精品解析：陕西省榆林市府谷县府谷中学2024-2025学年高一下学期第二次质量调研数学试题

2025年春高一年级第二次质量调研 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用代数形式的复数乘法计算得解. 【详解】. 故选：B 2. 已知向量，，若，则（ ）． A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直向量的数量积以及其坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案. 【详解】因为，所以，所以，所以． 故选：C． 3. 设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系分别判断充分必要条件即可. 【详解】若，则A，B两点到平面的距离相等， 但反之不成立，因为当，分别在平面a的两侧， 且满足，到平面的距离相等时，直线l与平面相交． 故选：B． 4. 如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果. 【详解】∵ ， ∴ 故选：A. 5. 如图所示，等腰梯形为水平放置的平面图形根据斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的对角线（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图画出原图，求出相关线段的长度，再由勾股定理可得. 【详解】在直观图中，， 则， 根据直观图画出原平面图形，其为直角梯形，如图， 所以，， ， 所以. 故选：A. 6. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，可抽象为如图2所示的几何体，该几何体是上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用台体的体积公式直接计算即可． 【详解】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为，， 故该香料收纳罐的容积为． 故选：B． 7. 在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式求出的值，再利用正弦定理可求得的值. 【详解】因为为的内角，则， 由二倍角的余弦公式可得，解得， 由正弦定理可得，所以，. 故选：A. 8. 如图，在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知这是一个正四面体，即各面都是等边三角形，通过平移，就可作出异面直线所成的角，再进行解三角形计算,就可得到结果. 【详解】 取线段的中点G，连接由点是棱的中点，可得， 所以为直线与所成角或其补角． 不妨设，由等边三角形可得，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以．在中，由余弦定理得， 即直线PD与CE所成角的余弦值为． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一个多面体至少有4个面 B. 圆柱的母线与它的轴可以不平行 C. 用任意一个平面截球得到的截面都是一个圆面 D. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 【答案】AC 【解析】 【分析】根据多面体和旋转体的定义判断即可． 【详解】对于A，多面体至少有4个面，故A正确； 对于B，圆柱的母线与它的轴平行，故B错误； 对于C，用任意的平面截一个球得到的截面都是一个圆面，故C正确； 对于D，满足条件几何体可能是组合体，如图所示，故D错误． 故选：AC． 10. 下列关于复数的结论正确的是（ ） A. 的虚部是 B. C. D. 方程的根是 【答案】BD 【解析】 【分析】由复数虚部的定义可以判断A选项；根据复数运算法则以及共轭复数的定义可以判断B选项；取，验证，即可判断C选项；通过配方求一元二次方程的根以及即可判断D选项. 【详解】对于A，的虚部是，A错误； 对于B，设，，则，，，，又，所以，B正确； 对于C，取，则，，C错误； 对于D，由得，，，D正确. 故选：BD. 11. 如图所示，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，，为线段上的点（不包括端点），则（ ） A. B. 平面 C. 二面角的大小为定值 D. 的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理和性质定理即可得出；对于B，利用线面平行的性质定理即可得出；对于C，由二面角的定义即可判断；对于D，将侧面和展开在一个平面内，结合余弦定理即可得出. 【详解】对于A，平面，平面，，假设， 又平面PAD，平面， 又平面，，而四边形为正方形，与矛盾， 所以假设错误，故不正确，故A不正确； 对于B，设，连接，假设平面， 又平面平面，则， 在中，因为为的中点，则必为的中点，这与为线段上的动点矛盾， 所以假设错误，故B不正确； 对于C，为线段上的动点，二面角的大小即为二面角的大小， 因为二面角的大小为定值，所以二面角的大小为定值， 故C正确； 对于D，平面，平面，，为等腰直角三角形， 平面，平面，，即， 又四边形为正方形，， 平面PAD，平面，平面，，为直角三角形， 如图，将侧面和展开在一个平面内，， 连接，当处在与的交点处时，取得最小值， 此时，在中，由余弦定理，得， 所以的最小值为，故D正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数为纯虚数，则实数的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，解之即可. 【详解】因为为纯虚数，则，解得. 故答案为：. 13. 在中，内角所对的边分别为，且，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由余弦定理即可求解； 【详解】由余弦定理知， 即， 整理得，解得.（负值舍去） 故答案为：3 14. 如图，在棱长为3的正方体中，点M，N分别为棱AB，上的点，且，点P是正方体表面上的一点，若平面，则点P的轨迹长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件分别在棱取点，证明平面，同理平面，进而可得平面平面，从而P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为，进一步即可得解. 【详解】在棱上取一点E，使得，连接，EM，如图所示，易得，， 所以四边形是平行四边形，所以，又平面， 平面，所以平面． 在棱上取一点F，使得，连接FN，FE，， 如图所示．同理可得平面， 又，平面，所以平面平面． 所以P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为． 因为正方体的棱长为3，所以， ， 所以点P的轨迹长度为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，满足，，． （1）若与的夹角为，求的值； （2）求在方向上的投影向量的模． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两边同时平方化简可得，再根据向量的夹角公式计算即可； （2）先求出，再利用向量数量积的几何意义即可求得结果； 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，，所以， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 所以向量在方向上的投影向量的模为：． 16. 一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周. （1）求所得几何体的体积； （2）求所得几何体的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将五边形ABCDE绕直线AB旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4，高为4的圆柱挖去一个底面半径为2，高为2的圆锥，求出体积可得答案； （2）由可得答案. 【小问1详解】 将五边形绕直线旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4高为4的圆柱挖去一个底面半径为2高为2的圆锥， 所以所得几何体的体积； 【小问2详解】 易知圆锥的母线为，所以， ， 所得几何体的表面积. 17. 如图，已知平面，为矩形，分别为的中点. （1）证明：； （2）若，求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）平行四边形思想，平行线的传递性，线面垂直的判定定理和性质定理结合即可；（2）线面垂直性质定理，面面垂直的判定定理解决即可. 【小问1详解】 设为的中点，连接. 因为分别为的中点， 所以，. 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以. 因为平面ABCD， 所以. 又因，且平面 所以平面， 所以. 因为， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以 又平面，， 所以平面， 所以. 又因为平面 所以平面. 因为， 所以平面. 又因为平面， 所以平面平面. 18. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：四点共面； （2）求证：平面； （3）已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，即可证明，，从而得证； （2）连接、分别交、于点、，连接，即可证明，从而得到，即可得证； （3）根据面面平行的性质得到，即可得到，从而得解. 【小问1详解】 连接，因为点分别为棱的中点， 所以， 又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以四点共面； 【小问2详解】 连接、分别交、于点、，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； 小问3详解】 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以， 又，所以，因为，所以. 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，点D是边BC上的一点，且．求AD的长； （3）若是锐角三角形，，点E为AB的中点，求CE的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解. （2）由已知求出，再在中由余弦定理列式求出. （3）由已知结合正切函数的性质求出的范围，再用正弦定理求出的范围，进而用含的表达式表示并求出范围. 【小问1详解】 在中，由，得， 由余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 由点D是边BC上的一点，且，得， 在中，由余弦定理得， 即，所以. 【小问3详解】 在锐角中，，则，， 由正弦定理得， 在中，点E为AB的中点，， 由余弦定理得， 所以CE的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春高一年级第二次质量调研 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2 已知向量，，若，则（ ）． A. B. 2 C. D. 5 3. 设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，等腰梯形为水平放置平面图形根据斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的对角线（ ） A. B. 4 C. D. 6. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，可抽象为如图2所示的几何体，该几何体是上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一个多面体至少有4个面 B. 圆柱的母线与它的轴可以不平行 C. 用任意一个平面截球得到的截面都是一个圆面 D. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 10. 下列关于复数的结论正确的是（ ） A. 的虚部是 B. C. D. 方程根是 11. 如图所示，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，，为线段上的点（不包括端点），则（ ） A. B. 平面 C. 二面角的大小为定值 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数为纯虚数，则实数的值为_______． 13. 在中，内角所对的边分别为，且，则__________. 14. 如图，在棱长为3的正方体中，点M，N分别为棱AB，上的点，且，点P是正方体表面上的一点，若平面，则点P的轨迹长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，满足，，． （1）若与的夹角为，求的值； （2）求在方向上的投影向量的模． 16. 一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周. （1）求所得几何体的体积； （2）求所得几何体的表面积. 17. 如图，已知平面，为矩形，分别为的中点. （1）证明：； （2）若，求证：平面平面. 18. 如图，在正方体中，点分别为棱中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：四点共面； （2）求证：平面； （3）已知点是棱上一点，且平面平面，求的值． 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，点D是边BC上的一点，且．求AD的长； （3）若是锐角三角形，，点E为AB的中点，求CE的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$