精品解析：江苏省马坝高级中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

2024级高一（下）第二次学情调研测试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算得到，从而虚部为. 【详解】复数满足，， 则的虚部为. 故选：A. 2. 已知m，n表示两条不同的直线，表示平面．下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断． 【详解】对于A，若，，则m与n相交、平行或异面，故A错误； 对于B，若，，由线面垂直的性质定理得，故B正确； 对于C，若，，则或，故C错误； 对于D，若，，则n与相交、平行或，故D错误． 故选：B． 3. 在2021年东京奥运会女子10米气步枪项目中，杨倩凭借出色的表现获得冠军．她前10枪的成绩（单位：环）分别为：10.2，10.9，10.5，10.0，10.3，10.5，10.8，10.5，10.1，10.9．基于这些数据，我们可以计算出前10枪成绩的第75百分位数为（ ） A. 10.2 B. 10.5 C. 10.65 D. 10.8 【答案】D 【解析】 【分析】将数据从小到大排序，再结合百分位数的定义与计算方法，即可求解. 【详解】根据题意，数据从小到大排序为：， 可得，所以前10枪成绩的第75百分位数为第8个数据，即为. 故选：D. 4. 若向量，为单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】通过向量模的平方等于向量的平方即可求解. 【详解】因为向量，为单位向量，所以， 因为， 所以 ， 所以. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式将题目条件打开，联立方程组求解即可. 【详解】因为 则为 . 联立求解得 ， 所以 . 故选:B. 6. 若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥表面积公式和球的表面公式得到，解出即可. 【详解】圆锥的表面积为，球的表面积为， 故，即，故（负舍）． 故选：D． 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角的三角函数的基本关系可求得，利用正弦定理可求解. 【详解】由，可得，又， 所以，解得， 又因为，，所以，所以， 由正弦定理可得，所以，解得. 故选：A. 8. 如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，G为的中点，则下列结论错误的是（    ） A. 点共面 B. 平面平面 C. D. 平面ACD 【答案】D 【解析】 【分析】A.由题意转化为证明平面和平面，即可证明；B.根据面面平行的判断定理转化为证明平面和平面，即可证明；C.由A选项的证明可证明线线垂直；D.利用反证法，说明不成立. 【详解】选项A：如图，取中点，连接，，，， 因为是正四棱锥，是正四面体，为的中点， 所以，，， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 所以四点共面， 由题意知，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为，所以，所以四点共面，故A说法正确； 选项B：由选项A知，又平面，平面，所以平面， 因为，且平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且，所以平面平面，故B说法正确； C选项：由选项A可得平面，又平面，所以，故C说法正确； D选项：假设平面，因为平面，则， 由选项A知四边形是平行四边形，所以四边形是菱形， 与，矛盾，故D说法错误. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 一条青果巷，半部常州史！这个“江南名士第一巷”，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次“红色青果”知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（ ） A. 样本的众数为75 B. 样本的平均数为68.5 C. 样本的中位数为75 D. 估计该校学生中得分超过80分的约占20% 【答案】AB 【解析】 【分析】由图求得的值，再根据频率分布直方图中平均数，众数以及中位数的计算公式即可逐项判断． 【详解】依题意，，解得， 选项A，∵最高小矩形的中点横坐标为75，∴众数是75，故A正确； 选项B，平均数为，故B正确； 选项C，∵，∴样本的中位数为70，故C错误； 选项D，估计该校学生中得分超过80分约占，故D错误． 故选：AB． 10. 已知，，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，计算即可判断；对于B，根据模长公式计算即可得解；对于C，根据向量夹角余弦公式计算即可判断；对于D，根据投影向量定义公式计算求解即可得解. 【详解】对于A，由题意可得， 所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量是，故D正确. 故选：ABD. 11. 在中，角所对边分别为，下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则 D. 若，则为钝角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】作图分析，结合解直角三角形判断A；利用余弦定理判断B；利用正弦定理判断C；利用诱导公式以及余弦函数的单调性可判断D。 【详解】对于A，在中，作于D， 则,即，即，A正确； 对于B，由得， 结合，可知A为锐角，但不能确定B，C角的大小， 故不能确定为锐角三角形，B错误； 对于C，若，由正弦定理可得，则，C正确； 对于D，若，由于，则A为锐角； 若B为锐角，则，可得，则， 故为钝角三角形； 若B为钝角，则，可得，则，适合题意， 此时为钝角三角形； 综合以上可知为钝角三角形，D正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角的对边分别为，若，，则的形状是______． 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合即可求解. 【详解】由， 可得：， 即，又， 所以，即， 又， 所以， 所以的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形 13. 如图，在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点．若平面ADE，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】连接相交于，根据线面平行的性质及可得答案. 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，则，即. 故答案为：2. 14. 如图，在三棱锥中，，，平面ABC，E为CD的中点，则直线BE与AD所成角的余弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质定理及异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理即可求解. 【详解】由平面，平面，得，， 又，，则， 取的中点，连结，由为的中点，得， 因此直线BE与AD所成角为或其补角， 在中，，，， 由余弦定理得， 所以直线BE与AD所成角的余弦值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知复数，，，为虚数单位． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念列出方程组求解. （2）由得出为实数即可求解. 【小问1详解】 ，， 所以， 因为是纯虚数，所以，得. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，所以，得， 所以，所以. 16. 某高中随机调查名高一学生，并对这名学生的作业进行评分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中成绩在的学生人数为25人. （1）求的值； （2）估计这名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数（精确到小数点后两位）. 【答案】（1）， （2）平均数为72，中位数73.33 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求解即可； （2）利用平均数和中位数的定义求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，， ， 解得. 小问2详解】 平均数为. 因为 所以中位数在之间，设中位数为， 则， 解得. 17. 已知是三边长且，的面积． （1）求角； （2）求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用余弦定理计算即可； （2）先根据面积公式求出，结合，得到，进而得到，求出周长． 【小问1详解】 由余弦定理得， 因为，所以； 【小问2详解】 由三角形面积公式得， 即，解得， 故， 又，故， 所以， 故，， 故的周长为． 18. 如图，在正方体中，棱长为，是线段的中点，设过点、、的平面与棱交于点. （1）画出平面截正方体所得的截面，并求截面多边形的面积； （2）平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.（参考公式：） 【答案】（1）截面见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于，连接交于，可得截面，进而求得截面的面积即可. （2）多面体为三棱台，求得，，根据棱台的体积公式可求得棱台的体积，进而可求得结论. 【小问1详解】 连接并延长交于，连接交于，则四边形即为平面截正方体所得的截面. 由于平面平面，平面平面， 平面平面，故， 因为是的中点，则、分别为和的中点， 所以在中，且， 因为正方体的棱长为， 所以截面为梯形，且，，利用勾股定理得， 如下图所示： 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、， 则易得， 所以，梯形的面积为. 【小问2详解】 多面体为三棱台，，， 该棱台的高为，所以，该棱台的体积为：， 故剩余部分的体积为. 故比较小的那部分与比较大的那部分的体积的比值为. 19. 如图，在平行四边形中，，沿其对角线将折起至，使所在平面与平面垂直. （1）证明：平面平面； （2）若为上一点，∥平面，，求直线到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证法一：由已知得，再结面面垂直的性质可得平面，而，则平面，然后利用面面垂直的判定定理可证得结论；证法二：由已知面面垂直可证得平面，则，由题意可得，再利用线面垂直的判定定理得平面，然后利用面面垂直的判定定理可证得结论； （2）连接交于点，连接，由线面平行的性质可得∥，∥平面，则将到平面的距离转化为点到平面的距离，可证得为等边三角形，则，由线面垂直的判定可得平面，从而可求得结果. 【小问1详解】 证法一：因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平行四边形，所以∥， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 证法二：因为，所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因平面，所以， 因为平行四边形，所以∥， 所以，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 因为∥平面，所以到平面的距离等于点到平面的距离. 连接交于点，连接， 因为∥平面，平面，平面平面， 所以∥， 因为为中点，所以为的中点， 因为，，所以， 在中，，，所以，且， 所以为等边三角形，所以， 因为，平面， 所以平面， 所以的长即为点到平面的距离，因为， 所以到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一（下）第二次学情调研测试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A B. C. D. 1 2. 已知m，n表示两条不同的直线，表示平面．下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 在2021年东京奥运会女子10米气步枪项目中，杨倩凭借出色表现获得冠军．她前10枪的成绩（单位：环）分别为：10.2，10.9，10.5，10.0，10.3，10.5，10.8，10.5，10.1，10.9．基于这些数据，我们可以计算出前10枪成绩的第75百分位数为（ ） A. 10.2 B. 10.5 C. 10.65 D. 10.8 4. 若向量，为单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，G为的中点，则下列结论错误的是（    ） A. 点共面 B. 平面平面 C. D. 平面ACD 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 一条青果巷，半部常州史！这个“江南名士第一巷”，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次“红色青果”知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（ ） A. 样本的众数为75 B. 样本的平均数为68.5 C. 样本的中位数为75 D. 估计该校学生中得分超过80分的约占20% 10. 已知，，则下列结论正确的是（    ） A B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量是 11. 在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则锐角三角形 C. 若，则 D. 若，则为钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角的对边分别为，若，，则的形状是______． 13. 如图，在三棱柱中，E是棱中点，D是棱BC上一点．若平面ADE，则的值为______． 14. 如图，在三棱锥中，，，平面ABC，E为CD的中点，则直线BE与AD所成角的余弦值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知复数，，，为虚数单位． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若，求． 16. 某高中随机调查名高一学生，并对这名学生的作业进行评分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中成绩在的学生人数为25人. （1）求的值； （2）估计这名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数（精确到小数点后两位）. 17. 已知是三边长且，的面积． （1）求角； （2）求的周长． 18. 如图，在正方体中，棱长为，是线段的中点，设过点、、的平面与棱交于点. （1）画出平面截正方体所得的截面，并求截面多边形的面积； （2）平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.（参考公式：） 19. 如图，在平行四边形中，，沿其对角线将折起至，使所在平面与平面垂直. （1）证明：平面平面； （2）若为上一点，∥平面，，求直线到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $