2025年高中数学解题思想方法技巧讲义-.瞄准“0”定单调性

万能技法6  瞄准“0”定单调性（解答题技法） 瞄准“0”定单调性，速破函数最值或范围是指通过判断函数的导数大于0或小于0，得出函数的单调性，进而求出函数的最值或范围．这种方法几乎适用于所有类型的函数（包括含参与不含参函数）的最值或范围问题（只要易于求导）． 非二次型导函数 求出函数的导函数，化简后的导函数不是二次函数或者分子不是二次函数，这样的导函数我们将称之为非二次型导函数.对于非二次型导函数，我们可以从函数的平移与伸缩的角度进行解读，由此确定导函数的零点是否存在. 【母题1】（24-25高三·山东聊城·期末）设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性． 【解析】（1）当时，，则，则曲线在点处的切线斜率为，因为，所以曲线在点处的切线方程为． （2）【先求定义域，再求导】的定义域为． 当时，， 令，则在上单调递减，在上单调递增， 因此，的最小值为．【瞄准“0”：瞄准最小值，得到，分，讨论导数符号】 当时，，则，此时，在上单调递增． 当时，令，得． 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增． 综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减． 【母题2】［2025福建福州7月联考，17分］已知函数． （1）当时，求函数的最小值． （2）若，求a的取值范围． 解析 （1）由题意知，当时，． 【求定义域】求函数的单调区间，要在函数的定义域内讨论，为了加快解题速度，不用写“函数的定义域为”，直接在函数解析式后面加括号，指出自变量的范围即可 则． 【定单调性】接下未定单调性，发现一阶导的正负不易判断，需构造函数，对新构造的函数再次求导 令，则． 令，则，则在上单调递增． ，，所以，当且仅当时取等号，所以，所以在上单调递增，且． 当时，；当时，． 【瞄准“0”】瞄准“”，讨论的单调性，所在在上单调递减，在上单调递增，所以，即的最小值为． （2）等价于 ，即． 令，则． 令，则，所以当时，， 当时，，所以， 因为，，，所以在上存在唯一的使得，在上存在唯一的使得， 故要满足题意，有或恒成立． 由，得． ①若，则，单调递减． 当时，；当时，．不满足题意． ②若，则在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以不存在恒成立的情形， 故，即，得． 综上所述，a的取值范围为． 【母题3】［2025浙江浙东联盟8月联考，17分］设函数，其中． （1）求的单调区间． （2）若存在极值点，且，其中，求证：． （3）若，函数，求在上的最大值． 解析 （1），， ①当时，恒成立，在R上单调递增． ②当时，在，上单调递增，在 上单调递减． 综上，当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为． （2）由（1）知，，即， 即，即 ，即 ，又，所以． （3） 当时，，，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减． 当时，，，所以在上单调递增［瞄准“0”：瞄准“”，得到的单调性，分类讨论求解最大值］． ①当即时，在上单调递增，； ②当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上，； ③当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由于，，当即时，在上，，当即时，在上，． 综上，在上， 【母题4】（24-25高三·北京·开学考试）已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数是增函数，求实数a的取值范围； （3）若，求的最大值. 【解析】（1）当时，则，，可得，， 即切点坐标为，切线斜率为0，所以曲线在处的切线方程为. （2）由题意得，且在定义域内恒成立，则， 【转化问题，分离参数使问题“去参数化”】令，显然时，，即此时单调递减，时，，即此时单调递增，所以，则，实数a的取值范围为. （3）若，则， 令，则， 【瞄准“0”，由对参数进行分类讨论】 若，则，此时在R上单调递增， 当时，，不符合题意； 当，则时，，此时单调递增， 时，，此时单调递减， 即， 即，所以， 令， 易知当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，即， 所以，当且仅当时，，所以的最大值为. （24-25高三·广东湛江·期末） 1．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. （24-25高三·山西晋城·期末） 2．设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． （24-25高三·甘肃白银·阶段练习） 3．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若，恒成立，求实数a的取值范围． （24-25高三·河北邢台·期末） 4．已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． （24-25高三·辽宁葫芦岛·期末） 5．已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． （24-25高三·吉林长春·开学考试） 6．已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. （24-25高三·黑龙江·期末） 7．已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，令函数，证明：． （24-25高三·浙江宁波·期末） 8．已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围. （2025·河南郑州·模拟预测） 9．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)证明：在上恒成立； (3)讨论方程在上的根的个数. （24-25高三·全国·开学考试） 10．已知函数有三个零点. (1)求的取值范围； (2)证明:中任意两个之积的绝对值不小于1. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 万能技法6  瞄准“0”定单调性（解答题技法） 瞄准“0”定单调性，速破函数最值或范围是指通过判断函数的导数大于0或小于0，得出函数的单调性，进而求出函数的最值或范围．这种方法几乎适用于所有类型的函数（包括含参与不含参函数）的最值或范围问题（只要易于求导）． 非二次型导函数 求出函数的导函数，化简后的导函数不是二次函数或者分子不是二次函数，这样的导函数我们将称之为非二次型导函数.对于非二次型导函数，我们可以从函数的平移与伸缩的角度进行解读，由此确定导函数的零点是否存在. 【母题1】（24-25高三·山东聊城·期末）设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性． 【解析】（1）当时，，则，则曲线在点处的切线斜率为，因为，所以曲线在点处的切线方程为． （2）【先求定义域，再求导】的定义域为． 当时，， 令，则在上单调递减，在上单调递增， 因此，的最小值为．【瞄准“0”：瞄准最小值，得到，分，讨论导数符号】 当时，，则，此时，在上单调递增． 当时，令，得． 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增． 综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减． 【母题2】［2025福建福州7月联考，17分］已知函数． （1）当时，求函数的最小值． （2）若，求a的取值范围． 解析 （1）由题意知，当时，． 【求定义域】求函数的单调区间，要在函数的定义域内讨论，为了加快解题速度，不用写“函数的定义域为”，直接在函数解析式后面加括号，指出自变量的范围即可 则． 【定单调性】接下未定单调性，发现一阶导的正负不易判断，需构造函数，对新构造的函数再次求导 令，则． 令，则，则在上单调递增． ，，所以，当且仅当时取等号，所以，所以在上单调递增，且． 当时，；当时，． 【瞄准“0”】瞄准“”，讨论的单调性，所在在上单调递减，在上单调递增，所以，即的最小值为． （2）等价于 ，即． 令，则． 令，则，所以当时，， 当时，，所以， 因为，，，所以在上存在唯一的使得，在上存在唯一的使得， 故要满足题意，有或恒成立． 由，得． ①若，则，单调递减． 当时，；当时，．不满足题意． ②若，则在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以不存在恒成立的情形， 故，即，得． 综上所述，a的取值范围为． 【母题3】［2025浙江浙东联盟8月联考，17分］设函数，其中． （1）求的单调区间． （2）若存在极值点，且，其中，求证：． （3）若，函数，求在上的最大值． 解析 （1），， ①当时，恒成立，在R上单调递增． ②当时，在，上单调递增，在 上单调递减． 综上，当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为． （2）由（1）知，，即， 即，即 ，即 ，又，所以． （3） 当时，，，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减． 当时，，，所以在上单调递增［瞄准“0”：瞄准“”，得到的单调性，分类讨论求解最大值］． ①当即时，在上单调递增，； ②当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上，； ③当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由于，，当即时，在上，，当即时，在上，． 综上，在上， 【母题4】（24-25高三·北京·开学考试）已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数是增函数，求实数a的取值范围； （3）若，求的最大值. 【解析】（1）当时，则，，可得，， 即切点坐标为，切线斜率为0，所以曲线在处的切线方程为. （2）由题意得，且在定义域内恒成立，则， 【转化问题，分离参数使问题“去参数化”】令，显然时，，即此时单调递减，时，，即此时单调递增，所以，则，实数a的取值范围为. （3）若，则， 令，则， 【瞄准“0”，由对参数进行分类讨论】 若，则，此时在R上单调递增， 当时，，不符合题意； 当，则时，，此时单调递增， 时，，此时单调递减， 即， 即，所以， 令， 易知当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，即， 所以，当且仅当时，，所以的最大值为. （24-25高三·广东湛江·期末） 1．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)（或） (2)答案见解析 【分析】（1）把代入得，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调性. 【详解】（1）当时，，则， 从而， 故所求切线方程为，即（或）. （2）由题意可得的定义域为. 当，即时， 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增. 当，即时， 由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增. 当，即时，恒成立，则在上单调递增. 当，即时， 由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增. （24-25高三·山西晋城·期末） 2．设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式求出切线方程； （2）求的导数，根据的范围讨论导数的正负，从而得到的单调区间. 【详解】（1）当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以曲线在点处的切线方程为． （2）的定义域为． 当时，． 令，则在上单调递减，在上单调递增， 因此，的最小值为 当时，则，此时，在上单调递增， 当时，令，得． 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增 综上，当时，在上单调递增，当时， 在上单调递增， 在上单调递减． （24-25高三·甘肃白银·阶段练习） 3．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）把代入，利用导数，结合不等式的性质求出函数的单调区间. （2）利用特值判断可得，将函数视为函数，证明即可. 【详解】（1）当时，函数的定义域为R，求导得， ，当时，，则， 当时，，当时，， 则当时，，函数在上递增，在上递减， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）若，恒成立，则，且，因此， 下面证当时，， 令，，则问题转化为证， 由在上单调递增，得， 令，，由（1）知在上单调递减，在上单调递增， 因此，则，对恒成立， 所以实数a的取值范围是. （24-25高三·河北邢台·期末） 4．已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得切线的斜率为，利用导数的几何意义列方程求； （2）条件可转化为在上恒成立，再分离变量，结合基本不等式求结论. 【详解】（1）设曲线在点处的切线的斜率， 直线的斜率为， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，即， 又的导函数， 所以， 所以， 所以， （2）由若在上单调递增，可得在上恒成立， 由（1）可得在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，其中， 又当时，，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 所以的取值范围为. （24-25高三·辽宁葫芦岛·期末） 5．已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求导，令导函数大于0，可求函数的增区间. （2）（ⅰ）求导，结合换元法，把问题转化成二次函数有两个不等正根可求参数的取值范围. （ⅱ）利用（ⅰ）中的有关结论，把化成，设，问题转化成证明.利用导数，分析函数单调性，即可证明结论. 【详解】（1）当时，， 由，所以. 故单调递增区间为. （2）（ⅰ），令，即 令，，则是方程的两个正根， 则，即， 有，，即. 所以的取值范围为：. （ⅱ） 令 则． 令，则， 则在上单调递减， 又 故存在，使，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减 则， 又，故 即. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用换元的思想，利用换元转化为其他函数，利用导数，转化为隐零点问题求解. （24-25高三·吉林长春·开学考试） 6．已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在单调递减，当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增； (2) 【分析】（1）对函数求导，讨论和两种情况导数的符号，进而可求函数的单调区间； （2）将已知条件转化为恒成立，构造函数，求出，转化为成立，然后构造函数，借助导数判断的单调性，从而得出满足条件的的取值范围. 【详解】（1）因为函数， 所以， 当时，，所以函数在单调递减， 当时，令，得， 当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 综上所述，当时，函数在单调递减， 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增； （2）若不等式恒成立，又 则有恒成立 设函数，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，不合题意 当时，令，解得 当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 所以， 由恒成立，则成立， 即成立 令，则 所以函数在上单调递增， 又，， 所以当时，成立. 综上所述，实数的取值范围为 【点睛】关键点：第（1）问的关键是分和讨论；第（2）问的关键是构造两个函数和，借助导数求出最值和单调性，即可得解. （24-25高三·黑龙江·期末） 7．已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，令函数，证明：． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数判断函数单调性； （3）利用导数证明一些不等式作为准备工作，然后根据已知条件得到的表达式，即可证明相应结论. 【详解】（1）由于，故，解得或. （2）首先有. 若，则在上递减； 若，则对有， 对有. 所以在上递减，在上递增； 若，则对有， 对有. 所以在上递减，在上递增. 综上，当时，在上递减； 当时，在上递减，在上递增； 当时，在上递减，在上递增. （3）为使有意义，需要，下面的讨论默认为正数. 先证明一些结论作为准备工作： ①设，则对有，对有. 所以在上递减，在上递增，从而，. ②设，则. 所以对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故. ③设，则对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故. ④由于，故，所以. 由于，，故. 所以，即，从而. 将和结合，即得. 最后，由于，故. 所以 . 从而原命题得证. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造的恰当的函数以证明相应不等式. （24-25高三·浙江宁波·期末） 8．已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）令（），按的取值分类讨论，利用导数求的单调性，进而可得最值，只需即可. 【详解】（1）当时，，，所以， 又，所以，即， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）令（），则， （ⅰ）当时，，所以在上单调递增， 但当时，，所以此时不满足题意； （ⅱ）当时，令解得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以只需， 若，则显然成立； 若，令，则， 所以在上单调递减，又，所以； 综上所述，. （2025·河南郑州·模拟预测） 9．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)证明：在上恒成立； (3)讨论方程在上的根的个数. 【答案】(1)当时，单调递减；当时，单调递增 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断函数的单调性即可； （2）令，先利用导数证明恒成立，即可证明在上恒成立； （3）由（2）可知在上的根的个数即方程的根的个数，令，利用导数求的单调性进而得到的范围即可求解. 【详解】（1）由题意当时，则， 令解得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增． （2）先证明对任意，， 令，， 令解得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以，即， 故对任意成立，且当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以在上恒成立． （3）由（2），在上恒成立，当且仅当时等号成立， 也即的根为的根，下讨论方程的根的个数， 化简得，令，则， 令解得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 又，且当时，，时，， 故当时，方程无实根；当时，方程有一个实根；当时，方程有两个实根；当时，方程有一个实根， 综上所述当时，方程无实根；当时，方程有一个实根；当时，方程有两个实根；当时，方程有一个实根． （24-25高三·全国·开学考试） 10．已知函数有三个零点. (1)求的取值范围； (2)证明:中任意两个之积的绝对值不小于1. 【答案】(1)或. (2)证明见解析 【分析】（1）先有三个解，构造函数令，再求导函数分讨论函数的单调性即可求参； （2）把证明函数的三个零点中任意两个之积的绝对值不小于1，转化为证明时的情况即可. 【详解】（1）有三个解. 令，为奇函数， 当时，. 单调递增 单调递减，则，且， 时，单调递增且， 时，单调递增且时，单调递减且. 而当时，时，单调递减且， 时，单调递增且， 时，单调递增且， 则当或时，仅有一个解 当或或时，仅有两个解 当或时，有三个解 综上:函数有三个零点，则或. （2）由函数图象的对称性，只需要证明时的情况即可. 当时，的三个零点满足， 只需要证明即可，即证明， 因为函数时，单调递增， 则只要证明这显然成立. 【点睛】关键点点睛：第一问解题的关键点是转化题意再构造函数根据函数的单调性解题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$