精品解析：山西省山西现代双语学校等校2024-2025学年高一下学期5月联考数学试题

高一年级2024—2025学年第二学期5月考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．测试范围：必修二：第六章—第九章． 3．难度系数：0.8． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断. 【详解】对于A：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形， 所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误； 对于B：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确； 对于C：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥， 以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体， 故C错误； 对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误； 故选：B. 2. 数据16，22，13，14，25，17，18，19，21，10的第70百分位数是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】将给定数据由小到大排列，再利用第70百分位数的定义求解. 【详解】将给定数据由小到大排列为：10，13，14，16，17，18，19，21，22，25， 由，得第70百分位数是. 故选：C 3. 某校高一年级有810名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为40，32，则该校高一年级的女生人数为（ ）. A. 450 B. 360 C. 400 D. 320 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样定义计算即可. 【详解】由分层抽样可得高一年级的女生人数为. 故选：B. 4. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定即可. 【详解】对于A，由，，得或，A错误； 对于B，由，，，得或是异面直线，B错误； 对于C，当相交，其交线垂直于平面，满足，，不平行，C错误； 对于D，由，，得，又，则，D正确. 故选：D 5. 平面过正方体的顶点A，平面，平面，平面，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的性质，判断直线与所成的角，通过解三角形即可求解. 【详解】如图：因为平面，平面平面， 平面，平面平面，所以． 因为平面，平面平面， 平面，平面平面，所以． 所以与所成角的大小等于与所成角的大小，即为所求． 因为为正三角形，所以，即m与n所成角的大小为． 故选：. 6. 为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组.今欲测量学校附近洵江河岸的一座“使命塔”的高度，如图所示，可以选取与该塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得“使命塔”塔顶的仰角为60°，则“使命塔”高（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解三角形，得，再解直角，就可以得到. 【详解】 在中，，，可得， 由正弦定理得：，则， 可得：， 再在直角中，， 故选：B. 7. 如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，先利用坐标表示相关向量，再结合数量积的坐标表示和二次函数的性质计算可得. 【详解】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系（如图所示）， 则， 因为， 则点D在线段（不含端点）上， 设，则， 所以， 所以当时，取得最小值， 当时，， 故的取值范围为. 故选：A． 8. 如图，在棱长为的正方体内有两个球相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】做出对角面，设两球半径分别为，过分别作的垂线，垂足分别为，结合求得，再结合体积公式即可求解. 【详解】如图，设两球半径分别为，球心和在正方体体对角线上， 过分别作的垂线，垂足分别为， 由图可得 即 ，所以， 故两球体积之和为 由二次函数性质可知： 当且仅当时，有最小值． 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 的第60百分位数是6 B. 已知一组数据平均数为5，则这组数据的方差是5.2 C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D. 若的标准差为2，则的标准差是6 【答案】BD 【解析】 【分析】根据百分位数的概念判断A，根据平均数和方差的概念判断B，根据抽样的等可能性判断C，根据标准差的运算判断D. 【详解】对A：的第60百分位数是：，故A错误； 对B：因为，所以这组数据的方差为：，故B正确； 对C：分层抽样，每个个体被抽到的概率相等，故C错误； 对D：的标准差为2，所以的标准差为，故D正确. 故选：BD 10. 我国新能源发展势头强劲，产业前景广阔，特别是新能源汽车产销已经连续8年位居世界第一，如图，这是某国产新能源汽车公司的100家销售商在2023年4月份的销售数据频率分布直方图，则（ ） A. a的值为0.004 B. 估计这100家销售商新能源汽车销量(每组的销量按中点值计算)的平均数为135 C. 估计这100家销售商新能源汽车销售量的中位数为158.3 D. 若用分层随机抽样法从这100家销售商中抽取20家，则应从销量在[200，300]内的销售商中抽取5家 【答案】AD 【解析】 【分析】根据频率和为1，计算的值判断A；B.根据平均数公式计算可判断B；C.根据百分位数公式计算可判断C；计算销量在内的频率，再结合分层抽样计算可判断D. 【详解】由，得，故A正确; 平均数约为， ，故B错误； 设中位数为x，易知，则，得，故C错误； 应从销量在的销售商中抽家，故D正确. 故选：AD. 11. 如图，在边长为4的正方体中，分别是棱，的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 存在满足 D. 