2025年高中数学解题思想方法技巧讲义-.边角巧互化

万能技法1  边角巧互化（解答题技法） 边角互化法就是利用正弦定理或余弦定理，合理转化已知条件中的边角关系，将边角关系式转化为边的关系式或角的关系式，从而解决问题的方法．此方法在高考中适用于已知条件是边角混合式的解三角形问题． 边角互化实操 （1）齐次式去角 当每项都有边关系，且这个方程中边的次数相等时，直接将边改为相应三角函数.然后再将孤立的角用公式：进行化简（去角代换），即可求得相应角的大小.即：去角代换 注：上述过程在考试时可能会以它的逆向形式进行化简，掌握该方法已经可以解决很多化简问题. （2）余弦式化边 当化简式中有余弦时，可用余弦定理化为边的关系.即： 注：射影定理：     【母题1】［2023全国甲卷改编，13分］记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求bc； （2）若，求及的面积． 【详细解析】（1）在中，由余弦定理得， 【余弦定理边角巧互化】观察的分子，为边的二次关系，故结合余弦定理化边为角，所以，得． （2）由正弦定理可得， 所以， 变形可得，即， 而，所以，又，所以． 由（1）得，故的面积为． 【母题2】【2024年新高考2卷第15题】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【详细解析】（1）由可得，即， 由于，故，解得 （2）【正弦定理边角巧互化】观察，式子两边都有边关系，且次数相等，由题设条件和正弦定理， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即，解得， 故的周长为 【母题3】【2022年新课标全国Ⅱ卷第18题】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 【详细解析】（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则； （2）【角化边】观察，式子给出角关系，结合所求及已知，利用正弦定理进行边角互化，由正弦定理得：，则，则，. 【母题4】【2020年新课标全国Ⅱ卷第17题】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a，b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详细解析】 ［方法一］【最优解】：余弦定理 【正弦定理角化边】由可得：，不妨设， 则：，即. 若选择条件①： 据此可得：，，此时. 若选择条件②： 据此可得：， 则：，此时：，则：. 若选择条件③： 可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在. ［方法二］：正弦定理 由，得． 由，得，即， 得．由于，得．所以． 若选择条件①： 【正弦定理角化边】由，得，得． 解得．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时． 若选择条件②： 由，得，解得，则． 由，得，得． 所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时． 若选择条件③： 由于与矛盾，所以，问题中的三角形不存在． 【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法，也是最优解； 方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角，可求出角，从而可得，再根据选择条件即可解出． （2025·广东茂名·一模） 1．已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求. （2025·重庆·一模） 2．在 中，内角的对边分别为，已知 ，且 . (1)求的值; (2)设 ，求的值. （24-25高三上·天津红桥·期末） 3．在中，内角所对的边分别是，若，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. （24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） 4．已知的内角的对边分别为，且． (1)求角的值； (2)若，且的面积为，求的周长． （24-25高三上·江苏扬州·阶段练习） 5．①，②，③ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答. 问题：已知的三边，，所对的角分别为，，，若，，______，求 (1)； (2)的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. （2025·陕西渭南·一模） 6．在中．已知． (1)求． (2)若点为的中点．且．求的面积． （2025·江苏泰州·模拟预测） 7．已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，． (1)求角的大小； (2)若，求的周长． （24-25高三上·福建泉州·阶段练习） 8．已知中，内角所对的边分别为，且满足. (1)若，求； (2)求的取值范围． ［2025山东济宁模拟，13分］ 9．在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答． 问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知______． (1)求B； (2)若的外接圆半径为2，且，求ac． 注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分． （24-25高三上·海南海口·期末） 10．已知，，分别为三个内角，，的对边，，. (1)求的最大值； (2)若的面积为为中点，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 万能技法1  边角巧互化（解答题技法） 边角互化法就是利用正弦定理或余弦定理，合理转化已知条件中的边角关系，将边角关系式转化为边的关系式或角的关系式，从而解决问题的方法．此方法在高考中适用于已知条件是边角混合式的解三角形问题． 边角互化实操 （1）齐次式去角 当每项都有边关系，且这个方程中边的次数相等时，直接将边改为相应三角函数.然后再将孤立的角用公式：进行化简（去角代换），即可求得相应角的大小.即：去角代换 注：上述过程在考试时可能会以它的逆向形式进行化简，掌握该方法已经可以解决很多化简问题. （2）余弦式化边 当化简式中有余弦时，可用余弦定理化为边的关系.即： 注：射影定理：     【母题1】［2023全国甲卷改编，13分］记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求bc； （2）若，求及的面积． 【详细解析】（1）在中，由余弦定理得， 【余弦定理边角巧互化】观察的分子，为边的二次关系，故结合余弦定理化边为角，所以，得． （2）由正弦定理可得， 所以， 变形可得，即， 而，所以，又，所以． 由（1）得，故的面积为． 【母题2】【2024年新高考2卷第15题】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【详细解析】（1）由可得，即， 由于，故，解得 （2）【正弦定理边角巧互化】观察，式子两边都有边关系，且次数相等，由题设条件和正弦定理， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即，解得， 故的周长为 【母题3】【2022年新课标全国Ⅱ卷第18题】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 【详细解析】（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则； （2）【角化边】观察，式子给出角关系，结合所求及已知，利用正弦定理进行边角互化，由正弦定理得：，则，则，. 【母题4】【2020年新课标全国Ⅱ卷第17题】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a，b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详细解析】 ［方法一］【最优解】：余弦定理 【正弦定理角化边】由可得：，不妨设， 则：，即. 若选择条件①： 据此可得：，，此时. 若选择条件②： 据此可得：， 则：，此时：，则：. 若选择条件③： 可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在. ［方法二］：正弦定理 由，得． 由，得，即， 得．由于，得．所以． 若选择条件①： 【正弦定理角化边】由，得，得． 解得．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时． 若选择条件②： 由，得，解得，则． 由，得，得． 所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时． 若选择条件③： 由于与矛盾，所以，问题中的三角形不存在． 【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法，也是最优解； 方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角，可求出角，从而可得，再根据选择条件即可解出． （2025·广东茂名·一模） 1．已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求. 【答案】(1) (2)或 （2025·重庆·一模） 2．在 中，内角的对边分别为，已知 ，且 . (1)求的值; (2)设 ，求的值. 【答案】(1) (2) （24-25高三上·天津红桥·期末） 3．在中，内角所对的边分别是，若，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) （24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） 4．已知的内角的对边分别为，且． (1)求角的值； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)或 （24-25高三上·江苏扬州·阶段练习） 5．①，②，③ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答. 问题：已知的三边，，所对的角分别为，，，若，，______，求 (1)； (2)的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)或 （2025·陕西渭南·一模） 6．在中．已知． (1)求． (2)若点为的中点．且．求的面积． 【答案】(1) (2) （2025·江苏泰州·模拟预测） 7．已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，． (1)求角的大小； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) （24-25高三上·福建泉州·阶段练习） 8．已知中，内角所对的边分别为，且满足. (1)若，求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) ［2025山东济宁模拟，13分］ 9．在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答． 问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知______． (1)求B； (2)若的外接圆半径为2，且，求ac． 注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) （24-25高三上·海南海口·期末） 10．已知，，分别为三个内角，，的对边，，. (1)求的最大值； (2)若的面积为为中点，求的值. 【答案】(1)12 (2) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$