江苏省南京市玄武区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

2023-2024学年江苏省南京市玄武区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）《周易》是中国传统思想文化中自然哲学与人文实践的理论根源，是古代汉民族思想、智慧的结晶，被誉为“大道之源”．下列“卦象”是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2分）下列调查中，适合普查的是（　　） A．了解全国中学生的睡眠时间 B．了解一批灯泡的使用寿命 C．调查长江中下游的水质情况 D．对乘坐飞机的乘客进行安检 3．（2分）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，则线段EF的长为（　　） A．2 B． C．1 D． 5．（2分）如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，AB∥x轴，与y轴交于点C，点D是x轴上一点．若BC＝2AC，△ABD的面积为3，则k1k2的值为（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣6 D．6 6．（2分）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC．添加下列条件：①OB＝OD；②AD＝BC；③AD∥BC；④∠BAD＝∠BCD．其中，能判定四边形ABCD是平行四边形的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　 　 ． 8．（2分）若分式的值为0，则x的值是 　 　 ． 9．（2分）柑橘在运输、存储中会有损坏，现从某批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如下： 柑橘的总质量n/kg 100 200 250 300 350 400 450 500 损坏的柑橘质量m/kg 10.50 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 损坏的柑橘频率 0.105 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 估计这批柑橘中损坏的柑橘的概率为 　 　 .（精确到0.1） 10．（2分）比较大小：　 　 1．（填“＞”“＜”或“＝”） 11．（2分）菱形的面积是24，一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为　 　 ． 12．（2分）点（x1，y1），（x2，y2）在反比例函数的图象上，若y2＜y1＜0，则x1，x2的大小关系：x1　 　 x2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，将△ABC绕着点B顺时针旋转，使点A落在边BC上的A′处，点C落在点C′处，联结CC′，则∠BCC′＝　 　 ． 14．（2分）已知关于x的分式方程有增根，则m的值为 　 　 ． 15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A，B是反比例函数图象上不同的两点，点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，且O，A，B三点不在同一条直线上．若OA＝OB，则mn＝　 　 ． 16．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝2，E，F分别是边AB，BC上的动点，且AE＝BF，连接EF，P是EF的中点，连接BP，则线段BP的最小值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）计算： （1）； （2）． 18．（10分）解分式方程： （1）； （2）． 19．（8分）解一元二次方程： （1）x2﹣6x+3＝0； （2）4x2﹣4x+1＝x2+6x+9． 20．（8分）先化简，再求值：，其中． 21．（10分）学校计划在八年级开设以下四门校本课程：A无人机、B创客、C人工智能和D航模．为了解学生对这四门课程的选择情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次抽样调查的学生人数为 　 　 名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“人工智能”所对应的扇形圆心角度数是 　 　 °； （3）若该校八年级一共有560名学生，估计选择“创客”课程的学生有多少名？ 22．（7分）某项工程，乙队单独完成的天数是甲队单独完成的天数的2倍．现由甲、乙两队合作10天后，余下的工程由乙队单独来做，还需6天完工．求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ 23．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，且BE＝DF，连接AF，BF，CE，DE．AF，DE交于点G，BF，CE交于点H． （1）求证：四边形GEHF是平行四边形； （2）若四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，E是AB的中点，则四边形GEHF的周长是 　 　 ． 24．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 25．（9分）如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（4，m），B（﹣6，﹣2）． （1）求k的值和一次函数的表达式； （2）关于x的不等式的解集为 　 　 ； （3）若点P为直线AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，与反比例函数的图象交于点Q，当△OPQ的面积为6时，请直接写出点Q的坐标． 26．（11分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF．连接AF，CE，G，H分别是AF，CE的中点，连接EG，FH． （1）求证：四边形EHFG是平行四边形； （2）若四边形EHFG是正方形，∠ABD＝30°，则　 　 ． 27．【探索发现】 （1）在▱ABCD中，AC，BD是对角线．求证：AC2+BD2＝2（AB2+BC2）． 如图①，过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E，F．设AB＝x，BC＝y，BE＝z．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（用含x，y，z的代数式表示） 【性质运用】 （2）如图②，在△ABC中，AD是BC边上的中线． ①若BC＝a，AC＝b，AB＝c，求AD的长；（用含a，b，c的代数式表示） ②若M是BD的中点，连接AM．当，时，则BC＝　 　 ． 【拓展探究】 （3）如图③，已知点A，点B和直线l．在直线l上求作一点P，使PA2+PB2的值最小．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明） 2023-2024学年江苏省南京市玄武区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D C C A C 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）《周易》是中国传统思想文化中自然哲学与人文实践的理论根源，是古代汉民族思想、智慧的结晶，被誉为“大道之源”．下列“卦象”是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【解答】解：选项A、B、C的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形； 选项D的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 2．（2分）下列调查中，适合普查的是（　　） A．了解全国中学生的睡眠时间 B．了解一批灯泡的使用寿命 C．调查长江中下游的水质情况 D．对乘坐飞机的乘客进行安检 【分析】根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，抽样调查得到的调查结果比较近似进行解答． 【解答】解：A．了解全国中学生的睡眠时间，适合抽样调查，故本选项不符合题意； B．了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不符合题意； C．调查长江中下游的水质情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意； D．对乘坐飞机的乘客进行安检，适合全面调查，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（2分）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 【解答】解：，则A不符合题意； （n≠0），则B不符合题意； ，则C符合题意； 无法化简，则D不符合题意； 故选：C． 4．（2分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，则线段EF的长为（　　） A．2 B． C．1 D． 【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝3，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠DBF＝∠DFB，得到DF＝DB＝2，计算即可． 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝BC6＝3，DB＝AB＝2， ∴∠DFB＝∠FBC， ∵BF是∠ABC的平分线， ∴∠DBF＝∠FBC， ∴∠DBF＝∠DFB， ∴DF＝DB＝2， ∴EF＝DE﹣DF＝3﹣2＝1， 故选：C． 5．（2分）如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，AB∥x轴，与y轴交于点C，点D是x轴上一点．若BC＝2AC，△ABD的面积为3，则k1k2的值为（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣6 D．6 【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可得到正确的选项． 【解答】解：连接OA、OB， ∵AB∥x轴， ∴S△ABD＝S△AOB＝3， ∵点A，B分别在反比例函数和的图象上， ∴S△AOC丨k1丨，S△OBCk2， ∵BC＝2AC， ∴S△AOC1，S△COBS△ABD3＝2， ∴k1＝﹣2，k2＝4， ∴k1k2＝﹣8． 故选：A． 6．（2分）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC．添加下列条件：①OB＝OD；②AD＝BC；③AD∥BC；④∠BAD＝∠BCD．其中，能判定四边形ABCD是平行四边形的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据平行四边形 的判定定理判断即可． 【解答】解：①OA＝OC，OB＝OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ②OA＝OC，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ③∵AD∥BC， ∴∠ADO＝∠CBO， 在△ADO和△CBO中， ， ∴△ADO≌△CBO（AAS）， ∴OB＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形； ④OA＝OC，∠BAD＝∠BCD，不能判定四边形ABCD为平行四边形； ∴能判定四边形ABCD是平行四边形的①③． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　x≥﹣1　 ． 【分析】根据被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， 1+x≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为：x≥﹣1． 8．（2分）若分式的值为0，则x的值是 　2　 ． 【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，再利用分式有意义的条件，其分母不为零，进而得出答案． 【解答】解：∵分式的值为0， ∴x2﹣4＝0且x+2≠0， 解得：x＝2． 故答案为：2． 9．（2分）柑橘在运输、存储中会有损坏，现从某批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如下： 柑橘的总质量n/kg 100 200 250 300 350 400 450 500 损坏的柑橘质量m/kg 10.50 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 损坏的柑橘频率 0.105 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 估计这批柑橘中损坏的柑橘的概率为 　0.1　 .（精确到0.1） 【分析】利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘损坏率大约是0.1． 【解答】解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左右， 所以可估计柑橘损坏率大约是0.1， 故答案为：0.1． 10．（2分）比较大小：　＜　 1．（填“＞”“＜”或“＝”） 【分析】由题意，两个正数都带根号，可比较其平方的大小，即可解答． 【解答】解：∵，，， ∴， ∴． 故答案为：＜ 11．（2分）菱形的面积是24，一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为　8　 ． 【分析】根据菱形的面积计算公式Sab（a、b为对角线的长度），已知一条对角线的长度和菱形的面积即可计算另一条对角线的长度． 【解答】解：菱形的面积计算公式Sab（a、b为对角线的长度）， 已知S＝24，a＝6， 则b＝8， 故答案为 8． 12．（2分）点（x1，y1），（x2，y2）在反比例函数的图象上，若y2＜y1＜0，则x1，x2的大小关系：x1　＞　 x2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【分析】根据反比例函数图象性质可得k＝﹣1＜0，图象过第二、四象限，进而可以得出当y2＜y1＜0时x1与x2的大小关系． 【解答】解：∵k＝﹣a2﹣1＜0， ∴反比例函数的图象过第二、四象限， 当y2＜y1＜0时， 则x1＞x2， 故答案为：＞． 13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，将△ABC绕着点B顺时针旋转，使点A落在边BC上的A′处，点C落在点C′处，联结CC′，则∠BCC′＝　65°　 ． 【分析】根据等腰三角形的性质和旋转的性质，可以求得∠BCC′的度数． 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°， ∴∠ABC＝∠ACB＝50°， ∵将△ABC绕着点B顺时针旋转，使点A落在边BC上的A′处，点C落在点C′处， ∴∠CBC′＝50°，BC＝BC′， ∴∠BCC′＝∠BC′C＝65°， 故答案为：65°． 14．（2分）已知关于x的分式方程有增根，则m的值为 　4　 ． 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣4＝0，得到x＝4，然后代入化为整式方程的方程算出a的值． 【解答】解：方程两边都乘x﹣4， 得x＝2（x﹣4）+m， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x﹣4＝0， 解得x＝4， 当x＝4时，m＝4． 故答案为：4． 15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A，B是反比例函数图象上不同的两点，点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，且O，A，B三点不在同一条直线上．若OA＝OB，则mn＝　±6　 ． 【分析】根据反比例函数的对称性得到A、B的坐标，代入反比例函数中，即可求得mn＝±6． 【解答】解：由题意可知A、B两点关于直线y＝x或关于直线y＝﹣x对称， 当A、B两点关于直线y＝x对称时，点A（m，n），B（n，m）， ∴k＝mn＝6； 当A、B两点关于直线y＝﹣x对称时，点A（m，﹣n），B（n，﹣m）， ∴k＝﹣mn＝6，即mn＝﹣6． 故答案为：±6． 16．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝2，E，F分别是边AB，BC上的动点，且AE＝BF，连接EF，P是EF的中点，连接BP，则线段BP的最小值为 　　 ． 【分析】取AC的中点G，AB的中点G，连接GH、GE、GF、BG，因为∠ABC＝90°，BA＝BC＝2，所以HG∥BC，HGBC＝1，BG⊥AC，则HG⊥AB，可证明△AGE≌△BGF，得EG＝FG，∠AGE＝∠BGF，推导出∠EGF＝∠AGB＝90°，EFEG，由BPEFEG，得EGBP，所以BP≥1，则BP，求得BP的最小值为，于是得到问题的答案． 【解答】解：取AC的中点G，AB的中点G，连接GH、GE、GF、BG， ∵∠ABC＝90°，BA＝BC＝2， ∴HG∥BC，HGBC＝1，BG⊥AC，BG＝AG＝CGAC，∠A＝∠C＝45°，∠FBG＝∠ABG∠ABC＝45°， ∴∠AHG＝∠ABC＝90°，∠AGB＝90°，∠A＝∠FBG， ∴HG⊥AB， 在△AGE和△BGF中， ， ∴△AGE≌△BGF（SAS）， ∴EG＝FG，∠AGE＝∠BGF， ∴∠EGF＝∠BGE+∠BGF＝∠BGE+∠AGE＝∠AGB＝90°， ∴EFEG， ∵∠EBF＝90°，P是EF的中点， ∴BPEFEG， ∴EGBP， ∴EG≥HG， ∴BP≥1， ∴BP， ∴BP的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）把系数，被开方数分别相乘，再化为最简二次根式即可； （2）先分母有理化，算二次根式乘法，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式＝3×（） ＝﹣2 ＝﹣4b； （2）原式＝22 ＝2． 18．（10分）解分式方程： （1）； （2）． 【分析】（1）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答； （2）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， x＝2（x+2）， 解得：x＝﹣4， 检验：当x＝﹣4时，x（x+2）≠0， ∴x＝﹣4是原方程的根； （2）， 2， 2+4（x﹣3）＝﹣（x﹣5）， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，2（3﹣x）＝0， ∴x＝3是原方程的增根， ∴原方程无解． 19．（8分）解一元二次方程： （1）x2﹣6x+3＝0； （2）4x2﹣4x+1＝x2+6x+9． 【分析】（1）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）先根据完全平方公式进行变形，再方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）x2﹣6x+3＝0， 移项，得x2﹣6x＝﹣3， 配方，得x2﹣6x+32＝﹣3+32， （x﹣3）2＝6， 开方，得x﹣3＝±， 解得：x1＝3，x2＝3； （2）4x2﹣4x+1＝x2+6x+9， （2x﹣1）2＝（x+3）2， 开方得：2x﹣1＝±（x+3）， 2x﹣1＝x+3或2x﹣1＝﹣（x+3）， 解得：x1＝4，x2． 20．（8分）先化简，再求值：，其中． 【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后约分，最后将x的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： • ， 当x2时，原式． 21．（10分）学校计划在八年级开设以下四门校本课程：A无人机、B创客、C人工智能和D航模．为了解学生对这四门课程的选择情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次抽样调查的学生人数为 　40　 名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“人工智能”所对应的扇形圆心角度数是 　144　 °； （3）若该校八年级一共有560名学生，估计选择“创客”课程的学生有多少名？ 【分析】（1）用A的人数除以所占的百分比即可求出总人数，用总人数减去其它人数求出C的人数，补全条形统计图即可； （2）用360°乘以C的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）用560乘以B的人数所占的百分比，即可得出答案． 【解答】解：（1）本次抽样调查的学生人数为12÷30%＝40（名）， 所以C的人数40﹣（12+8+4）＝16（名）， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：40； （2）在扇形统计图中，“人工智能”所对应的扇形圆心角度数是360°144°； 故答案为：144； （3）560112（名）， 答：估计选择“创客”课程的学生有112名． 22．（7分）某项工程，乙队单独完成的天数是甲队单独完成的天数的2倍．现由甲、乙两队合作10天后，余下的工程由乙队单独来做，还需6天完工．求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ 【分析】设甲队单独完成此项工程需x天，则乙队单独完成此项工程需2x天，利用工程质量＝甲队完成的工程量+乙队完成的工程量，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即甲队单独完成此项工程所需时间），再将其代入2x中，即可求出乙队单独完成此项工程所需时间． 【解答】解：设甲队单独完成此项工程需x天，则乙队单独完成此项工程需2x天， 根据题意得：1， 解得：x＝18， 经检验，x＝18是所列方程的解，且符合题意， ∴2x＝2×18＝36． 答：甲队单独完成此项工程需18天，乙队单独完成此项工程需36天． 23．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，且BE＝DF，连接AF，BF，CE，DE．AF，DE交于点G，BF，CE交于点H． （1）求证：四边形GEHF是平行四边形； （2）若四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，E是AB的中点，则四边形GEHF的周长是 　2　 ． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB＝BC，AB∥CD，可证四边形BEDF是平行四边形，四边形AECF是平行四边形，可得DE∥BF，AF∥CE，可得结论； （2）由“ASA“可证△BEH≌△FCH，可得EH＝HC，BH＝HF，由勾股定理可求EC的长，可证四边形EHFG是菱形，可得EH＝HF＝GF＝EG，即可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝BC，AB∥CD， ∴BE＝DF， ∴AE＝CF，四边形BEDF是平行四边形， ∴四边形AECF是平行四边形，DE∥BF， ∴AF∥CE， ∴四边形GEHF是平行四边形； （2）解：∵点E是AB的中点， ∴AE＝BE＝2， ∵四边形BEDF是平行四边形，四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF，BE＝DF， ∴BE＝CF＝AE＝DF， ∵AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CFB，∠BEC＝∠ECF， ∴△BEH≌△FCH（ASA）， ∴EH＝HC，BH＝HF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴BH＝EH＝HC，EC， ∴EH＝HF， ∵四边形GEHF是平行四边形， ∴四边形EHFG是菱形， ∴EH＝HF＝GF＝EG， ∴四边形GEHF的周长＝42， 故答案为：2． 24．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 【分析】（1）证明Δ＞0，可得结论； （2）根据方程解的定义求出k的值，再求出方程的根可得结论． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4（2k﹣1）\ ＝k2+4k+4﹣8k+4 ＝k2﹣4k+4+4 ＝（k﹣2）2+4， ∵（k﹣2）2≥0， ∴Δ＞0， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程的一个根为3， ∴9﹣3（k+2）+2k﹣1＝0， ∴k＝2， ∴方程为x2﹣4x+3＝0， ∴x1＝3，x1＝1， ∴另一个根为1，k＝2． 25．（9分）如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（4，m），B（﹣6，﹣2）． （1）求k的值和一次函数的表达式； （2）关于x的不等式的解集为 　x＞4或﹣6＜x＜0　 ； （3）若点P为直线AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，与反比例函数的图象交于点Q，当△OPQ的面积为6时，请直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）由△OPQ的面积PQ×|xP||x+1|×|x|＝6，即可求解． 【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4m＝﹣6×（﹣2）＝12， 则k＝12，m＝3， 即反比例函数的表达式为：y，点A（4，3）； 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得： ，解得：， 则一次函数表达式为：yx+1； （2）观察函数图象知，不等式的解集为x＞4或﹣6＜x＜0， 故答案为：x＞4或﹣6＜x＜0； （3）设点P（x，x+1），则点Q（x，）， 则△OPQ的面积PQ×|xP||x+1|×|x|＝6， 解得：x＝0（舍去）或6或﹣8或﹣2， 即点Q的坐标为：（6，2）或（﹣8，）或（﹣2，﹣6）． 26．（11分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF．连接AF，CE，G，H分别是AF，CE的中点，连接EG，FH． （1）求证：四边形EHFG是平行四边形； （2）若四边形EHFG是正方形，∠ABD＝30°，则　　 ． 【分析】（1）由▱ABCD得AD＝BC，AD∥BC，故∠EBC＝∠FDA，再证明△CBE≌△ADF，最后利用一组对边平行且相等得四边形EHFG是平行四边形； （2）连接AE，CF．由正方形EHFG得∠GEF＝45°，FG＝AG＝GE，设AE＝x，则EF＝x，利用∠ABD＝30°得AB＝2x，BEx，同理：DFx，BD＝2x+x，故． 【解答】（1）证明：∵▱ABCD， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠EBC＝∠FDA， 在△CBE和△ADF中， ∴△CBE≌△ADF（SAS）， ∴AF＝EC，∠AFD＝∠BEC， ∴∠AFE＝∠CEF， ∴AF∥EC． ∵G，H分别是AF，CE的中点， ∴EH＝GF， ∴四边形EHFG是平行四边形； （2）解：连接AE，CF． ∵正方形EHFG， ∴∠GEF＝45°，FG＝AG＝GE， ∴∠AEG＝45°， ∴∠AEF＝90°， 设AE＝x，则EF＝x， ∵∠ABD＝30°， ∴AB＝2x，BEx， 同理：DFx， ∴BD＝2x+x， ∴． 27．【探索发现】 （1）在▱ABCD中，AC，BD是对角线．求证：AC2+BD2＝2（AB2+BC2）． 如图①，过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E，F．设AB＝x，BC＝y，BE＝z．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（用含x，y，z的代数式表示） 【性质运用】 （2）如图②，在△ABC中，AD是BC边上的中线． ①若BC＝a，AC＝b，AB＝c，求AD的长；（用含a，b，c的代数式表示） ②若M是BD的中点，连接AM．当，时，则BC＝　4　 ． 【拓展探究】 （3）如图③，已知点A，点B和直线l．在直线l上求作一点P，使PA2+PB2的值最小．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明） 【分析】（1）运用勾股定理得AE2＝x2﹣z2，AC2＝x2+y2﹣2yz，BD2＝x2+y2+2yz，AC2+BD2＝2（x2+y2）． （2）①延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，CE，可证得四边形ABEC是平行四边形，利用（1）的结论即可求得答案． ②由AD是BC边上的中线，M是BD的中点，可得关于AD与BC的方程组，消去AD即可求得答案． （3）连接AB，取AB的中点Q，过Q作QP⊥l，由（2）得PA2+PB2＝2AQ2+2PQ2．由AB是定值，故AB的一半AQ也是定值，再根据垂线段最短得QP最短，故此时PA2+PB2的值最小． 【解答】解：（1）①在Rt△ABE中，AE2＝AB2﹣BE2＝x2﹣z2， ②在Rt△ACE中，AC2＝AE2+EC2＝x2﹣z2+（y﹣z）2＝x2+y2﹣2yz， ③在Rt△BDF中，BD2＝DF2+（BE+EF）2＝x2﹣z2+（z+y）2＝x2+y2+2yz， ④∵AC2+BD2＝（x2+y2﹣2yz）+（x2+y2+2yz）＝2（x2+y2），2（AB2+BC2）＝2（x2+y2）， ∴AC2+BD2＝2（AB2+BC2）， 故答案为：①x2﹣z2，②x2+y2﹣2yz，③x2+y2+2yz，④2（x2+y2）． （2）①延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，CE，如图． ∵AD是△ABC的BC边上的中线， ∴BD＝CD， 又∵DE＝AD， ∴四边形ABEC是平行四边形， 由（1）知：AE2+BC2＝2（AB2+AC2）， ∴（2AD）2＝2（AB2+AC2）﹣BC2＝2（c2+b2）﹣a2， ∴AD； ②如图，AD是BC边上的中线，M是BD的中点， 由（1）得：， ∵AB，AC＝AM， ∴， 解得：BC＝4， 故答案为：4． （3）连接AB，取AB的中点Q，过Q作QP⊥l， 由（2）得PA2+PB2＝2AQ2+2PQ2． ∵AB是定值，故AB的一半AQ也是定值， 再根据垂线段最短得QP最短， 故此时PA2+PB2的值最小． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$