精品解析：安徽省合肥市锦绣中学2024-2025学年高二下学期五月份学情诊断检测数学试题

2024~2025学年高二年级下学期五月份学情诊断检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则的值为（ ） A. -1 B. 3 C. 8 D. 16 2. 已知数列满足，，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 3. 为了解某地区某种水果的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的年产量和价格统计如下表： x 300 350 400 450 500 y 1.8 1.7 1.5 1.4 1.1 若y关于x的回归直线方程为，则（ ） A. 2.82 B. 2.86 C. 2.88 D. 2.92 4. 的展开式中的常数项为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 5. 已知，分别为随机事件的对立事件，，则下列命题错误的是（ ） A. B. C. 若，则与独立 D. 6. 从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中大于230的共有（ ） A. 504个 B. 552个 C. 559个 D. 660个 7. 已知甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采取“七局四胜制”，若每一局比赛甲获胜的概率均为，记“甲获得比赛胜利”为事件，“比赛仅进行了5局”为事件，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对四组样本数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的关系，正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 设离散型随机变量的分布列为 2 3 4 0.3 0.4 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列的前n项和为 C. 数列的前n项和为 D. 若，数列的前n项和为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________. 13. 某种产品的加工需要经过6道不同的工序（任意两道工序都不能同时进行），若其中3道工序必须相邻，则不同的加工顺序有_______种.（用数字作答） 14. 若，则的值被4除的余数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近年来，食品添加剂泛滥引起消费者关注，某媒体对消费者在购买预包装食品时是否关注配料表进行调查，调查了100名男性消费者与100名女性消费者，关注配料表的消费者共有80人，其中女性30人. （1）用列联表表示上述数据； （2）是否有99%的把握认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关？ 附：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 16. 已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比为3的等比数列，且． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球.从中不放回地依次摸出3个小球. （1）求前两次摸出的球均为黑球的概率； （2）记表示摸出的小球中红球的数量，求的分布列及其数学期望. 18. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）若，且函数的极大值与极小值的差为，求实数的值. 19. 已知某次数学考试中试卷有11道选择题，其中8道单选题，3道多选题（此份试卷恰巧每个多选题都只有两个正确选项），单选题每题5分，选对得5分，选错得0分；多选题每题6分，全部选对的得6分，选对1个选项的得3分，有选错的得0分.甲、乙两位同学参加了此次数学考试，甲同学的试卷正常，而乙同学的试卷中选择题被打乱，无法分辨是单选题还是多选题，所以他认为11道选择题均是单选题，假设两人选对一个单选题的概率都是. （1）设此次考试中甲同学选对了X道单选题，求X的数学期望； （2）若对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为，记此次考试中乙同学选择题的得分为Y，求Y的数学期望； （3）已知甲同学遇到3个多选题时，每个题只能判断出有一个选项是正确的，且甲同学最多再选1个其他选项，假设他选对剩下1个选项的概率是p（），请你帮甲同学制定回答3个多选题的策略，使得分的期望最高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年高二年级下学期五月份学情诊断检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则的值为（ ） A. -1 B. 3 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据题意，，则， 由导数的定义知，． 故选：C． 2. 已知数列满足，，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推式，赋值可求，再求. 【详解】数列满足，，所以，． 故选：D． 3. 为了解某地区某种水果的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的年产量和价格统计如下表： x 300 350 400 450 500 y 1.8 1.7 1.5 1.4 1.1 若y关于x的回归直线方程为，则（ ） A. 2.82 B. 2.86 C. 2.88 D. 2.92 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归直线必过样本点中心即可求解． 【详解】由题意，得,， 所以，解得． 故选：B． 4. 的展开式中的常数项为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项展开式的通项中令计算可得. 【详解】展开式的通项为， 令，解得， 所以的展开式中的常数项为． 故选：C． 5. 已知，分别为随机事件的对立事件，，则下列命题错误的是（ ） A. B. C. 若，则与独立 D. 【答案】B 【解析】 【分析】A对立事件的概率公式；B概率的加法公式；C利用公式判断独立事件；D全概率公式. 【详解】对于A选项，由对立事件性质可知，A正确； 对于B选项，若，，则，B错误； 对于C选项，若，则， 则独立，C正确； 对于D选项，，D正确． 故选：B 6. 从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中大于230的共有（ ） A. 504个 B. 552个 C. 559个 D. 660个 【答案】C 【解析】 【分析】根据百位数大于2或百位数为2时分类结合组合数计算求解. 【详解】当百位数大于2时，三位数均符合题意，共有个； 当百位数为2时， （1）若十位数大于3，此时三位数均符合题意，共有个； （2）若十位数为3，符合题意的三位数共有个． 综上所述，共有个． 故选:C． 7. 已知甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采取“七局四胜制”，若每一局比赛甲获胜的概率均为，记“甲获得比赛胜利”为事件，“比赛仅进行了5局”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，事件包含甲前四局赢了三局，第五局甲又赢了和乙前四局赢了三局，第五局甲又赢了，求其概率，再结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】事件包含甲前四局赢了三局，第五局甲又赢了和乙前四局赢了三局，第五局乙又赢了， 所以 ， 所以. 故选：D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先令，根据题中条件，判断其单调递减；将所求不等式化为，结合单调性，得到，求解即可. 【详解】令，因为，所以， 所以在上单调递减； 又，所以， 因此不等式可化为， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对四组样本数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的关系，正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据散点图分析数据的正（负）相关及相关性的强弱，即可判断相关系数的特征. 【详解】由图形特征可知，对应的样本数据都是负相关，所以，都是负数， 又对应的样本数据比对应的样本数据的线性相关程度更强，所以， ，对应的样本数据都是正相关，又对应的样本数据比对应的样本数据的线性相关程度更强， 所以，所以BD正确． 故选：BD． 10. 设离散型随机变量的分布列为 2 3 4 0.3 0.4 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据分布列的性质得出.进而根据期望方差公式得出的值，根据对应关系，得出的值. 【详解】对于A、B项，由表格可得，所以. 则， .故A正确，B错误； 对于C、D项，因为，，， 所以，，.故C错误，D正确. 故选：AD. 11. 已知数列满足，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列的前n项和为 C. 数列的前n项和为 D. 若，数列的前n项和为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由条件可得，即可判断A，由数列的通项公式即可判断B，由错位相减法即可判断C，由裂项相消法即可判断D 【详解】对A,因为，则，其中， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，故A错误； 对B,，则， 所以， 则数列的前n项和为，故B正确； 对C,设数列的前n项和为，则， 即①， 则②， ①②可得， 则，故C正确； 对D,因为， 则 ，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件，即可得出答案. 【详解】由已知可得， 根据正态分布的对称性可知. 又，所以. 故答案为：. 13. 某种产品的加工需要经过6道不同的工序（任意两道工序都不能同时进行），若其中3道工序必须相邻，则不同的加工顺序有_______种.（用数字作答） 【答案】144 【解析】 【分析】采用捆绑法进行排列，先排相邻的三道工序，把其看成一个整体和其他三道工序进行全排，再利用分步计算原理可求. 【详解】先排这3道工序，有种不同的排法， 再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有种不同的排法， 故由分步乘法计数原理可得不同的加工顺序共有种． 故答案为：144. 14. 若，则的值被4除的余数为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用赋值法，可得系数之和，根据二项式定理可得展开式，可得系数的正负，从而可得系数绝对值之和，结合二项式定理，可得答案. 【详解】令，得， 因为， 所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即， 当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即， 所以， 又， 故被4除余3． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近年来，食品添加剂泛滥引起消费者关注，某媒体对消费者在购买预包装食品时是否关注配料表进行调查，调查了100名男性消费者与100名女性消费者，关注配料表的消费者共有80人，其中女性30人. （1）用列联表表示上述数据； （2）是否有99%的把握认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关？ 附：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1） 关注 不关注 合计 男性消费者 50 50 100 女性消费者 30 70 100 合计 80 120 200 （2）有. 【解析】 【分析】（1）根据给定的数据，列出列联表. （2）利用（1）中数据求出的观测值，再与临界值比对判断得解. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： 关注 不关注 合计 男性消费者 50 50 100 女性消费者 30 70 100 合计 80 120 200 【小问2详解】由（1）得的观测值为 所以有99%的把握认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关. 16. 已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比为3的等比数列，且． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将题干中的两个方程含有的项都用基本量来表示，根据方程组可解得公差和首项，进而得通项公式； （2）根据分组求和的方法，结合等差数列前项和公式，等比数列前项和公式计算即可. 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为，因为， 所以，解得， 因此，，. 【小问2详解】 17. 在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球.从中不放回地依次摸出3个小球. （1）求前两次摸出的球均为黑球的概率； （2）记表示摸出的小球中红球的数量，求的分布列及其数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为 【解析】 【分析】（1）求出每次为黑球的概率，在相乘即可； （2）写出随机变量的所有取值，再求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 由题意，前两次摸出的球均为黑球的概率； 【小问2详解】 由题意，可取， 则， ， ， ， 所以的分布列为 . 18. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）若，且函数的极大值与极小值的差为，求实数的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出切点处的导数，结合导数几何意义以及切线与直线垂直即可求解. （2）先研究函数单调性求得函数的极大值和极小值，从而得到极大值与极小值的差值为，进而发现是差值为的解，再构造函数研究其单调性证明是差值为的唯一解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， ， 所以曲线在点处切线的斜率为， 又曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知， 令，得或，令，得， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增， 所以有极大值，有极小值， 的极大值与极小值的差为， 所以当时，， 下面证明是的唯一解， 令， 则，故恒成立， 所以即在上单调递增， 所以，故在上单调递减， 所以有且只有时，. 综上所述，. 19. 已知某次数学考试中试卷有11道选择题，其中8道单选题，3道多选题（此份试卷恰巧每个多选题都只有两个正确选项），单选题每题5分，选对得5分，选错得0分；多选题每题6分，全部选对的得6分，选对1个选项的得3分，有选错的得0分.甲、乙两位同学参加了此次数学考试，甲同学的试卷正常，而乙同学的试卷中选择题被打乱，无法分辨是单选题还是多选题，所以他认为11道选择题均是单选题，假设两人选对一个单选题的概率都是. （1）设此次考试中甲同学选对了X道单选题，求X的数学期望； （2）若对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为，记此次考试中乙同学选择题的得分为Y，求Y的数学期望； （3）已知甲同学遇到3个多选题时，每个题只能判断出有一个选项是正确的，且甲同学最多再选1个其他选项，假设他选对剩下1个选项的概率是p（），请你帮甲同学制定回答3个多选题的策略，使得分的期望最高. 【答案】（1）2 （2） （3）当时，此时每道多选题选2个选项的得分比只选1个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部选2个选项； 当时，此时每道多选题选2个选项的得分与只选1个选项一样，所以甲同学每道多选题选择1个选项或2个选项都可以； 当时，此时每道多选题只选1个选项的得分比选2个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部只选1个选项. 【解析】 【分析】（1）应用二项分布计算数学期望即可； （2）结合二项分布的数学期望及数学期望的性质计算求解； （3）列出对应概率后根据3和的大小关系分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意，得，所以，即的数学期望为2. 【小问2详解】 由题意，对于单选题，乙同学每个单选题做对的概率为，对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为. 设乙同学做对单选题的个数为，多选题得3分的个数为，则，， 所以，. 又此次考试中乙同学选择题的得分为， 所以. 【小问3详解】 对于每一道多选题，甲同学每个题只能判断出有一个选项是正确的，先把这个正确选项选上，如果甲同学不继续选其他选项，肯定能得3分；如果甲同学继续选其他选项的话，设此题的最终得分为，则的所有可能取值为0，6， 所以的分布列为 0 6 所以此题的得分期望是， 所以我们只需要比较3和的大小关系即可， 当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分比只选1个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部选2个选项； 当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分与只选1个选项一样，所以甲同学每道多选题选择1个选项或2个选项都可以； 当，即时，此时每道多选题只选1个选项的得分比选2个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部只选1个选项. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $