精品解析：黑龙江省大庆市林甸县第一中学2024-2025学年高一下学期期中教学质量检测数学试卷

2024-2025学年度下学期高一期中教学质量检测 数学 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号：选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意） 1. 在复平面内，复数对应的点是，则的虚部是（    ） A. 2 B. 2i C. D. i 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 3. 在中，角所对边分别为，且，（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：①，；②若，为异面直线，，，，；③，，；④，.其中正确命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 25 B. 5 C. 4 D. 7. 在空间四边形ABCD中，，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于（　　） A. 15° B. 30° C. 75° D. 15°或75° 8. 若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 9. 已知复数，则（ ） A. 是纯虚数 B. 对应的点位于第二象限 C. D. 10. 已知，内角分别对应边则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，则的面积为 D. 若，且有两解，则的取值范围是 11. 某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则（ ） A. 该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 B. 若该圆锥内部有一个球，则球的最大体积为 C. 若该圆内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥的底面内，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高为 D. 若该圆锥内部有一个正方体，且底面在圆锥的底面内，则正方体的棱长最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量的夹角为，则__________. 13. 已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为________． 14. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，. （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值. 16. 如图，在正四棱锥中，，M是PD的中点. （1）求四棱锥的表面积； （2）求三棱锥的体积. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，，求的周长和外接圆的面积． 18. 如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）平面与侧棱相交于点，求的值． 19. 如图，在平面四边形中，，，. （1）当，时，求的面积； （2）当，时，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期高一期中教学质量检测 数学 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号：选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意） 1. 在复平面内，复数对应的点是，则的虚部是（    ） A. 2 B. 2i C. D. i 【答案】C 【解析】 【分析】根据坐标得到，得到虚部. 【详解】复数对应的点是，故，虚部为-1. 故选：C 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的条件直接求得. 【详解】因为向量，且， 所以，解得：. 故选：B 3. 在中，角所对边分别为，且，（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求得，结合边的大小关系即可得解. 【详解】由正弦定理有，即，解得， 注意到，由大边对大角有，所以. 故选：A. 4. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：①，；②若，为异面直线，，，，；③，，；④，.其中正确命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断即可. 【详解】对于①，，或，故①错误； 对于②，因为，，记，， 则，因为，所以，假设不相交，则， 则，这与，为异面直线，故相交， 又，，所以，故②正确； 对于③，，，或异面，故③错误； 对于④，，或异面，故④错误. 所以正确命题的个数有1个. 故选：B. 5. 一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据球的表面积公式，可算出，由正四棱柱的顶点在同一球面上，可得正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，即可得到答案 【详解】设球的半径为，则 ，解得 设四棱柱的高为 ，则 ，解得 故选：C 6. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 25 B. 5 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理，通过对进行变形，从而求出边的长度. 【详解】已知余弦定理，因为， 所以，那么. 又因为完全平方公式，可得， 将其代入中，就得到. 已知，，将其代入可得：， 所以. 故选：B. 7. 在空间四边形ABCD中，，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于（　　） A. 15° B. 30° C. 75° D. 15°或75° 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线平行可得异面直线所成角的角，即可分情况求解. 【详解】如图，设G是AC的中点，分别连接，由已知得，所以是所成的角或是其补角． 因为，所以 当时，AB和EF所成角， 当时，AB和EF所成角. 故选：D 8. 若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，可求出正四面体的棱长，继而求得两种几何体的表面积即可. 【详解】正方体的棱长为，此时正四面体的棱长为， 则正方体的表面积为， 正四面体的表面积为， 两者之比为， 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 9. 已知复数，则（ ） A. 是纯虚数 B. 对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的运算规则和几何意义逐项分析. 【详解】对于A，，实部为0，是纯虚数，正确； 对于B，，在复平面上对应点，在第四象限，错误； 对C，，错误； 对于D，，正确； 故选：AD. 10. 已知，内角分别对应边则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，则的面积为 D. 若，且有两解，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断B，利用正弦定理求，结合内角和公式求，根据三角形面积公式求则的面积判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D. 【详解】选项A：中，若， 即，所以由正弦定理得， 又由余弦定理得，所以，为钝角三角形，A正确； 选项B：因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以，， 又因为在单调递增，所以，B正确； 选项C：中，若，则由正弦定理得，解得， 所以或， 若，则，的面积， 若，则，的面积，C错误； 选项D：如图所示， 若有两解，则， 所以，故，D正确； 故选：ABD 11. 某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则（ ） A. 该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 B. 若该圆锥内部有一个球，则球的最大体积为 C. 若该圆内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥的底面内，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高为 D. 若该圆锥内部有一个正方体，且底面在圆锥的底面内，则正方体的棱长最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：先根据圆锥侧面积公式和扇形弧长公式得出圆锥的母线长、底面半径和高，即可求出圆锥的母线与底面所成角正弦值；对B：当球的体积最大时，球为圆锥的内切球，作出轴截面图后结合等面积法计算即可求出该球半径，即可得体积最大值；对C：根据三角形相似比得出圆柱高与其底面半径比的关系，再代入圆柱侧面积公式得到 ，再利用二次函数性质计算即可得；对D：正方体的棱长最大时该正方体为圆锥内切正方体，沿着正方体体对角面作圆锥轴截面得到截面图后，借助三角形相似计算即可得解. 【详解】对于A，由圆锥侧面积公式和扇形弧长公式得， 解得，所以圆锥的高， 设圆锥的母线与底面所成角，则，故A错误；    对于B，当球的体积最大时，球为圆锥的内切球，设球的半径设为R， 此时圆锥与球的轴截面如图， 因为, 又， 所以，即，则球的最大体积为，故B正确； 对于C，设圆锥内切圆柱底面半径为，高为， 则有， 所以圆柱侧面积为， 则当时，有， 此时，故C错误； 对于D，设圆锥内接最大正方体棱长为， 则沿着正方体体对角面作圆锥轴截面得到截面图如下，    则有，即，解得， 故正方体的棱长最大值为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量的夹角为，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， 可知. 13. 已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正四棱台的概念可知四边形为等腰梯形，进而可得四棱台的高，即可求得体积. 【详解】如图所示， 由正四棱台可知且，，，四边形为等腰梯形， 取上底下底的中心平面，过作，垂足为，， 且，，， 所以， 所以， 故答案为： 14. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________． 【答案】144π 【解析】 【分析】易知当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，列方程求解即可. 【详解】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大， 设球O的半径为R，此时VO－ABC＝VC－AOB＝×R2×R＝R3＝36， 故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π. 故答案为144π. 【点睛】本题主要考查了三棱锥体积的求解,球的几何特征和面积公式，属于基础题. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，. （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义，即可求得向量与的夹角； （2）根据向量垂直的充要条件，即可求得的值； 【小问1详解】 设向量与的夹角为 ， ， ， . 【小问2详解】 ， ， ， ，. 16. 如图，在正四棱锥中，，M是PD的中点. （1）求四棱锥的表面积； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）表面积为 （2） 【解析】 【分析】（1）由正四棱锥的性质可求得四个侧面三角形的面积，进而可求表面积； （2）求得棱锥的高，利用三棱锥的体积与三棱锥的体积的关系可求得体积. 【小问1详解】 由四棱锥是正四棱锥，可得四棱锥的侧面是全等的等腰三角形， 因为，所以，， 所以表面积为. 【小问2详解】 由四棱锥是正四棱锥，所以在底面的射影是正方形的中心， 又， 又， 因为M是PD的中点，所以的体积是的一半， 所以. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，，求的周长和外接圆的面积． 【答案】（1） （2）周长为14，外接圆面积为. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦公式可得； （2）由三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理结合题意计算可得. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理 得， 即， 而，则，又， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 由的面积为，得，所以， 由余弦定理得， 解得， 所以的周长为14. 由正弦定理得的外接圆， 所以外接圆面积为. 18. 如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）平面与侧棱相交于点，求的值． 【答案】（1） 连接， 在中，，，且， 又，，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. （2） 由（1）得，又平面，平面， 平面， 在中，，， 又平面，平面，平面， 又因且均在平面中， 平面平面. （3）2 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，即得，再由线线平行证明线面平行即可； （2）由（1）得，证得平面，再证，即可证平面，最后由线面平行推出面面平行； （3）由（1）已得，可证平面，又因面，由线面平行的性质可推得，继而得到，利用平行线分线段成比例定理即可求得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，又面，面，平面， 又平面，面面， ，又，，． 19. 如图，在平面四边形中，，，. （1）当，时，求的面积； （2）当，时，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答. （2）在和中用正弦定理求出AC，再借助同角公式求解作答. 【小问1详解】 当时，在中，由余弦定理得， 即，解得，， 因为，则，又， 所以的面积是. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 则，整理得，而，为锐角， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $