第06讲 图形的旋转 （知识清单+10大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（浙教版）

第06讲 图形的旋转 （知识清单+10大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 判断生活中的旋转现象 题型二 找旋转中心、旋转角、对应点 题型三 根据旋转的性质求解 题型四 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型五 画旋转图形 题型六 求旋转对称图形的旋转角度 题型七 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型八 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型九 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型十 坐标与旋转规律问题 知识清单 知识点1．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点2．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　 　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　 　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　 　　③旋转前、后的图形全等．　　 （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点3．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点4．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 知识点5．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 知识点6．利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 题型方法 【题型一】判断生活中的旋转现象 【例1】（24-25九年级上·浙江·期中）下列现象不是旋转的是（   ） A．飞速旋转的电风扇 B．坐电梯从1楼到10楼 C．言言在荡秋千 D．关上教室门 【答案】B 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查生活中的旋转现象，根据旋转的定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、飞速旋转的电风扇，是旋转现象，不符合题意； B、坐电梯从1楼到10楼，是平移现象，不是旋转现象，符合题意； C、言言在荡秋千，是旋转现象，不符合题意； D、关上教室门，是旋转现象，不符合题意； 故选：B． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，钟摆的摆动，这种图形的改变是（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．相似 【答案】B 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】根据旋转的定义解答即可． 【详解】钟摆的摆动，这种图形的改变是旋转． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的定义．掌握将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转是解题关键． 2．（九年级上·全国·课后作业）我们在日常生活中有许多行为动作：如①拉抽屉；②拧水龙头；③划小船；④调钟表；⑤推动推拉门；⑥转动方向盘；⑦乘电梯.我们用数学的眼光来看，其中属于旋转的有 .（填序号） 【答案】②④⑥ 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】根据平移的定义，旋转的定义判断即可． 【详解】①拉抽屉，平移运动；②拧水龙头，旋转运动；③划小船，不是旋转运动；④调钟表，旋转运动；⑤推动推拉门，平移运动；⑥转动方向盘，旋转运动；⑦乘电梯，平移运动， 故答案为②④⑥. 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，生活中的旋转现象，熟练掌握平移的定义，旋转的定义是解题的关键． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置运动到位置． (1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？ (2)运动有何共同点？ 【答案】(1)曲线运动 (2)见解析 【知识点】判断生活中的旋转现象、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了生活中的旋转． （1）根据几种运动的路线分析得出答案； （2）根据运动方式得出几种运动都属于旋转，根据旋转的性质，即可解答． 【详解】（1）解：上述几种运动是做曲线运动； （2）解：运动的共同点是都属于旋转，运动前后对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中线的距离相等． 【题型二】找旋转中心、旋转角、对应点 【例2】（22-23九年级上·浙江宁波·期末）下列图形绕某点旋转后，能与原来图形重合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】根据旋转对称图形的概念解答． 【详解】解：A、绕它的中心旋转能用原来图形重合，故本选项不合题意； B、绕它的中心旋转能用原来图形重合，故本选项合题意； C、绕它的中心旋转能用原来图形重合，故本选项不合题意； D、绕它的中心旋转能用原来图形重合，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了旋转对称图形的知识，如果某一个图形绕某一点旋转一定的角度后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江·期中）下列四个圆形图案中，旋转能与原图形完全重合且旋转角度最少的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转对称图形的知识，求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断． 【详解】解：A、最小旋转角度为； B、最小旋转角度为； C、最小旋转角度为； D、最小旋转角度为； 综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是B． 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点A旋转的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、求一个角的补角 【分析】本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：箕面与水平地面的夹角为， ，即箕面绕点旋转的度数为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． (1)如图1，作出关于点O对称的； (2)如图2，旋转得到，标出旋转中心点P． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查了作中心对称图形，利用图形旋转的性质作图，熟练掌握相关作图知识是解题的关键． （1）作出点A关于点O的对称点D，连结，，即得答案； （2）图形旋转的性质，分别作，的中垂线，两线的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，就是所求作的三角形； （2）解：如图，点P就是所求作的点． 【题型三】根据旋转的性质求解 【例3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，将三角形绕点按逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．本题考查了旋转性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：将三角形绕点按逆时针方向旋转后得到三角形， ，， ， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：绕点逆时针旋转得到， ， ． 故选C． 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，由题意可得，即得，，进而由旋转得为等边三角形，得到，即得，得到为等边三角形，即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，点C的对应点恰好落在的延长线上，边交边于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，掌握了以上知识是解答本题的关键； （1）连接、，根据矩形的性质得到，即，根据旋转的性质即可得到结论； （2）先证，再根据全等三角形的性质得到，设，则，，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接、，如图， ∵四边形为矩形， ∴，即， ∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ∴， ∴； （2）解：∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴． 【题型四】根据旋转的性质说明线段或角相等 【例4】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，，将 绕点逆时针旋转得到，点落在线段上，则两点间的距离为（    ）． A． B． C．6 D． 【答案】D 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、用勾股定理解三角形 【分析】在中，由勾股定理可得，再根据旋转性质可得，，，易得，然后在中由勾股定理求解即可获得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 又∵将 绕点逆时针旋转得到，点落在线段上， 由旋转性质可得，，，， ∴， ∴在中，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理等知识，理解并掌握旋转的性质是解题关键． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】利用旋转的性质及三角形内角和定理解题即可． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转，得到，点D在线段的延长线上， ∴, ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查旋转的性质及三角形内角和定理，能够熟练运用性质求角度是解题关键． 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，将图1的图形绕点A旋转相同的角度，重复多次后刚好回到原位，形成如图2所示的美丽图案，其中点B，点C，点D都是对应点，则 ． 【答案】 【知识点】正多边形的内角问题、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题考查了正多边形的内角和，等腰三角形，三角形内角和，根据正多边形的内角和定理求出每个内角的度数是解题的关键． 根据题意得出图形顶点连线构成一个正八边形，求出正八边形每个内角的度数为，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和计算即可． 【详解】解：由图可知图形绕点旋转八次后刚好回到原位， ∴图形顶点连线构成一个正八边形， ∴， ∵正八边形每个内角的度数为， ∴ ∴ ∴ 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，已知点，的坐标分别为，．    (1)画出关于原点成中心对称的图形； (2)将绕点按逆时针方向旋转时得到，画出； (3)直接写出线段和的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)垂直 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形、根据旋转的性质说明线段或角相等、画旋转图形、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了中心对称变换和旋转变换的作图、四边形的内角和、平行线的判定和性质、垂线的判定等知识，熟练掌握中心对称变换和旋转变换是解题的关键． （1）根据关于原点成中心对称，找出、的对应点、，画出即可； （2）根据绕点按逆时针方向旋转，找出、的对应点、，画出即可； （3）延长、相交于点，延长、相交于点，根据中心对称变换，得出，点、、在同一直线上，根据“内错角相等两直线平行”，推出，根据旋转变换，得出，，由，等量代换得出，结合四边形的内角和为，计算，根据“两直线平行同旁内角互补”，计算，即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求，    （2）解：如图，即为所求，    （3）解；线段和的位置关系是垂直，理由如下， 如图，延长、相交于点，延长、相交于点，    ∵关于原点成中心对称的图形， ∴绕点旋转后和重合， ∴，点、、在同一直线上， ∴， ∵绕点按逆时针方向旋转时得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型五】画旋转图形 【例5】（九年级上·全国·单元测试）将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画旋转图形 【分析】本题考查了旋转的定义.把一个图形绕某一点O旋转的图形变换叫做中心对称，据此进行判断即可 【详解】解：观查选项中的图形，只有C选项是绕点旋转得到， 故选：C 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，将线段绕原点按顺时针方向旋转，得线段，若点，点，点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、画旋转图形 【分析】本题考查作图旋转变换，根据旋转的性质作图，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，可得， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点A，B的坐标分别为，（），将绕点A按逆时针方向旋转得到，则格点的坐标 ． 【答案】 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、画旋转图形 【分析】本题考查了图形和坐标，旋转的性质．根据旋转定义作出图形即可解题． 【详解】解： 如图所示， 点的坐标为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在网格中按要求作图． (1)在图1中以点A为旋转中心，作绕点A顺时针旋转后得到的； (2)在图2中用无刻度的直尺作出的外心O．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画旋转图形、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题考查作图旋转变换、三角形的外接圆与外心，熟练掌握旋转的性质、三角形的外心的定义是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）结合三角形的外心的定义，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． （2）解：如图2，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 则点即为所求． 【题型六】求旋转对称图形的旋转角度 【例6】（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图所示的剪纸图片旋转一定角度后与自身重合，则这个角度至少是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查了求旋转对称图形的旋转角度．根据正五角形的对称性，用除以 5 计算即可得解． 【详解】， ∴旋转的角度角度至少． 故选B． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图是海上风力发电装置，相同的三个转子叶片呈均匀分布．若图案绕中心旋转后能与原图案重合，则可以取（    ） A．90 B．120 C．150 D．180 【答案】B 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是． 【详解】解：∵该图形被平分成三部分， ∴， 故选：B． 2．（浙江温州·中考真题）分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是 度． 【答案】90 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【详解】观察图形可得，图形有四个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 解：图形可看作由一个基本图形每次旋转90°，旋转4次所组成，故最小旋转角为90°． 故答案为90． 3．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A．矩形    B．正五边形    C．菱形    D．正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；    （3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（    ）个； A．0    B．1    C．2    D．3 （4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整． 【答案】（1）B；（2）(1)(3)(5)；（3）C；（4）见解析 【知识点】 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案、求旋转对称图形的旋转角度、旋转对称图形的识别 【分析】（1）根据旋转对称图形的定义进行判断； （2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断； （3）根据旋转对称图形的定义进行判断； （4）利用旋转对称图形的定义进行设计． 【详解】解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形， 故选：B． （2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)． 故答案为：(1)(3)(5)． （3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确； ②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋转对称图形，故②不正确； ③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确； 即命题中①③正确， 故选：C． （4）图形如图所示： 【点睛】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型七】求绕原点旋转90度的点的坐标 【例7】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕原点旋转90度的点的坐标、坐标系中的旋转 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，轴于点，结合旋转的性质，证明，得到，，即可得到的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点， 由旋转的性质可知，，， ， 轴，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ，， ， 故选：A． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】过点作轴于点D，利用直角三角形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查坐标与图形变化—旋转，旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质和直角三角形的有关性质是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点D， ∵，绕点逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是，    故选D． 2．（2023·浙江金华·中考真题）在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题． 【详解】解：过A点作轴，过B点作轴，    ∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴, ∴点B的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题． 3．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为一个长度单位，以点建立平面直角坐标系．    (1)画出绕点逆时针旋转后所得的图形； (2)写出点，的坐标． 【答案】(1)详见解析； (2)， 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、画旋转图形 【分析】本题考查了作图-旋转变换， （1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A1、B1即可得到； （2）根据图形直接得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，为所作；    （2）由（1）中图可知，，． 【题型八】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【例8】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，若点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，分别过点A和点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则，，证明得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 分别过点A和点作x轴的垂线，垂足分别为C、D， ∴， ∵点的坐标是，若点的坐标为， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，画出平面直角坐标系，作出新的，的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，， 故选：D． 2．（九年级上·浙江金华·期中）在的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知正方形网格中每个小正方形的边长都为1，线段的端点均在格点（网格线的交点）上，若线段是由线段绕点P旋转得到的，点的对应点M的坐标是，则点P的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】连接，作的中垂线，它们的交点就是点P，进而即可求解， 【详解】解：如图：连接，作的中垂线，它们的交点就是点P 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形与坐标，旋转的性质，关键是掌握对应点连线的中垂线的交点就是旋转中心． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． 请画出绕顺时针旋转后的并写出点 的坐标． 【答案】画图见解析，，． 【知识点】画旋转图形、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了作图——旋转变换，根据旋转的性质作图，即可得出答案，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求； 由图可得，，． 【题型九】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例9】（2023九年级上·浙江·专题练习）在在平面直角坐标系中，点的坐标是，将坐标原点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】根据旋转变换的性质画出图象即可解决问题． 【详解】解：观察图象可知，    故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，学会用图象法解决问题． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）将函数的图像绕原点O旋转180°，得到新的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数的图像与性质、旋转的性质分析解答即可． 【详解】解：对于函数，其图像开口向下，顶点坐标为（2，3）， 绕原点O旋转180°后，可知顶点坐标为（-2，-3），开口向上，开口大小不变， 所以，旋转后的函数解析式为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、二次函数的图像与性质等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． 2．（九年级上·浙江宁波·期中）已知点，则点绕原点顺时针旋转180°后的对应点的坐标为 ． 【答案】（-3，-2） 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】根据A点绕原点旋转180度得到A1，即A1与A关于原点对称，而关于原点对称的点的坐标特征为横纵坐标都互为相反数，由此进行求解即可． 【详解】解：∵A（3，2）点绕原点旋转180度得到A1， ∴A1的坐标为（-3，-2）， 故答案为：（-3，-2）． 【点睛】本题主要考查了点绕原点旋转后的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称点的坐标特征． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，的顶点坐标分别为，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为．    (1)画出旋转后的图形： (2)点的坐标是 (3)的形状是 【答案】(1)图见解析 (2) (3)等腰直角三角形 【知识点】画旋转图形、求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）由图可得答案； （3）由旋转可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，将点分别绕点O顺时针旋转得点，依次连接点， 即为所求；    （2）解：如图：    由旋转得：，，， ， 点的坐标是； （3）解：如图：    由旋转可得，， 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【题型十】坐标与旋转规律问题 【例10】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点；将绕点顺时针旋转得到；…如此进行下去，得到一条连续的曲线，若点在这条曲线上，则的值为（    ）    A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与旋转规律问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据抛物线与轴的交点问题得到，图象与轴交点坐标为: ，，再利用旋转的性质图象与轴交点坐标为: ，，则抛物线:，于是可推出抛物线：，由于，则有在抛物线上，然后根据二次函数图象上点的坐标特征计算的值即可． 【详解】∵如图抛物线：， ∴图象与轴交点坐标为: ，， ∵将绕点旋转得，交轴于点， ∴抛物线:， ∴将绕点旋转得，交轴于点， …， 如此进行下去， ∴抛物线：， ∵， ∴在抛物线上， ∴当时，， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数与几何变换，正确记忆旋转的特点，找到图形变换的规律是解题关键． 【举一反三】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第次旋转结束时，点C的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则每旋转4次则回到原位置，根据……3，即可得到第次旋转结束时，点C的坐标 【详解】解：如图，    由题可知，将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次则回到原位置， ∵……3， ∴第次旋转结束后，图形逆时针旋转了， ∵点，点， ∴， ∴第次旋转结束时，点C的坐标是， 故选：D． 【点睛】此题考查了点的坐标变化规律，找到点的最终位置是解题的关键． 2．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等边顶点的坐标为，将绕点顺时针方向旋转，同时边扩大为原来的2倍，得到，再将作相同变换得到，…，依次类推，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】本题考查了点坐标的规律探索、图形的旋转，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据旋转的性质确定第2025次旋转后，点位于轴的正半轴上，再归纳类推出第次旋转后，（为正整数），由此即可得． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵每次旋转角度为， ∴6次旋转， ∵，点位于轴的正半轴上， ∴第2025次旋转后，点位于轴的正半轴上， 由题意可知，第1次旋转后，， 第2次旋转后，， 第3次旋转后，， 归纳类推得：第次旋转后，（为正整数）， ∴第2025次旋转后，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 3．（九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段O M0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1 M0⊥O M0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2，如此下去，得到线段OM3，OM4，…，OMn （1）写出点M5的坐标； （2）求△M5OM6的周长； （3）我们规定：把点Mn（xn，yn）（n=0，1，2，3…）的横坐标xn，纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，|yn|）称之为点Mn的“绝对坐标”．根据图中点Mn的分布规律，请你猜想点Mn的“绝对坐标”，并写出来． 【答案】（1）；（2）；（3）当点M在x轴上时，点的“绝对坐标”为；当点M在y轴上时，点的“绝对坐标”为；当点M在各象限的角平分线上时，点的“绝对坐标”为 【知识点】坐标与旋转规律问题、旋转综合题(几何变换) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质分别求出M1、M2、M3、M4的坐标，然后求M5的坐标． （2）要求周长，就先根据各点的坐标求出三角形的三边长，然后再求周长． （3）点Mn的“绝对坐标”可分三类情况来一一当点M在x轴上时；当点M在各象限的分角线上时；当点M在y轴上时． 【详解】（1）由题得：OM0=M0M1， ∴M1的坐标为（1，1）． 同理M2的坐标为（0，2）， M3的坐标为（-2，2）， M4的坐标为（-4，0）， M5（-4，-4）； （2）由规律可知，OM5＝， M5M6=，OM6=8， ∴△ M5OM6的周长为8+； （3）由题意知，OM0旋转8次之后回到x轴的正半轴， 在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或x轴或y轴上， 但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数， 因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况： ①当n=4k时（其中k=0，1，2，3，），点在x轴上，则Mn； ②当n=4k-2时（其中k=1，2，3，），点在y轴上，点Mn； ③当n=2k-1时，点在各象限的角平分线上，则点Mn 【点睛】本题综合考查了旋转的性质及坐标系的知识． 【举一反三】 好题必刷 一、单选题 1．有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与一致或有倍数关系的则符合题意． 【详解】如图所示，计算出每个正多边形的中心角，是的3倍，则可以旋转得到． A. B. C. D. 观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合 故选C． 【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系． 2．下列图形中，绕某个点旋转72度后能与自身重合的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的定义即可得出答案. 【详解】解：A．旋转90°后能与自身重合，不合题意； B．旋转72°后能与自身重合，符合题意； C．旋转60°后能与自身重合，不合题意； D．旋转45°后能与自身重合，不合题意； 故选B． 【点睛】本题考查的是旋转：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． 3．如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，理解旋转角成为解题的关键．根据旋转的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形， ∴旋转角为：，，旋转中心为点A， 根据网格可知：， ∴，故A、B、D正确，不符合题意； ∵， ∴，故C错误，符合题意． 故选：C． 4．如图，在Rt中，，，将绕点C顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；如图，证明；求出，得到，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转α度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．生活中的旋转对称图形有很多，善于捕捉生活中的这些美丽的图形，积累素材，可以为今后设计图案打下基础，下列正多边形，绕其中心旋转一定角度后与自身重合，其中旋转角度最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，即可作出判断． 【详解】解：A、最小旋转角度； B、最小旋转角度； C、最小旋转角度； D、最小旋转角度； 综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是D． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键． 6．如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线AD于点E，分别交直线AD、AC于点F、G，则在图（2）中，全等三角形共有（    ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【答案】B 【详解】试题分析：根据旋转的性质和全等三角形的判定，有 ≌△ACD，≌△FDC， ≌△ACE，≌△AGF. 共4对．故选B． 7．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．本题可通过旋转的性质得出，，，，，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：由已知得：，则，，，， ∵， ∴，故A错误； ∵与不一定全等， ∴， ∵， ∴，故B错误； ∵， 又∵， ∴，故C错误； ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 8．如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．不能确定 【答案】A 【分析】如图作辅助线，利用旋转和三角形全等证明△DCG与△DEF全等，再根据全等三角形对应边相等可得EF的长，即△ADE的高，然后得出三角形的面积． 【详解】如图所示，作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC， ∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED， ∴∠EDF+∠CDF=90°，DE=CD， 又∵∠CDF+∠CDG=90°， ∴∠CDG=∠EDF， 在△DCG与△DEF中，， ∴△DCG≌△DEF（AAS）， ∴EF=CG， ∵AD=2，BC=3， ∴CG=BC﹣AD=3﹣2=1， ∴EF=1， ∴△ADE的面积是：×AD×EF=×2×1=1， 故选A． 【点睛】本题考查梯形的性质和旋转的性质，熟知旋转变换前后，对应点到旋转中心的距离相等、每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等是解题的关键．同时要注意旋转的三要素：①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 9．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AC1，AO，根据四边形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三点共线，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，进而求出DC1=OD，根据三角形的面积计算即可． 【详解】连接AC1， ∵四边形AB1C1D1是正方形， ∴∠C1AB1=×90°=45°=∠AC1B1， ∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1， ∴∠B1AB=45°， ∴∠DAB1=90°-45°=45°， ∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线， ∵正方形ABCD的边长是1， ∴四边形AB1C1D1的边长是1， 在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1=， 则DC1=-1， ∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°， ∴∠C1OD=45°=∠DC1O， ∴DC1=OD=-1， ∴S△ADO=×OD•AD=， ∴四边形AB1OD的面积是=2×=-1， 故选C． 10．如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据题中条件确定出点的轨迹是线段，则线段的最小值就转化为定点到点的轨迹线段的距离问题． 【详解】解：与固定夹角是，，点的轨迹是线段， 的轨迹也是一条线段． 两点确定一条直线，取点分别与重合时，所对应两个点Q， 来确定点的轨迹，得到如下标注信息后的图形： 求的最小值，转化为点到点的轨迹线段的距离问题， , 在中，, ,， 将逆时针绕点转动后得到， 为等边三角形，, 为的中点，根据三线合一知， , 过点作的垂线交于点, 在中，对应的边等于斜边的一半， ， 的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题中，两点间距离的最小值问题，解题的关键是：需要确定动点的轨迹，才能方便找到解决问题的突破口． 二、填空题 11．如图可以看作“  ”  绕中心旋转 次，每次旋转 度得到．    【答案】 3 90 【分析】根据旋转的性质求解即可． 【详解】 如图可以看作“  ”绕中心旋转3次，每次旋转90度得到． 故答案为：3，90． 【点睛】此题考查了旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． 12．如图，小聪将三角尺Rt△ABC绕点C逆时针方向旋转到△DEC的位置，其中∠A为30°，∠B为直角，若点A、C、E在一条直线上，则此次旋转变换中旋转角的度数为 ． 【答案】120° 【分析】先利用互余的性质计算出∠BCA=60°，再根据旋转的性质得到∠ACD等于旋转角，根据平角的定义即可求得旋转角的度数． 【详解】∵∠A=30°，∠B=90°， ∴∠BCA=90°-∠A=60°， ∵Rt△ABC绕点C逆时针方向旋转到△DEC的位置，使得点A、C、E在同一条直线上， ∴∠ACD等于旋转角， 根据旋转的性质知：∠ECD=∠BCA=60°， ∴∠ACD=180°-∠ECD =180°-60° =120°， ∴旋转角的度数为120°． 故答案为：120°． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 13．如图，已知的三个顶点坐标分别为，，，将绕坐标原点逆时针旋转，请在图中画出旋转后的图形．    （1）写出点的坐标为__________； （2）点关于坐标原点对称的点的坐标为__________． 【答案】图见解析；（1）；（2） 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用中心对称的性质解决问题即可． 【详解】（1）如图，即为所求，．    故答案为： （2）点关于坐标原点对称的点的坐标为． 故答案为： 【点睛】本题考查作图旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． 14．如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则 ． 【答案】50 【分析】先根据旋转的性质得到，再由平角的定义求出的度数，即可利用平行线的性质得到答案． 【详解】解：将绕点顺时针旋转至， ∴， ∵∠AOB=55°， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等和旋转的性质是解题的关键． 15．如图，在中，，，，将绕顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以，为圆心，、长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是 ． 【答案】 【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积－扇形DEF的面积计算即可得到答案． 【详解】解：作DH⊥AE于H， ∵∠AOB=90°，OA=3，OB=2， ∴， 由旋转得△EOF≌△BOA， ∴∠OAB=∠EFO， ∵∠FEO+∠EFO=∠FEO+∠HED=90°， ∴∠EFO=∠HED， ∴∠HED=∠OAB， ∵∠DHE=∠AOB=90°，， ∴△DHE≌△BOA（AAS）， ∴DH=OB=1，， ∴阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积－扇形DEF的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，掌握扇形的面积公式和旋转的性质是解题的关键． 16．如图，是等边三角形．若将AC绕点A逆时针旋转角后得到，连接和，则的度数为 ． 【答案】30°． 【分析】由旋转的性质得出AC=AC'，∠CAC'=α，由三角形的内角和定理求出∠AC'C的度数，由等边三角形的性质得出AB=AC'，由等腰三角形的性质求出∠AC'B的度数，则可得出答案． 【详解】解：∵将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AC'， ∴AC=AC'，∠CAC'=α， ∴∠ACC'=∠AC'C=， ∵是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∴AB=AC'， ∴∠AC'B=， ∴∠BC'C=∠AC'C-∠AC'B=(90°−)−(60°−)=30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键,考查了学生分析图形与综合应用的能力． 17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB=3，BC=4，则BD= （提示：可连接BE） 【答案】5． 【详解】连接BE，如右图所示，∵△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，AB=3，BC=4，∠ABC=30°，∴∠BCE=60°，CB=CE，AE=BD，∴△BCE是等边三角形，∴∠CBE=60°，BE=BC=4，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+60°=90°，∴AE===5，又∵AE=BD，∴BD=5，故答案为5． 考点：旋转的性质；推理填空题． 18．已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值． 【详解】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°， 又∵∠ACB＝60°， ∴∠BCQ＝120°， ∵点D是AC边的中点， ∴CD＝2， 当DQ⊥CQ时，DQ的长最小， 此时，∠CDQ＝30°， ∴CQ＝CD＝1， ∴DQ＝， ∴DQ的最小值是， 故答案为． 【点睛】本题主要考查线段最小值问题，关键是利用旋转、等边三角形的性质及勾股定理求解． 三、解答题 19．如图，绕点旋转后，顶点的对应点为点，试确定顶点的对应点的位置以及旋转后的三角形．    【答案】见解析 【分析】根据旋转的性质，作图即可． 【详解】解：设点的对应点为点，连接，则即为旋转角，作，且，如图，顶点的对应点的位置在点处，为绕点旋转后得到的三角形．    【点睛】本题考查旋转作图，熟练掌握旋转的三要素，是解题的关键． 20．如图,在11×11的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上). (1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;(要求A与A1,B与B1,C与C1相对应) (2)作出△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C． 【答案】(1)作图见解析；（2）作图见解析 【分析】（1）根据图形的对称性直接在图上作图即可（2）根据图形旋转的作图方法直接作图即可. 【详解】(1)△A1B1C1如图所示. (2)△A2B2C如图所示. 【点睛】此题重点考查学生对图形的对称和旋转的理解,掌握对称图形,图形旋转的作图方法是解题的关键. 21．如图，你能绕点O旋转，使得线段与线段重合吗？为什么？ 【答案】不能．旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，而图中与不相等，与也不相等． 【分析】根据旋转的性质：旋转前后对应点到对称中心的距离相等，可对本题进行判断． 【详解】解：绕点O旋转，线段与线段不 能重合， 由题可知：，， 点O不是这两条线段的旋转中心， 绕点O旋转，线段与线段不能重合． 【点睛】本题考查了旋转性质的应用，掌握旋转前后对应点到对称中心的距离相等是解题的关键． 22．如图，与为正三角形，点O为射线上的动点，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线 (1)如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段，上，求证：； (2)如图2，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； 【答案】(1)见解析． (2)，理由见解析． 【分析】（1）由等边三角形得到，，推出，即可证得结论． （2）过点O作交于点H，得到是等边三角形，证明，推出，即可得到． 【详解】（1）证明：∵与为正三角形， ∴，， 由旋转得， ∴， ∴（ASA）； （2）解：，理由如下： 如图3，过点O作交于点H， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴（）， ∴， ∵， ∴； 【点睛】此题考查了等边三角形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，根据题意分别作出相应的辅助线并运用类比思想及分类思想解决问题是解题的关键． 23．如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，求∠OFA的度数    【答案】25° 【分析】先利用正方形的性质得OA=OC，∠AOC=90°，再根据旋转的性质得OC=OF，∠COF=40°，则OA=OF，根据等腰三角形的性质得∠OAF=∠OFA，然后根据三角形的内角和定理计算∠OFA的度数． 【详解】解：∵四边形OABC为正方形， ∴OA=OC，∠AOC=90°， ∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF， ∴OC=OF，∠COF=40°， ∴OA=OF， ∴∠OAF=∠OFA， ∵∠AOF=∠AOC+∠COF=90°+40°=130°， ∴∠OFA=（180°-130°）=25°． 故答案为25°． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 24．在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣1）． （1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点A的坐标． （2）将△ABC绕着坐标原点顺时针旋转90°，画出旋转后的△A′B'C′． （3）接写出在上述旋转过程中，点A所经过的路径长． 【答案】（1）见解析，A点坐标为（﹣2，3）；（2）见解析；（3）点A所经过的路径长＝. 【分析】（1）利用B、C点的坐标建立直角坐标系，然后写出A点坐标； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′，从而得到△A′B'C′； （3）先利用勾股定理计算出OA，然后利用弧长公式计算点A所经过的路径长． 【详解】解：（1）如图，A点坐标为（﹣2，3）； （2）如图，△A′B′C′为所作； （3）如图，OA＝， 所以点A所经过的路径长＝． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式． 25．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，Rt△ ABC 的顶点均在个点上，在建立平面直角坐标系后，点 A 的坐标为（﹣6，1），点 B 的坐标为（﹣3，1），点 C 的坐标为（﹣3，3）． （1）将 Rt△ABC沿 x 轴正方向平移5个单位得到 Rt△A1B1C1，试在图上画出的图形 Rt△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）将原来的 Rt△ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°得到 Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形．    【答案】（1）（2）所画图形如图所示见解析，从图中可以看出点A1的坐标为（﹣1，1）． 【分析】（1）将三角形三点分别沿 x 轴向右移动5个单位得到它们的对应点，顺次连接即可． （2）将 A、C 两点绕 B 顺时针旋转 90°得到对应点，顺次连接各对应点，即成 Rt△A2B2C2． 【详解】（1）（2）所画图形如下所示，从图中可以看出点 A1的坐标为    【点睛】本题主要考查了平移变换作图和旋转变换作图，这两题作图的关键都是找对应点． 26．在边长为1的正方形网格中有格点（顶点均是网格线的交点）和格点．    (1)以为对称中心作出的中心对称图形； (2)以为旋转中心将顺时针旋转90°得到； (3)借助网格过作，垂足为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据中心对称的性质找出点A、B、C的对应点，然后用线段连接即可； （2）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点，然后用线段连接即可； （3）取格点E，使，再平移线段过点A，得到，与的交点垂足为，即为所作． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求．    （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：如图所示，即为所作． 【点睛】本题考查了中心对称作图和旋转作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 图形的旋转 （知识清单+10大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 判断生活中的旋转现象 题型二 找旋转中心、旋转角、对应点 题型三 根据旋转的性质求解 题型四 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型五 画旋转图形 题型六 求旋转对称图形的旋转角度 题型七 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型八 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型九 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型十 坐标与旋转规律问题 知识清单 知识点1．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点2．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　 　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　 　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　 　　③旋转前、后的图形全等．　　 （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点3．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点4．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 知识点5．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 知识点6．利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 题型方法 【题型一】判断生活中的旋转现象 【例1】（24-25九年级上·浙江·期中）下列现象不是旋转的是（   ） A．飞速旋转的电风扇 B．坐电梯从1楼到10楼 C．言言在荡秋千 D．关上教室门 【举一反三】 1．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，钟摆的摆动，这种图形的改变是（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．相似 2．（九年级上·全国·课后作业）我们在日常生活中有许多行为动作：如①拉抽屉；②拧水龙头；③划小船；④调钟表；⑤推动推拉门；⑥转动方向盘；⑦乘电梯.我们用数学的眼光来看，其中属于旋转的有 .（填序号） 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置运动到位置． (1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？ (2)运动有何共同点？ 【题型二】找旋转中心、旋转角、对应点 【例2】（22-23九年级上·浙江宁波·期末）下列图形绕某点旋转后，能与原来图形重合的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江·期中）下列四个圆形图案中，旋转能与原图形完全重合且旋转角度最少的是（   ） A．B．C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点A旋转的度数为 ． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． (1)如图1，作出关于点O对称的； (2)如图2，旋转得到，标出旋转中心点P． 【题型三】根据旋转的性质求解 【例3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，将三角形绕点按逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，点C的对应点恰好落在的延长线上，边交边于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型四】根据旋转的性质说明线段或角相等 【例4】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，，将 绕点逆时针旋转得到，点落在线段上，则两点间的距离为（    ）． A． B． C．6 D． 【举一反三】 1．（九年级上·浙江杭州·期中）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，将图1的图形绕点A旋转相同的角度，重复多次后刚好回到原位，形成如图2所示的美丽图案，其中点B，点C，点D都是对应点，则 ． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，已知点，的坐标分别为，．    (1)画出关于原点成中心对称的图形； (2)将绕点按逆时针方向旋转时得到，画出； (3)直接写出线段和的位置关系． 【题型五】画旋转图形 【例5】（九年级上·全国·单元测试）将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，将线段绕原点按顺时针方向旋转，得线段，若点，点，点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点A，B的坐标分别为，（），将绕点A按逆时针方向旋转得到，则格点的坐标 ． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在网格中按要求作图． (1)在图1中以点A为旋转中心，作绕点A顺时针旋转后得到的； (2)在图2中用无刻度的直尺作出的外心O．（保留作图痕迹） 【题型六】求旋转对称图形的旋转角度 【例6】（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图所示的剪纸图片旋转一定角度后与自身重合，则这个角度至少是（    ）    A． B． C． D．． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图是海上风力发电装置，相同的三个转子叶片呈均匀分布．若图案绕中心旋转后能与原图案重合，则可以取（    ） A．90 B．120 C．150 D．180 2．（浙江温州·中考真题）分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是 度． 3．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A．矩形    B．正五边形    C．菱形    D．正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；    （3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（    ）个； A．0    B．1    C．2    D．3 （4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整． 【题型七】求绕原点旋转90度的点的坐标 【例7】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·浙江金华·中考真题）在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是 ． 3．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为一个长度单位，以点建立平面直角坐标系．    (1)画出绕点逆时针旋转后所得的图形； (2)写出点，的坐标． 【题型八】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【例8】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，若点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（九年级上·浙江金华·期中）在的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知正方形网格中每个小正方形的边长都为1，线段的端点均在格点（网格线的交点）上，若线段是由线段绕点P旋转得到的，点的对应点M的坐标是，则点P的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． 请画出绕顺时针旋转后的并写出点 的坐标． 【题型九】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例9】（2023九年级上·浙江·专题练习）在在平面直角坐标系中，点的坐标是，将坐标原点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）将函数的图像绕原点O旋转180°，得到新的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（九年级上·浙江宁波·期中）已知点，则点绕原点顺时针旋转180°后的对应点的坐标为 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，的顶点坐标分别为，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为．    (1)画出旋转后的图形： (2)点的坐标是 (3)的形状是 【题型十】坐标与旋转规律问题 【例10】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点；将绕点顺时针旋转得到；…如此进行下去，得到一条连续的曲线，若点在这条曲线上，则的值为（    ）    A．4 B．3 C． D． 【举一反三】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第次旋转结束时，点C的坐标是（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等边顶点的坐标为，将绕点顺时针方向旋转，同时边扩大为原来的2倍，得到，再将作相同变换得到，…，依次类推，则点的坐标为 ． 3．（九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段O M0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1 M0⊥O M0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2，如此下去，得到线段OM3，OM4，…，OMn （1）写出点M5的坐标； （2）求△M5OM6的周长； （3）我们规定：把点Mn（xn，yn）（n=0，1，2，3…）的横坐标xn，纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，|yn|）称之为点Mn的“绝对坐标”．根据图中点Mn的分布规律，请你猜想点Mn的“绝对坐标”，并写出来． 好题必刷 一、单选题 1．有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 2．下列图形中，绕某个点旋转72度后能与自身重合的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 4．如图，在Rt中，，，将绕点C顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（   ） A． B． C． D． 5．把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转α度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．生活中的旋转对称图形有很多，善于捕捉生活中的这些美丽的图形，积累素材，可以为今后设计图案打下基础，下列正多边形，绕其中心旋转一定角度后与自身重合，其中旋转角度最小的是（　　） A． B． C． D． 6．如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线AD于点E，分别交直线AD、AC于点F、G，则在图（2）中，全等三角形共有（    ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 7．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（    ）      A． B． C． D． 8．如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．不能确定 9．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D．3 二、填空题 11．如图可以看作“  ”  绕中心旋转 次，每次旋转 度得到．    12．如图，小聪将三角尺Rt△ABC绕点C逆时针方向旋转到△DEC的位置，其中∠A为30°，∠B为直角，若点A、C、E在一条直线上，则此次旋转变换中旋转角的度数为 ． 13．如图，已知的三个顶点坐标分别为，，，将绕坐标原点逆时针旋转，请在图中画出旋转后的图形．    （1）写出点的坐标为__________； （2）点关于坐标原点对称的点的坐标为__________． 14．如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则 ． 15．如图，在中，，，，将绕顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以，为圆心，、长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是 ． 16．如图，是等边三角形．若将AC绕点A逆时针旋转角后得到，连接和，则的度数为 ． 17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB=3，BC=4，则BD= （提示：可连接BE） 18．已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是 ． 三、解答题 19．如图，绕点旋转后，顶点的对应点为点，试确定顶点的对应点的位置以及旋转后的三角形．    20．如图,在11×11的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上). (1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;(要求A与A1,B与B1,C与C1相对应) (2)作出△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C． 21．如图，你能绕点O旋转，使得线段与线段重合吗？为什么？ 22．如图，与为正三角形，点O为射线上的动点，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线 (1)如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段，上，求证：； (2)如图2，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； 23．如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，求∠OFA的度数    24．在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣1）． （1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点A的坐标． （2）将△ABC绕着坐标原点顺时针旋转90°，画出旋转后的△A′B'C′． （3）接写出在上述旋转过程中，点A所经过的路径长． 25．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，Rt△ ABC 的顶点均在个点上，在建立平面直角坐标系后，点 A 的坐标为（﹣6，1），点 B 的坐标为（﹣3，1），点 C 的坐标为（﹣3，3）． （1）将 Rt△ABC沿 x 轴正方向平移5个单位得到 Rt△A1B1C1，试在图上画出的图形 Rt△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）将原来的 Rt△ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°得到 Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形．    26．在边长为1的正方形网格中有格点（顶点均是网格线的交点）和格点．    (1)以为对称中心作出的中心对称图形； (2)以为旋转中心将顺时针旋转90°得到； (3)借助网格过作，垂足为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$