精品解析：云南省昆明市第八中学2025届高三高考适应性考试数学试题

2025年高考适应性考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 下列函数的周期不是的为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. “克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3后加1.不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.若n经过5次运算后首次得到1，则n的所有不同取值的和为（ ） A. 16 B. 32 C. 37 D. 5 8. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. C. 在区间上单调递增 D. 为的极小值点 10. 在中，若内角A，B，C满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线，双曲线与双曲线有相同的渐近线，抛物线以双曲线的左焦点F为焦点 ，则下列判断正确的是（ ） A. 抛物线标准方程为 B. 双曲线的焦点到双曲线的渐近线的距离为1 C. 若双曲线焦点在轴，则双曲线的离心率为 D. 若双曲线与抛物线交于A、B两点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在一次数学测试中，8名同学的成绩如下：112、96、100、108、121、86、102、111．设这组数据的中位数为a，极差为b，则____________． 13. 已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则_____________． 14. 设函数，，若曲线与恰有一个交点，则实数______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，分别由甲、乙两人负责活动通知，已知该社团共有位同学，每次活动均需位同学参加．假设甲和乙分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团位同学，且所发信息都能收到． （1）当，时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率； （2）记至少收到一个活动通知信息的同学人数为，当，时，求随机变量的分布列和数学期望． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，平面平面ABCD，E，F分别是棱AP，PC的中点． （1）求平面BEF与平面ABCD夹角的余弦值； （2）已知点M在棱PD上，且，求三棱锥的体积． 17. 设为数列的前n项和，当时，，已知，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求． 18. 已知椭圆的一个焦点短轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点. （i）证明：点在以为直径的圆外： （ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 19. 已知函数 （1）当时，求的最大值； （2）设，讨论的单调性； （3）证明：对于任意的正整数，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高考适应性考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次方程的解法求得集合，再根据交集的定义即可求解． 【详解】由题得，，所以， 故选：D． 2. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数在、上的值域，取并集即可得出函数的值域. 【详解】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. 故选：A. 3. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简复数，再求其模. 【详解】因为， 所以． 故选：A． 4. 下列函数的周期不是的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性求解即可. 【详解】对于，最小正周期为，故A不符合题意； 对于，最小正周期为，故B不符合题意； 对于，最小正周期为，故C符合题意； 对于，最小正周期为，故D不符合题意． 故选：C． 5. 已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，用公差表示，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】等差数列的公差，由，得，解得， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：B 6. 函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先研究在上的单调性，再结合图象分析讨论的取值范围. 【详解】，则， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 因， 则当在内存在最小值时，有得， 则实数的取值范围是. 故选：C. 7. “克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3后加1.不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.若n经过5次运算后首次得到1，则n的所有不同取值的和为（ ） A. 16 B. 32 C. 37 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】从第5项为1出发，按照规则逐步进行逆向分析，可求出的所有可能的取值可得答案． 【详解】如果正整数按照上述规则经过5次运算得到1， 则经过4次运算后得到的一定是2； 经过3次运算后得到的一定是4； 经过2次运算后得到的为8或1（不合题意）； 经过1次运算后得到的是16； 所以开始时的数为5或32. 可得5+32=37. 故选：C. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得点到直线的距离的表达式，再由二次函数性质可求得最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. C. 在区间上单调递增 D. 为的极小值点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的定义域即可判断A,根据对数的性质即可求解B，求导，根据上导数的正负即可求解C，根据单调性即可由极值点的定义求解D. 【详解】的定义域为，故为非奇非偶函数，故A错误， 由于，且，故 当时，，此时，当时，，此时， 当时，，因此，B正确， 对于C, ，当时，，此时，因此在单调递减，故C错误， 对于D，，当时，，故，当时，，此时，因此在单调递减，在单调递增，为的极小值点，D正确， 故选：BD 10. 在中，若内角A，B，C满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用余弦定理，结合三角恒等变换逐项求解判断. 【详解】设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由， 得，不妨令，，， 对于A，由余弦定理得，A正确； 对于B，，，，B错误； 对于C，，，则， ，C正确； 对于D，，， 又，则，由，得，即， 因此，D正确. 故选：ACD 11. 已知双曲线，双曲线与双曲线有相同的渐近线，抛物线以双曲线的左焦点F为焦点 ，则下列判断正确的是（ ） A. 抛物线标准方程为 B. 双曲线的焦点到双曲线的渐近线的距离为1 C. 若双曲线焦点在轴，则双曲线的离心率为 D. 若双曲线与抛物线交于A、B两点，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，先求出双曲线的左焦点，进而求出抛物线标准方程，根据双曲线的焦点到渐近线的距离，可判断出B，根据双曲线与双曲线有相同的渐近线，可得出中， 的关系，进而求出双曲线的离心率，将双曲线与抛物线的方程联立解出 进而可求得答案. 【详解】因为双曲线，所以的左焦点F，将 由得，，所以，抛物线标准方程为，故A正确； 对于B，双曲线的焦点到渐近线的距离，由题可知，所以双曲线的焦点到双曲线的渐近线的距离为1，故B正确； 对于C，因为双曲线，所以其渐近线为， 又因为双曲线与双曲线有相同的渐近线，且焦点在轴上，设，，则，所以，故C错误； 对于D，联立 解得，所以， ，所以D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在一次数学测试中，8名同学的成绩如下：112、96、100、108、121、86、102、111．设这组数据的中位数为a，极差为b，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位数的计算以及极差的计算即可求解. 【详解】将112、96、100、108、121、86、102、111从小到大排列为：86，96，100，102，108，111，112，121， 故中位数为，极差为， 故， 故答案为： 13. 已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线的定义求出点的坐标，再将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，最后根据切线的性质，利用勾股定理求值. 【详解】在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为． 设点，根据抛物线的定义，可得， 解得．把代入，得， 因为，所以，即． 圆，圆心为，半径， 故． 故答案为：． 14. 设函数，，若曲线与恰有一个交点，则实数______． 【答案】2 【解析】 【分析】通过构造函数，求证为偶函数，根据零点个数得到，计算即可. 【详解】令，定义域为R， 则，则为偶函数， 由于曲线与恰有一个交点，则只有唯一的零点， 则，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，分别由甲、乙两人负责活动通知，已知该社团共有位同学，每次活动均需位同学参加．假设甲和乙分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团位同学，且所发信息都能收到． （1）当，时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率； （2）记至少收到一个活动通知信息的同学人数为，当，时，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 ，【解析】 【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 设事件“该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息”， 则， 即该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率为． 【小问2详解】 当，时，的可能取值为、、， 且，， 所以的分布列为 所以，． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，平面平面ABCD，E，F分别是棱AP，PC的中点． （1）求平面BEF与平面ABCD夹角的余弦值； （2）已知点M在棱PD上，且，求三棱锥的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直得线面垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量可求平面夹角的余弦值； （2）根据可得，利用等体积法转化三棱锥的体积可得结果. 【小问1详解】 如图，连接，，连接， ∵四边形为菱形，∴，为，的中点， ∵，∴，为等边三角形， ∴， ∵，∴，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， 又平面，平面，∴， 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，即平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ∴，即平面与平面夹角的余弦值为； 【小问2详解】 ∵且， ∴， ∵， ∴三棱锥的体积为. 17. 设为数列的前n项和，当时，，已知，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求． 【答案】（1）当时，， 即， 则，而，则， 于是时，，整理得， 又， 所以数列是首项和公比都是2的等比数列． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将变为，则，整理得，利用等比数列的概念证明即可. （2）根据等比数列通项公式求得，变形为，然后根据等差数列的定义及通项公式求解即可. （3）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列， 则，因此， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，， 所以数列的通项公式． 【小问3详解】 由（2）知，， ， 两式相减得，， 则． 18. 已知椭圆的一个焦点短轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点. （i）证明：点在以为直径的圆外： （ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）证明：由题意得，， 当直线斜率为0时，此时以为直径的圆的方程为，显然在此圆外； 当直线斜率不为0时，设直线的方程为， 由可得，， 恒成立， 设， 则 故在以为直径的圆外. （ii）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本性质来确定方程参数； （2）（i）判断点与圆的位置关系通过向量的数量积来实现；（ii）利用直线与椭圆方程联立得到相关点的坐标关系，再结合等边三角形的性质建立等式求解直线方程. 【小问1详解】 由题意得，所以， 则椭圆的标准方程为， 【小问2详解】 （i）略 （ii）当斜率不存在时，，此时到距离为1，故不存在等边三角形，当斜率为0时，易得不存在等边三角形， 当斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 设中点为，又，由（i）得， ，由于在直线上，所以 直线的斜率为，所以. ， 因为是等边三角形，所以，则 解得，即， 故直线的方程为或. 19. 已知函数 （1）当时，求的最大值； （2）设，讨论的单调性； （3）证明：对于任意的正整数，都有． 【答案】（1）0； （2） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （3） 由（1）知，，在上恒成立，即，当且仅当时等号成立. 对于任意的正整数都有成立， ， ， 累加可得， 即， 即得证. 所以，对于任意的正整数，都有． 【解析】 【分析】（1）利用导函数分析函数的单调性，求最值即可； （2）求出导函数，分类讨论单调性即可； （3）利用（1）小问的结论，构造出不等关系，利用累加法即可证得结论. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 则，令，解得， 时，单调递增； 时，单调递减， . 【小问2详解】 由题意，，定义域为， 则， 令，解得， 当时，时，单调递减；时，单调递增. 当时，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增. 当时，时，单调递增. 当时，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $