第07讲 垂径定理 （知识清单+6大题型+好题必刷） 【暑假预习】讲义2025-2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第07讲 垂径定理 （知识清单+6大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 利用垂径定理求值 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 题型四 利用垂径定理求解其他问题 题型五 垂径定理的推论 题型六 垂径定理的实际应用 知识清单 知识点1．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点2．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 题型方法 【题型一】利用垂径定理求值 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）半径等于6的圆中，垂直平分半径的弦长为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，残破的轮子上，弓形的弦为，高为，则这个轮子的半径长为（   ）． A． B．5 C． D．17 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知与轴交于点，与轴交于点，则圆心的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图， 是的直径，为上一点（点不与重合）， 与是过点的两条弦，且， ． (1)求证：平分； (2)若 ， ， 求的长； (3)求证：当点在 AB上运动时，的值不变，并求出这个定值． 【题型二】利用垂径定理求平行弦问题 【例2】（九年级上·浙江杭州·期末）AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（　　） A．1或7 B．7 C．1 D．3或4 【举一反三】 1．（九年级上·浙江宁波·期中）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 2．（九年级上·浙江温州·期中）已知⊙O的半径为2，⊙O中有两条平行的弦AB和CD，AB＝2，CD＝2，则两条弦之间的距离为 ． 3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【题型三】利用垂径定理求同心圆问题 【例3】（九年级上·浙江衢州·期中）已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 【举一反三】 1．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 2．（九年级·浙江杭州·）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 3．（九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【题型四】利用垂径定理求解其他问题 【例4】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则的面积是（    ） A．32或16 B．32或8 C．8或16 D．24或32 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 2．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上． (1)画出过A，B，C三点的圆的圆心P； (2)求的长． 【题型五】垂径定理的推论 【例5】（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列命题正确的是（ ） A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦 B．垂直于弦的直线平分弦 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格上格点，其中点、、，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，圆心坐标是 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点、、作一圆弧．    (1)所在圆的圆心的坐标为______； (2)求的长（结果保留）． 【题型六】垂径定理的实际应用 【例6】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，有一圆弧形桥拱，已知桥拱的跨度m，拱高，那么桥拱圆弧所在圆的半径为（   ） A．20m B．12m C．10m D．8m 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，某桥的主桥拱呈圆弧形，跨度为，拱高为，则该桥主桥拱半径约为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为， ，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 cm． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点如图，在的正方形网格图形中，经过点三个格点，请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） (1)在图中直接画出所在圆的圆心； (2)在图中把四等分． 好题必刷 一、单选题 1．下列说法中， 正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径必垂直弦 C．任何三角形有且仅有一个外接圆 D．等腰三角形的外心一定在这个三角形内 2．如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若AB＝20，CD＝16，则线段BE的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．下列命题中正确的是（ ） A．圆只有一条对称轴 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于弦的直径平分这条弦 D．相等的圆心角所对的弧相等 4．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心下方，若的直径为，水面宽，则水的最大深度为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中半径与弦垂直于点，且，，则的长是（    ） A． B．2 C．3 D．4 6．下列语句，错误的是（　　） A．直径是弦 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 7．如图，点C是⊙O上一点，⊙O的半径为，D、E分别是弦AC、BC上一动点，且OD=OE=，则AB的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．如图，是的弦，半径于点，且，，则的长是（    ） A． B． C． D． 9．如图，每个小正方形的边长为1，格点A、B、C在同一圆弧上，若点A的坐标为(﹣2，3)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（    ） A．(﹣1，1) B．(﹣3，0) C．(﹣3，1) D．(0，1) 10．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则圆心坐标是（  ）    A．点（1，0） B．点（2，1） C．点（2，0） D．点(2.5，1) 二、填空题 11．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，AB=10，OC⊥AB，垂足为点D，则AD= ． 12．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=24cm，OD=5cm，则DC= ． 13．如图，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R= cm. 14．一条弦把圆的直径分成3和11两部分，弦和直径相交成角，则的长为 ． 15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ． 16．某市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶的距离为10 cm，则修理人员准备更换的新管道的内径为 ．    三、解答题 17．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=10寸，问这块圆形木材的直径是多少？” 18．蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，求高度． 19．如图，是⊙O的一条直径，是⊙O 的一条弦，交AB 与点，, 若 AP=1 ， CD=4 ，求 ⊙O 的直径． 20．赵州桥如图是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）． 21．如图，已知⊙O的直径d=10，弦AB与弦CD平行，它们之间的距离为7，且AB=6，求弦CD的长． 22．如图，所在的直线垂直平分线段，利用这样的工具，最少使用多少次，就可以找到圆形工件的圆心？为什么？ 23．已知：如图，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3cm，BC＝10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求： （1）圆心O到AQ的距离； （2）线段EF的长． 24．如图，是的直径，于点，连接并延长交于点，且恰为的中点． (1)求的度数； (2)证明：是的中点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 垂径定理 （知识清单+6大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 利用垂径定理求值 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 题型四 利用垂径定理求解其他问题 题型五 垂径定理的推论 题型六 垂径定理的实际应用 知识清单 知识点1．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点2．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 题型方法 【题型一】利用垂径定理求值 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）半径等于6的圆中，垂直平分半径的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由题意和垂径定理得，再根据勾股定理可得，即可得出答案． 【详解】解：如图，垂直平分，连接， 由题意得： ∵垂直平分， ∴， ，， 根据勾股定理可得， ， ∴． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，残破的轮子上，弓形的弦为，高为，则这个轮子的半径长为（   ）． A． B．5 C． D．17 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，方程的应用等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．由垂径定理可得，设这个轮子的半径长为，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，， ， 设这个轮子的半径长为，则， ， ， 在中，， ， 解得：， 即这个轮子的半径长为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知与轴交于点，与轴交于点，则圆心的坐标是 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质，根据点的坐标，画出图形，利用垂径定理及中点坐标公式求出点的坐标即可．画出图形是解答本题的关键． 【详解】解：如图，的垂直平分线为直线，的垂直平分线为直线， 由垂径定理可知点的横坐标为，纵坐标为， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图， 是的直径，为上一点（点不与重合）， 与是过点的两条弦，且， ． (1)求证：平分； (2)若 ， ， 求的长； (3)求证：当点在 AB上运动时，的值不变，并求出这个定值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)的值不变，为，理由见解析． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】（）过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接，证明，即可求解； （）证明为等腰直角三角形，则，则，即可求解； （）由（）知，，设圆的半径为，过点作，则为等腰直角三角形，则，，由，即可求解． 【详解】（1）证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如上图，由（）知，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则； （3）证明：的值不变，为，理由， 由（）知，，设圆的半径为， 过点作，则为等腰直角三角形，则，， 在中，， 则， ∵， 则． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 【题型二】利用垂径定理求平行弦问题 【例2】（九年级上·浙江杭州·期末）AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（　　） A．1或7 B．7 C．1 D．3或4 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求平行弦问题 【分析】分两种情况：①当AB、CD在圆心两侧时；②当AB、CD在圆心同侧时；利用垂径定理及勾股定理求出答案. 【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时； 过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示： ∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8， ∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上， ∴EF为AB、CD之间的距离 在Rt△OEC中，由勾股定理可得： OE2＝OC2﹣CE2 ∴OE3， 在Rt△OFA中，由勾股定理可得： OF2＝OA2﹣AF2 ∴OF4， ∴EF＝OE+OF＝3+4＝7， AB与CD的距离为7； ②当AB、CD在圆心同侧时； 同①可得：OE＝3，OF＝4； 则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1； 综上所述：AB与CD间的距离为1或7． 故选：A. 【点睛】此题考查圆的垂径定理、直角三角形的勾股定理，解题中注意运用分类讨论的思想避免漏解. 【举一反三】 1．（九年级上·浙江宁波·期中）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 【答案】C 【知识点】垂径定理的实际应用、利用垂径定理求平行弦问题 【分析】先根据垂径定理和勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF，即可得出结论. 【详解】如图 作OE⊥AB于点E，交CD于F ∵AB=1.2，OE⊥AB，OA=1 ∴OE=0.8m ∵水管水面上升了0.2米， ∴OF=OE-EF=0.8-0.2=0.6m ∴m ∴CD=1.6m 故选C 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理是解题关键. 2．（九年级上·浙江温州·期中）已知⊙O的半径为2，⊙O中有两条平行的弦AB和CD，AB＝2，CD＝2，则两条弦之间的距离为 ． 【答案】+1或-1 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题 【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1所示， ∵AB＝2，CD＝2， ∴AF＝1，CE＝， ∵OA＝OC＝2， ∴EO＝1，OF＝， ∴EF＝OF﹣OE＝-1； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2所示， ∵AB＝2，CD＝2， ∴AE＝1，CF＝， ∵OA＝OC＝2， ∴EO＝，OF＝1， ∴EF＝OF+OE＝+1； 综上所述：AB和CD之间的距离为-1或+1． 故答案为：-1或+1． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用,解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题、利用垂径定理求解其他问题 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 【题型三】利用垂径定理求同心圆问题 【例3】（九年级上·浙江衢州·期中）已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求同心圆问题 【分析】连接OB，OC，作OD⊥BC，利用垂径定理和特殊角的三角函数可求得∠BOD=60°，从而求得答案.注意弦所对的圆周角有锐角和钝角两种情况. 【详解】①当△ABC时锐角三角形时， 连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D， ∴  ， ∵OB=2 ∴ ∴∠BOD=60° ∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°， ∵=， ∴； ②当△ABC时钝角三角形时，如图， 由①可知∠E=60°， ∵四边形ABEC是圆内接四边形， ∴∠E+∠A=180°， ∴∠A=180°-60°=120°. 故∠A的度数为60°或120°. 故答案为：C 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．正确作出辅助线是解题的关键. 【举一反三】 1．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求同心圆问题 【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点， C点是AB的中点，即AC=BC==6； 并且OC⊥AB，在中， 由勾股定理得， 所以；AO=8cm， 所以， 所以OC= 故选： 【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容. 2．（九年级·浙江杭州·）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 【答案】16 【知识点】利用垂径定理求同心圆问题 【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论． 【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD ∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD， ∴OM=AP 根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点， ∴S矩形APND=S矩形ABCD ∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长 ∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD ∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大 过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号） ∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4 故S△AOD的最大值为4 ∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16 故答案为：16． 【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键． 3．（九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、利用垂径定理求同心圆问题 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 【题型四】利用垂径定理求解其他问题 【例4】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则的面积是（    ） A．32或16 B．32或8 C．8或16 D．24或32 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用，分类讨论是解答本题的关键；已知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边的垂线，则所在直线必过圆心O；在中，由勾股定理可求出的长，进而可求出的面积，需注意本题的分锐角和钝角三角形两种情况． 【详解】解：如图①，过A作于D，则必过点O，连接， 在中，， 由勾股定理得：，则， ； 如图②， 同（1）可求得，则， ， 综上，的面积是32或8， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析、利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 2．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题考查垂径定理的应用，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，据此即可求解； 【详解】解：由图可知：， 分别作出弦的垂直平分线，如图所示： 根据弦的垂直平分线必过圆心可得：该圆弧所在圆的圆心坐标为， 故答案为： 3．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上． (1)画出过A，B，C三点的圆的圆心P； (2)求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、勾股定理与网格问题 【分析】（1）连接，，分别作线段，的垂直平分线，交点即为过A，B，C三点的圆的圆心P； （2）利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P， 则点P即为所求． ； （2）解：由勾股定理得，． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解答本题的关键． 【题型五】垂径定理的推论 【例5】（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列命题正确的是（ ） A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦 B．垂直于弦的直线平分弦 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 【答案】A 【知识点】判断命题真假、利用垂径定理求值、垂径定理的推论 【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可． 【详解】解：A、平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦，符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，故原说法错误，不符合题意； C、平分弦的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意； D、平分弦不是直径的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格上格点，其中点、、，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求值、垂径定理的推论 【分析】本题考查了垂径定理推论的应用，连接，，作与的垂直平分线，交于一点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，交点即为所求圆弧的圆心，掌握垂径定理推论是解题的关键． 【详解】解：连接，，作与的垂直平分线，交于一点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，交点即为所求圆弧的圆心，如图， 则圆心是， 故选：． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，圆心坐标是 ． 【答案】 【知识点】垂径定理的推论、坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理的推论，掌握垂径定理的推论，坐标与图形的关系是解题的关键． 根据垂径定理的推理“垂直平分弦的直线经过圆心”，分别连接，并作的垂直平分线，两线的交点即为圆心，再结合坐标与图形的特点即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，分别作的垂直平分线交于点， ∴， 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点、、作一圆弧．    (1)所在圆的圆心的坐标为______； (2)求的长（结果保留）． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】坐标与图形综合、求弧长、垂径定理的推论、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了弧长的计算、垂径定理、坐标与图形性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，即可得出答案； （2）根据扇形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， ∴作弦、的垂直平分线，交点即为圆心，如图所示，    则圆心的坐标为， 故答案为：； （2）解：连接、，如图所示：    由题意可得： 是等腰直角三角形，且 ∴的长为： 【题型六】垂径定理的实际应用 【例6】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，有一圆弧形桥拱，已知桥拱的跨度m，拱高，那么桥拱圆弧所在圆的半径为（   ） A．20m B．12m C．10m D．8m 【答案】C 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于的等式是解题关键． 根据垂径定理和勾股定理得出求解即可． 【详解】解：根据垂径定理可知， 在直角中，根据勾股定理得：， 设，， ∴， 解得：， 即， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，某桥的主桥拱呈圆弧形，跨度为，拱高为，则该桥主桥拱半径约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，理解题意，学会利用垂径定理和勾股定理求线段长度是解题的关键．对图形部分顶点命名，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理建立方程，解方程求出半径的值即可得出结论． 【详解】解：由题意得，，， ， ， 在中，， 由勾股定理得，， ， 解得：． 该桥主桥拱半径约为． 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为， ，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 cm． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 设圆的圆心为，连接，交于点，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，设圆的圆心为，连接，交于点， 根据题意得，， ， ， ， ， 锅盖最低点到的距离是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点如图，在的正方形网格图形中，经过点三个格点，请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） (1)在图中直接画出所在圆的圆心； (2)在图中把四等分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】垂径定理的实际应用、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查作图--垂直平分线，垂径定理，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作出线段，线段的垂直平分线的交点即可解答； （2）点是的中点，作出线段，的垂直平分线分别交于点，点，点、点、点即为所求的四等分点． 【详解】（1）解：如图，作出线段，线段的垂直平分线，交点即为所求圆心： （2）解：如图，点为的中点， 作出线段，的垂直平分线分别交于点，点， 所以点、、即为所求的四等分点． ． 好题必刷 一、单选题 1．下列说法中， 正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径必垂直弦 C．任何三角形有且仅有一个外接圆 D．等腰三角形的外心一定在这个三角形内 【答案】C 【分析】根据圆的相关概念及性质进行判断即可，不共线的三点确定一个圆，垂直于弦的直径一定平分弦，但是平分弦的直径不一定垂直弦，任何三角形有且仅有一个外接圆，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故可能在三角形内部也可能在边上． 【详解】解：A．若三点在同一直线上，不能确定一个圆，选项说法错误，不符合题意； B．两条直径互相平分但不一定垂直，选项说法错误，不符合题意； C．根据外接圆的性质，任何三角形有且仅有一个外接圆，选项说法正确，符合题意； D．等腰直角三角形的外心在三角形斜边的中点，不在三角形内，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的相关概念及性质，关键是熟记各种定义，理解三角形的外心，三角形的外接圆，以及垂径定理． 2．如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若AB＝20，CD＝16，则线段BE的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】连接OC，求出OC，CE，根据勾股定理求出OE，即可求出答案． 【详解】解：连接OC， ∵AB＝20， ∴OC＝OA＝OB＝10， ∵AB⊥CD，AB过O， ∴CE＝DE＝CD＝8， 在Rt△OCE中，由勾股定理得：OE＝＝6， ∴BE＝10﹣6＝4． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟练利用垂径定理是解题的关键．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 3．下列命题中正确的是（ ） A．圆只有一条对称轴 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于弦的直径平分这条弦 D．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】C 【分析】根据垂径定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系分别对每一项进行分析即可． 【详解】A.圆有无数条对称轴，故本选项错误， B. 平分弦(不是直径)的直径一定平分弦所对的弧，故本选项错误， C. 垂直于弦的直径平分弦，故本选项正确， D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误， 故选C. 【点睛】考查垂径定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系,比较基础，难度不大. 4．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心下方，若的直径为，水面宽，则水的最大深度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，， ∴， 即水的最大深度为， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 5．如图，在中半径与弦垂直于点，且，，则的长是（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据垂径定理可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵半径与弦垂直于点，， ∴，， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 6．下列语句，错误的是（　　） A．直径是弦 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 【答案】B 【分析】将每一句话进行分析和处理即可得出本题答案. 【详解】A.直径是弦，正确. B.∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等, ∴相等的圆心角所对的弧相等，错误. C.弦的垂直平分线一定经过圆心，正确. D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦，正确. 故答案选：B. 【点睛】本题考查了圆中弦、圆心角、弧度之间的关系，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 7．如图，点C是⊙O上一点，⊙O的半径为，D、E分别是弦AC、BC上一动点，且OD=OE=，则AB的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出OD⊥AC、OE⊥BC时∠ACB最大，从而得到AB最大，连接OC，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠ACO=30°，再根据垂径定理和勾股定理求出AC，然后求出∠ACB=60°，再求出AC=BC，从而得到△ABC是等边三角形，最后根据等边三角形的性质可得AB=AC． 【详解】： 如图，当OD⊥AC、OE⊥BC时∠ACB最大，AB最大， 连接OC， ∵O的半径为2,OD=， ∴∠ACO=30°， ∴AC=2CD=2=2=2， 同理可得∠BOC=30°， ∴∠ACB=60°， ∵OD=OE，OD⊥AC、OE⊥BC，∴AC=BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=2， 即AB的最大值为2. 故答案选A. 【点睛】本题考查的知识点是垂径定理定理，解题的关键是熟练的掌握垂径定理定理. 8．如图，是的弦，半径于点，且，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理由OC⊥AB得到AD=AB=4，再根据勾股定理开始出OD，然后用OC-OD即可得到DC． 【详解】连结OA，如图， ∵OC⊥AB， ∴AD=BD=AB=×8=4， 在Rt△OAD中，OA=5，AD=4， ∴OD==3， ∴DC=OC-OD=5-3=2． 故选C． 【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，解题关键在于掌握平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 9．如图，每个小正方形的边长为1，格点A、B、C在同一圆弧上，若点A的坐标为(﹣2，3)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（    ） A．(﹣1，1) B．(﹣3，0) C．(﹣3，1) D．(0，1) 【答案】B 【分析】连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心． 【详解】如图所示， 连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心． ∵点A的坐标为（-2，3）， ∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（-3，0）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心是解题关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则圆心坐标是（  ）    A．点（1，0） B．点（2，1） C．点（2，0） D．点(2.5，1) 【答案】C 【详解】试题分析：根据勾股定理可知A、B、C点到2的距离均为，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以. 故选C. 二、填空题 11．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，AB=10，OC⊥AB，垂足为点D，则AD= ． 【答案】5 【分析】根据垂径定理得出AD=BD，即可求出答案． 【详解】解：∵OC⊥AB，垂足为点D，OC过O， ∴AD=BD， ∵AB=10， ∴AD=5， 故答案为5． 【点睛】题目主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． 12．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=24cm，OD=5cm，则DC= ． 【答案】8cm/8厘米 【分析】利用勾股定理和垂径定理即可求解． 【详解】解：连接OA， ∵半径OC⊥AB于点D，AB=24cm ∴AD=AB=12cm， ∴=13(cm）， ∴DC=OC-OD=OA-OD=13-5=8(cm)． 故答案为：8cm． 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理．解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解． 13．如图，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R= cm. 【答案】13cm. 【分析】根据题意画出相应的图形，连接OA，由OC为弦心距得到OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，求出AC的长，在直角三角形AOC中，由OC与AC的长，利用勾股定理即可求出OA的长． 【详解】连接OA，如图所示， ∵OC为AB的弦心距， ∴OC⊥AB，又AB=24cm， ∴C为AB的中点,即AC=BC=AB=12cm， 在Rt△AOC中，OC=5cm，AC=12cm， 根据勾股定理得：OA= =13cm， 故答案为13cm. 【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，解题关键在于作辅助线和利用勾股定理进行计算. 14．一条弦把圆的直径分成3和11两部分，弦和直径相交成角，则的长为 ． 【答案】 【分析】首先根据题意画出图形,然后过点O作于点M设弦与直径相交于点N,连接,由一条弦把圆的直径分成3和11两部分,可求得半径与的长,继而求得的长,然后由勾股定理求得的长,然后由垂径定理求得的长. 【详解】根据题意画出图形，如图示， 作于M，连接， ∴， 由已知可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ． 【答案】4- 【详解】解：如图，连接OC， ∵弦CD⊥AB于点E，CD=6， ∵在中， 故答案为： 16．某市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶的距离为10 cm，则修理人员准备更换的新管道的内径为 ．    【答案】100 cm 【详解】如图，过O作OC⊥AB于C，连接AO，    ∴AC=AB=×60=30， CO=AO-10， 在Rt△AOC中，AO2=AC2+OC2， AO2=302+（AO-10）2，解得AO=50cm． ∴内径为2×50=100cm． 故答案是：100cm. 三、解答题 17．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=10寸，问这块圆形木材的直径是多少？” 【答案】CD=26寸． 【分析】连接OA，由题意知CD过点O，且CD⊥AB，AE=BE=AB=5（寸），设圆形木材半径OA的长为x，可知OE=x-1，根据OA2=OE2+AE2列方程求解可得． 【详解】解：连接OA， ∵AB⊥CD，且AB=10， ∴AE=BE=AB =5（寸）， 设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x ∵DE=1， ∴OE=x-1， 在Rt△AOE 中，根据勾股定理得：OA2-OE2=AE2 ， 解得：x=13 所以CD=26（寸）． 故答案为CD=26寸． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧及勾股定理是解题的关键． 18．蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，求高度． 【答案】 【分析】弦，半径，根据题意得是直角三角形，可求出的长，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，在中，，半径， ∴，，， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 19．如图，是⊙O的一条直径，是⊙O 的一条弦，交AB 与点，, 若 AP=1 ， CD=4 ，求 ⊙O 的直径． 【答案】5 【分析】利用垂径定理可判断BA垂直平分CD，再利用勾股定理解直角三角形即可. 【详解】∵ ， AB 是直径 ∴ AB ⊥ CD 且  CP=PD=2 设半径为 r  ，连接OC，在Rt△OCP中，      解得： ∴直径为 5 【点睛】此题考查的是垂径定理和勾股定理解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键. 20．赵州桥如图是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）． 【答案】27.3m 【分析】将拱形图形进行补充，构造直角三角形，利用勾股定理、垂径定理解题． 【详解】解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R，经过圆心O作弦的垂线为垂足，与相交于点C，连接，根据垂径定理，D是的中点，C是的中点，就是拱高， 由题设可知， 所以， ， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 因此，赵州桥的主桥拱半径约为． 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，是重要考点，根据题意作出辅助线，构造直角三角形是解题关键． 21．如图，已知⊙O的直径d=10，弦AB与弦CD平行，它们之间的距离为7，且AB=6，求弦CD的长． 【答案】8 【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，根据垂径定理得到 根据AB∥CD，得到点M、O、N在同一条直线上，在Rt△AOM中，根据勾股定理求出 进而求出ON，在Rt△CON中，根据勾股定理求出根据垂径定理即可求出弦CD的长． 【详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC， 则 ∵AB∥CD， ∴点M、O、N在同一条直线上， 在Rt△AOM中， ∴ON=MN﹣OM=3，     在Rt△CON中， ∵ON⊥CD， ∴CD=2CN=8． 【点睛】考查勾股定理以及垂径定理，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键. 22．如图，所在的直线垂直平分线段，利用这样的工具，最少使用多少次，就可以找到圆形工件的圆心？为什么？ 【答案】最少用2次，见解析 【分析】根据垂径定理的推论可得，所在直线是直径的位置，而两个直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心． 【详解】解：如图所示，根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心． 故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，解题的关键是掌握弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧． 23．已知：如图，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3cm，BC＝10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求： （1）圆心O到AQ的距离； （2）线段EF的长． 【答案】(1)即圆心O到AQ的距离为4cm；(2)EF=6cm. 【详解】试题分析： （1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，求出AO，根据含30度角的直角三角形性质求出即可； （2）连接OE，根据勾股定理求出EH，根据垂径定理得出即可． 试题解析： （1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H， ∵OH⊥EF， ∴∠AHO=90°， 在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°， ∴OH=AO， ∵BC=10cm， ∴BO=5cm． ∵AO=AB+BO，AB=3cm， ∴AO=3+5=8cm， ∴OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm． （2）连接OE， 在Rt△EOH中， ∵∠EHO=90°，∴EH2+HO2=EO2， ∵EO=5cm，OH=4cm， ∴EH==3cm， ∵OH过圆心O，OH⊥EF， ∴EF=2EH=6cm． 考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理． 24．如图，是的直径，于点，连接并延长交于点，且恰为的中点． (1)求的度数； (2)证明：是的中点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由垂径定理得出，由线段垂直平分线的性质得出，，从而得出，推出是等边三角形，即可得出结论； （2）证明出是等边三角形，结合得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，为的直径， ， 垂直平分， ， 为的中点，过圆心， ， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ，， （2）解：为的中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ，即是的中点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$