精品解析：江苏省无锡市玉祁高级中学2024-2025学年高一下学期5月阶段性检测数学试题

高一数学阶段性检测 班级：_______姓名：_______ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（ ） A. 第一象限内 B. 第二象限内 C. 第三象限内 D. 第四象限内 【答案】A 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义解出，利用复数的几何意义求解． 【详解】复数为纯虚数，， 复数在复平面上的对应点为，位置在第一象限． 故选：A． 2. 已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与异面，故A错误； 对于B：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面， 故若，，则，故B正确； 对于C：垂直于同一条直线的两个平面互相平行， 故若，，则，故C正确； 对于D：根据面面垂直的判断定理可知，若，，则，故D正确； 故选：A 3. 已知单位向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义、数量的运算律，结合垂直关系的向量表示求解即得. 【详解】依题意，，由，得， 所以. 故选：C 4. 灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意得到角度和边，则在中，由正弦定理可求得， 而塔是垂直于地面的，故在中，结合仰角和可算得龙洲塔高度. 【详解】由题意可知，所以， 在中，由正弦定理可得， 因为处测得塔尖的仰角为，即， 则在中，龙洲塔高度为. 故选：C. 5. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为， 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为， 则圆锥和圆柱的高为， 所以圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， 所以圆锥和圆柱的侧面积之比为, 故选:C. 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出、、，即可求出、、，再根据夹角公式计算可得. 【详解】由题意得，则有，解得， 又由，则有，解得， 同理可得， 所以， ， ， 所以. 故选：A 7. 如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用重心的性质结合平面向量共线定理得到，最后利用‘1’的代换结合基本不等式求解最值即可. 【详解】∵是的重心，， 又，结合题意知， 因为三点共线, 当且仅当即时取等号，的最小值为，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是找到利用平面向量共线定理得到，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可． 8. 在正六棱柱中，，为棱的中点，则以为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，作图，分别求出球面与正六棱柱各个面所交的弧线的长度之和，可计算得到答案. 【详解】因为球的半径为2，所以球不与侧而及侧面相交， 连接．由题得，．所以， 所以球与侧面交于点，，与侧面交于点，． 在正六边形中，易得，因为平面，平面． 所以，又，平面， 所以平面，即平面，且，又，． 所以球与侧面的交线为以为直径的半圆，同理可得球与侧面的交线为以为直径的半圆． 由题易得，则球与上底面及下底面的交线均为个半径为的圆． 所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：根据球的半径为2，判断球只与侧而及侧面，上底面及下底面相交. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义可判定A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D. 【详解】对于A，由，得，则A错误. 对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确. 对于C，设（，且）， 则，所以，则C正确. 对于D，由，得. 设（，且），则， ，从而，则D正确. 故选：BCD 10. 如图,在正方体中,,为线段上的动点,则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,由线面垂直的判定定理证明平面即可;对于B,根据面面平行的判定定理证明平面平面即可;对于C,根据线面平行将点到平面的距离等于点到平面的距离,再利用等体积法求解即可;对于D,将平面和平面沿直线展开为一个平面,利用余弦定理求解即可判断. 【详解】对于A,连接,如图: 平面,平面, , 又平面,平面, 平面, 平面, , 连接,同理可得, 平面,平面, 平面, 平面, ,故A正确; 对于B,连接,如图: , 四边形为平行四边形, , 平面,平面, 平面, 同理四边形为平行四边形, , 平面,平面, 平面, ,平面,平面, 平面平面, 平面, 平面,故B正确; 对于C,如图: 由B知, 平面,平面, 平面, 点到平面的距离等于点到平面的距离, ,故C错误; 对于D,将平面和平面沿直线展开为一个平面,如图: , , , , , 即 的最小值为,故D正确. 故选:ABD. 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积. 【详解】因为，所以由正弦定理，得， 即 ， 因为，所以，且，所以. 选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ， 所以， 所以的外接圆的面积为，选项A正确； 选项B：由余弦定理得， 将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解， 故 ，解得b，所以选项B错误； 选项C：由正弦定理，得 ，即， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以 ，即，所以， 所以，故选项C正确； 选项D：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以由正弦定理，得，即， 所以， 即，所以， 所以， 又因为，所以，故，，解得 ， 因为，所以， 即是直角三角形，所以内切圆的半径为， 所以的面积为，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为____________分． 【答案】86.25 【解析】 【分析】利用给定的频率分布直方图，借助频率及百分位数的求法估计分位数即可． 【详解】依题意，前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 因此分位数位于内，， 所以估计这50名学生成绩的分位数为86.25分． 故答案为：86.25 13. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据斜二测法，由直观图可作出原图形，再求面积即可. 【详解】根据题意可作出原图形， ，，，， ， 故答案为：2. 14. 已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，平面，为线段的中点，若空间中存在平面满足，，记平面与直线分别交于点，，则______，四边形的面积为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据题意作出平面即平面，取中点，利用和可求得的值；通过线面平行的性质得到，，推理得到，故可间接法求得四边形的面积. 【详解】 如图，过点作的平行线分别交的延长线于点， 易知分别为的中点．连接，分别交于点，则平面即平面． 取的中点，因是正方形，则连接，则， 易得，则，所以，所以． 连接，因为，平面平面，平面，所以， 所以，， 由图易得,由可得，由得,从而， 由可得为的中点. 