上海市莘庄中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试卷

上海市莘庄中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一．填空题（本大题共12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分） 1. 事件A与事件B为对立事件，已知，则_____________. 2. 双曲线的一个焦点的坐标是，一条渐近线的方程是，则双曲线的标准方程是__________． 3. 已知A工厂库房中的某种零件60％来自甲公司，正品率为90％；40％来自乙公司，正品率为95％，从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为______ 4. 样本数据20，24，6，15，18，10，42，57的第25百分位数为_____________． 5. 设随机变量服从二项分布，则_____________． 6. 某同学决定用圆周率的不足近似值3.14159中出现的这六个数字编成一组六位数的开锁密码（每个数字用一次），则两个数字“1”不相邻的不同密码共有__________组. 7. 抛物线上一点到点的距离最小值为_____ 8. 若随机变量，则_____________． 9. 已知双曲线的左焦点为，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为，则F到双曲线的渐近线距离为_________. 10. 一袋中装有除颜色外完全相同的4个黑球和3个红球，从袋中任取3球.已知取出的球中有红球，则取出的3个球都是红球的概率为________. 11. 2025年底，莘庄中学开展迎新狂欢活动，高二某班级决定组织盲盒抽奖活动，到班级参与活动并达到一定要求的同学都可以参与抽奖．组织方准备了20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品，抽奖者甲先拿起一个盲盒在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另一个盲盒打开，记甲中奖的概率为，则_____________． 12. 在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”.若函数为“函数”，则实数的取值范围是________. 二．选择题（本大题共4题，13、14题4分，15、16题5分，共18分） 13. 已知某样本的容量为，平均数为，方差为．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将记录为，另一个错将记录为．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 14. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. 恰好有一个白球与都是红球 B. 至多有一个白球与都是红球 C. 至多有一个白球与都是白球 D. 至多有一个白球与至多一个红球 15. 设函数的定义域为是的极大值点，则（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 16. 有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球．若第一局中甲先摸球，记第n局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（ ） ①； ②． A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 三．解答题（本大题共5题，共78分） 17. 已知的展开式中，第2项的系数与第3项的系数之比是. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项. 18. 已知双曲线的左右焦点为. （1）若双曲线的离心率为，且是正三角形，求的方程； （2）若，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为，若，求. 19. 一只不透明的袋子中装有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同.甲从中任意取出1个球不放回，若取出的是红球，则往袋中加入1个红球，甲再从袋中取出1个球；若取出的是黑球，则不往袋中加入任何球，甲再从袋中取出1个球. （1）求甲取到的2个球颜色不相同的概率； （2）求在甲第二次取到红球的前提下，甲取到的2个球颜色不相同的概率. 20. 某口罩生产厂商不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于的为二级口罩，质量指标值不低于的为一级口罩． （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取个口罩，再从中抽取个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； （3）在年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值． 21. 对于定义在上的函数和，，设. （1）若，，求； （2）若，，，求实数的取值范围； （3）已知对任意，均有，记，求证：“对任意，函数零点个数均有限”的充要条件是“在上是严格增函数”. 上海市莘庄中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一．填空题（本大题共12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分） 【1题答案】 【答案】## 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】0.92 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】240 【7题答案】 【答案】2 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】## 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二．选择题（本大题共4题，13、14题4分，15、16题5分，共18分） 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】A 三．解答题（本大题共5题，共78分） 【17题答案】 【答案】（1）10 （2）180 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1）平均数为123；第60百分位数为125 （2）的分布列如下： 0 1 2 方差为 （3） 【21题答案】 【答案】（1）； （2）； （3） （充分性）若是严格增函数， 则的最小值为，而， 故对任意，都有，即与是相同函数． 故是严格增函数，所以严格增函数，故对任意的零点个数有限． （必要性）对任意，都有，故的值域为， 即在上的最小值为． 先证是严格增函数． 对任意，函数和的最小值分别为和， 则由最小值的定义，，故函数是增函数． 假设存在，使得，则对任意，均有， 从而方程的解有无限多个，与条件＂对任意，函数零点个数均有限＂矛盾． 故假设不成立，从而是严格增函数． 再证对任意，函数的最小值为． 假设存在使得，取，则的最小值为． 由于严格增，知．而，故，矛盾． 所以假设不成立，对任意，函数的最小值为． 另证：再证对任意，函数的最小值为． ．假设，则由在上的最小值为， 存在使得，故在上的最小值为． 取，则在上的最小值为， 故．但由为严格增函数，知，矛盾． 所以假设不成立，所以． 即对任意，函数的最小值为． 而对任意的值域为，故． 于是与是相同函数，所以是严格增函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $