精品解析：云南省临沧地区中学2025届高三下学期5月月考数学试卷

临沧地区中学2025届高三5月月考数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 2. 设集合，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 中，点满足，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 6. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，其最小正周期大于，若为的图象的对称中心，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知一组数据，的极差为m，平均数为a，方差为b，另外一组数据的极差为9，平均数为11，方差为13，则（ ） A. B. C. D. 10. 函数、，下列命题中正确的是（ ）. A. 不等式的解集为 B. 函数在上单调递增，在上单调递减 C. 若函数有两个极值点，则 D. 若时，总有恒成立，则 11. 如图，半径为1的动圆沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆上的点形成的外旋轮线，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点与点重合．以下说法正确的有（ ） A. 曲线上存在到原点的距离超过的点 B. 点在曲线上 C. 曲线与直线有两个交点 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角满足，若，则的值为__________． 13. 某学校选派甲，乙，丙，丁共4位教师分别前往A，B，C三所中学支教，其中每所中学至少去一位教师，乙，丙不去C中学但能去其他两所中学，甲，丁三个学校都能去，则不同的安排方案的种数是________（用数字作答） 14. 已知三棱锥中，，，两两垂直，且，则三棱锥内切球的半径为__________，以为球心，为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知中，角，，的对边为，，，是边上的中点． （1）若． （i）求； （ii）若，，求的面积； （2）若，，，试探究存在时满足的条件． 16. 如图，四棱锥的底面为筝形，面，点为与的交点，且． （1）求证：平面平面； （2）已知为棱上的一点，若，求二面角的余弦值． （注：筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形） 17. 某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为. （1）求的分布列及数学期望； （2）求的通项公式； （3）证明：. 参考公式：若，是离散型随机变量，则. 18. 已知抛物线.过抛物线焦点F作直线分别在第一、四象限交于两点，过原点O作直线与抛物线的准线交于E点，设两直线交点为S.若当点P的纵坐标为时，. （1）求抛物线的方程. （2）若平行于x轴，证明：S在抛物线C上. （3）在（2）的条件下，记的重心为R，延长交于Q，直线交抛物线于（T在右侧），设中点为G，求与面积之比n的取值范围. 19. 意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类曲线的函数表达式可以为，其中、为非零实数. （1）利用单调性定义证明：当时，在上单调递增； （2）当时，若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若为奇函数，函数，，探究是否存在实数，使的最小值为？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沧地区中学2025届高三5月月考数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法、除法运算化简，即可判断. 【详解】因为， 所以，所以的虚部为. 故选：D 2. 设集合，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得A，根据集合的基本关系确定a的范围结合充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】由集合， 又，所以， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 中，点满足，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】用、作为基底表示出、，根据数量积的运算律及余弦定理得到，即可得解. 【详解】由题意可得 ， ，， 因为，所以， 即， 故，于是. 故选：C. 4. 已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出球的半径，求出圆台上下底面的半径，圆台的母线，由圆台的侧面展图形是扇环，利用圆台的侧面积公式可求圆台的侧面积. 【详解】作出示意图如图所示： 设球的半径为，由题意可得，所以是等边三角形， 所以，所以， 因为球的表面积为，所以，解得，所以， 所以， 所以圆台的侧面积为. 故选：B. 5. 已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离、圆的弦长公式及勾股定理建立关系求得，即可求出离心率. 【详解】令点，双曲线E 的渐近线方程为， 由对称性不妨取直线，取中点，连接，则， ，而， 由，得，在中，， 则，解得， 所以双曲线 E的离心率. 故选：A 6. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设指数函数，在同一坐标系中作出三个函数的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】设函数， 作出函数图象如下， 设， 对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，A错误； 对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如下， 对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，B正确； 对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，D错误； 故选:B. 7. 已知，其最小正周期大于，若为的图象的对称中心，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求得的值，进一步代入求值即可. 【详解】由题意知，，，解得，， 又其最小正周期大于，则，即，则，也即． 由对称中心的纵坐标为，得． 因此， 计算得 ． 故选：B 8. 已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及单调性可得，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为的定义域为， 且， 所以是定义在上的奇函数， 又与为上的增函数，则为上的增函数， 且为上的增函数，所以在上单调递增， 由可得，， 所以，即，又， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 即的最小值为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知一组数据，的极差为m，平均数为a，方差为b，另外一组数据的极差为9，平均数为11，方差为13，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据极差，平均数和方差的计算公式，通过计算，然后判断选项的正误. 【详解】假设最小，最大，则， 若,则另外一组数据最小，最大， 此时极差为，A错误. 易得所以，B，D正确，C错误. 故选：BD. 10. 函数、，下列命题中正确的是（ ）. A. 不等式的解集为 B. 函数在上单调递增，在上单调递减 C. 若函数有两个极值点，则 D. 若时，总有恒成立，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据，得到，然后用导数画出其图象判断；对B，，当时，，当时，判断；对C，将函数有两个极值点，有两根判断；对D，将问题转化为恒成立，再构造函数，用导数研究单调性. 【详解】对A，因为， ， 令，得，故在该区间上单调递增； 令，得，故在该区间上单调递减. 又当时，，， 故的图象如下所示： 数形结合可知，的解集为，故正确； 对B，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，错误； 对C，若函数有两个极值点， 即有两个极值点，又， 要满足题意，则需有两根， 也即有两根，也即直线的图象有两个交点. 数形结合则，解得. 故要满足题意，则，故错误； 对D，若时，总有恒成立， 即恒成立， 构造函数，，对任意的恒成立， 故单调递增，则 恒成立， 也即，在区间恒成立，则，故正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题. 11. 如图，半径为1的动圆沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆上的点形成的外旋轮线，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点与点重合．以下说法正确的有（ ） A. 曲线上存在到原点的距离超过的点 B. 点在曲线上 C. 曲线与直线有两个交点 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据几何性质求解动点的轨迹方程，A项，由两点间距离公式及三角函数有界性可得；B项，由点，利用参数方程解方程组可得；C项，联立直线与参数方程，结合三角函数图象可得交点个数；D项，由，利用均值不等式可得. 【详解】设与切于点，则始终关于点对称. 所以当切点绕逆时针转动弧度时，致使点绕圆心也转了弧度，， 如图，连接，，延长与轴交于点， 过作轴于点， ， ， ， 则， 即曲线的参数方程为，为参数，. 对于A，， 上不存在到原点的距离超过的点，A错； 对于B，若在上，则， 由①解得或0， 验证知仅当时，代入②符合，在曲线上，故B正确； 对于C，由，将曲线的参数方程代入得 ， 即， ， 如下图，分别作出与的大致图象， 可知两函数图象共有两个交点，故C正确； 对于D，， ， ，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角满足，若，则的值为__________． 【答案】##-0.2 【解析】 【分析】由同角三角函数的商数关系，结合两角和与差的正弦公式，有，代入已知数据计算即可. 【详解】，又， 所以. 故答案为： 13. 某学校选派甲，乙，丙，丁共4位教师分别前往A，B，C三所中学支教，其中每所中学至少去一位教师，乙，丙不去C中学但能去其他两所中学，甲，丁三个学校都能去，则不同的安排方案的种数是________（用数字作答） 【答案】14 【解析】 【分析】根据去C中学的情况分类讨论即可. 【详解】若C学校去一个人，只能从甲，丁中选1个，剩余3人选2人去1个学校，将这两人看成1人，则2人分到2个学校的方法是,所以不同的分配方案有：； 若C学校去2个人：只能是甲，丁，所以不同的分配方案有：. 所以共有种. 故答案为：14 14. 已知三棱锥中，，，两两垂直，且，则三棱锥内切球的半径为__________，以为球心，为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为__________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：由等体积法即可求解；第二空：根据已知可以判定球面与该三棱锥表面的交线是各侧面内以为圆心，以为半径的3个四分之一圆弧和底面正三角形的内切圆，进而计算求解. 【详解】解：如图，，，两两相互垂直，， 则，． 设三棱锥内切球的半径为 由等积法得：， 解得． 以为球心，为半径的球面与三棱锥三个侧面，，交线都是四分之一段圆弧， 长度为， 与底面交线为圆，到底面的距离为，由体积法可得， ，设圆的半径为，则，， 圆的周长为， 所以球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为， 故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知中，角，，的对边为，，，是边上的中点． （1）若． （i）求； （ii）若，，求的面积； （2）若，，，试探究存在时满足的条件． 【答案】（1）（i）；（ii） （2） （法一）如图1， 在中，由余弦定理得， 即①； 因为是边上的中线，所以， 两边平方有②， 将①式代入②得，与同号. 当时，，存在； 当时，， 由②得， 因为，所以， 即③. 当为锐角时，，，，③式为， 令，，知在上单调递减，所以； 当为钝角时，，，，③式为， 令，，知在上单调递增，所以. 所以，当时，，存在； 当为锐角时，，存在； 当为钝角时，，存在 （法二）当为直角时，即时，； 已知角和对边，当为锐角时（如图2），点在优弧上移动， 当点位于点时，（为圆心，为边中点）， 因为，所以，即，又， 所以在和中，由余弦定理得： ， 故. 当为钝角时（如图3）， 点在劣弧上移动，当点位于点时， （为圆心，为边中点），因为， 所以，即，又， 所以在和中，由余弦定理得： 【解析】 【分析】（1）（i）利用正弦定理，边化角得，再利用两角和的正弦公式及，求得，即可求解；（ii）根据，应用余弦定理可得，再利用得，联立方程解出，即可利用求面积. （2）方法一：根据已知条件利用余弦定理求得，再利用向量关系求得，联立两式得，分分别为直角，锐角，钝角三种情况讨论存在时满足的条件即可；方法二：将放在三角形的外接圆中，分分别为直角，锐角，钝角三种情况讨论存在时满足的条件即可. 【小问1详解】 （i）在中，因为， 由正弦定理可得，， 所以， 因为得， 所以，故； （ii）在中，由余弦定理得，即，① 因为是边上的中点， 所以，② ①②得， 所以的面积为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛： 解三角形时，通常应用正余弦定理进行边角互化从而解三角形. 16. 如图，四棱锥的底面为筝形，面，点为与的交点，且． （1）求证：平面平面； （2）已知为棱上的一点，若，求二面角的余弦值． （注：筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形） 【答案】（1）证明如下： 因为平面，平面， 所以， 又因为四边形为筝形，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先由已知结合线面垂直的判定得出平面，再根据面面垂直的判定即可证明； （2）利用向量法，根据面面夹角的余弦公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，垂直于平面向上方向为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 不妨设 则，，，，，， 因为，即，所以， 则，，， 设平面的法向量， 由，取，则， 设平面的法向量， 由，取，则， 所以二面角的余弦值为， ． 17. 某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为. （1）求的分布列及数学期望； （2）求的通项公式； （3）证明：. 参考公式：若，是离散型随机变量，则. 【答案】（1） 0 2 3 4 （2）（，2，……，） （3） 因为第次在处投篮的概率为，在处投篮的概率为， 记第次得分，则的可能取值为0，2，3， ， ， ， 所以， 因为， 所以 ， 因为， 所以. 【解析】 【分析】（1）设“甲第次在处投进”为事件，“甲第次在处投进”为事件，，2，依题意，的可能取值为0，2，3，4，根据独立事件概率乘法公式分别求解随机变量对应的概率即可得分布列，从而得数学期望； （2）当时，甲第次在处投篮分两种情形：①第次在处投篮且投进； ②第次在处投篮且未投进.分别确定概率，结合数列的递推关系得等比数列，根据等比数列的通项公式求解的通项公式即可； （3）第次在处投篮的概率为，在处投篮的概率为，记第次得分，则的可能取值为0，2，3，分别求解概率即可计算数学期望，结合指数函数的性质证明结论即可. 【小问1详解】 设“甲第次在处投进”为事件，“甲第次在处投进”为事件， ，2，依题意，的可能取值为0，2，3，4. ， ， ， ， 所以的概率分布为 0 2 3 4 （分）. 【小问2详解】 当时，甲第次在处投篮分两种情形： ①第次在处投篮且投进，这种情形概率为； ②第次在处投篮且未投进，这种情形概率为. 所以， 故， 因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以， 即，，2，……，. 【小问3详解】 略 18. 已知抛物线.过抛物线焦点F作直线分别在第一、四象限交于两点，过原点O作直线与抛物线的准线交于E点，设两直线交点为S.若当点P的纵坐标为时，. （1）求抛物线的方程. （2）若平行于x轴，证明：S在抛物线C上. （3）在（2）的条件下，记的重心为R，延长交于Q，直线交抛物线于（T在右侧），设中点为G，求与面积之比n的取值范围. 【答案】（1） （2） 由（1）知，C的准线， 不妨设，， 若平行于x轴，则， 所以，整理得， 联立方程有， 又在抛物线C和直线上，即， 则有，此时，即， 则S在抛物线C上，证毕； （3） 【解析】 【分析】（1）利用两点距离公式可计算P坐标，代入抛物线方程即可； （2）设方程及坐标，利用E坐标表示方程，联立方程得出S坐标，结合点在抛物线与直线上消元转化即可证明； （3）设坐标及直线方程，利用坐标表示，结合焦点弦的性质消元转化表示，并根据几何性质把面积比化为线段比，再化为坐标比，构造函数计算其范围即可. 【小问1详解】 因为若当点P的纵坐标为时，, 不妨设，则，即， 代入抛物线方程有，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在（2）的条件下可知两点重合，由重心的性质不难知Q为线段的中点， 同（2），仍设，， 则， 联立， 所以， 且， 则， 可知，整理得， 设， 与C联立有， 所以，即， 由于Q为线段的中点，所以到直线的距离相等， 则， 设， 若，则，显然，所以； 若，则； 若，则，所以； 综上. 【点睛】思路点睛：第二问是教材例题的变式，设点坐标表示相应直线方程，求出S坐标，验证其横纵坐标是否满足抛物线方程即可；第三问，仍是利用点坐标来表示直线方程，利用韦达定理表示，并根据几何性质把面积比化为线段比，再化为坐标比，构造函数计算其范围即可. 19. 意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类曲线的函数表达式可以为，其中、为非零实数. （1）利用单调性定义证明：当时，在上单调递增； （2）当时，若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若为奇函数，函数，，探究是否存在实数，使的最小值为？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明如下： 当时，，， 则 ，由，得， 则，，于是，即， 所以在上单调递增. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理得证. （2）利用偶函数的性质及函数的单调性脱去法则“f”，转化成恒成立问题求解. （3）由奇函数的定义可得，再配方换元，转化为在闭区间上的二次函数最小值为的问题求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数的定义域为R，，则为偶函数， 不等式， 函数在上单调递增，则 依题意，不等式对恒成立， 当时，，， 因此对恒成立， 令，而， 则，当时，， ，当时，，于是， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由函数为奇函数，得恒成立， 即恒成立，则， 于是，， 令，，由函数在上单调递增，得， 则函数化为，， 假设存在实数，使即的最小值为， 当，即时，在上单调递增，，不符合要求； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，此时； 当，即时，在上单调递减，， 解得，不满足， 所以当时，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $