2025年高中数学解题思想方法技巧讲义-.等体积法

万能技法5  等体积法（解答题技法） 等体积法是基于三棱锥特殊的几何特征，通过构造一个三棱锥，使得所求点到平面的距离转化为该三棱锥的高，然后利用其体积相等的原理选择不同的底面和高列方程求解．这种方法的关键在于选择或构造合适的三棱锥，从而将点到平面的距离转化为三棱锥的高．此方法适用于直接求解点到平面的距离较为困难，即不能根据已知线面关系直接作出点到面的垂线段的问题． 等体积法实操 1． 确定几何体：明确需要计算的几何体及其已知条件（如底面积、高、半径等）． 2． 选择体积公式：根据几何体形状选择合适的体积公式． 3． 建立等式：通过不同方式表达同一几何体的体积，建立等式． 4． 求解未知量：解方程求出未知量（如高、半径等）． 【母题1】［2023天津卷，15分］如图1，在三棱台中，已知平面ABC，，，，N为线段AB的中点，M为线段BC的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）求点C到平面的距离． 图1 解析 （1）如图2，连接MN，因为M，N分别是BC，BA的中点，所以，且． 因为，所以，由可知，四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面． （2）如图2所示，过M作，垂足为E，过E作，垂足为F，连接MF，．因为平面ABC，平面ABC，所以， 图2 又，，AC，平面，则平面．因为平面，所以， 又，，ME，平面MEF，故平面MEF， 因为平面MEF，所以．故平面与平面所成角即∠MFE． 易知E为AC的中点，则，，，则，故． 因为平面，平面，所以． 在中，，则，故． （3）方法一：等积转化法 由（2）知，如图2，作，垂足为Q， 易知，，则，所以，则． Step1+2选几何体并求体积 设点C到平面的距离为h，， Step 3+4求底面积，等积转化求点面距 ． 由得，则． 方法二：直接法 由（2）知，如图3，作，垂足为Q，连接EQ，过E作，垂足为R． 图3 由已知可得，，，则，所以，则． 易知平面AMC，平面AMC，所以，又，，，平面，所以平面，因为平面，所以，又，，，平面，故ER⊥平面． 在中，，因为，故点C到平面的距离是E到平面的距离的两倍，即点C到平面的距离为． 【母题2】［2025陕西宝鸡模拟，13分］如图4，在三棱柱中，与间的距离为，，． （1）证明：平面平面ABC． （2）若点N是棱的中点，求点N到平面的距离． 规范答题 图4 解析 （1）取棱的中点D，连接BD，因为，所以［传技巧：等腰三角形底边上的中线、高、顶角的平分线三线合一．所以题中出现等腰三角形，首先考虑作底边上的中线，从而构造垂直关系］． 在三棱柱中，易知，所以，所以与间的距离为． 因为，所以，． 因为，，所以，所以． 同理得，又，且，平面，所以平面． 因为平面ABC，所以平面平面ABC． （2）过作，交AB的延长线于点E，连接CE，由（1）可知平面平面AEC，且平面平面， 因为平面，所以平面AEC，又平面AEC，则． 由（1）知，故． 由三棱柱的性质可得． 由（1）可知，是等边三角形，可得，，，， 所以． 在中，，，，由余弦定理得，，则，可得的面积为．［求底面积：首先根据余弦定理求得的一个内角的余弦值，然后利用同角三角函数平方关系求得该角的正弦值，最后利用三角形的两边与夹角正弦之积的一半求出面积］． 又N为棱的中点，设N到平面的距离为h，则到平面的距离为， 由，得，即［等积转化：利用体积相等列方程时，注意两个问题：一是h表示点N到平面的距离，需要向点到平面的距离转化；二是求锥体的体积时，莫忘乘］，解得． 【母题3】2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在几何体中，四边形与四边形均为矩形，，，． （1）求证：； （2）设与相交于点，若平面与平面所成二面角的正弦值为，求点到平面的距离． 【解析】（1）因为四边形为矩形，所以，又，则． 因为，，所以． 因为，所以． 又，平面，所以平面． 因为平面，所以． （2）因为四边形与四边形为矩形，所以，， 且由以上解法可知， 所以四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离． [关键：利用平面将点到平面的距离转化为点到平面的距离] 易知，， ，，． 因为，所以，所以． 易知，则， 又结合前面解析可知平面，故平面，平面，故，又，所以平面，则平面． Step1+2选几何体并求体积 连接，设点到平面的距离为，则，即，又， Step 3+4求底面积，等积转化求点面距 所以，故点到平面的距离为． 【母题4】（24-25高三·四川南充·阶段练习）如图，三棱柱中，，且与均为等腰直角三角形，． （1）若为等边三角形，证明：平面平面； （2）若二面角的平面角为，求以下各值： ①求点到平面的距离；②求平面与平面所成角的余弦值． 【解析】（1）设的中点为，连接，，如图所示， 因为与均为等腰直角三角形，， 故，，且，， 因为为等边三角形，故， 故，即， 又，平面，， 故平面，且平面， 故平面平面； （2）[根据二面角的定义可值为等边三角形，①利用等体积转化法可得点到平面距离；②根据二面角的定义可得两平面夹角．]①由（1）知，，，且平面平面，故即二面角的平面角，即，故为等边三角形，则，因为，，，且，平面，所以平面， 设线段中点为，则，， 又，平面，， 平面，又在三角形中易知：， ∴， 又在三角形中，由，， 则，， 则， Step1+2选几何体并求体积 设点到平面的距离为，又由， Step 3+4求底面积，等积转化求点面距 可得，即求点到平面的距离为； ②由①知，平面，而，故平面， 且平面，故，则， 设和的中点分别为，， 连接，，， 则，，，又因为，故，且平面，平面，故即二面角的平面角，且， 因为，故，则， 所以，故平面与平面所成角的余弦值为． （24-25高三·宁夏银川·期末） 1．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，是的中点，．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． （24-25高三·黑龙江绥化·阶段练习） 2．如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)若，，，求点到平面的距离. （24-25高三·甘肃兰州·开学考试） 3．已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，若，点M为的中点，点N为的四等分点（靠近点P）．    (1)求证：平面平面； (2)求点P到平面的距离． （24-25高三·广东梅州·阶段练习） 4．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点，分别是，的中点.    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值，并求出到平面的距离. （24-25高三·全国·阶段练习） 5．如图，已知三棱柱的所有棱长均为1，且． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． （24-25高三上·安徽·阶段练习） 6．如图1，在矩形ABCD中，，将沿着BD翻折到的位置，得到三棱锥，且平面ABP，如图2所示. (1)求证：平面平面ABD； (2)求直线AB与平面BPD所成角的正弦值. （24-25高三·江苏苏州·期末） 7．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，，分别为线段和线段的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． （24-25高三·安徽阜阳·阶段练习） 8．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点，. (1)证明：平面. (2)求与平面所成角的大小. （24-25高三·安徽六安·阶段练习） 9．如图所示，三棱柱中，．平面，，点是的中点． (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值． （24-25高三·江西萍乡·期中） 10．定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，． (1)求四棱锥在顶点处的离散曲率； (2)求四棱锥内切球的表面积； (3)若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 万能技法5  等体积法（解答题技法） 等体积法是基于三棱锥特殊的几何特征，通过构造一个三棱锥，使得所求点到平面的距离转化为该三棱锥的高，然后利用其体积相等的原理选择不同的底面和高列方程求解．这种方法的关键在于选择或构造合适的三棱锥，从而将点到平面的距离转化为三棱锥的高．此方法适用于直接求解点到平面的距离较为困难，即不能根据已知线面关系直接作出点到面的垂线段的问题． 等体积法实操 1． 确定几何体：明确需要计算的几何体及其已知条件（如底面积、高、半径等）． 2． 选择体积公式：根据几何体形状选择合适的体积公式． 3． 建立等式：通过不同方式表达同一几何体的体积，建立等式． 4． 求解未知量：解方程求出未知量（如高、半径等）． 【母题1】［2023天津卷，15分］如图1，在三棱台中，已知平面ABC，，，，N为线段AB的中点，M为线段BC的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）求点C到平面的距离． 图1 解析 （1）如图2，连接MN，因为M，N分别是BC，BA的中点，所以，且． 因为，所以，由可知，四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面． （2）如图2所示，过M作，垂足为E，过E作，垂足为F，连接MF，．因为平面ABC，平面ABC，所以， 图2 又，，AC，平面，则平面．因为平面，所以， 又，，ME，平面MEF，故平面MEF， 因为平面MEF，所以．故平面与平面所成角即∠MFE． 易知E为AC的中点，则，，，则，故． 因为平面，平面，所以． 在中，，则，故． （3）方法一：等积转化法 由（2）知，如图2，作，垂足为Q， 易知，，则，所以，则． Step1+2选几何体并求体积 设点C到平面的距离为h，， Step 3+4求底面积，等积转化求点面距 ． 由得，则． 方法二：直接法 由（2）知，如图3，作，垂足为Q，连接EQ，过E作，垂足为R． 图3 由已知可得，，，则，所以，则． 易知平面AMC，平面AMC，所以，又，，，平面，所以平面，因为平面，所以，又，，，平面，故ER⊥平面． 在中，，因为，故点C到平面的距离是E到平面的距离的两倍，即点C到平面的距离为． 【母题2】［2025陕西宝鸡模拟，13分］如图4，在三棱柱中，与间的距离为，，． （1）证明：平面平面ABC． （2）若点N是棱的中点，求点N到平面的距离． 规范答题 图4 解析 （1）取棱的中点D，连接BD，因为，所以［传技巧：等腰三角形底边上的中线、高、顶角的平分线三线合一．所以题中出现等腰三角形，首先考虑作底边上的中线，从而构造垂直关系］． 在三棱柱中，易知，所以，所以与间的距离为． 因为，所以，． 因为，，所以，所以． 同理得，又，且，平面，所以平面． 因为平面ABC，所以平面平面ABC． （2）过作，交AB的延长线于点E，连接CE，由（1）可知平面平面AEC，且平面平面， 因为平面，所以平面AEC，又平面AEC，则． 由（1）知，故． 由三棱柱的性质可得． 由（1）可知，是等边三角形，可得，，，， 所以． 在中，，，，由余弦定理得，，则，可得的面积为．［求底面积：首先根据余弦定理求得的一个内角的余弦值，然后利用同角三角函数平方关系求得该角的正弦值，最后利用三角形的两边与夹角正弦之积的一半求出面积］． 又N为棱的中点，设N到平面的距离为h，则到平面的距离为， 由，得，即［等积转化：利用体积相等列方程时，注意两个问题：一是h表示点N到平面的距离，需要向点到平面的距离转化；二是求锥体的体积时，莫忘乘］，解得． 【母题3】2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在几何体中，四边形与四边形均为矩形，，，． （1）求证：； （2）设与相交于点，若平面与平面所成二面角的正弦值为，求点到平面的距离． 【解析】（1）因为四边形为矩形，所以，又，则． 因为，，所以． 因为，所以． 又，平面，所以平面． 因为平面，所以． （2）因为四边形与四边形为矩形，所以，， 且由以上解法可知， 所以四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离． [关键：利用平面将点到平面的距离转化为点到平面的距离] 易知，， ，，． 因为，所以，所以． 易知，则， 又结合前面解析可知平面，故平面，平面，故，又，所以平面，则平面． Step1+2选几何体并求体积 连接，设点到平面的距离为，则，即，又， Step 3+4求底面积，等积转化求点面距 所以，故点到平面的距离为． 【母题4】（24-25高三·四川南充·阶段练习）如图，三棱柱中，，且与均为等腰直角三角形，． （1）若为等边三角形，证明：平面平面； （2）若二面角的平面角为，求以下各值： ①求点到平面的距离；②求平面与平面所成角的余弦值． 【解析】（1）设的中点为，连接，，如图所示， 因为与均为等腰直角三角形，， 故，，且，， 因为为等边三角形，故， 故，即， 又，平面，， 故平面，且平面， 故平面平面； （2）[根据二面角的定义可值为等边三角形，①利用等体积转化法可得点到平面距离；②根据二面角的定义可得两平面夹角．]①由（1）知，，，且平面平面，故即二面角的平面角，即，故为等边三角形，则，因为，，，且，平面，所以平面， 设线段中点为，则，， 又，平面，， 平面，又在三角形中易知：， ∴， 又在三角形中，由，， 则，， 则， Step1+2选几何体并求体积 设点到平面的距离为，又由， Step 3+4求底面积，等积转化求点面距 可得，即求点到平面的距离为； ②由①知，平面，而，故平面， 且平面，故，则， 设和的中点分别为，， 连接，，， 则，，，又因为，故，且平面，平面，故即二面角的平面角，且， 因为，故，则， 所以，故平面与平面所成角的余弦值为． （24-25高三·宁夏银川·期末） 1．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，是的中点，．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线面平行，通常可以通过构造线线平行，利用线面平行的判定定理来证明.（2）求点到平面的距离，可以利用等体积法来求解. 【详解】（1）    取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，所以在中， 根据三角形中位线定理，，且. 已知底面是直角梯形，，，，所以，且. 由此可得，且，所以四边形是平行四边形. 那么. 又因为平面，平面， 根据线面平行的判定定理，所以平面. （2）因为平面，平面,所以. 在直角梯形中，，， 根据勾股定理可得. 又，，， 所以，则. 因为平面，平面，所以，又，所以平面. 因为是的中点，所以点到平面的距离是点到平面距离的一半. 计算，，则. 设点到平面的距离为，，. 由，即，解得. 所以点到平面的距离. （24-25高三·黑龙江绥化·阶段练习） 2．如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)若，，，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，可得四边形为平行四边形，即可证得平面； （2）在中，由已知得，则，又得，， 则可得，，则在等腰中，上的高为，则可得， 设点到平面的距离为，由可得，即得点到平面的距离. 【详解】（1）取的中点，连接，， 因为为的中点，所以，且， 又为的中点，所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 故平面. （2）在中，，， 由正弦定理得，则， 因为平面，平面， 所以，， 在中，， 在中，， 在等腰中，上的高为， 所以， 设点到平面的距离为， 由得， 解得，即点到平面的距离为. （24-25高三·甘肃兰州·开学考试） 3．已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，若，点M为的中点，点N为的四等分点（靠近点P）．    (1)求证：平面平面； (2)求点P到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）由已知可得，，进而可证平面，进而可得，进而可得平面，可得结论； （2）利用余弦定理可证，进而可得，利用等体积法可求得点P到平面的距离. 【详解】（1）在四棱锥中，平面平面， 则，又， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，点M为中点，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）由（1）知平面，又平面，则， 因为，点M为的中点， 所以， 因为点N为的四等分点（靠近点P）． 所以， 因为，所以 所以由余弦定理得 ， 所以，所以，因为平面，所以， 设点P到平面的距离为h， 所以三棱锥的体积． 所以． （24-25高三·广东梅州·阶段练习） 4．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点，分别是，的中点.    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值，并求出到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）先根据线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理得平面，最后根据面面垂直的判定定理得平面平面； （2）根据二面角的定义找到二面角的平面角是，再利用垂直关系作出点到平面的垂线段，求解即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为是正方形，所以，且平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）    连接，交于点，连接， 因为，平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面，所以， 所以是二面角的平面角， 所以. 因为平面，平面，所以平面平面， 过点作，交于点，则即为点到平面的距离， 因为，所以到平面的距离为. （24-25高三·全国·阶段练习） 5．如图，已知三棱柱的所有棱长均为1，且． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到四面体是正四面体，从而过作平面的垂线，利用正四面体的性质易得为所求线面角. （2）所求距离可看成四棱锥的高，利用等体积法，将四棱锥的体积转化为三棱柱的体积减去三棱锥的体积，根据四棱锥的体积和底面积从而求出距离. 【详解】（1）由题意，得四面体是正四面体． 如图，过点作平面的垂线，交平面于点， 连接． 由对称性知，点为正三角形的中心． 易得， 所以． 因为平面平面，所以． 所以直线与平面所成的角为． 因为， 又平面平面， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （2）因为平面平面， 所以． 又，且， 所以平面． 又平面，所以． 又，所以． 所以四边形为矩形． 所以． 因为， 所以点到平面的距离为. （24-25高三上·安徽·阶段练习） 6．如图1，在矩形ABCD中，，将沿着BD翻折到的位置，得到三棱锥，且平面ABP，如图2所示. (1)求证：平面平面ABD； (2)求直线AB与平面BPD所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由平面ABP可得，进而可证平面，即可得面面垂直； （2）利用等体积法求点到平面的距离，进而可求线面夹角. 【详解】（1）因为平面ABP，平面ABP，可得，， 由题意可知：，且，平面， 可得平面，由平面ABD，所以平面平面ABD. （2）由题意可知：， 设点到平面的距离为， 因为，即，解得， 所以直线AB与平面BPD所成角的正弦值为. （24-25高三·江苏苏州·期末） 7．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，，分别为线段和线段的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）应用线面垂直判定定理及面面垂直的判定定理证明即可； （2）应用等体积得出再根据线面角定义得出正弦值即可；空间向量法得出线面角正弦. 【详解】（1）连结． 因为四边形为菱形，所以．因为，所以为正三角形． 因为为中点，所以． 因为且为中点，所以． 又因为，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面． 法一：延长交于点，连结． 因为四边形为菱形，所以且． 因为为中点，所以且，所以为中点． 因为为中点，所以， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角． ． 设到平面的距离为， ，所以． 在中，，则． 设与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 法二：因为，平面，所以两两垂直． 以为原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 因为为中点，所以． 则． 设平面的法向量为， 所以，则，即， 令，则平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （24-25高三·安徽阜阳·阶段练习） 8．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点，. (1)证明：平面. (2)求与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作PA的中点F，连接EF，FG，通过证明平面∥平面，可得平面； （2）利用等体积法求出点D到平面的距离为h，设PD与平面所成的角为,所以，求出线面角. 【详解】（1）如图，作PA的中点F，连接EF，FG. 因为E，F，G分别是棱AB，AP，PD的中点， 所以，又平面，平面，所以平面， 又底面为平行四边形， 所以，则， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面∥平面. 又平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以. 因为，所以，所以. 因为平面， 所以平面. 因为，所以，所以， 因为平面， 所以平面，所以平面，因为平面， 所以. 设点D到平面的距离为h，又， 所以，所以. 设PD与平面所成的角为,所以， 因为，所以， 所以PD与平面PBC所成的角为. （24-25高三·安徽六安·阶段练习） 9．如图所示，三棱柱中，．平面，，点是的中点． (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质得到，然后利用线面垂直的判定定理得到平面，最后根据线面垂直的性质证明即可； （2）建系，利用空间向量的方法计算即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以. （2） 在三棱柱中，， 因为，所以， 在平面内，过点作， 因为平面，所以平面， 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 设与平面所成角为， 所以. （24-25高三·江西萍乡·期中） 10．定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，． (1)求四棱锥在顶点处的离散曲率； (2)求四棱锥内切球的表面积； (3)若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出、、的值，结合曲率的定义可计算出结果； （2）计算出四棱锥的表面积，根据等体积法计算出四棱锥内切球的半径，结合球体体积公式可求得结果； （3）过点作交于点，连接，推导出平面，分析可知，为直线与平面所成的角，然后设，利用余弦定理求出，利用三角形相似求出，结合函数基本性质求出的范围，即可得出结果. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，则． 因为平面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 又平面，所以，即， 由离散曲率的定义得． （2）因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以， 设四棱锥的表面积为， 则 ． 设四棱锥的内切球的半径为，则， 所以， 所以四棱锥内切球的表面积． （3）如图，过点作交于点，连接， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角． 易知，当与重合时，； 当与不重合时，设， 在中，由余弦定理得 因为，所以，所以，则， 所以． 当分母最小时，最大，即最大，此时（与重合）， 由，得，即， 所以的最大值为， 所以直线与平面所成角的取值范围为． 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$