全部男生相邻，有种排法； 【小问3详解】 女生不能相邻，有种排法； 【小问4详解】 队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有种排法； 16. 甲、乙两同学进行答题比赛，比赛规则如下：每位选手从4道备选题中，随机选取2道题独立作答.已知甲同学这4道题中只会3道题，乙同学每题正确完成的概率都是.记随机变量和分别是甲、乙答对的题数. （1）求“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率； （2）若，求随机变量的分布列、数学期望、方差. 【答案】（1） （2）的分布列为： 1 2 3 4 ，【解析】 【分析】（1）分别计算甲答对2道题、乙答对2道题的概率，相乘即可； （2）将问题分解为甲、乙分别答对的题目数，分别求概率再相乘即可列出分布列，进而利用期望和方差公式计算即可. 【小问1详解】 甲答对2道题的概率为，乙答对2道题的概率为， 故“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率为. 【小问2详解】 由题意知可取1，2，可取0，1，2，故可取1，2，3，4， ， ， ， ， 故的分布列为： 1 2 3 4 期望， 方差. 17. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线斜率； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）将问题转化为在恒成立，且在恒成立，令，结合导数分析其单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 当时，， 则，故， 所以函数在处的切线斜率为. 【小问2详解】 由题意知：在上恒成立， 即在恒成立. 当时，不等式为恒成立，此时； 当时，原问题等价于在恒成立， 且在恒成立， 令，则， 令，得或；令，得， 故函数在上单调递增，在上单调递增，在单调递减， 所以在的最小值为，在的最大值为， 故，从而的取值范围为. 18. 某篮球运动员练习罚篮次，假设每次投中的概率均为，各次投中与否相互独立. （1）若，记次罚篮中恰好命中次的概率为，求的极值点； （2）若，，求该球员最有可能命中多少次； （3）记次罚篮中命中的次数为奇数的概率为，证明：当时，随着的增大而增大. 【答案】（1）极大值点为，无极小值点 （2）次 （3） 设次罚篮中命中的次数为偶数的概率为， 由题意知， ， 所以 ， ， 所以， 因为，所以，故随着的增大而增大. 【解析】 【分析】（1）求出的表达式，利用导数可求出函数的极值点； （2）设命中次的概率为，求出的表达式，设设最大，则，解出的取值范围，可得出的值，即可得出结论； （3）设次罚篮中命中的次数为偶数的概率为，由二项式定理可得，求出的表达式，结合指数函数的单调性可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意知， ， 当时，；当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以为的极大值点. 【小问2详解】 设命中次的概率为， 则， 设最大，则， 即， 解得，因为，故，故该球员最有可能命中次. 【小问3详解】 略 19. 已知函数且. （1）当时，求在最小值； （2）当时，函数恰好有两个零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）由（i）知且， 所以要证，只需证， 只需证，只需证， 而，所以， 注意到在单调递减， 所以要证，只需证， 而，所以只需证， 即证，即证， 令，故， 令在恒成立. 所以在单调递减，所以， 故在单调递增，所以， 故命题得证. 【解析】 【分析】（1）令，利用导数确定函数在上的单调性，即可得答案； （2）（i）由，得，令，利用导数确定函数的单调区间及最值，即可得答案； （ii）由题意可得只需证明，结合函数的单调性，只需证明，即，令，利用导数证明即可. 【小问1详解】 当， ， 由，得；由，得； 所以函数在单调递减，在单调递增， 故； 【小问2详解】 （i）由，得， 令，则与图象恰好有两个交点， 而， 所以由，得；由，得； 所以在单调递增，单调递减， 当时，；当时，. 故， 所以实数的取值范围为. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省承德市琢名小渔名校联考2024-2025学年高二下学期期中 数学试题A 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 92 B. 102 C. 120 D. 148 2. 若随机变量，则（ ） A. 4.4 B. 5.6 C. 8 D. 10.4 3. 已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 在展开式中的系数为（ ） A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 5. 若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（ ） A. 15个 B. 16个 C. 31个 D. 32个 6. 2025有（ ）个不同的正因数 A. 10 B. 12 C. 15 D. 25 7. 如果今天是星期一，则天后是（ ） A. 星期六 B. 星期日 C. 星期一 D. 星期二 8. 关于的方程恰好有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将4本不同的书分给3个人，则共有24种分配方法 B. 将2个a，3个b，1个排成一排，则共有60种排法 C. 将6个参加数学竞赛的名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，则共有10种方法 D. 从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，则共有种选法 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 在单调递减 B. 为的极小值点 C. D. 当时，必有 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 现有三批同样规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为.将三种产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品为合格品的概率为_______________（用小数表示）. 13. 已知展开式中有一项是，则______________. 14. 若关于的不等式且在上恒成立，则实数的取值范围为_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 4名男生和3名女生共7人排成一排.（下列问题的结果全部用数字表示） （1）如果男生甲不站在队伍的两头，有多少种不同的排法； （2）如果全部男生相邻，有多少种不同的排法； （3）如果女生不能相邻，有多少种不同的排法； （4）如果队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有多少种不同的排法. 16. 甲、乙两同学进行答题比赛，比赛规则如下：每位选手从4道备选题中，随机选取2道题独立作答.已知甲同学这4道题中只会3道题，乙同学每题正确完成的概率都是.记随机变量和分别是甲、乙答对的题数. （1）求“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率； （2）若，求随机变量的分布列、数学期望、方差. 17. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线斜率； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 18. 某篮球运动员练习罚篮次，假设每次投中的概率均为，各次投中与否相互独立. （1）若，记次罚篮中恰好命中次的概率为，求的极值点； （2）若，，求该球员最有可能命中多少次； （3）记次罚篮中命中的次数为奇数的概率为，证明：当时，随着的增大而增大. 19. 已知函数且. （1）当时，求在最小值； （2）当时，函数恰好有两个零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $