精品解析：江苏省无锡市惠山区2024—2025学年下学期八年级数学期中考试

八年级数学期中试卷 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为110分钟．试卷满分120分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（ ） A. 科克曲线 B. 笛卡尔心形图 C. 希尔伯特曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 小明同学在某周内每天背诵英语单词的数量依次为：17个，19个，13个，18个，19个，24个，26个．为了反映他这一周所背单词的变化情况，制作最简捷、最合适的统计图应该是（ ） A. 折线统计图 B. 条形统计图 C. 扇形统计图 D. 频数直方图 3. 下列各式中最简分式是（ ） A. B. C. D. 4. 若代数式的值是0，则实数x的值是（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 5. 某校为了了解学生的视力情况，从全校名学生中，随机抽取了名学生进行调查，在这次调查中（ ） A. 名学生是总体 B. 抽取的名学生是总体的一个样本 C. 名是样本容量 D. 抽取的名学生视力是总体的一个样本 6. 下列说法正确的是( ) A. 13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件 B. “抛一枚硬币正面朝上概率是0.5”表示每抛硬币2次有1次出现正面朝上 C. 如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生 D. 从1、2、3、4、5、6中任取一个数是奇数的可能性要大于偶数的可能性 7. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 8. 如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ） A. 48 B. 36 C. 40 D. 24 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在一张矩形纸片中，，点E，F分别在上，将纸片沿直线折叠，点C落在上的点H处，点D落在点G处，连接，．有以下四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点H与点A重合时，．以上结论中，其中正确结论的个数有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处） 11. 将30个数据分成4组，第一、二、三组的频数分别是7，4，12，则第四组的频数是____． 12. 使分式有意义的的取值范围是________． 13. 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______． 14. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：那么这种油菜籽发芽的概率是_______（结果精确到0.01）． 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的频率 0.960 0.947 0.950 0.952 0.948 0.951 0.949 15. 如图，在中，对角线，相交于点O，请你再添加一个条件，使得这个为轴对称图形，可以添加的条件是______． 16. 若关于的分式方程有增根，则的值为________． 17. 如图，中，，点D，E分别在边上，且，，分别连接，点M，N分别是的中点，连接，则线段的长为______． 18. 矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为______． 三、解答题（本大题共9小题，共74分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 20. 解分式方程： （1） （2） 21. 如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 22. 为了弘扬中华传统文化，某校组织八年级800名学生参加汉字听写大赛，为了了解学生的整体听写能力，从中提取部分学生的成绩（成绩为整数）进行统计分析，得到如下所示的统计表和如图所示的统计图． 分组段 频数 频率 50.5-60.5 16 60.5-70.5 30 70.5-80.5 50 a 80.5-90.5 b c 90.5-100.5 24 d （1）表中a=____； （2）补全频数分布直方图； （3）若成绩超过80分为优秀，估计该校八年级学生中汉字听写能力优秀占总体的百分比． 23. 如图，四边形是矩形（）． （1）尺规作图：作以为对角线，且点E、F分别在、上的菱形；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若，记菱形的面积为S，且满足，求长的取值范围为 ． 24. 某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用元购进种套装的数量和用元购进种套装的数量相同． （1）求两种品牌套装每套进价分别为多少元？ （2）若品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进品牌的数量的倍还多套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过元，则最少购进品牌工具套装多少套？ 25. 已知． （1）若，比较与0的大小； （2）分式的分子、分母都加1，所得的分式的值增大了还是减小了?为什么? （3）将分式的分子、分母都加（且），比较所得的分式的值与的大小，并说明理由． 26. 如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 27. 在中，， ，，将绕A按逆时针方向旋转，得到． （1）如图1，点F为与的交点，连接． ①求证：平分； ②求的面积． （2）如图2，点P为线段中点，点G是线段上的动点，在绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点，请直接写出线段长度的最大值与最小值的差 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期中试卷 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为110分钟．试卷满分120分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（ ） A. 科克曲线 B. 笛卡尔心形图 C. 希尔伯特曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与自身重合． 根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 2. 小明同学在某周内每天背诵英语单词的数量依次为：17个，19个，13个，18个，19个，24个，26个．为了反映他这一周所背单词的变化情况，制作最简捷、最合适的统计图应该是（ ） A. 折线统计图 B. 条形统计图 C. 扇形统计图 D. 频数直方图 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了统计图的选择，关键是掌握扇形统计图的特点：（1）用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比，（2）易于显示每组数据相对于总数的大小；条形统计图的特点：①条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目，②易于比较数据之间的差别；折线统计图的特点：①能清楚地反映事物的变化情况，②显示数据变化趋势． 根据折线统计图的特点：①能清楚地反映事物的变化情况，②显示数据变化趋势可得答案． 【详解】解：根据折线统计图的特点，可知折线统计图适合， 故选：A． 3. 下列各式中最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，解题的关键是理解最简分式的概念． 逐一分析各选项，判断是否存在可约分的公因式即可． 【详解】解：∵， ∴不是最简分式， ∴选项不符合题意， ∵， ∴不是最简分式， ∴选项不符合题意， ∵， ∴不是最简分式， ∴选项不符合题意， ∵的分子和分母没有公因式， ∴是最简分式， ∴选项符合题意， 故选：． 4. 若代数式的值是0，则实数x的值是（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的值为0，分式有意义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，因此，需解方程分子，并验证此时分母． 【详解】解：∵代数式的值是0， ∴，且， ∴， 故选：D 5. 某校为了了解学生的视力情况，从全校名学生中，随机抽取了名学生进行调查，在这次调查中（ ） A. 名学生是总体 B. 抽取的名学生是总体的一个样本 C. 名是样本容量 D. 抽取的名学生视力是总体的一个样本 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了总体，个体，样本和样本容量的定义，根据总体，个体，样本和样本容量的定义，即可得到正确选项，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、名学生的视力情况是总体，原选项错误，不符合题意； 、抽取的名学生的视力情况是总体的一个样本，原选项错误，不符合题意； 、是样本容量，原选项错误，不符合题意； 、抽取的名学生视力是总体的一个样本，原选项正确，符合题意； 故选：． 6. 下列说法正确的是( ) A. 13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件 B. “抛一枚硬币正面朝上概率是0.5”表示每抛硬币2次有1次出现正面朝上 C. 如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生 D. 从1、2、3、4、5、6中任取一个数是奇数的可能性要大于偶数的可能性 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用随机事件的意义以及概率的意义分别分析得出答案． 【详解】解：A．13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件，正确； B．“抛一枚硬币正面朝上概率是0.5”表示每抛硬币2次可能有1次出现正面朝上，此选项错误； C．如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它发生的可能性小，此选项错误； D．从1、2、3、4、5、6中任取一个数是奇数的可能性等于偶数的可能性，此选项错误； 故选A． 【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键． 8. 如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ） A. 48 B. 36 C. 40 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，再由平行四边形的面积公式可得，可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为40， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：A 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2=快马速度，根据等量关系，可得方程． 【详解】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天， 由题意得：． 故选：C 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 10. 如图，在一张矩形纸片中，，点E，F分别在上，将纸片沿直线折叠，点C落在上的点H处，点D落在点G处，连接，．有以下四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点H与点A重合时，．以上结论中，其中正确结论的个数有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】先根据翻折的性质可得可证是等腰三角形，可得，判断出四边形是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得，然后求出只有时，平分，判断出②错误；过点F作于M，点H与点A重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得到的最小值，点G与点D重合时，，求出，然后写出的取值范围，判断出③正确；求出，再利用勾股定理列式求解得到，判断出④正确． 【详解】解：∵将纸片沿直线折叠， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵与都是矩形的对边的一部分， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故①正确； ∵为菱形的对角线， ∴， ∴只有时，平分，故②错误； 点H与点A重合时，最小，如图所示，过点F作于M，则， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 点G与点D重合时，点H与点M重合，最大，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴当点G与点D重合时，，即菱形是正方形， ∴， ∴， ∴线段的取值范围为，故③正确； 当点H与点A重合时，由③中， ∴， 则， 由勾股定理得，，故④错误； 综上所述，结论正确的有①③共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形折叠性质，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握矩形折叠性质，菱形的判定与性质，勾股定理是解题关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处） 11. 将30个数据分成4组，第一、二、三组的频数分别是7，4，12，则第四组的频数是____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了求频数，用30减去第一、二、三组的频数即可得到答案． 【详解】解：， ∴第四组的频数是7， 故答案为：7． 12. 使分式有意义的的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义，则分母，由此易求的取值范围． 【详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 13. 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别是6和8， 菱形的面积为：． 14. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：那么这种油菜籽发芽的概率是_______（结果精确到0.01）． 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的频率 0.960 0.947 0.950 0.952 0.948 0.951 0.949 【答案】0.95 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，随着试验次数的增加，发芽的频率逐渐稳定在0.95附近， ∴这种油菜籽发芽的概率是0.95， 故答案为：0.95． 15. 如图，在中，对角线，相交于点O，请你再添加一个条件，使得这个为轴对称图形，可以添加的条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，矩形的判定等知识．根据矩形的判定与性质添加条件即可． 【详解】解：添加， ∵在中，， ∴是矩形， ∴添加，则为轴对称图形， 故答案为：（答案不唯一）． 16. 若关于的分式方程有增根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同分母分式的加减运算法则先计算，由结果等于0得到分子，再根据增根的定义得到，代入计算即可． 【详解】解：， ， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴最简公分母， 解得，， ∴， 解得， ． 17. 如图，中，，点D，E分别在边上，且，，分别连接，点M，N分别是的中点，连接，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意取的中点F，连接，根据三角形的中位线的性质，可得，，，，根据勾股定理，则，求出即可． 本题考查三角形中位线，勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角形中位线的性质，勾股定理的应用． 【详解】解：取的中点F，连接， ， 点M是的中点， 是的中位线， ，， ， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 18. 矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分点在点右边与左边两种情况分别画出图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， 又 ∴ ∴， 当点在点的右侧时，如图所示，设交于点， ∵，，， ∴中，， 则， ∵， ∴ ∴， 当点在点的左侧时，如图所示，设交于点， ∵，，， ∴中， 则， ∵， ∴ ∴， 综上所述，的长为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共74分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算、分式的混合运算等知识点，灵活运用分式混合运算法则成为解题的关键． （1）直接根据同分母分式加减运算法则计算即可； （2）直接根据分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【小问1详解】 解： 去分母得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 【小问2详解】 解： 去分母得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 21. 如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ； （2） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据平行四边形的性质可得：，，可证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）由四边形是平行四边形可得：，，结合，可得，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 为了弘扬中华传统文化，某校组织八年级800名学生参加汉字听写大赛，为了了解学生的整体听写能力，从中提取部分学生的成绩（成绩为整数）进行统计分析，得到如下所示的统计表和如图所示的统计图． 分组段 频数 频率 50.5-60.5 16 60.5-70.5 30 70.5-80.5 50 a 80.5-90.5 b c 90.5-100.5 24 d （1）表中a=____； （2）补全频数分布直方图； （3）若成绩超过80分为优秀，估计该校八年级学生中汉字听写能力优秀占总体的百分比． 【答案】（1）25%； （2）， 补全频数分布直方图如图所示： （3）52% 【解析】 【分析】（1）根据第一组的频数是16，频率是0.08，即可求得总数，再求得a值； （2）计算得出频率b的值，即可补全频数分布直方图； （3）计算得出频率c、d的值，即可估计该校八年级学生中汉字听写能力优秀占总体的百分比． 【详解】（1）样本容量是：16÷0.08=200， ∴； 故答案为：25%； （2）略 （3）根据题意c=80÷200×100%=40%，d=24÷200×100%=12%， 估计该校八年级学生中汉字听写能力优秀占总体的40%+12%=52%． 【点睛】本题考查了频数分布直方图、频数分布表．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23. 如图，四边形是矩形（）． （1）尺规作图：作以为对角线，且点E、F分别在、上的菱形；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若，记菱形的面积为S，且满足，求长的取值范围为 ． 【答案】（1） 解：如图，所求菱形如图所示． 证明：设与相交于点O， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由作图可知∶是线段的垂直平分线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的判定与性质，尺规作图是解决问题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于点E，交于点F，则四边形即为所求作的菱形； （2）先求出当菱形的面积为时，，进而得，则，再求出当菱形的面积为时，，进而得，则，据此即可得出长的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴当菱形的面积为时， ，即， ∴， ∴， ∴在中， ∴， 即当菱形的面积为时，． 当菱形的面积为时， ，即， ∴， ∴， ∴在中， ∴， 即当菱形的面积为时，． 综上，当时，的取值范围是． 故答案为： 24. 某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用元购进种套装的数量和用元购进种套装的数量相同． （1）求两种品牌套装每套进价分别为多少元？ （2）若品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进品牌的数量的倍还多套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过元，则最少购进品牌工具套装多少套？ 【答案】（1）品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元 （2）套 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键。 （1）设品牌套装每套进价为元，则B品牌套装进价为元，列方程求解即可； （2）设购进品牌套装套，则购进品牌套装套，根据题意列不等式求解即可。 【小问1详解】 解：设品牌套装每套进价为元，则B品牌套装进价为元 由题意得 解得 经检验，是分式方程的解 答：品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元 【小问2详解】 解：设购进品牌套装套，则购进品牌套装套， 由题意得： 解得 为正整数， 答：最少购进品牌工具套装套． 25. 已知． （1）若，比较与0的大小； （2）分式的分子、分母都加1，所得的分式的值增大了还是减小了?为什么? （3）将分式的分子、分母都加（且），比较所得的分式的值与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） 分式的值增大了． 理由：． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴分式的值增大了． （3）当或时，；当时，，理由如下： ． ∵， ∴． ①当时，． ∴． ∴． ②当时， （i）若，即时，． ∴． ∴． （ii）若，即时，． ∴． ∴． 综上所述，当或时，；当时，． 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握异分母分式加减法法则，注意结果要化简． （1）根据整式的减法计算，即可判断大小； （2）利用异分母分式加减法法则计算两个分式的差，再分析差的正负性可得答案； （3）同（2）计算两个分式的差，再根据①当时，②当时，判断差的正负性可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 26. 如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 同理：． ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形和角平分线的定义可得、，则，易证四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）根据菱形的性质可证明为等边三角形可得，即；如图：过点P作于M，则、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 如图：过点P作于M， ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 27. 在中，， ，，将绕A按逆时针方向旋转，得到． （1）如图1，点F为与的交点，连接． ①求证：平分； ②求的面积． （2）如图2，点P为线段中点，点G是线段上的动点，在绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点，请直接写出线段长度的最大值与最小值的差 【答案】（1） ①过点A作于点M，作于点N， 根据旋转的性质可知：，， ∴，即， ∴， ∴平分． ②由①可得， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）①过点A作于点M，作于点N，证明AM=AN，即可得出结论； ②由①可得，求得，，，得到，根据三角形的面积公式即可求解； （2）①当G在上运动至垂足点F，绕点A旋转，使点G的对应点在线段上时，最小；②当G在上运动至点C，绕点A旋转，使点G的对应点在线段延长线上时，最大，即可求得线段长度的最大值与最小值． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：①如图，过点A作于点F， 在中，，， ∴， ∵，点P为线段中点， ∴， 当G在上运动，与垂直时，即点F与点G重合时，绕点A旋转，使点G的对应点在线段上时，最小， 最小值为：； ②如图，当G在上运动至点C， 绕点A旋转，使点G的对应点在线段延长线上时，最大， 最大值为：． 综上所述，线段长度的最大值为，最小值为，它们的差为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $