第一章 三角形的证明单元综合训练 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 班级：　　　　　　姓名：　　　　　　学号：　　　　　　家长签名：　　　　　　评价：　　　　　 考点1　等腰三角形 1.（2024春·龙岗区校级月考）等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A.50°　　 B.50°或80°　　 C.80°　　 D.70°或80° 2.（2024春·宝安区期中）如图，E为AC上一点，连接BE，CD平分∠ACB交BE于点D，且BE⊥CD，∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为（　　） 第2题图 A.1.2　　 B.1.5　　 C.2　　 D.3 3.（2024春·福田区校级期末）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点.若AE＝AD，∠CED＝20°，则∠BAE＝　　　　°. 第3题图 4.（2024春·南山区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，过CA的延长线上一点D，作DE⊥BC，垂足为E，交边AB于点F. （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若AD＝13，BE＝5，F为AB的中点，求EF的长. 考点2　直角三角形 1.（2023秋·罗湖区期末）下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（　　） A.2，3，4　　 B.3，4，5　　 C.5，6，7　　 D.7，8，9 2.（2024春·龙岗区校级月考）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　） A.6米　　 B.9米 C.12米　　 D.15米 3.（2024秋·宝安区校级期中）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） 第3题图 A.2　　 B.　　 C.3　　 D. 4.（2024秋·龙华区期中）如图所示，正方形的边长为1，则数轴上的点P表示的实数为　　　　. 第4题图 考点3　线段垂直平分线、角平分线 1.（2024春·龙岗区校级期中）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若CE平分∠ACB，∠B＝40°，则∠A＝　　　°. 第1题图 2.（2024春·龙岗区校级月考）如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为M，N，已知△ADE的周长为22，则BC的长为　　　　. 第2题图 3.（2024春·南山区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是　　　. 第3题图 4.（2024春·福田区期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出角平分线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　） 第4题图 A.2　　 B.3　　 C.4　　 D.无法确定 5.（2024春·福田区校级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF. （1）求证：CF＝EB； （2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长. 【课后作业】 班级：　　　　　　姓名：　　　　　　学号：　　　　　　家长签名：　　　　　　评价：　　　　　 一、选择题 1.（2024春·龙岗区校级期中）等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数为（　　） A.80°　　 B.20°　　 C.80°或20°　　 D.80°或50° 2.（2024秋·福田区校级期中）下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A.a∶b∶c＝3∶4∶5　　 B.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 C.∠A＋∠B＝∠C　　 D.a∶b∶c＝1∶2∶ 3.（2024秋·福田区校级期中）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）.若小正方形面积为5，（m＋n）2＝21，则大正方形面积为（　　） 第3题图 A.12　　 B.13　　 C.14　　 D.15 4.（2024春·南山区期中）如图，∠AOB＝30°.按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F，连接CF；②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点G；③连接FG，CG，作射线OG.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） 第4题图 A.∠AOG＝60°　　 B.OF垂直平分CG　　 C.OG＝CG　　 D.OC＝2FG 5.（2024春·龙岗区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，∠ABC的平分线交AC于点E，过点C作CD⊥BE，垂足为D，连接AD，则△ACD的面积是（　　） 第5题图 A.　　 B.　　 C.　　 D. 二、填空题 6.（2024春·龙岗区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝3，则AB的长是　　　　. 第6题图 7.（2024春·龙华区校级月考）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，分别与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，AB＝7 cm，AC＝9 cm，则△AMN的周长为　　　　. 第7题图 8.（2024春·福田区校级期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6，BE＝2，∠DFC＝60°，DF＝，则CF的长为　　　　. 第8题图 三、解答题 9.（2024春·龙华区期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上（不与端点重合），连接BE，CD. （1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：　　　　，使得CD＝BE，并说明理由； （2）如图2，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，若∠BAC＝40°，BE平分∠ABC，求∠F的度数. 10.（2024春·福田区校级期末）在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC.探究：当M，N分别在直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系. （1）如图1，当点M，N在边AB，AC上，且DM＝DN时，BM，NC，MN之间的数量关系是　　　　　；此时＝　　　　. （2）如图2，点M，N在边AB，AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由. （3）如图3，当M，N分别在边AB，CA的延长线上时，探索BM，NC，MN之间的数量关系，并给出证明. 参考答案 第一章　三角形的证明 考点1　等腰三角形 1.B　2.C　3.40 4.（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵DE⊥BC，∴∠B＋∠BFE＝90°，∠C＋∠D＝90°， ∴∠BFE＝∠D. 又∵∠BFE＝∠AFD，∴∠D＝∠AFD， ∴△ADF 是等腰三角形. （2）解：∵F为AB的中点，∴AF＝BF. ∵△ADF是等腰三角形，∴BF＝AF＝AD＝13. ∵DE⊥BC，∴EF＝＝12. 即EF的长为12. 考点2　直角三角形 1.B　2.B　3.A　4.2－ 考点3　线段垂直平分线、角平分线 1.60　2.22　3.2　4.A 5.（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E， ∴DE＝DC. 在Rt△CDF与Rt△EDB中， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB. （2）解：设CF＝x，则AE＝12－x， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE. 在Rt△ACD与Rt△AED中， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE，即8＋x＝12－x，解得x＝2，即CF＝2. 【课后作业】 1.C　2.B　3.B　4.D　5.A　6.12　7.16 cm 8.　解析：过点D作DH⊥CE于点H，如图所示. ∵△ABC为等边三角形，AB＝6， ∴∠A＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA＝6. ∵∠DFC＝∠ECB＋∠DBC＝60°， ∠ABC＝∠DBA＋∠DBC＝60°， ∴∠ECB＝∠DBA. 在△ECB和△DBA中， ∴△ECB≌△DBA（ASA），∴BE＝AD＝2， ∴CD＝AC－AD＝6－2＝4. ∵DH⊥CE于点H， ∴△DHF和△DHC均为直角三角形. 在Rt△DHF中，∠DFC＝60°，DF＝， ∴∠FDH＝30°，∴FH＝DF＝. 由勾股定理得DH＝＝， 在Rt△CDH中，由勾股定理得CH＝＝， ∴CF＝CH＋FH＝＋＝. 故答案为. 9.解：（1）添加条件AD＝AE（答案不唯一），理由如下： ∵AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD， ∴△ABE≌△ACD（SAS），∴CD＝BE. 故答案为AD＝AE（答案不唯一）. （2）在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°. ∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF＝35°. ∵AF∥BC，∴∠F＝∠CBF＝35°. 10.解：（1）如题图1，BM，NC，MN之间的数量关系是BM＋NC＝MN，此时＝. 提示：∵DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴△MDN是等边三角形. ∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°. ∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠MBD＝∠NCD＝90°. ∵DM＝DN，BD＝CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN， ∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN， ∴DM＝2BM，DN＝2CN， ∴MN＝2BM＝2CN＝BM＋CN. ∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形. ∵AB＝AM＋BM，∴AM∶AB＝2∶3，∴＝. （2）猜想：结论仍然成立. 在NC的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1，如图1， ∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD， ∴△DBM≌△DCM1， ∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM. ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠M1DN＝∠MDN＝60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN＝M1N＝M1C＋NC＝BM＋NC， ∴△AMN的周长为AM＋MN＋AN＝AM＋BM＋CN＋AN＝AB＋AC， ∴＝. （3）NC－BM＝MN.证明：如图2，在CN上截取CM1＝BM，连接DM1， 可证△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1， 可证∠M1DN＝∠MDN＝60°， ∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N，∴NC－BM＝MN. 　　 学科网（北京）股份有限公司 $$