由可得,,, 因, 故四边形的面积． 故答案为：2；. 【点睛】思路点睛：本题主要考查棱锥的截面位置和面积问题，属于难题. 解题思路在于正确理解题意，作出合理的截面，充分利用平行与垂直的判定、性质定理，借助于相似三角形和三角形之间的面积关系计算即得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意设，结合模长公式即可列式求解参数，进而得解； （2）对已知等式两边平方并化简可得，利用转换法可求的模，根据数量积的运算律可求得与的数量积，结合向量夹角公式即可得解. 【小问1详解】 因为，且，所以可设，， 所以，解得， 所以或． 【小问2详解】 因为，所以，所以， 又，所以，解得， 又，所以， 又， 设与的夹角为，所以， 即与的夹角的余弦值为． 16. 如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩（均为整数整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题： （1）求成绩在80~90这一组的频数； （2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､40百分位数； 【答案】（1）4. （2）平均数为，第40百分位数为66. 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图中小矩形面积之和为“1”求的a的值，进而计算频数； (2)根据由频率分布直方图估计平均数、百分位数的方法计算. 【小问1详解】 依题意这一组的频率为这一组的频率为 ，这一组的频率为 这一组的频率为， 则这一组的频率，其频数为4. 【小问2详解】 这次竞赛成绩的平均数为: 这一组的频率为这一组的频率为 这一组的频率为，因此第40百分位数在这一组内，所以第40 百分位数为. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，，E，F分别是棱，的中点. （1）证明：平面. （2）若，求点到平面的距离. 【答案】（1） 证明：取的中点，连接，. 因为F，H分别是棱，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为E，H分别是棱，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为，平面，且，所以平面平面. 因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证得，得到平面，再由，证得平面，从而证得平面平面，即可得到平面； （2）求得，由，证得，根据平面平面，得到点到平面的距离是，点到平面的距离是，结合，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为四边形是梯形，满足， 且，分别为的中点，可得， 由（1）可知且，则，所以， 因为，所以， 因为平面平面且， 所以点到平面的距离是， 因为是的中点，则点到平面的距离是， 设点到平面的距离为，因为， 所以，解得， 即点到平面的距离是. 18. 如图，在平面四边形ABCD中，，，． （1）若，求的面积； （2）若，求BC． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求得，再结合求解即可 （2）设，再在中利用正弦定理得出关于的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可 【小问1详解】 由可得，又故，故 【小问2详解】 设，则，，在中，由正弦定理可得，即，交叉相乘化简得，即，利用降幂公式有，利用辅助角公式有，故，利用诱导公式可得，故，又，解得，又由正弦定理有，故 19. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． （1）设，，求复向量与的模； （2）已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； （3）当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数z的值． 【答案】（1）， （2）①设实向量，， 则，， 而， 根据已知，当且仅当与平行时取等号，即， 所以，当且仅当时等号成立； ②因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可； （2）①实向量，，根据条件，即可得证； ②因为，由复数的三角不等式，分别计算即可得证； （3）②考虑①中等号成立的条件知，结合题意即可求出和的值． 【小问1详解】 因为，所以， 所以的模为； 因为，所以， 可得的模为； 【小问2详解】 ①略 ②略 【小问3详解】 ②考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式， 复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 根据题意，若复向量与平行， 则， 根据中等号成立的条件， 应有， 则， 结合，得，解得； 所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学阶段性检测 班级：_______姓名：_______ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（ ） A. 第一象限内 B. 第二象限内 C. 第三象限内 D. 第四象限内 2. 已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 已知单位向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 4. 灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 8. 在正六棱柱中，，为棱的中点，则以为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图,在正方体中,,为线段上的动点,则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为____________分． 13. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为_________． 14. 已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，平面，为线段的中点，若空间中存在平面满足，，记平面与直线分别交于点，，则______，四边形的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且，求与的夹角的余弦值． 16. 如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩（均为整数整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题： （1）求成绩在80~90这一组的频数； （2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､40百分位数； 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，，E，F分别是棱，的中点. （1）证明：平面. （2）若，求点到平面的距离. 18. 如图，在平面四边形ABCD中，，，． （1）若，求的面积； （2）若，求BC． 19. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． （1）设，，求复向量与的模； （2）已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； （3）当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数z的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $