第1章三角形的证明 同步单元练习题 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

2024-2025学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》同步单元练习题（附答案） 一．选择题 1．已知等腰△ABC的两边长分别为2和4，则等腰△ABC的周长为（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．12 2．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数是（　　） A．66° B．36° C．56 D．46° 3．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝72°，那么∠DAC的大小是（　　） A．30° B．36° C．18° D．40° 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边边上的高，∠A＝30°，那么下列说法中正确的是（　　） A．AD＝2BD B．AD＝BD C．AD＝3BD D．AD＝4BD 5．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（　　） A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm 6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积等于（　　） A．30 B．24 C．15 D．10 7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝20°，则∠C的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．50° 8．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若∠A＝25°，则∠CDB＝（　　） A．25° B．50° C．60° D．90° 9．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 二．填空题 11．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是　 　． 12．如图，在中，，，则的度数为 ． 13．已知中，，，平分，若，则的长为 ． 14．如图，在中，平分，于点G且平分，于点E，交的延长线于点F，若，，则 ．    15．如图，在等腰中，于点，已知，，，若E，F分别是线段上的动点，则的最小值为 ． 三．解答题 16．如图．△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE． （1）求证：BD＝2AC； （2）若AE＝6.5，AD＝5，那么△ABE的周长是多少？ 17．如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB和BC于点D，E，且AE平分∠BAC． （1）求∠C的度数； （2）若CE＝1，求AB的长． 18．如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE． 求证：BD＝EC+ED． 19．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G） 20．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由． 21．如图所示，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，MP分别交AB、BC于M、P两点，NQ分别交AC、BC于N、Q两点，连接AP、AQ． （1）若△APQ的周长为18，求BC的长； （2）若∠BAC＝110°，求∠PAQ的度数． 22．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 参考答案 一．选择题 1．解：①当腰是2，底边是4时，2+2＝4，不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是2，腰长是4时，能构成三角形，则其周长＝2+4+4＝10． 故选：B． 2．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣54°＝36°； 故选：B． 3．解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝72°， ∴∠B＝∠ADB＝72°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝108°， ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠DAC＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣108°）÷2＝36°． 故选：B． 4．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC，∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90； ∴BC＝2BD， ∴BD＝AB， ∴AD＝AB， ∴AD＝3BD， 故选：C． 5．解：∵△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm， ∴BD＝AD，AB＝2AE＝6cm， ∵△ADC的周长为9cm， ∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝9cm， ∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝15cm． 故选：C． 6．解：如图，过D作DE⊥AB于E， ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°， ∴DE＝DC＝3， ∵AB＝10， ∴△ABD的面积＝AB•DE＝×10×3＝15． 故选：C． 7．解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AE＝EC， ∴∠C＝∠EAC， 设∠C＝x°，则∠EAC＝x°， ∵∠ABC＝90°，∠BAE＝20°， ∴x+x+20+90＝180，解得：x＝35， ∴∠C＝35°， 故选：B． 8．解：由作图的步骤可知，直线MN是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠DBA＝∠A＝25°， ∴∠CDB＝∠DBA+∠A＝50°， 故选：B． 9．解： ∵垂线段最短， ∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值， 又∵OP平分∠MON，PA⊥ON， ∴PQ＝PA＝2， 故选：B． 10．解 当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点点C的个数有6个；使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有6个． 故选：C． 二．填空题 11．解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵AC＝10，BC＝6， ∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝10+6＝16． 故答案为：16 12．解：∵在中，，， ∴， 由作图痕迹可知，是垂直平分线，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．解： ， 平分 ， 又 故答案为：2． 14．解：如图，连接，，   点是边的中点，， ， 于点，，交的延长线于点， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， , , 在和中， ， ， ， ． 故答案为：5 15．解：作F关于的对称点M，连接交于E，连接，过B作于N， ∵，，，， ∴， ∵F关于的对称点M， ∴， ∴， 根据垂线段最短得出：， 即， 即的最小值是， 故答案为：． 三．解答题 16．（1）证明：∵AD⊥AB， ∴∠BAD＝90°，又点E是BD的中点， ∴EA＝BD＝EB， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴∠AEC＝2∠B，又∠C＝2∠B， ∴∠AEC＝∠C， ∴AE＝AC， ∴BD＝2AC； （2）解：∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点， ∴BD＝2AE＝13，EA＝EB＝6.5， 由勾股定理得，AB＝＝＝12， ∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝12+6.5+6.5＝25． 17．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°， ∴∠BAE＝∠B＝30°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝∠BAE＝30°， 即∠BAC＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°． （2）∵∠C＝90°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，CE＝1， ∴AC＝， ∴AB＝2． 18．证明：∵∠BAC＝90°，CE⊥AE，BD⊥AE， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°． ∴∠ABD＝∠DAC． ∵在△ABD和△CAE中 ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）． ∴BD＝AE，EC＝AD． ∵AE＝AD+DE， ∴BD＝EC+ED． 19．证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示． ∵DG∥AC， ∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB． 在△GDF和△CEF中，， ∴△GDF≌△CEF（ASA）， ∴GD＝CE． ∵BD＝CE， ∴BD＝GD， ∴∠B＝∠DGB＝∠ACB， ∴△ABC是等腰三角形． 20．解：PC与PD相等．理由如下： 过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F． ∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等） 又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴四边形OEPF为矩形， ∴∠EPF＝90°， ∴∠EPC+∠CPF＝90°， 又∵∠CPD＝90°， ∴∠CPF+∠FPD＝90°， ∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF． 在△PCE与△PDF中， ∵， ∴△PCE≌△PDF（ASA）， ∴PC＝PD． 21．解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴PA＝PB，QA＝QC， ∵△APQ的周长为18， ∴AP+PQ+AQ＝BP+PQ+QC＝18， ∴BC＝18； （2）∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝70°， ∵PA＝PB，QA＝QC， ∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C， ∴∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C＝70°， ∴∠PAQ＝40°． 22．解：（1）∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$