若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是41π 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用面面平行判定定理可知当平面时，的轨迹为线段，其长度为，即A正确；再由线面垂直性质可知的轨迹是半径为1的圆弧，可得B正确；利用可判断C错误；求得三棱锥的外接球的球心和半径即可判断D正确. 【详解】对于A，如图，取，中点，且连接，， 因为分别是棱，的中点，由中位线定理得，， 所以，而，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，因为， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 而面， 所以面平面，又是正方形内的动点， 且平面，平面和平面与平面相交，是交线， 所以的轨迹为线段， 由勾股定理得，故A正确， 对于B，如图，若，此时平面， 所以，由勾股定理得， 所以的轨迹为在面内，以为圆心，1为半径的圆弧， 所以的轨迹长度为，故B正确， 对C：如图： 因为，且，， 所以不存在满足，故C错误； 对于D，如图，取的中点，的中点，连接， 因为是棱的中点，分别是棱，的中点， 所以，由勾股定理得， 而，所以，所以， 而，所以点到的距离相等， 因为，由正方体性质得平面， 所以平面，所以三棱锥的外接球的球心在上， 设球心为，，则，又，， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 在直角三角形中，由勾股定理得， 在直角三角形中，由勾股定理得，解得， 所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于确定三棱锥外接球的球心位置，并根据勾股定理计算出外接球的半径，即可求得其表面积. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数为纯虚数， 则________________； 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式乘法运算化简，再根据复数的类型求出参数的值. 【详解】因为， 又复数为纯虚数，所以，解得. 故答案为： 13. 某班共有40名学生，其中22名男生的身高平均数为173cm，方差为28；18名女生的身高平均数为163cm，方差为32；则该班级全体学生的身高方差为______. 【答案】54.55 【解析】 【分析】利用均值公式求得全体学生身高均值，应用方差公式及原男女生的身高方差求全体学生的身高方差. 【详解】由题意，全体学生的身高均值为， 若表示男生数据，表示女生数据， 所以，， 则全体学生的身高方差为 . 故答案为： 14. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chúméng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行．现有如图所示一刍甍，，侧面和为等边三角形，且与底面所成角相等；若，到底面的距离为，则该刍甍的体积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】分别取，的中点，将刍甍被分为四棱锥和三棱柱，进而可求解. 【详解】在刍甍中，过作底面的垂线，垂足为， 则，取的中点，则， ，所以． 分别取，的中点， 则刍甍被分为四棱锥和三棱柱． 又因为， ， 又因为 所以， 所以该刍甍的体积为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15. 已知内角的对边分别为，设. （1）求； （2）若的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；（2）根据题意，由三角形的面积公式可得，结合余弦定理即可得到结果. 【小问1详解】 原式化简可得：， 整理得：， 由正弦定理可得：， 因此三角形的内角； 【小问2详解】 ， ， ， . 16. 如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，为中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明过程见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明，再利用线面平行的判定定理即可； （2）利用等体积计算即可. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因、分别为、的中点，所以， 又，则， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，则平面． 【小问2详解】 因平面，平面，所以， 因，，所以， 又，则平面， 又平面，则， 由，，得， 设点到平面的距离为，连接. 则，即， 即，解得， 则点到平面的距离为． 17. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】（1）， （2）晋级分数线划为78分合理 （3）90；38.75 【解析】 【分析】（1）由其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，求出的值，频率分布直方图面积和为1，求b的值； （2）利用频率分布直方图计算第80百分位数即可； （3）根据平均数和方差的计算公式求出结果. 【小问1详解】 由题意知，所以，解得， 又，解得． 所以，， 【小问2详解】 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为m，则， 解得，所以晋级分数线划为78分合理． 【小问3详解】 ，故：． 又，， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 方差：． 18. 在多面体中，已知，，且，． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先作辅助线，证得，结合，再根据线面垂直的判断定理，以及面面垂直的判断定理，即可求证． （2）根据已知条件，通过线面位置关系，可得就是直线与平面所成的角，分别求出，的值，即可求解． 【小问1详解】 如图，分别取，的中点、，连接、、，则且， 因为且， 所以且 则四边形为平行四边形，所以且， 因，所以， 所以， 又因为，所以， 又因为，、平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 取的中点为，的中点为，连接，，，如图所示， 因为，所以， 在等腰梯形中，易得， 又因为，、平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 过作于点，由平面平面，平面， 则平面， 连接，则就是直线与平面所成的角， 因为平面，所以， 由，，得，，是中点，， 在等腰梯形中，， 所以在等腰中，腰上的高， 又因为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. （1）求扇形OMN的面积； （2）若，求矩形ABCD的面积； （3）若矩形ABCD面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】（1）平方米. （2）平方米. （3），最大值为. 【解析】 【分析】（1）由扇形面积公式可得； （2）根据，求得和的长度，即可求得矩形的面积； （3）利用直角三角形利用半径与分别表示出，进而可得矩形面积表达式，利用辅助角公式将化简变形，结合角的范围求最大值可得. 【小问1详解】 由题意，，扇形半径即米， 则扇形OMN的面积为平方米. 【小问2详解】 因为，在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积. 所以当时，矩形ABCD的面积平方米. 【小问3详解】 在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积 ， 所以，其中. 由于， 则当时，即时，. 所以当时，取得最大值，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一年级2024—2025学年第二学期5月考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．测试范围：必修二：第六章—第九章． 3．难度系数：0.8． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B. 球直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 2. 数据16，22，13，14，25，17，18，19，21，10的第70百分位数是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 3. 某校高一年级有810名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为40，32，则该校高一年级的女生人数为（ ）. A. 450 B. 360 C. 400 D. 320 4. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 平面过正方体的顶点A，平面，平面，平面，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组.今欲测量学校附近洵江河岸的一座“使命塔”的高度，如图所示，可以选取与该塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得“使命塔”塔顶的仰角为60°，则“使命塔”高（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为的正方体内有两个球相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确是（ ） A. 的第60百分位数是6 B. 已知一组数据的平均数为5，则这组数据的方差是5.2 C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D. 若的标准差为2，则的标准差是6 10. 我国新能源发展势头强劲，产业前景广阔，特别是新能源汽车产销已经连续8年位居世界第一，如图，这是某国产新能源汽车公司的100家销售商在2023年4月份的销售数据频率分布直方图，则（ ） A. a的值为0.004 B. 估计这100家销售商新能源汽车销量(每组的销量按中点值计算)的平均数为135 C. 估计这100家销售商新能源汽车销售量的中位数为158.3 D. 若用分层随机抽样法从这100家销售商中抽取20家，则应从销量在[200，300]内的销售商中抽取5家 11. 如图，在边长为4的正方体中，分别是棱，的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点轨迹长度为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 存在满足 D. 若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是41π 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数为纯虚数， 则________________； 13. 某班共有40名学生，其中22名男生的身高平均数为173cm，方差为28；18名女生的身高平均数为163cm，方差为32；则该班级全体学生的身高方差为______. 14. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chúméng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行．现有如图所示一刍甍，，侧面和为等边三角形，且与底面所成角相等；若，到底面的距离为，则该刍甍的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15. 已知内角对边分别为，设. （1）求； （2）若的面积为，求的值. 16. 如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，为中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 17. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 18. 在多面体中，已知，，且，． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. （1）求扇形OMN的面积； （2）若，求矩形ABCD的面积； （3）若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$