第01章 二次函数 章节（11知识点回顾+40题型练习） 【暑假预习】2025－2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第01章 二次函数 章节（11知识点回顾+40题型练习） 题型梳理 题型一 列二次函数关系式 题型二 二次函数的识别 题型三 根据二次函数的定义求参数 题型四 y=ax²的图象和性质 题型五 y=ax²+k的图象和性质 题型六 y=a（x-h）²的图象和性质 题型七 y=a（x-h）²+k的图象和性质 题型八 把y=ax²+bx+c化成顶点式 题型九 画y=ax²+bx+c的图象 题型十 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 题型十二 一次函数、二次函数图象综合判断 题型十三 反比例函数、二次函数图象综合判断 题型十四 根据二次函数的图象判断式子符号 题型十五 待定系数法求二次函数解析式 题型十六 二次函数图象的平移 题型十七 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型十八 根据二次函数的对称性求函数值 题型十九 y=ax²+bx+c的最值 题型二十 利用二次函数对称性求最短路径 题型二十一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二十二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型二十三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型二十四 抛物线与x轴的交点问题 题型二十五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型二十六 图象法确定一元二次方程的近似根 题型二十七 图象法解一元二次不等式 题型二十八 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型二十九 根据交点确定不等式的解集 题型三十 图形问题(实际问题与二次函数) 题型三十一 图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型三十二 拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型三十三 销售问题(实际问题与二次函数) 题型三十四 投球问题(实际问题与二次函数) 题型三十五 喷水问题(实际问题与二次函数) 题型三十六 增长率问题(实际问题与二次函数) 题型三十七 其他问题(实际问题与二次函数) 题型三十八 面积问题(二次函数综合) 题型三十九 角度问题(二次函数综合) 题型四十 其他问题(二次函数综合) 知识清单 知识点1．二次函数的定义 1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点3：二次函数y=ax2(a≠0)的图象 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 知识点4：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 （2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 要点诠释： 二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 知识点5：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 知识点6．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点7．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点8．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点9．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点10．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点11．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型练习 题型一 列二次函数关系式 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列二次函数关系式 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：C． 题型二 二次函数的识别 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2．据此判断即可． 【详解】解：．，是的一次函数，故该选项不符合题意； ．，是的一次函数 ，故该选项不符合题意； ．，是的二次函数 ，故该选项符合题意； ．，是的反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 题型三 根据二次函数的定义求参数 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果函数是关于x的二次函数，那么m的值一定是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ，且， ∴， 故答案为：． 题型四 y=ax²的图象和性质 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数 的图象过点，则必在该图象上的点还有 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性即可判断，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数 的图象的对称轴为轴， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴点必在该图象上， 故选：． 题型五 y=ax²+k的图象和性质 5．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，根据抛物线开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，函数值越小进行判断即可求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴抛物线上的点距离y轴越近，函数值越小， ∵， ∴， 故选：D． 题型六 y=a（x-h）²的图象和性质 6．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】4 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了抛物线的顶点式以及对称轴直线是该图象的顶点坐标的横坐标，掌握以上知识是解答本题的关键．根据，求得抛物线顶点坐标为，即可求解对称轴直线的解析式． 【详解】解：根据可知，抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， 故答案为：4． 题型七 y=a（x-h）²+k的图象和性质 7．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）已知函数 (1)填空：函数图像的开口方向是___________，对称轴是直线___________． (2)当___________时， 随的增大而减小． (3)以轴为对称轴，将拋物线进行轴对称变换， 求变换后所得到的拋物线解析式． 【答案】(1)向下， (2) (3) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）直接根据抛物线的顶点坐标式直接写出函数图象的开口方向，对称轴； （2）根据二次函数的性质得出结论； （3）根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：函数图象的开口向下，对称轴为直线； 故答案为：向下，； （2）解：当时，随的增大而减小； 故答案为：； （3）解：将抛物线沿轴进行轴对称变换，得到的新抛物线的解析式是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象变换的知识，解答本题的关键是记住抛物线顶点坐标式及正确的理解题意． 题型八 把y=ax²+bx+c化成顶点式 8．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数，在下面的三组条件中选一组，的值，使这个二次函数图象与轴有两个不同的交点． ①，；②，；③，． (1)请选出符合条件的一组，的值，求出函数图象与轴交点的坐标． (2)求所选二次函数图象的顶点坐标． 【答案】(1)符合条件的为②，函数图象与轴的两个交点坐标为， (2)函数图象的顶点坐标为 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质． （1）利用根的判别式的意义得到，再分别对三组数据进行判断，从而确定，；再求函数图象与轴交点的坐标即可， （2）把一般式配成顶点式得到此时抛物线的顶点坐标． 【详解】（1）解： 二次函数图象与轴有两个不同的交点， ∴， 当，时，，不合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，不合题意； 则符合条件的为②，此时函数表达式为． 令，解得． 函数图象与轴的两个交点坐标为，． （2）， 函数图象的顶点坐标为． 题型九 画y=ax²+bx+c的图象 9．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知函数图象经过点， (1)求b，c的值； (2)在图中画出这个函数的图象；（不必列表） (3)观察图像，当时，函数值y的取值范围是 ． 【答案】(1)b的值为2，c的值为3 (2)见解析 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可； （2）根据列表，描点，连线画图象即可． （3）利用数形结合思想，根据函数的增减性，最值解答即可． 【详解】（1）解：∵函数图象经过点，， ∴， 解得， ∴b的值为2，c的值为3． （2）解：由（1）得函数解析式为， 画图象如下： ． （3）解：由（1）得函数解析式为， ∵抛物线开口向下， ∴函数有最大值，且当时，取得最大值，最大值为4， 当时，， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，数形结合思想，二次函数的增减性应用，二次函数的最值应用，熟练掌握二次函数的增减性应用，二次函数的最值应用是解题的关键． 题型十 y=ax²+bx+c的图象与性质 10．（2025·浙江杭州·二模）反比例函数的图象在第二、四象限，则二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，二次函数图象与性质，首先根据反比例函数所在象限确定，再根据确定抛物线的开口方向和对称轴，即可选出答案，掌握反比例函数的性质与二次函数图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴二次函数的开口方向向下， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在轴右侧， ∴选项符合题意， 故选：． 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 11．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据时判定②，由抛物线图象性质判定④．要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 【详解】解：①抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，故，故正确； ②时，函数值小于0，则，故正确； ③与轴交于点和点，则对称轴，故，即，故③正确； ④当时，图象位于对称轴左边，随的增大而增大．故④错误； 综上所述，正确的为①②③，有3个． 故选：C． 题型十二 一次函数、二次函数图象综合判断 12．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）若对任意实数x，抛物线在直线的上方，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一次函数、二次函数图象综合判断、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】此题考查了二次函数和一次函数图象的交点问题、一元二次方程根的判别式．根据题意得到一元二次方程，即没有实数根，则，即可求出实数m的取值范围． 【详解】解：∵对任意实数x，抛物线在直线的上方， 即抛物线与直线没有交点， ∴一元二次方程，即没有实数根， 则， 解得， 故选：D 题型十三 反比例函数、二次函数图象综合判断 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数图象的综合判断，根据二次函数图象和性质得到的取值范围，再判断反比例函数的图象，即可得到答案． 【详解】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意； B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意； C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意； D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型十四 根据二次函数的图象判断式子符号 14．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，当时，解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的解集为{或} 【答案】BC 【知识点】求一元一次不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据时，解集是，得到抛物线的开口向上，抛物线与轴的两个交点坐标为，对称性求出抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，当时，解集是， ∴抛物线的开口向上，抛物线与轴的两个交点坐标为， ∴，抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴，故选项A错误； ，故选项B正确； ∵抛物线与轴的两个交点坐标为， ∴的两个根为， ∴， ∴， ∴，故选项C正确； ∴， ∴， 当时，， ∴当时，或；故选项D错误； 故选BC． 题型十五 待定系数法求二次函数解析式 15．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于和两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的横坐标为4，请直接写出当时，的取值范围是_______． 【答案】(1)； (2)或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、图象法解一元二次不等式 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数图形交点求不等式解集，掌握二次函数图形的性质是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：观察图象可知当或时，当， 故答案为：或． 题型十六 二次函数图象的平移 16．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ． 【答案】2或6 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，解题关键是正确掌握平移的规律．根据抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点，即可求解． 【详解】解：由抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点， 得或6． 故答案为：2或6． 题型十七 已知抛物线上对称的两点求对称轴 17．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，且）的图象上有点，点，设图象的对称轴为直线． （1）若，则的值为 ； （2）若，则的取值范围为 ． 【答案】 4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是采用数形结合的思想，借助图象和性质来求解． （1）根据对称点，即可求解对称轴； （2）根据，可知函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，图象有点，点，根据函数的性质即可判断出答案． 【详解】解：（1）若，则点关于直线对称， ∴， 故答案为：4； （2）， 图象开口向上，与轴的交点坐标为， 图象有点，点，且， ∴ ∴， 故答案为：． 题型十八 根据二次函数的对称性求函数值 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先由函数的解析式得开口向上，对称轴是直线，再逐个算出结合二次函数的图象过点．且，得，最后结合二次函数的对称性找出，关于直线对称的点的坐标为，同理得关于直线对称的点的坐标为，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口向上，对称轴是直线， ∵二次函数的图象过点，点 ∴ ∵二次函数的图象过点．且， ∴， ∵对称轴是直线， ∴关于直线对称的点的坐标为， ∴关于直线对称的点的坐标为， ∵二次函数的开口向上， ∴或． 故答案为：或． 题型十九 y=ax²+bx+c的最值 19．（2025·浙江舟山·一模）已知二次函数 (1)当时 ①求二次函数图象与x轴的交点坐标； ②若点是二次函数图象上的点，且，求的最小值． (2)若点和在二次函数图像上，且点C在对称轴的左侧，求证：． 【答案】(1)①二次函数图象与x轴的交点坐标为；②的最小值为． (2)见解析 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴交点情况，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）①将代入中，得到二次函数解析式，再当时，有，求解该方程，即可解题； ②根据题意得到，利用二次函数解析式表示出，进而得到，再结合二次函数最值情况求解，即可解题； （2）根据题意得到二次函数对称轴为直线，进而推出，再分别表示出，进而表示出，再结合求解，即可解题． 【详解】（1）解①：当时，， 当时，有， 解得， 二次函数图象与x轴的交点坐标为； ②点是二次函数图象上的点，且， ， ， ， ， 的最小值为． （2）证明：二次函数， 二次函数对称轴为直线， 点C在对称轴的左侧， ，即， 点和在二次函数图像上， ， ， ， ， ， ， ． 题型二十 利用二次函数对称性求最短路径 20．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．    【答案】 【知识点】利用二次函数对称性求最短路径 【分析】根据抛物线的对称性，连接交对称轴于M，此时最短，利用待定系数法求得直线的解析式即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短，    设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线经过、， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点M坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、最短路径问题，会利用抛物线的对称性解决最短路径问题是解答的关键． 题型二十一 求抛物线与x轴的交点坐标 21．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数． (1)求函数图象与坐标轴的交点坐标． (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)与轴的交点坐标为，与轴的交点为， (2)或 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点以及根据交点确定不等式的解集，熟记相关知识及求解方法即可； （1）分别令、即可求解； （2）根据抛物线开口向上，与轴的交点为，即可求解； 【详解】（1）解：∴令，则； ∴与轴的交点坐标为， 令，解得：，， 与轴的交点为，． （2）解：∵抛物线开口向上，与轴的交点为，． ∴当时，的取值范围是或． 题型二十二 求抛物线与y轴的交点坐标 22．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】将代入抛物线的方程中求出y的值即可． 本题考查二次函数图象点的坐标特征，解题的关键将代入抛物线中，本题属于基础题型． 【详解】解：将代入， ∴， ∴抛物线与y轴的交点为， 故选：A． 题型二十三 已知二次函数的函数值求自变量的值 23．（24-25九年级上·浙江台州·期中）一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程20m，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足“一次函数”、“二次函数”关系中的一种．测得一些数据如下： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 2 6 12 20 (1)s是t的__________函数（填“一次”、“二次”）； (2)求s关于t的函数表达式； (3)已知第二位滑雪者也从该山坡滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足函数关系．记第一位滑雪者滑完全程所用时间为，第二位滑雪者滑完全程所用时间为，则__________（填“<”，“=”或“>”）． 【答案】(1)二次 (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数的识别、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的关系式，已知函数值求自变量的值， 对于（1），根据自变量增加1时，函数值依次增加的情况可得答案； 对于（2），用待定系数法求出函数关系式即可 对于（3），当时，分别求出t，再比较大小． 【详解】（1）解：自变量增加1时，函数值依次增加了2,4,6,8，可知是二次函数； 故答案为：二次； （2）解：设函数关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴函数关系式为； （3）解：根据题意，得， 当时，， ∴． 故答案为：． 题型二十四 抛物线与x轴的交点问题 24．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数（，，是常数，且）． (1)若，函数图象过点． ①用含的代数式表达； ②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点． (2)若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求的取值范围． 【答案】(1)①；②见详解； (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． (1) ①将代入，得，即可得； ②令，可得，即一元二次方程有两个不相等的实数根，进而可得结论． (2)由题意可得，求出h的取值范围即可． 【详解】（1）解∶①， ， 将代入， 得， ； ②证明∶令， ， ， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 不论b为何值，该函数图象与轴一定有两个交点； （2）解∶，点和在抛物线上， 对称轴为直线，， ， 解得， 的取值范围为． 题型二十五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 25．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”． (1)任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”． (2)已知二次函数． ①求证：该函数图象上一定存在两个“点”． ②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①证明见解析；② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题意是解题关键． （1）对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，则方程有解；即：方程有解；推出即可求解； （2）①令，则，根据即可求证；②设，由题意得函数图象与轴相交于点，，根据该函数图象开口向上，且，可推出当时，即，即可求解； 【详解】（1）解：对于任意二次函数，若其图象上存在“点”， 则方程有解； 即：方程有解； ∴； 二次函数满足要求； （2）解：①令，则， ， 一定存在两个“点”． ②设， 是的解， 函数图象与轴相交于点，， 该函数图象开口向上，且， 当时，即， ． 题型二十六 图象法确定一元二次方程的近似根 26．（24-25九年级上·浙江台州·期末）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程的一个解x可能的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．利用二次函数和一元二次方程的关系求解即可． 【详解】解：观察表格，可知：当时 ，，当时，， ∴方程的一个解x可能的取值范围是． 故选：B． 题型二十七 图象法解一元二次不等式 27．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数． (1)求此函数图象的顶点坐标，与y轴交点，并指出它的开口方向； (2)直接写出当时x的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为，抛物线开口方向下，与y轴交点为 (2) 【知识点】图象法解一元二次不等式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与不等式，掌握二次函数的顶点式对应的开口方向、与坐标轴交点、顶点坐标是解题的关键． （1）由题意写出顶点坐标，再根据二次项系数小于0确定出开口向下，令即可求出与y轴交点坐标； （2）求出该函数图象与轴的交点坐标为，，则可得出抛物线在轴上方部分的的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的解析式为， ∴顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口方向下， 当，， ∴与y轴交点为； （2）令，则， 整理得， 解得，， 所以该函数图象与轴的交点坐标为，， ∴时，的取值范围． 题型二十八 利用不等式求自变量或函数值的范围 28．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）若满足的任意实数，都能使不等式成立，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断反比例函数的增减性、利用不等式求自变量或函数值的范围、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质、反比例函数的性质、不等式的性质，根据题意可以得到关于的不等式，再根据二次函数和反比例函数的性质可以求得的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 而双曲线分布在第一、三象限， ∵，， ∴时，，解得： 时，，解得：， ∴实数的取值范围是． 故选：B． 题型二十九 根据交点确定不等式的解集 29．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，直线的解析式为． (1)请直接写出：_______，_______，顶点_______； (2)当时，的取值范围是_______； (3)当时，x的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】根据交点确定不等式的解集、y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式（组），待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）当时求出，再结合顶点坐标得出函数最大值，即可得出答案； （3）分三种情况讨论，可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，函数的表达式为：， 故， 顶点为：， 故答案为：； （2）解：根据题意可得函数的对称轴为直线， 当时，，当时，， 当时，函数值随着的增大而增大，最大值为4， 当时，函数值随着的增大而减小， ∴， 故答案为：； （3）解：当和时，， ∴当时，； 当时，， 当时，． 所以当，即时，的取值范围是或， 故答案为：或． 题型三十 图形问题(实际问题与二次函数) 30．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为米，该窗口的透光面积为平方米（计算透光面积时材料忽略不计）． (1)求关于的函数表达式． (2)当取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意表示出下部分矩形的长，并熟练掌握二次函数的性质． （1）先结合图形得出下部分矩形的长为，再根据矩形的面积公式求解即可； （2）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，下部分矩形的长米， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∵， ∴， ∵， ∴当时，y最大，最大值为， ∴当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米． 题型三十一 图形运动问题(实际问题与二次函数) 31．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，，是的中点，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动． （1）出发2秒后，点P，Q之间的距离是 ． （2）当的面积最小时，点，之间的距离是 ． 【答案】 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形面积的计算，正确表示出线段的长度是解题的关键． （1）求得、的长度，由勾股定理定理可得解； （2）设点、同时出发，秒钟后，的面积最小，此时，，，，到的距离为，到的距离为，此时，由二次函数的性质得出当时，的面积最小，求出此时，，由勾股定理定理可得解． 【详解】解：（1）如图， 在中，，，， ， 由题意可知，， ． 点，之间的距离是； 故答案为：； （2）设经过时，的面积最小， 在中，，，，， 是的中点， 到的距离为，到的距离为， ， 当时，的面积最小，此时，， ． 当的面积最小时，点，之间的距离是． 故答案为：． 题型三十二 拱桥问题(实际问题与二次函数) 32．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面． (1)请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． (2)若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？ 【答案】(1)作图见解析， (2)能通过 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，熟练掌握待定系数法． （1）先建立平面直角坐标系，然后用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）把代入抛物线解析式，求出，然后作出判断即可． 【详解】（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一）， 设抛物线解析式为：， 把代入，得， 解得：， ． （2）解：当时，， 能通过． 题型三十三 销售问题(实际问题与二次函数) 33．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某电商计划售卖一批笔记本电脑，每台售价为5000元，每月可售出100台．为了促进销售，决定将笔记本电脑降价销售，但不能亏本，且降价需大于0元．经调查发现：每台降价100元，每月可多售出10台．已知笔记本电脑的成本为每台3800元． (1)当每月获利72000元时，求此时每台笔记本电脑的售价； (2)当每台笔记本电脑售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)此时每台笔记本电脑的售价为4200元； (2)当每台笔记本电脑售价为4900元时，每月的销售利润最大 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确列式计算是解题关键． (1)根据题意设未知数，利用等量关系列出方程，求出方程的解，即可求出每台笔记本电脑的售价； (2)设未知数，根据题意列出函数关系式，利用二次函数的性质求出最值，即可求出每台笔记本电脑的售价． 【详解】（1）解∶设每台笔记本电脑降价元， 根据题意得， 整理得， 解得， 当时，． 当时，不符合题意． 答∶此时每台笔记本电脑的售价为4200元； （2）解∶ 设每台笔记本电脑降价a个100元，每月的销售利润为y元， 根据题意得∶， 整理得． ． 当时，有最大值，最大值为121000， 此时每台笔记本电脑的售价为 (元) 答∶当每台笔记本电脑售价为4900元时，每月的销售利润最大． 题型三十四 投球问题(实际问题与二次函数) 34．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某排球队员站在发球区发球，排球发出后向正前方行进，行进高度与水平距离之间函数的表达式是 求： (1)已知发球点到排球网的水平距离为，网高，排球是否能打过网？ (2)当排球走过的水平距离是多少时，排球距离地面最高？ (3)已知排球场地的长为，排球将落在界内还是界外？ 【答案】(1)排球不能打过网 (2)当排球走过的水平距离是时，排球距离地面最高 (3)排球落在界内 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的值与排球的高度的关系及二次函数的性质是解题的关键． （1）计算当时的函数值，将函数值与比较即可解答； （2）将二次函数解析式化成成顶点式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）计算当时的函数值，当时，排球将落在界内；当时，排球落在边界上；当时，排球落在界外，据此判定即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 故排球不能打过网． （2）解：∵， ∴当排球走过的水平距离是时，排球距离地面最高． （3）解：当时，， ∴排球落在界内． 题型三十五 喷水问题(实际问题与二次函数) 35．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）某游乐园要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点O建立直角坐标系．若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，已知装饰物的设计高度为， (1)求第一象限中的抛物线的表达式； (2)若有一只蜻蜓恰好在水平距离喷水池中心的地方（地面或水面）停留，那么当喷泉喷水时，蜻蜓是否会受到影响？先判断再利用所学的数学知识说明理由． 【答案】(1) (2)不会受到影响，理由见解析 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确得出抛物线解析式是解题关键． （1）由题意可得顶点坐标为：，再直接利用顶点式求出二次函数解析式进而得出答案； （2）把代入求解的值，再进一步解答即可求解． 【详解】（1）解：设第一象限的函数为（）， 由题意，可知在图象上，则， 解得，， ∴. （2）解：蜻蜓不会受到影响，理由如下： 令，，   （不合题意舍去）， ∵， ∴蜻蜓在喷水池外，不会受到影响． 题型三十六 增长率问题(实际问题与二次函数) 36．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为，则该工厂3月份的产值y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据：现有量=原有量×(1+增长率，即可列出函数解析式． 【详解】依题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的应用，可直接套公式：原有量×(1+增长率=现有量，表示增长的次数． 题型三十七 其他问题(实际问题与二次函数) 37．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（   ） A．3.7 B．4.1 C．4.5 D．5 【答案】B 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键，根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，s的值，进而得到s的取值范围，从而得到答案． 【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：， ∴， ∴解析式为：， 当时，的最大值为， 令，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的， ∴其最大高度为：， ∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线， 设B处着地后弹起的抛物线解析式为：， 将点代入该解析式得：， 解得：或（舍去）， ∴该抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B的坐标为，则点的坐标为， ∵圆柱形的高为， 当时，则， 解得：或（舍去）， ∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，， ∵筐的底面半径为，直径为， ∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，， ∴， ∴选项B中的满足条件， 故选：B． 题型三十八 面积问题(二次函数综合) 38．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数与轴交于A、两点，与轴交于点． (1)求线段的长； (2)点在轴上方，当时，求点的坐标． 【答案】(1)6 (2)， 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数与几何的综合的关系等知识点，将求点坐标的问题转化为解一元二次方程的问题成为解题的关键． （1）令，然后得到方程求解确定，然后根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）先确定，再结合题意可知点P的横坐标为5，令得到方程求解，即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：令，则，解得：，， ∴ ∴． （2）解：当时，， ∴， ∵点在轴上，， ∴点P的横坐标为5， 令，则，解得：，， ∴的坐标为，． 题型三十九 角度问题(二次函数综合) 39．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）综合与实践： 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值； (3)小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）将点和点代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）先确定直线的解析式，设点，则点，根据三角形的面积公式列出函数解析式求解即可； （3）分两种情况求解：当点在轴上方时和当点在轴下方时． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）如图1，过点作轴交线段于点，垂足为点， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， 设直线的表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为， 设点，则点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为； （3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时， ∵， ∴， ∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为， 当时，则， 解得，，， ∴， 如图3，当点在直线的下方的抛物线上时， 设交轴于点， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键． 题型四十 其他问题(二次函数综合) 40．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数其中， (1)求二次函数图象与x轴交点坐标； (2)当时，y随x的增大而增大，求整数a的值； (3)若二次函数的图象与线段有交点，请直接写出a的范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解题意，熟练运用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）得：，解得，即可得到图象与与x轴交点坐标； （2）由时，y随x的增大而增大可知且，并结合为整数即可得解； （3）根据题意，二次函数在，，（在线段的两个端点及顶点处）的函数值与4比较，分和并结合函数图象，得到a的范围； 【详解】（1）令得： 解得： 故二次函数图象与x轴交点坐标为， （2）， 故对称轴为， 时，y随x的增大而增大， 故开口向上，即， ， 解得： 则， 又∵为整数， 或 （3）当时，， 当时，， 当时，， ∵二次函数的图象与线段有交点， 当时，开口向上，当时，，解得：， 当时，开口向下，当时，，解得：， 综上：或 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 二次函数 章节（11知识点回顾+40题型练习） 题型梳理 题型一 列二次函数关系式 题型二 二次函数的识别 题型三 根据二次函数的定义求参数 题型四 y=ax²的图象和性质 题型五 y=ax²+k的图象和性质 题型六 y=a（x-h）²的图象和性质 题型七 y=a（x-h）²+k的图象和性质 题型八 把y=ax²+bx+c化成顶点式 题型九 画y=ax²+bx+c的图象 题型十 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 题型十二 一次函数、二次函数图象综合判断 题型十三 反比例函数、二次函数图象综合判断 题型十四 根据二次函数的图象判断式子符号 题型十五 待定系数法求二次函数解析式 题型十六 二次函数图象的平移 题型十七 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型十八 根据二次函数的对称性求函数值 题型十九 y=ax²+bx+c的最值 题型二十 利用二次函数对称性求最短路径 题型二十一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二十二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型二十三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型二十四 抛物线与x轴的交点问题 题型二十五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型二十六 图象法确定一元二次方程的近似根 题型二十七 图象法解一元二次不等式 题型二十八 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型二十九 根据交点确定不等式的解集 题型三十 图形问题(实际问题与二次函数) 题型三十一 图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型三十二 拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型三十三 销售问题(实际问题与二次函数) 题型三十四 投球问题(实际问题与二次函数) 题型三十五 喷水问题(实际问题与二次函数) 题型三十六 增长率问题(实际问题与二次函数) 题型三十七 其他问题(实际问题与二次函数) 题型三十八 面积问题(二次函数综合) 题型三十九 角度问题(二次函数综合) 题型四十 其他问题(二次函数综合) 知识清单 知识点1．二次函数的定义 1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点3：二次函数y=ax2(a≠0)的图象 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 知识点4：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 （2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 要点诠释： 二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 知识点5：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 知识点6．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点7．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点8．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点9．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点10．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点11．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型练习 题型一 列二次函数关系式 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 题型二 二次函数的识别 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 题型三 根据二次函数的定义求参数 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果函数是关于x的二次函数，那么m的值一定是 ． 题型四 y=ax²的图象和性质 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数 的图象过点，则必在该图象上的点还有 （    ） A． B． C． D． 题型五 y=ax²+k的图象和性质 5．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．或 D． 题型六 y=a（x-h）²的图象和性质 6．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）抛物线的对称轴为直线 ． 题型七 y=a（x-h）²+k的图象和性质 7．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）已知函数 (1)填空：函数图像的开口方向是___________，对称轴是直线___________． (2)当___________时， 随的增大而减小． (3)以轴为对称轴，将拋物线进行轴对称变换， 求变换后所得到的拋物线解析式． 题型八 把y=ax²+bx+c化成顶点式 8．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数，在下面的三组条件中选一组，的值，使这个二次函数图象与轴有两个不同的交点． ①，；②，；③，． (1)请选出符合条件的一组，的值，求出函数图象与轴交点的坐标． (2)求所选二次函数图象的顶点坐标． 题型九 画y=ax²+bx+c的图象 9．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知函数图象经过点， (1)求b，c的值； (2)在图中画出这个函数的图象；（不必列表） (3)观察图像，当时，函数值y的取值范围是 ． 题型十 y=ax²+bx+c的图象与性质 10．（2025·浙江杭州·二模）反比例函数的图象在第二、四象限，则二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 11．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十二 一次函数、二次函数图象综合判断 12．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）若对任意实数x，抛物线在直线的上方，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十三 反比例函数、二次函数图象综合判断 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型十四 根据二次函数的图象判断式子符号 14．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，当时，解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的解集为{或} 题型十五 待定系数法求二次函数解析式 15．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于和两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的横坐标为4，请直接写出当时，的取值范围是_______． 题型十六 二次函数图象的平移 16．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ． 题型十七 已知抛物线上对称的两点求对称轴 17．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，且）的图象上有点，点，设图象的对称轴为直线． （1）若，则的值为 ； （2）若，则的取值范围为 ． 题型十八 根据二次函数的对称性求函数值 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是 ． 题型十九 y=ax²+bx+c的最值 19．（2025·浙江舟山·一模）已知二次函数 (1)当时 ①求二次函数图象与x轴的交点坐标； ②若点是二次函数图象上的点，且，求的最小值． (2)若点和在二次函数图像上，且点C在对称轴的左侧，求证：． 题型二十 利用二次函数对称性求最短路径 20．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．    题型二十一 求抛物线与x轴的交点坐标 21．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数． (1)求函数图象与坐标轴的交点坐标． (2)当时，直接写出的取值范围． 题型二十二 求抛物线与y轴的交点坐标 22．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 题型二十三 已知二次函数的函数值求自变量的值 23．（24-25九年级上·浙江台州·期中）一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程20m，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足“一次函数”、“二次函数”关系中的一种．测得一些数据如下： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 2 6 12 20 (1)s是t的__________函数（填“一次”、“二次”）； (2)求s关于t的函数表达式； (3)已知第二位滑雪者也从该山坡滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足函数关系．记第一位滑雪者滑完全程所用时间为，第二位滑雪者滑完全程所用时间为，则__________（填“<”，“=”或“>”）． 题型二十四 抛物线与x轴的交点问题 24．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数（，，是常数，且）． (1)若，函数图象过点． ①用含的代数式表达； ②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点． (2)若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求的取值范围． 题型二十五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 25．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”． (1)任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”． (2)已知二次函数． ①求证：该函数图象上一定存在两个“点”． ②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围． 题型二十六 图象法确定一元二次方程的近似根 26．（24-25九年级上·浙江台州·期末）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程的一个解x可能的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型二十七 图象法解一元二次不等式 27．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数． (1)求此函数图象的顶点坐标，与y轴交点，并指出它的开口方向； (2)直接写出当时x的取值范围． 题型二十八 利用不等式求自变量或函数值的范围 28．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）若满足的任意实数，都能使不等式成立，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 题型二十九 根据交点确定不等式的解集 29．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，直线的解析式为． (1)请直接写出：_______，_______，顶点_______； (2)当时，的取值范围是_______； (3)当时，x的取值范围是_______． 题型三十 图形问题(实际问题与二次函数) 30．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为米，该窗口的透光面积为平方米（计算透光面积时材料忽略不计）． (1)求关于的函数表达式． (2)当取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？ 题型三十一 图形运动问题(实际问题与二次函数) 31．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，，是的中点，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动． （1）出发2秒后，点P，Q之间的距离是 ． （2）当的面积最小时，点，之间的距离是 ． 题型三十二 拱桥问题(实际问题与二次函数) 32．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面． (1)请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． (2)若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？ 题型三十三 销售问题(实际问题与二次函数) 33．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某电商计划售卖一批笔记本电脑，每台售价为5000元，每月可售出100台．为了促进销售，决定将笔记本电脑降价销售，但不能亏本，且降价需大于0元．经调查发现：每台降价100元，每月可多售出10台．已知笔记本电脑的成本为每台3800元． (1)当每月获利72000元时，求此时每台笔记本电脑的售价； (2)当每台笔记本电脑售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 题型三十四 投球问题(实际问题与二次函数) 34．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某排球队员站在发球区发球，排球发出后向正前方行进，行进高度与水平距离之间函数的表达式是 求： (1)已知发球点到排球网的水平距离为，网高，排球是否能打过网？ (2)当排球走过的水平距离是多少时，排球距离地面最高？ (3)已知排球场地的长为，排球将落在界内还是界外？ 题型三十五 喷水问题(实际问题与二次函数) 35．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）某游乐园要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点O建立直角坐标系．若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，已知装饰物的设计高度为， (1)求第一象限中的抛物线的表达式； (2)若有一只蜻蜓恰好在水平距离喷水池中心的地方（地面或水面）停留，那么当喷泉喷水时，蜻蜓是否会受到影响？先判断再利用所学的数学知识说明理由． 题型三十六 增长率问题(实际问题与二次函数) 36．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为，则该工厂3月份的产值y关于x的函数解析式为 ． 题型三十七 其他问题(实际问题与二次函数) 37．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（   ） A．3.7 B．4.1 C．4.5 D．5 题型三十八 面积问题(二次函数综合) 38．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数与轴交于A、两点，与轴交于点． (1)求线段的长； (2)点在轴上方，当时，求点的坐标． 题型三十九 角度问题(二次函数综合) 39．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）综合与实践： 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值； (3)小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标． 题型四十 其他问题(二次函数综合) 40．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数其中， (1)求二次函数图象与x轴交点坐标； (2)当时，y随x的增大而增大，求整数a的值； (3)若二次函数的图象与线段有交点，请直接写出a的范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$